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第 14 讲 导数的概念与运算
知识梳理
知识点一：导数的概念和几何性质
1、概念
函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数
在 处的导数，记作 或 ．
知识点诠释：
①增量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0． 的意义： 与0之
间距离要多近有
多近，即 可以小于给定的任意小的正数；
②当 时， 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在
一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即
是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即 ．
2、几何意义
函数 在 处的导数 的几何意义即为函数 在点 处
的切线的斜率．
3、物理意义
函数 在点 处的导数 是物体在 时刻的瞬时速度 ，即 ；
在点 的导数 是物体在 时刻的瞬时加速度 ，即 ．
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知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（ 为常数）
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则： ；
（2）函数积的求导法则： ；
（3）函数商的求导法则： ，则 ．
3、复合函数求导数
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间关系为 ：
【解题方法总结】
1、在点的切线方程
切线方程 的计算：函数 在点 处的切线方
程为 ，抓住关键 ．
2、过点的切线方程
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设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．（ 有
几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
必考题型全归纳
题型一：导数的定义
【例1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的图象如图所示，函数 的
导数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练1】（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器
内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为
，当 时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当 时，液体上升
高度的瞬时变化率为（ ）
A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s
【对点训练2】（2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数 的导函数是
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，若 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）若函数 在 处可导，且
，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【对点训练4】（2024·高三课时练习）若 在 处可导，则 可以等于（ ）．
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直
接写出．
题型二：求函数的导数
【例2】（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ；
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【对点训练5】（2024·高三课时练习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【对点训练6】（2024·海南·统考模拟预测）在等比数列 中， ，函数
，则 __________．
【对点训练7】（2024·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数 ， 定义域均
为 ，对任意 满足 ，且 ，求 __________.
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【对点训练8】（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 的导函数为 ，且
，则 ______．
【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
__________.
【解题方法总结】
对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基
本函数求导问题．
题型三：导数的几何意义
方向1、在点P处切线
【例3】（2024·广东广州·统考模拟预测）曲线 在点 处的切线方程为
__________．
【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）曲线 在点 处的切
线方程为______．
【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，
为 的导函数.若 的图象关于直线x＝1对称，则曲线 在点 处的
切线方程为______
【对点训练12】（2024·湖南·校联考模拟预测）若函数 是奇
函数，则曲线 在点 处的切线方程为______．
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方向2、过点P的切线
【对点训练13】（2024·江西·校联考模拟预测）已知过原点的直线与曲线 相切，则
该直线的方程是______．
【对点训练14】（2024·浙江金华·统考模拟预测）已知函数 ，过点
存在3条直线与曲线 相切，则实数 的取值范围是___________.
【对点训练15】（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）过点 作曲线 的切线，写出
一条切线方程：__________.
【对点训练16】（2024·海南海口·校联考模拟预测）过 轴上一点 作曲线
的切线，若这样的切线不存在，则整数 的一个可能值为_________．
【对点训练17】（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切点的
横坐标为___________.
【对点训练18】（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）若过点 有 条直
线与函数 的图象相切，则当 取最大值时， 的取值范围为__________.
【对点训练19】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，其导函数为
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，则曲线 过点 的切线方程为______．
方向3、公切线
【对点训练20】（2024·云南保山·统考二模）若函数 与函数
的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练21】（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）若直线 与曲线
相切，直线 与曲线 相切，则 的值为___________.
【对点训练22】（2024·河北邯郸·统考三模）若曲线 与圆 有三条公切
线，则 的取值范围是____．
【对点训练23】（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线 和
曲线 恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________．
【对点训练24】（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知曲线 与曲
线 有且只有一条公切线，则 ________．
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【对点训练25】（2024·福建南平·统考模拟预测）已知曲线 和曲线 有唯一
公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．
方向4、已知切线求参数问题
【对点训练26】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线 有两条过 的切线，则
a的范围是______.
