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第 2 讲 常用逻辑用语
知识梳理
一、充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若 ，则 ”为真（记作 ），则 是 的充分条件；同时 是 的
必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
（1）若 且 ，则 是 的充分不必要条件；
（2）若 且 ，则 是 的必要不充分条件；
（3）若 且 ，则 是 的的充要条件（也说 和 等价）；
（4）若 且 ，则 不是 的充分条件，也不是 的必要条件．
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质： ，则 是 的充分
条件，同时 是 的必要条件．所谓“充分”是指只要 成立， 就成立；所谓“必要”
是指要使得 成立，必须要 成立（即如果 不成立，则 肯定不成立）．
二．全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全
称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题
“对 中的任意一个 ，有 成立”可用符号简记为“ ”，读作“对任意
属于 ，有 成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫
做存在量词，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命
题“存在 中的一个 ，使 成立”可用符号简记为“ ”，读作“存在
中元素 ，使 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．
三．含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题 的否定 为 ， ．（2）存在量词命题 的否定 为 ．
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．
【解题方法总结】
1、从集合与集合之间的关系上看
设 ．
（1）若 ，则 是 的充分条件（ ）， 是 的必要条件；若 ，则
是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件，即 且 ；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小 大”．
（2）若 ，则 是 的必要条件， 是 的充分条件；
（3）若 ，则 与 互为充要条件．
2、常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语 是 都是 任 意 （ 所 至多有一个 至多有一个
等于 大于 小于
有）
否定词语 不 等 于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有两个 一个都没有
（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 中的每一个元素 证明
其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合 中的一个 ，使得其不成立
即可，这就是通常所说的举一个反例．
（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合 中能找到一个 使之成
立即可，否则这个存在量词命题就是假命题．
必考题型全归纳
题型一：充分条件与必要条件的判断
【解题总结】
1、要明确推出的含义，是 成立 一定成立才能叫推出而不是有可能成立．
2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集
合．
3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养．例1．（2024·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知向量 ， ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，则 ，所以 ；
若 ，则 ，解得 ，得不出 ．
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
例2．（2024·全国·高三专题练习）已知直线 平面 ，则“直线 平面 ”是“平面
平面 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若“直线 平面 ”成立，设 ，且 ，又 平面 ，所以 平面 ，
又 ，所以“平面 平面 ”成立；
若“平面 平面 ”成立，且直线 平面 ，可推出 平面 或 平面 ，
所以“直线 平面 ”不一定成立.
综上，“直线 平面 ”是“平面 平面 ”的充分不必要条件.
故选：A.
例3．（2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
例4．（2024·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知 ， ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若 ，则 不成立，若 且 ，此时 推不出 ，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
【解题总结】
1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系．
2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错．
例5．（2024·山东潍坊·统考二模）若“ ”是“ ”的一个充分条件，则
的一个可能值是__________.
【答案】 （只需满足 即可）
【解析】由 可得 ，则 ，
所以， ，解得 ，因为“ ”是“ ”的一个充分条件，故 的一个可能取值为 .
故答案为： （只需满足 即可）.
例6．（2024·上海长宁·统考二模）若“ ”是“ ”的充分条件，则实数 的取值
范围为___________．
【答案】
【解析】 “ ”是“ ”的充分条件， ， ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
例7．（2024·全国·高三专题练习）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 的值
可以是__________.（写出满足条件 的一个值即可）
【答案】 （答案不唯一，满足 即可）
【解析】由于“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以 ，
所以 的值只需小于 即可.
故答案为： （答案不唯一，满足 即可）
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
【解题总结】
1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论．
2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可．
例8．（2024·河北·高三学业考试）设非空集合 ， 满足 ，则下列选项正确的
是（ ）
A． ，有 B． ，有
C． ，使得 D． ，使得
【答案】B
【解析】 ， ，当 ⫋ 时， ，使得 ，故A错误；
， ，必有 ，即 ，必有 ，故B正确；
由B正确，得 ，必有 ， ，使得 错误，即C错误；
当 时，不存在 ，使得 ，故D错误，
综上只有B是正确的．
故选：B．
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，下列四个命题：① ，
，② ， ，③ ， ，④ ， ．
其中是真命题的有（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】C
【解析】对于①，由 得： ， ， ，则 ，
①正确；
对于②， ， ，即 ，则
，②正确；
对于③，函数 在 上为减函数，而 ，则 ，即
， ，③错误；
对于④，当 时， ， ，即 ，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
例10．（2024·贵州毕节·统考模拟预测）直线 ，直线，给出下列命题：
① ，使得 ； ② ，使得 ；
③ ， 与 都相交； ④ ，使得原点到 的距离为 .
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】C
【解析】对于①，若 ，则 ，该方程组无解，①错；
对于②，若 ，则 ，解得 ，②对；
对于③，当 时，直线 的方程为 ，即 ，此时， 、 重合，③错；
对于④，直线 的方程为 ，
若 ，使得原点到 的距离为 ，则 ，整理可得 ，
，方程 有解，④对.
故选：C.
题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定
【解题总结】
1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论
变否定．
2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否．
例11．（2024·四川成都·三模）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】由题意可得，“ ”的否定是 ，
故选：B
例12．（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）已知命题 ， 不是素数，则 为
（ ）
A． ， 是素数 B． ， 是素数
C． ， 是素数 D． ， 是素数
【答案】D
【解析】命题 为全称量词命题，该命题的否定为 ， 是素数.
故选：D.
例13．（2024·四川成都·成都七中统考模拟预测）命题“有一个偶数是素数”的否定是（
）
A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数
C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数
【答案】B
【解析】由于存在量词命题 ，否定为 .所以命题“有一个
偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.
故选：B
题型五：根据命题的真假求参数的取值范围
【解题总结】
1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命
题，去求真命题的补级即可．
2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取
到．
例14．（2024·全国·高三专题练习）若命题“ ”为假命
题，则实数x的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命题“ ”为假命题，其否定为真命题，
即“ ”为真命题．
令 ，
则 ，即 ，
解得 ，所以实数x的取值范围为 .
故选：C
例15．（2024·全国·高三专题练习）已知命题 ： ， ，若p为假命
题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为命题 ： ， ，
所以 ： ， ，
又因为 为假命题，所以 为真命题，
即 ， 恒成立，
所以 ，即 ，
解得 ，
故选：D．
例16．（2024·全国·高三专题练习）若命题 “ ”是假命题，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为命题“ ， ”是假命题，
所以命题“ ， ”是真命题，
若 ，即 或 ，
当 时，不等式为 ，恒成立，满足题意；
当 时，不等式为 ，不恒成立，不满足题意；
当 时，则需要满足 ，
即 ，解得 ，
综上所述， 的范围是 ，
故选：B.
例17．（2024·全国·高三专题练习）已知命题“ ， ”为假命题，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为命题“ ， ”为假命题，则命题的否定“ ，
”为真命题，所以 ， ．易知函数 在 上单调递增，所以当 时， 取最小值，所以
．所以实数a的取值范围为 ．
故选：D．
1．（2022·天津·统考高考真题）“ 为整数”是“ 为整数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 为整数时， 必为整数；
当 为整数时， 比一定为整数，
例如当 时， .
所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2022·浙江·统考高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022·北京·统考高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数
列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数
列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
