第39讲复数_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第39讲 复数 知识梳理 知识点一、复数的概念 (1)i叫虚数单位，满足i2=-1，当k∈Z时，i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i． (2)形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数，记作a+bi∈C． ①复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)一一对应，a叫z的实部，b叫z的虚部；b =0⇔z∈R,Z点组成实轴；b≠0,z叫虚数；b≠0且a=0，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚 轴(不包括原点)．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． a=c ②两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)相等⇔   (两复数对应同一点) b=d   ③复数的模：复数a+bi(a,b∈R)的模，也就是向量OZ的模，即有向线段OZ的长度，其计算   公式为|z|=|a+bi|= a2+b2，显然，|z|=|a-bi|= a2+b2,z⋅z=a2+b2． 知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 (1)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i (2)(a+bi)⋅(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i  (a+bi)⋅(a-bi)=z⋅z=a2+b2=|z|2  (注意z2=|z|2)  z+z=2a  其中|z| = a2+b2，叫z的模；z=a-bi是z=a+bi的共轭复数(a,b∈R)． a+bi (a+bi)⋅(c-di) (ac+bd)+(bc-ad)i (3) = = (c2+d2≠0)． c+di (c+di)⋅(c-di) c2+d2 实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则)都适用于 复数． 注意：复数加、减法的几何意义   以复数z ,z 分别对应的向量OZ ,OZ 为邻边作平行四边形OZ ZZ ，对角线OZ表示的 1 2 1 2 1 2   向量OZ就是复数z +z 所对应的向量．z -z 对应的向量是Z Z． 1 2 1 2 2 1 2、复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)对应平面内的点z(a,b)；  (2)复数z=a+bi(a,b∈R)对应平面向量OZ； (3)复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复 数． (4)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示复平面内的点z(a,b)到原点的距离． 3、复数的三角形式 (1)复数的三角表示式 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)形式，其中r是复数z的  模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a +bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式． 第 页 共 页 1040 3427(2)辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．规定在0≤θ <2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作argz，即0≤argz<2π．复数的代数形 式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． (3)三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． (4)复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 r 1 (cosθ 1 +isinθ 1 )⋅r 2 (cosθ 2 +isinθ 2 )=r 1 r 2cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )  ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义    复数z ,z 对应的向量为OZ ,OZ ，把向量OZ 绕点O按逆时针方向旋转角θ (如果θ 1 2 1 2 1 2 2  <0，就要把OZ 1 绕点O按顺时针方向旋转角θ 2  )，再把它的模变为原来的r 倍，得到向量 2   OZ，OZ表示的复数就是积zz ． 