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第 02 讲 正弦定理和余弦定理 12 种常见考法归类
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问
题．
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则
正弦定理 余弦定理
三角形中任何一边的平方，等于其他
文字 在一个三角形中，各边和它所对角的正
两边平方的和减去这两边与它们夹角的余
语言 弦的比相等.
弦的积的两倍.
a2＝b2＋c2－2bccosA，
公式 ＝＝. b2＝a2＋c2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝.
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦
比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.
(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝ (1) cosA＝，
csinA. cosB＝，
(5)大边对大角 大角对大边 cosC＝.
常见
变形 (2) ，
，
(6)合分比：
abc
sinAsinBsinC
ab bc ac
sinAsinB sinBsinC sinAsinC
a b c
2R
sinA sinB sinC
2. 三角形内角和及三角形常见重要关系(1) 内角和定理： ，进而有＝－等式子
(2)三角函数关系：①
同理有： ， .
② ；
③斜三角形中，
④ ；
(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos
B．
(4)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. 即若
AD为∠A的角平分线，则有比例关系：＝.
3. 三角形常用面积公式
(1)S＝a·h(h 表示边a上的高).
a a
(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.
(3) （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
(4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长.
(5) 其中
4. 解三角形中的常用术语
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯
角(如图①).
(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角. 北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③).
北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向. 南偏西等其他方向角类似.
(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角). 坡度指坡面的铅直
高度与水平长度之比(如图④，i为坡度，i＝tanθ). 坡度又称为坡比.1、正弦定理之齐次式结构
结构特点：每一项中都有边 或sin角 且次数一致，即可实现边和对应 sin
角的互化
结构示例：
（1）整式齐次式：
①边的齐次式
②sin角的齐次式
（2）分式齐次式：
2、拆角合角技巧
1、化简后的式子同时含有 三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种
①合角
如：
②拆角——拆单角（“单身狗角”）
如：
注：（1）， ，
（2） ，
（3） 中 ① ② （舍去）
① ②
，则 或
（4）射影定理
3、三角形最值问题
三角形中角度是最基础的要素之一,围绕角度展开的范围问题主要有两大考查内容:一方面对角度大小
范围做出考查;另一方面对角度的正余弦值范围进行提问.解题难度系数并不大,但准确高效地解题还取决于
对三角形内角和特点是否考虑周到.
（一）角度范围问题
求解三角形的角度范围问题,常见解题思路为:(1)对所给条件做出分析,根据条件特点选择合适定理表达
所求角度,若已知边长值较多则考虑余弦定理,已知角度大小则考虑正弦定理;(2)根据角度的具体表达式结构
特点,讨论有关变量的具体定义域;(3)选择三角函数求值域或基本函数求值域方式,在所求定义域内求得对应
值域,即可得到问题所求的角度相关范围大小.
（二）边长范围问题
边长是组成三角形的另一重要元素,因此与三角形边长有关的范围问题也十分常见.由于这一类范围问
题求解并不复杂,故以选择形式或填空形式出现较为多见.求解这类与边长有关的范围问题,正余弦定理的灵
活运用成为解题的关键步骤,常见的解答思路一般表现为:(1)根据已知条件的特点,选择合适的定理并代人具
体值,得到与问题所求的对应关系等式;(2)根据关系等式以及三角形三边之和、内角和关系特点,得到具体关
系等式或不等式;(3)通过运算,求出问题所求边长对应具体取值范围.
（三）面积范围问题针对三角形面积进行提问的取值范围问题,属于中等难度的一类解三角形问题,可在选择填空或解答题中遇
见其“身影”.解答这类问题,主要思路在于借助公式将面积问题等价转化为函数求值域或基本不等式求最
值,进而对问题作出具体完整的解答,这些解题思路在解题过程中具体可表现为:(1)对所求三角形大致形状做
出分析,明确选择面积求解公式;(2)运用正余弦定理,取得三角形边长、角度具体值,将其代人面积公式中得到
具体表达式;(3)根据表达式结构特点,运用函数求值域思路或基本不等式求临界值思路,得到具体的范围大小,
即对应问题所求的面积范围值.
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形
例1．在 中，若 ， ， ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
变式1： 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ．则 （ ）
A．1 B． C． D．
变式2：在锐角 中，内角A､B､C所对的边分别是 ，若 ， ， ，则
____
例2．在 中， ，则 ______.
