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第39讲 复数
知识梳理
知识点一、复数的概念
(1)i叫虚数单位，满足i2=-1，当k∈Z时，i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i．
(2)形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数，记作a+bi∈C．
①复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)一一对应，a叫z的实部，b叫z的虚部；b
=0⇔z∈R,Z点组成实轴；b≠0,z叫虚数；b≠0且a=0，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚
轴(不包括原点)．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
a=c
②两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)相等⇔
(两复数对应同一点)
b=d
③复数的模：复数a+bi(a,b∈R)的模，也就是向量OZ的模，即有向线段OZ的长度，其计算
公式为|z|=|a+bi|= a2+b2，显然，|z|=|a-bi|= a2+b2,z⋅z=a2+b2．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
(1)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
(2)(a+bi)⋅(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
(a+bi)⋅(a-bi)=z⋅z=a2+b2=|z|2
(注意z2=|z|2)
z+z=2a
其中|z| = a2+b2，叫z的模；z=a-bi是z=a+bi的共轭复数(a,b∈R)．
a+bi (a+bi)⋅(c-di) (ac+bd)+(bc-ad)i
(3) = = (c2+d2≠0)．
c+di (c+di)⋅(c-di) c2+d2
实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则)都适用于
复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数z ,z 分别对应的向量OZ ,OZ 为邻边作平行四边形OZ ZZ ，对角线OZ表示的
1 2 1 2 1 2
向量OZ就是复数z +z 所对应的向量．z -z 对应的向量是Z Z．
1 2 1 2 2 1
2、复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)对应平面内的点z(a,b)；
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)对应平面向量OZ；
(3)复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复
数．
(4)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示复平面内的点z(a,b)到原点的距离．
3、复数的三角形式
(1)复数的三角表示式
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)形式，其中r是复数z的
模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a
+bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式．
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318 1043(2)辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．规定在0≤θ
<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作argz，即0≤argz<2π．复数的代数形
式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
(3)三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
(4)复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
r 1 (cosθ 1 +isinθ 1 )⋅r 2 (cosθ 2 +isinθ 2 )=r 1 r 2cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 ) ．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数z ,z 对应的向量为OZ ,OZ ，把向量OZ 绕点O按逆时针方向旋转角θ (如果θ
1 2 1 2 1 2 2
<0，就要把OZ 1 绕点O按顺时针方向旋转角θ 2 )，再把它的模变为原来的r 倍，得到向量 2
OZ，OZ表示的复数就是积zz ．
1 2
(5)复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的
r(cosθ +isinθ) r
辐角减去除数的辐角所得的差，即 r 1 (cosθ 1 +isinθ 1 ) = r 1 cos(θ 1 -θ 2 )+isin(θ 1 -θ 2 )
2 2 2 2
．
必考题型全归纳
1 题型一：复数的概念
1749 (2024·河南安阳·统考三模)已知1+2i a+i 的实部与虚部互为相反数，则实数a=
( )
1 1 1 1
A. B.- C. D.-
3 3 2 2
1750 (2024·浙江绍兴·统考二模)已知复数z满足z 3-i =2i，其中i为虚数单位，则z的虚
部为 ( )
3 3 1 3
A. B. i C.- D.-
2 2 2 2
1751 (2024·海南海口·校联考一模)若复数z=a2-4+a-2 i为纯虚数，则实数a的值为
( )
A.2 B.2或-2 C.-2 D.-4
3-5i
1752 (多选题)(2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测)若复数z= ，则 ( )
1-i
A. z = 17 B.z的实部与虚部之差为3
C.z=4+i D.z在复平面内对应的点位于第四象限
1753 (2024·辽宁·校联考一模)若z是纯虚数，z
2
=1，则 的实部为 .
1-z
2 题型二：复数的运算
1+i
1754 (2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模)已知复数z= ，则z
1-i
-z= ( )
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319 1043A.1+i B.1 C.1-i D.i
1755 (2024·河北衡水·模拟预测)若i-1 z-2i
=2+i，则z= ( )
1 1 1 1 1 1 3 1
A.- + i B.- - i C. + i D.- - i
2 2 2 2 2 2 2 2
1756 (2024·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习)已知复数z满足(z-2i)i=3+i，则z=
( )
A.1-i B.3-i C.1-5i D.-1+3i
1757 (2024·全国·模拟预测)已知复数z满足3z+i=1-4iz，则|z|= ( )
4 2 2 2
A.2 B. C. D.