【对点训练27】（2024·山东聊城·统考三模）若直线 与曲线 相切，则
的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【对点训练28】（2024·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线 相切，则实数
a＝（ ）
A．0 B． C． D．
【对点训练29】（2024·海南·校联考模拟预测）已知偶函数
在点 处的切线方程为 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【对点训练30】（2024·全国·高三专题练习）已知 是曲线 上的任一点，
若曲线在 点处的切线的倾斜角均是不小于 的锐角，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，直线 与曲
线 相切，则 的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
方向5、切线的条数问题
【对点训练32】（2024·河北·高三校联考阶段练习）若过点 可以作曲线 的
两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，
则（ ）
A． B． C． D．
【对点训练34】（2024·湖南·校联考二模）若经过点 可以且仅可以作曲线 的一
条切线，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D． 或
方向6、切线平行、垂直、重合问题
【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）若函数 与 的图象
有一条公共切线，且该公共切线与直线 平行，则实数 （ ）
A． B． C． D．
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【对点训练36】（2024·全国·高三专题练习）已知直线 与曲线
相交于 ，且曲线 在 处的切线平行，则实数 的值为（ ）
A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3
【对点训练37】（2024·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知曲线
在点 处的切线 互相垂直，且切
线 与 轴分别交于点 ，记点 的纵坐标与点 的纵坐标之差为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练38】（2024·全国·高三专题练习）若函数 的图象上存在两条相
互垂直的切线，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练39】（2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若函数 的图像
上存在两个不同的点 ，使得在这两点处的切线重合，则称 为“切线重合函数”，
下列函数中不是“切线重合函数”的为（ ）
A． B．
C． D．
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【对点训练40】（2024·全国·高三专题练习）已知A，B是函数 ，
图象上不同的两点，若函数 在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
方向7、最值问题
【对点训练41】（2024·全国·高三专题练习）设点 在曲线 上，点 在曲线
上，则 最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练42】（2024·全国·高三专题练习）设点 在曲线 上，点 在曲线
上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练43】（2024·全国·高三专题练习）设点 在曲线 上，点 在曲线
上，则 的最小值为（ ）
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A． B．
C． D．
【对点训练44】（2024·全国·高三专题练习）已知实数 ， ， ， 满足
，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C．4 D．16
【对点训练45】（2024·全国·高三专题练习）设函数 ，其中 ，
．若存在正数 ，使得 成立，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．1
【对点训练46】（2024·宁夏银川·银川二中校考一模）已知实数 满足 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练47】（2024·四川成都·川大附中校考二模）若点 是曲线 上任意一
点，则点 到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
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方向8、牛顿迭代法
【对点训练48】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方
程近似根的方法一Newton-Raphson method译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设 是
的根，选取 作为 的初始近似值，过点 做曲线 的切线 ：
，则 与 轴交点的横坐标为 ，称 是
的一次近似值；重复以上过程，得 的近似值序列，其中 ，
称 是 的 次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数
的零点一次近似值为（ ）（精确到小数点后3位，参考数据：
）
A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204
【对点训练49】（多选题）（2024·安徽芜湖·统考模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，
给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设 是函数 的一个零点，任意
选取 作为 的初始近似值，过点 作曲线 的切线 ，设 与 轴交点的横
坐标为 ，并称 为 的1次近似值；过点 作曲线 的切线 ，设 与
轴交点的横坐标为 ，称 为 的2次近似值.一般地，过点 （ ）作曲线
的切线 ，记 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的 次近似值.对于
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方程 ，记方程的根为 ，取初始近似值为 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．切线 ：
C． D．
【对点训练50】（多选题）（2024·全国·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高
次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点 ，如图，在 处作
图象的切线，切线与 轴的交点横坐标记作 ：用 替代 重复上面的过程可得 ；一直
继续下去，可得到一系列的数 ， ， ，…， ，…在一定精确度下，用四舍五入法
取值，当 ， 近似值相等时，该值即作为函数 的一个零点 .若要求 的
近似值 (精确到0.1)，我们可以先构造函数 ，再用“牛顿法”求得零点的近似
值 ，即为 的近似值，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意 ，
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B．若 ，且 ，则对任意 ，
C．当 时，需要作2条切线即可确定 的值
D．无论 在 上取任何有理数都有
【对点训练51】（2024·全国·高三专题练习）牛顿迭代法（Newton's method）又称牛顿–
拉夫逊方法（Newton–Raphsonmethod），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法．
如图，设 是 的根，选取 作为 初始近似值，过点 作曲线 的切
线 , 与 轴的交点的横坐标 （ ），称 是 的一次近似值，过点
作曲线 的切线，则该切线与 轴的交点的横坐标为 ，称 是 的二次
近似值．重复以上过程，直到 的近似值足够小，即把 作为 的近似解．设 ，
， ， ， 构成数列 ．对于下列结论：
① （ ）；
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② （ ）；
③ ；
④ （ ）．
其中正确结论的序号为__________．
【解题方法总结】
函数 在点 处的导数，就是曲线 在点 处的切线的斜率．这里
要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别．（1）已知 在点
处的切线方程为 ．（2）若求曲线 过点 的切线方程，应
先设切点坐标为 ，由 过点 ，求得 的值，从而求得切
线方程．另外，要注意切点既在曲线上又在切线上
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