1 2 (5)复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的 r(cosθ +isinθ) r 辐角减去除数的辐角所得的差，即 r 1 (cosθ 1 +isinθ 1 ) = r 1 cos(θ 1 -θ 2 )+isin(θ 1 -θ 2 ) 2 2 2 2  ． 必考题型全归纳 1 题型一：复数的概念 1749 (2024·河南安阳·统考三模)已知1+2i  a+i  的实部与虚部互为相反数，则实数a= ( ) 1 1 1 1 A. B.- C. D.- 3 3 2 2 【答案】A 【解析】由于1+2i  a+i  =a-2+(1+2a)i, 1+2i  a+i  1 的实部与虚部互为相反数，故a-2+(1+2a)=0,∴a= ， 3 故选：A 1750 (2024·浙江绍兴·统考二模)已知复数z满足z 3-i  =2i，其中i为虚数单位，则z的虚 部为 ( ) 3 3 1 3 A. B. i C.- D.- 2 2 2 2 【答案】A 【解析】因为z 3-i  2i 2i 3+i =2i，所以z= = 3-i   3-i   3+i  -2+2 3i 1 = =- + 4 2 3 i 2 3 所以z的虚部为 . 2 故选：A. 1751 (2024·海南海口·校联考一模)若复数z=a2-4+a-2  i为纯虚数，则实数a的值为 第 页 共 页 1041 3427( ) A.2 B.2或-2 C.-2 D.-4 【答案】C 【解析】因为复数z=a2-4+a-2  i为纯虚数，则有  a2-4=0 ，解得a=-2， a-2≠0 所以实数a的值为-2. 故选：C 3-5i 1752 (多选题)(2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测)若复数z= ，则 ( ) 1-i A. z  = 17 B.z的实部与虚部之差为3  C.z=4+i D.z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ACD 3-5i 3-5i 【解析】∵z= = 1-i  1+i  1-i  1+i  =4-i， ∴z的实部与虚部分别为4，-1， z  = 42+-1  2= 17，A正确； z的实部与虚部之差为5，B错误；  z=4+i，C正确； z在复平面内对应的点为4,-1  ，位于第四象限，D正确． 故选：ACD． 1753 (2024·辽宁·校联考一模)若z是纯虚数，z  2 =1，则 的实部为 . 1-z 【答案】1 【解析】z是纯虚数，且z  2 =1，则有z=±i，故 =1±i，实部为1. 1-z 故答案为：1. 【解题方法总结】 无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所 以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚． 2 题型二：复数的运算 1+i 1754 (2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模)已知复数z= ，则z 1-i   -z= ( ) A.1+i B.1 C.1-i D.i 【答案】A (1+i)(1+i) 2i  【解析】依题意，z= = =i，则|z|=1,z=-i， (1-i)(1+i) 2  所以|z|-z=1+i. 故选：A 1755 (2024·河北衡水·模拟预测)若i-1  z-2i   =2+i，则z= ( ) 1 1 1 1 1 1 3 1 A.- + i B.- - i C. + i D.- - i 2 2 2 2 2 2 2 2 【答案】B 第 页 共 页 1042 34272+i 2+i 【解析】由已知得z=- +2i=- 1-i  1+i  1+3i 1 i +2i=- +2i=- + ， 2 2 2 2  1 1 故z=- - i. 2 2 故选：B. 1756 (2024·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习)已知复数z满足(z-2i)i=3+i，则z= ( ) A.1-i B.3-i C.1-5i D.-1+3i 【答案】A 【解析】因为(z-2i)i=3+i， 3+i (3+i)(-i) 所以z= +2i= +2i=1-3i+2i=1-i． i i(-i) 故选：A. 1757 (2024·全国·模拟预测)已知复数z满足3z+i=1-4iz，则|z|= ( ) 4 2 2 2 A.2 B. C. D. 25 5 5 【答案】C 1-i -1-7i 2 【解析】解法一：由3z+i=1-4iz得z= = ，所以|z|= ，故选C． 3+4i 25 5 2 解法二：由3z+i=1-4iz得(3+4i)z=1-i，所以5|z|= 2，即|z|= ， 5 故选：C． 