变式1：在 中， ， ， 所对的边分别为a，b，c，其中 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
变式2：在 中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若 ，则 （ ）
A． B． 或 C． D． 或例3．若 中， ， ， ，则 ______．
变式1：在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ， ， ，则
______．
变式2：在 中，已知 ， ， ，b＝5，则c＝______．
变式3：在 中，若 ，则 （ ）
A．25 B．5 C．4 D．
例4．在 中， ，则 的最小角为 （ ）
A． B． C． D．
变式1：在 中， ，则 的值为（ ）
A． B．－ C．－ D．
变式2：已知 中， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
例5．在 中，已知 ，则 ____________．
变式1： 的三个内角 所对边的长分别为 ，已知 ， ， ，则 的值为
______．
变式2：在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
考点二：判断三角形解的个数
例6．在 中，内角 所对的边分别为 ，则下列条件能确定三角形有两解的是
（ ）A．
B．
C．
D．
变式1：【多选】在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，根据下列条件判断三角形的情
况，则正确的是（ ）
A． ， ， ，有两解
B． ， ， ，有两解
C． ， ， ，只有一解
D． ， ， ，只有一解
变式2： 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知下列条件：① ， ， ；②
， ， ；③ ， ， ；④ ， ， .其中满足上述条件的三
角形有唯一解的是（ ）
A．①④B．①② C．②③ D．③④
例7．在 中，已知 ， ， ，满足此条件的三角形只有一个，则 满足（ ）
A． B．
C． D．
变式1： 中，角 的对边分别是 ， ， .若这个三角形有两解，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．变式2：在 中， ， ．分别根据下列条件，求边长a的取值范围．
(1) 有一解；
(2) 有两解；
(3) 无解．
考点三：正弦定理的应用
例8．已知 的三个内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
变式1：已知 分别为 三个内角 的对边，且 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
变式2：记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知角 ，
，则角 （ ）
A． B． C． D．
例9． 的内角 的对边分别为 ，且 ，则 的外接圆半径为
__________.
变式1：已知 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ．若 ，则 的外
接圆半径为____________．
变式2：在 中, 角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， 则 的外
接圆面积为（ ）
A． B． C． D．考点四：余弦定理的应用
例10．在 中，角A， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，则角 的大小是
（ ）
A． B． C． D．
变式1：【多选】在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则B
的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2：在 中， ，则边 所对的角等于（ ）
A． B． C． D．
例11．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1：在 中，已知三条边是连续自然数，且最大角为钝角，求三角形三条边的长．
例12．若锐角三角形三边长分别为 ，则 的范围是（ ）．
A． B．
C． D．
变式1：在钝角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ， ，则最大边 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
考点五：判断三角形的形状
例13．已知 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ，且，那么 是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
变式1：在 中内角 的对边分别为 ，若 ，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
变式2：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则该三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
变式3：【多选】已知 ， ， 分别是 三个内角 ， ， 的对边，下列四个命题中正确的是
（ ）
A．若 ，则 是锐角三角形
B．若 ，则 是等腰三角形
C．若 ，则 是等腰三角形
D．若 ，则 是等边三角形
考点六：正余弦定理的综合应用
例14．在 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式1：在 中，已知 ，且 ，则 __________.
变式2：在 中，角 的对边分别为 ，且 ．角A等于（ ）
A． B． C． D．
变式3：已知 的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足 ．
(1)求角C的值；
(2)若 ， ，且 ，求 的长度．
考点七：与角度、边长有关的最值问题例15．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
变式1：在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2：在 中，角 所对的边分别为 ，面积为 ，且 .当 取得最大
值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
例16．锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，如果B＝2A，则 的取值范
围是( )
A．(－2,2) B．(0,2) C．( ， ) D．( ，2)
变式1：在 中， ，则 的最小值（ ）
A．-4 B． C．2 D．
变式2：锐角 中，已知 ，则 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点八：三角形的面积的计算及应用
例17．在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ， ， ，
则 的面积为（ ）A． B． C． D．
变式1：在 中,角 的对边分别为 ,且满足 .
(1)求角 的值;
(2)若 ,求 的面积.
变式2：记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的面积.
例18．在 中， ， ，其面积为 ，则 等于（ ）
A．4 B． C． D．
变式1：已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边， .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 ， .
变式2：已知 的内角 所对的边分别为 ，且满足 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，设 的面积为S，满足 ，求b的值．
例19．在 中，若 ，则 面积的最大值为__________．
变式1： 的内角 的对边分别为a，b，c，满足 .若 为
锐角三角形，且a=3，则 面积最大为（ ）
A． B． C． D．变式2：在 中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，C，且 .
(1)求角A；
(2)若 ，求 面积的最大值.
变式3：已知 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 于 ，求 的面积的最小值.
