文档内容
第 39 讲 复数
知识梳理
知识点一、复数的概念
（1） 叫虚数单位，满足 ，当 时， ．
（2）形如 的数叫复数，记作 ．
①复数 与复平面上的点 一一对应， 叫z的实部，b叫z的
虚部； Z点组成实轴； 叫虚数； 且 ，z叫纯虚数，纯虚数对
应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数 相等 （两复数对应同一点）
③复数的模：复数 的模，也就是向量 的模，即有向线段 的长度，
其计算公式为 ，显然， ．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 ．
（3） ．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数 分别对应的向量 为邻边作平行四边形 ，对角线 表示
的向量 就是复数 所对应的向量． 对应的向量是 ．
2、复数的几何意义
（1）复数 对应平面内的点 ；
（2）复数 对应平面向量 ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都
表示复数．
（4）复数 的模 表示复平面内的点 到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数 都可以表示成 形式，其中 是复数 的
模； 是以 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复
数 的辐角． 叫做复数 的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍．规定在
范围内的辐角 的值为辐角的主值．通常记作 ，即 ．复数的
代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数 对应的向量为 ，把向量 绕点 按逆时针方向旋转角 （如果
，就要把 绕点 按顺时针方向旋转角 ），再把它的模变为原来的 倍，得到
向量 ， 表示的复数就是积 ．（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数
的辐角减去除数的辐角所得的差，即 ．
必考题型全归纳
题型一：复数的概念
例1．（2024·河南安阳·统考三模）已知 的实部与虚部互为相反数，则实数
（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·浙江绍兴·统考二模）已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则
的虚部为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·海南海口·校联考一模）若复数 为纯虚数，则实数 的值为
（ ）
A．2 B．2或 C． D．
例4．（多选题）（2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若复数 ，则（ ）
A． B．z的实部与虚部之差为3
C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限
例5．（2024·辽宁·校联考一模）若 是纯虚数， ，则 的实部为______.
【解题方法总结】无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，
所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
例6．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
例7．（2024·河北衡水·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
例8．（2024·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知复数z满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·全国·模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
设 ，则
（1）
（2）（3）
题型三：复数的几何意义
例10．（2024·河南郑州·三模）复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知复数 与 在复平面内对应的点关于实轴对
称，则 （ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·湖北·校联考三模）如图，正方形OABC中，点A对应的复数是 ，则顶
点B对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
例13．（2024·全国·校联考模拟预测）在复平面内，设复数， 对应的点分别为 ，
，则 （ ）A．2 B． C． D．1
【解题方法总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、
纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．
题型四：复数的相等与共轭复数
例14．（2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知 （ 是虚数单位）是关于 的方程
的一个根，则 （ ）
A．9 B．1 C． D．
例15．（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）已知 ， ， ，若
，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
例16．（2024·四川宜宾·统考三模）已知复数 ，且 ，其中a是实数，
则（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·湖北·模拟预测）已知复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部为
（ ）
A．2 B． C．4 D．例18．（2024·四川宜宾·统考三模）已知复数 ，且 ，其中a，b是实
数，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解题方法总结】
复数相等：
共轭复数： ．
题型五：复数的模
例19．（2024·河南·统考二模）若 ，则 _______．
例20．（2024·上海浦东新·统考三模）已知复数 满足 ，则 __________．
例21．（2024·辽宁铁岭·校联考模拟预测）设复数 ， 满足 ， ，则
=__________.
【解题方法总结】
题型六：复数的三角形式
例22．（2024·四川成都·成都七中统考模拟预测）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数
函数和三角函数的关系，并写出以下公式 （x∈R，i为虚数单位），这个公
式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结
果中不成立的是（ ）A． B．
C． D．
例23．（2024·全国·高三专题练习）任何一个复数 都可以表示成
的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗
发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理．则
（ ）
A．1 B． C． D．i
例24．（2024·河南·统考模拟预测）欧拉公式 把自然对数的底数e、虚数
单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足 ，则
的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
例25．（2024·全国·高三专题练习）棣莫弗公式 （其中i为虚数
单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数
在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题方法总结】
一般地，任何一个复数 都可以表示成 形式，其中 是复数 的
模； 是以 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复
数 的辐角． 叫做复数 的三角表示式，简称三角形式．
题型七：与复数有关的最值问题
例26．（2024·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若 ，则 的最大值与
最小值的和为___________.
例27．（2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在复平面内，已知复数 满足 ，
为虚数单位，则 的最大值为____________.
例28．（2024·全国·模拟预测）设 是复数且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
例29．（2024·重庆·统考二模）复平面内复数 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
例30．（2024·全国·校联考三模）已知复数 满足 ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C．4 D．