【解题方法总结】 设z =a+bi,z =c+di(a,b,c,d∈R)，则 1 2 (1)z ±z =a±c+(b±d)i 1 2 (2)z ⋅z =ac-bd+(ad+bc)i 1 2 z ac+bd bc-ad (3) 1 = + i(z ≠0) z c2+d2 c2+d2 2 2 3 题型三：复数的几何意义 3-i 1758 (2024·河南郑州·三模)复平面内，复数 对应的点位于 ( ) 1+i2023 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 3-i 3-i 3-i (3-i)(1+i) 【解析】由题得 = = = =2+i，即复平面内对应的点为 1+i2023 1+i3 1-i (1-i)(1+i) 2,1  ，在第一象限. 故选：A． 1759 (2024·全国·高三专题练习)已知复数z 与z=3+i在复平面内对应的点关于实轴对称， 1 z 则 1 = ( ) 2+i A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【答案】B 【解析】因为复数z 与z=3+i在复平面内对应的点关于实轴对称，所以z =3-i， 1 1 第 页 共 页 1043 3427z 3-i 3-i 所以 1 = = 2+i 2+i  2-i  2+i  2-i  5-5i = =1-i． 5 故选：B． 1760 (2024·湖北·校联考三模)如图，正方形OABC中，点A对应的复数是3+5i，则顶点B对 应的复数是 ( ) A.-2+8i B.2-8i C.-1+7i D.-2+7i 【答案】A  【解析】由题意得：OA=3,5  ,不妨设C点对应的复数为a+bi a0,b   0   ，则OC= a,b  ,    由OA⊥OC,OA   =OC  ，得  a2+b2=32+52 ⇒   a=-5 ， 3a+5b=0 b=3 即C点对应的复数为-5+3i，    由OB=OA+OC得：B点对应复数为(3+5i)+(-5+3i)=-2+8i. 故选：A． 1761 (2024·全国·校联考模拟预测)在复平面内，设复数，z,z 对应的点分别为Z(0,2)，Z (1, 1 2 1 2 z -1)，则 1 z 2  = ( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1 【答案】C z 2i z 【解析】由题意，知z =2i，z =1-i，所以 1 = =-1+i，所以 1 1 2 z 1-i z 2 2  = 2． 故选：C. 【解题方法总结】 复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵 坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点． 4 题型四：复数的相等与共轭复数 1762 (2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测)已知2-i(i是虚数单位)是关于x的方程x2+ bx+c=0(b,c∈R)的一个根，则b+c= ( ) A.9 B.1 C.-7 D.2i-5 【答案】B 【解析】已知2-i(i是虚数单位)是关于x的方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根， 3+2b+c=0 则(2-i)2+b(2-i)+c=0，即4-4i-1+2b-bi+c=0，即  ， -4-b=0 第 页 共 页 1044 3427b=-4 解得  ，故b+c=1. c=5 故选：B． 1763 (2024·贵州贵阳·统考模拟预测)已知z 1 =a+2i，z 2 =2+bi，a,b∈R   ，若z +z 1 1  +  z z 2 2  i=4+13i，则 ( ) A.a=2，b=3 B.a=-2，b=-3 C.a=2，b=±3 D.a=-2，b=±3 【答案】C   【解析】由已知可得，z +z =a+2i+a-2i=2a，z z =22+b2=b2+4， 1 1 2 2  所以z +z 1 1   +z z 2 2  i=2a+b2+4  i=4+13i， 所以有  2 b2 a + = 4 4 =13 ，解得  a b= = 3 2 或  a b= = - 2 3 . 故选：C.  1764 (2024·四川宜宾·统考三模)已知复数z=3+4i，且z+az=9-4i，其中a是实数，则 ( ) A.a=-2 B.a=2 C.a=1 D.a=3 【答案】B  【解析】因为z=3+4i，所以z=3-4i， 所以3+4i+3a-4ai=3+3a+4-4a  i=9-4i， 所以3+3a=9，4-4a=-4，解得a=2. 故选:B. 1765 (2024·湖北·模拟预测)已知复数z满足z+z  =2+4i，则z的共轭复数的虚部为 ( ) A.2 B.-4 C.4 D.-2 【答案】B 【解析】设z=a+bi,a,b∈R  ，则z  = a2+b2， 则z+z  =2+4i，即a+ a2+b2+bi=2+4i， 所以 a+ a2+b2=2 ，解得 a=-3 ，   b=4 b=4  所以z=-3+4i,z=-3-4i， 所以z的共轭复数的虚部为-4. 