25 5 5
3 题型三：复数的几何意义
3-i
1758 (2024·河南郑州·三模)复平面内，复数 对应的点位于 ( )
1+i2023
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
1759 (2024·全国·高三专题练习)已知复数z 与z=3+i在复平面内对应的点关于实轴对称，
1
z
则 1 = ( )
2+i
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
1760 (2024·湖北·校联考三模)如图，正方形OABC中，点A对应的复数是3+5i，则顶点B对
应的复数是 ( )
A.-2+8i B.2-8i C.-1+7i D.-2+7i
1761 (2024·全国·校联考模拟预测)在复平面内，设复数，z,z 对应的点分别为Z(0,2)，Z (1,
1 2 1 2
z
-1)，则 1
z
2
= ( )
A.2 B. 3 C. 2 D.1
4 题型四：复数的相等与共轭复数
1762 (2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测)已知2-i(i是虚数单位)是关于x的方程x2+
bx+c=0(b,c∈R)的一个根，则b+c= ( )
A.9 B.1 C.-7 D.2i-5
1763 (2024·贵州贵阳·统考模拟预测)已知z 1 =a+2i，z 2 =2+bi，a,b∈R
，若z +z 1 1 +
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320 1043
z z
2 2
i=4+13i，则 ( )
A.a=2，b=3 B.a=-2，b=-3 C.a=2，b=±3 D.a=-2，b=±3
1764 (2024·四川宜宾·统考三模)已知复数z=3+4i，且z+az=9-4i，其中a是实数，则
( )
A.a=-2 B.a=2 C.a=1 D.a=3
1765 (2024·湖北·模拟预测)已知复数z满足z+z =2+4i，则z的共轭复数的虚部为
( )
A.2 B.-4 C.4 D.-2
1766 (2024·四川宜宾·统考三模)已知复数z=3+4i，且z+az+bi=9，其中a，b是实数，则
( )
A.a=-2，b=3 B.a=2，b=4 C.a=1，b=2 D.a=2，b=-4
5 题型五：复数的模
1767 (2024·河南·统考二模)若i+1 z-1
=2，则|z+1|= ．
1768 (2024·上海浦东新·统考三模)已知复数z满足z-2 =z =2，则z3= ．
1769 (2024·辽宁铁岭·校联考模拟预测)设复数z ，z 满足|z|=|z |=2，z +z = 3+i，则
1 2 1 2 1 2
|z -z |= .
1 2
6 题型六：复数的三角形式
1770 (2024·四川成都·成都七中统考模拟预测)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数
和三角函数的关系，并写出以下公式eix=cosx+isinx(x∈R，i为虚数单位)，这个公式
在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中
不成立的是 ( )
1 3
A.eiπ+1=0 B. + i
2 2
2022
=1
C. eix+e-ix ≤2 D.-2≤eix-e-ix≤2
1771 (2024·全国·高三专题练习)任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成z=r(cosθ
+isinθ)(r≥0,θ∈R)的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈Z)，我们称这个结论为棣莫弗定理．则(1
- 3i)2022= ( )
A.1 B.22022 C.-22022 D.i
1772 (2024·河南·统考模拟预测)欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然对数的底数e、虚数单位
i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足eiπ+i ⋅z=1，则z的
虚部为 ( )
1 1
A. B.- C.1 D.-1
2 2
1773 (2024·全国·高三专题练习)棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx(其中i为虚数
单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数
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321 1043π π
cos +isin
6 6
2023
在复平面内所对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7 题型七：与复数有关的最值问题
1774 (2024·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测)若z+1-i =1，则z 的最大值与最小
值的和为 .
1775 (2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测)在复平面内，已知复数z满足|z|=1，i为虚数
单位，则|z-3-4i|的最大值为 .
1776 (2024·全国·模拟预测)设z是复数且z-1+2i =1，则z 的最小值为 ( )
A.1 B. 3-1 C. 5-1 D. 5
1777 (2024·重庆·统考二模)复平面内复数z满足z-2 -z+2 =2，则z-i 的最小值为
( )
3 5
A. B. C. 3 D. 5
2 2
1778 (2024·全国·校联考三模)已知复数z,z 0 满足z-z 0 = 2,z 0 = 2，则|z|的最大值为
( )
A. 2 B.2 2 C.4 D.3 2