考点九：三角形周长的计算及应用
例20．在 中，若 ， ， ，则 的周长等于（ ）
A．8 B．16 C．10 D．20
变式1：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，且 外接圆的周
长为 ，则 的周长为（ ）
A．20 B． C．27 D．
变式2：在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， ，且 的周长和面积分别是
10和 ，则 ______.
例21．已知在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A＝60°，BC=4，则△ABC
的周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式1：三角形 的三边 所对的角为 ， ，则下列说法
不正确的是（ ）
A． B．若 面积为 ，则 周长的最小值为12C．当 ， 时， D．若 ， ，则 面积为
变式2：在 ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知 ，且 ABC的
△ △
面积为 ，则 ABC周长的最小值为（ ）
△
A． B．6 C． D．
考点十：解三角形的实际应用
例22．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，
我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上
取两点C，D，测得 ， ， ， ，则A、B两点的距离
为___________m．
:变式1：喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的
底端 在同一水平面内的两个测量基点 与 ，现测得 ， ， 米，在点
处测得酒店顶端 的仰角 ，则酒店的高度约是（ ）
（参考数据： ， ， ）A．91米B．101米 C．111米 D．121米
变式2：【多选】某货轮在 处看灯塔 在货轮北偏东 ，距离为 ；在 处看灯塔 在货轮的
北偏西 ，距离为 .货轮由 处向正北航行到 处时，再看灯塔 在南偏东 ，则下列说法正
确的是（ ）
A． 处与 处之间的距离是 B．灯塔 与 处之间的距离是
C．灯塔 在 处的西偏南 D． 在灯塔 的北偏西
变式3：宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中
国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得 ，从A处沿山坡直线往上前进
到达B处，在山坡B处测得 ， ，则宝塔CD的高约为_________m.（
， ，结果取整数）
考点十一：正、余弦定理解决几何问题
例23．如图所示，在 中， ，点D在线段AB上，且满足 ， ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．变式1：在 中， ， ， 为 边上的中点，且 的长度为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式2：如图，在平面四边形 中， ， ， ， ， ，则
（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
变式3：在四边形ABCD中， ， ，则 的最大值为（ ）
A．25 B． C． D．
考点十二：解三角形与三角函数的综合问题
例24．已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角 中，设角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，若 且 ，求 的取值
范围.
变式1：已知 ， ，
（1）求 的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，求 边上的高的最大值．
1．在 中，已知 ， ， ，则 （ ）A．1 B． C． D．3
2．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ， ，则 ________．
3．在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，且
，则 等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．-3或
4．在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知 .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
5．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
6．在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
7．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 ．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
9．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
1．在 中，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在 ABC中， ，则此三角形中的最大角的大小为（ ）
A． △ B． C． D．
3．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a= ，b= ， ，则角A为（ ）
A． B． C． D． 或
4．设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且 ，则 的形
状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形5．在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，则 （ ）
A．2023 B．2024 C．4046 D．4047
6． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列命题正确的个数是（ ）
（1）若 ，则
（2）若 ， ， ．则 有两解
（3）已知 的外接圆的圆心为 ， ， ， 为 上一点，且有 ，则
．
（4）若三角形 为斜三角形，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．【多选】锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ，则（ ）
A． B． 的取值范围是
C． D． 的取值范围是
8．【多选】在 中，角 所对的边分别为 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， 的最大内角是最小内角的 倍
B．若 ，则 一定为直角三角形
C．若 ，则 外接圆半径为
D．若 ，则 一定是等边三角形
9．如图，某货轮在 处看灯塔 在货轮的北偏东 ，距离为 ，货轮由 处向正北航行到 处
时，再看灯塔 在北偏东 ，则 与 间的距离为________ .10．某同学为了测量天文台 的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离 为
，在它们之间的地面上的点 （ ， ， 三点共线）处测得阳台A，天文台顶 的仰角分
别是15°和60°，在阳台 处测得天文台顶 的仰角为30°，假设 ， 和点 在同一平面内，则该同学
可测得学校天文台 的高度为______ .
11．高椅岭位于湖南省郴州市，属原生态丹霞景区.红岩绿水，险山奇涧，生态优美.为了测高椅岭“椅
背”的高度，甲和乙同时在海拔为300米的 ， 两点观测“椅背”的最高点 ，从 点和 点观测到
点的仰角分别为 ， ，且 米，则高椅岭“椅背”的海拔约为______米.（结果精确到整数部分，
取 ， ）
12．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求角A；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
13．在① ，② ，③ 中选一个，补充在下面的横线中，并解答.
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________.
(1)求A；
(2)若内角A的角平分线交BC于 点，且 ，求 的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分
别解答，那么按第一个解答计分）