故选：B.  1766 (2024·四川宜宾·统考三模)已知复数z=3+4i，且z+az+bi=9，其中a，b是实数，则 ( ) A.a=-2，b=3 B.a=2，b=4 C.a=1，b=2 D.a=2，b=-4 【答案】B   【解析】因为z=3+4i，所以z=3-4i，则由z+az+bi=9得： 3+4i+a(3-4i)+bi=9，即3+3a  +(4+b-4a)i=9， 4+b-4a=0 a=2 故  ，解得：  . 3+3a=9 b=4 故选：B. 第 页 共 页 1045 3427【解题方法总结】 复数相等：a+bi=c+di⇔a=c且 b=d(a，b，c，d∈R) 共轭复数：a+bi=c+di⇔a=c且 b=-d(a，b，c，d∈R)． 5 题型五：复数的模 1767 (2024·河南·统考二模)若i+1  z-1   =2，则|z+1|= ． 【答案】 10 【解析】由i+1  z-1  2 2(1-i) =2可得z= +1= +1=2-i， i+1 2   故z=2+i，则|z+1|=|3+i|= 32+12= 10， 故答案为： 10 1768 (2024·上海浦东新·统考三模)已知复数z满足z-2  =z  =2，则z3= ． 【答案】-8 【解析】设z=a+bi，则z-2=a-2+bi， a2+b2=4 所以 a-2    2+b2=4 ，解得a=1,b=± 3， 当a=1,b= 3时，z=1+ 3i，故z2=1+ 3i  2=1+2 3i+3i2=-2+2 3i， z3=-2+2 3i  1+ 3i  =-2+6i2=-8； 当a=1,b=- 3时，z=1- 3i，故z2=1- 3i  2=1-2 3i+3i2=-2-2 3i， z3=-2-2 3i  1- 3i  =-2+6i2=-8 故答案为：-8 1769 (2024·辽宁铁岭·校联考模拟预测)设复数z ，z 满足|z|=|z |=2，z +z = 3+i，则 1 2 1 2 1 2 |z -z |= . 1 2 【答案】2 3 【解析】方法一：设z =a+bi,(a∈R,b∈R)，z =c+di,(c∈R,d∈R)， 1 2 ∴z +z =a+c+(b+d)i= 3+i， 1 2 a+c= 3 ∴   b+d=1 ，又|z 1 |=|z 2 |=2，所以a2+b2=4，c2+d2=4， ∴(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2(ac+bd)=4 ∴ac+bd=-2 ∴z 1 -z 2  =(a-c)+(b-d)i  = (a-c)2+(b-d)2= 8-2ac+bd  = 8+4=2 3. 故答案为：2 3.    方法二：如图所示，设复数z,z 所对应的点为Z,Z ,OP=OZ +OZ , 1 2 1 2 1 2  由已知OP  = 3+1=2=OZ 1  =OZ 2  , ∴平行四边形OZPZ 为菱形，且△OPZ,△OPZ 都是正三角形，∴∠ZOZ =120°， 1 2 1 2 1 2 1 |ZZ |2=|OZ|2+|OZ |2-2|OZ||OZ |cos120°=22+22-2⋅2⋅2⋅- 1 2 1 2 1 2 2  =12 ∴z 1 -z 2  =Z 1 Z 2  =2 3. 第 页 共 页 1046 3427【解题方法总结】 |z| = a2+b2 6 题型六：复数的三角形式 1770 (2024·四川成都·成都七中统考模拟预测)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数 和三角函数的关系，并写出以下公式eix=cosx+isinx(x∈R，i为虚数单位)，这个公式 在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中 不成立的是 ( ) 1 3 A.eiπ+1=0 B.  + i 2 2  2022 =1 C. eix+e-ix  ≤2 D.-2≤eix-e-ix≤2 【答案】D 【解析】对于A，当x=π时，因为eiπ=cosπ+isinπ=-1，所以eiπ+1=0，故选项A正确； 1 3 对于B， + i 2 2  2022 π π =cos +isin 3 3  2022 =e π 3 i  2022 =e674πi=cos674π+isin674π= 1， 故选项B正确； 对于C，由eix=cosx+isinx，e-ix=cos-x  +isin-x  =cosx-isinx， 所以eix+e-ix=2cosx,得出eix+e-ix  =2cosx  ≤2，故选项C正确； 对于D，由C的分析得eix-e-ix=2isinx，推不出-2≤eix-e-ix≤2，故选项D错误． 故选：D． 1771 (2024·全国·高三专题练习)任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成z=r(cosθ +isinθ)(r≥0,θ∈R)的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： [r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈Z)，我们称这个结论为棣莫弗定理．则(1 - 3i)2022= ( ) A.1 B.22022 C.-22022 D.i 【答案】B 1 3 【解析】1- 3i=2 - i 2 2  π =2 cos- 3  π +isin- 3      ， 2022 ∴ (1- 3i)2022=22022 cos- π 3  2022 +isin- π 3      =22022； 故选：B． 1772 (2024·河南·统考模拟预测)欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然对数的底数e、虚数单位 i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足eiπ+i  ⋅z=1，则z的 虚部为 ( ) 1 1 A. B.- C.1 D.-1 2 2 【答案】B 第 页 共 页 1047 3427【解析】由欧拉公式知： eiπ=cosπ+isinπ=-1，∴(eiπ+i)⋅z=(-1+i)⋅z=i， i i(-1-i) 1-i 1 1 ∴z= = = = - i， -1+i (-1+i)(-1-i) 2 2 2 1 ∴z的虚部为- ． 2 故选：B 1773 (2024·全国·高三专题练习)棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx(其中i为虚数 单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 π π cos +isin 6 6  2023 在复平面内所对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C π π 【解析】由棣莫弗公式知，cos +isin 6 6  2023 2023π 2023π =cos +isin = 6 6 π cos337π+ 6  π +isin337π+ 6  π =cosπ+ 6  π +isinπ+ 6  3 1 =- - i， 2 2 π π ∴复数cos +isin 6 6  2023 3 1 在复平面内所对应的点的坐标为- ,- 2 2  ，位于第三象 限． 故选：C． 【解题方法总结】 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)形式，其中r是复数z的  模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z =a+bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式． 7 题型七：与复数有关的最值问题 1774 (2024·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测)若z+1-i  =1，则z  的最大值与最小 值的和为 . 【答案】2 2 【解析】由几何意义可得：复数z表示以(-1， 1)为圆心的半径为1的圆， 则z  ∈ 2-1， 2+1  ⇒z  +z max  =2 2. min 故答案为：2 2 1775 (2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测)在复平面内，已知复数z满足|z|=1，i为虚数 单位，则|z-3-4i|的最大值为 . 【答案】6 【解析】令z=x+yi且x,y∈R，则x2+y2=1，即复数z对应点在原点为圆心，半径为1 的圆上， 而|z-3-4i|= (x-3)2+(y-4)2，即点(x,y)到定点(3,4)距离的最大值， 所以|z-3-4i|的最大值为 (0-3)2+(0-4)2+1=6. 故答案为：6 1776 (2024·全国·模拟预测)设z是复数且z-1+2i  =1，则z  的最小值为 ( ) 第 页 共 页 1048 3427A.1 B. 3-1 C. 5-1 D. 5 【答案】C 【解析】根据复数模的几何意义可知，z-1+2i  =1表示复平面内以1,-2  为圆心，1为 半径的圆，而z  表示复数z到原点的距离， 由图可知，z  = 12+-2 min  2-1= 5-1. 故选：C 1777 (2024·重庆·统考二模)复平面内复数z满足z-2  -z+2  =2，则z-i  的最小值为 ( ) 3 5 A. B. C. 3 D. 5 2 2 【答案】B 【解析】因为z-2  -z+2  =2， 所以点z是以0,2  ，0,-2  为焦点，半实轴长为1的双曲线，则b2=c2-a2=3， y2 所以点z的轨迹方程为x2- =1， 3 设z=x+yix,y∈R  ， 所以z-i  = x2+y-1  y2 2= 1+ +y-1 3  4 3 2= y- 3 4  2 5 5 + ≥ ，当且仅当y 4 2 3 = 时取等号， 4 所以z-i  5 的最小值为 ． 2 故选：B． 1778 (2024·全国·校联考三模)已知复数z,z 0 满足z-z 0  = 2,z 0  = 2，则|z|的最大值为 ( ) A. 2 B.2 2 C.4 D.3 2 【答案】B 【解析】因为|z|-z 0  ≤z-z 0  = 2，所以|z|- 2≤ 2，所以|z|≤2 2，所以|z|的最大 值为2 2． 故选：B 【解题方法总结】 利用几何意义进行转化 第 页 共 页 1049 3427