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第 62 讲 隐圆问题
必考题型全归纳
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
例1．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）平面内，定点 ， ， ，
满足 ，且 ，动点 ， 满足 ，
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·全国·高一阶段练习）已知 是单位向量， ，若向量 满足
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·全国·高三专题练习）已知单位向量 与向量 垂直，若向量 满足
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）如果圆
上总存在两个点到原点的距离为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
变式2．（2024·新疆和田·高二期中）如果圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原
点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1）
变式3．（2024·新疆·高三兵团第三师第一中学校考阶段练习）在平面内，定点 ， ， ，
满足 ， ，动点 ， 满足 ，
，则 的最大值为 ．
变式4．（2024·安徽池州·高一池州市第一中学校考阶段练习）在平面内，定点 与 、 、
满足 ， ，动点 、 满足 ，
，则 的最大值为 ．
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
例4．（2024·四川广元·高二四川省剑阁中学校校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，
为两个定点，动点 在直线 上，动点 满足 ，则
的最小值为 ．
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知 四点共面， ， ，，则 的最大值为 ．
例6．（2024·浙江金华·高二校联考期末）已知圆 ，点 ，
设 是圆 上的动点，令 ，则 的最小值为 ．
变式5．（2024·高二课时练习）正方形 与点 在同一平面内，已知该正方形的边长
为1，且 ，则 的取值范围为 .
变式6．（2024·上海闵行·高二校考期末）如图，△ 是边长为1的正三角形，点 在△
所在的平面内，且 （ 为常数），满足条件的点 有无数个，
则实数 的取值范围是 ．
变式7．（2024·全国·高三专题练习）如图， 是边长为1的正三角形，点P在
所在的平面内，且 （a为常数），下列结论中正确的是
A．当 时，满足条件的点P有且只有一个
B．当 时，满足条件的点P有三个
C．当 时，满足条件的点P有无数个D．当a为任意正实数时，满足条件的点总是有限个
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°
例7．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知圆
和点 ，若圆 上存在两点 使得 ，则实数 的取
值范围是 ．
例8．（2024·江苏南京·金陵中学校考模拟预测）已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点
M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是
例9．（2024·高二课时练习）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线
交于点 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式8．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设 ，过定点 的动直线
和过定点 的动直线 交于点 ，则 的最大值是
（ ）
A． B． C．5 D．10
变式9．（2024·高二课时练习）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直
线 交于点 ，则 的值为（ ）A．5 B．10 C． D．
变式10．（2024·全国·高三校联考阶段练习）设 ，动直线 ： 过定点 ，
动直线 ： 过定点 ，且 ， 交于点 ，则 的最大值是
（ ）
A． B． C．5 D．10
变式11．（2024·全国·高三专题练习）设向量 ， ， 满足 ， ，
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点 ， ，若圆 ：
上存在一点 ，使得 ，则实数 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
变式13．（2024·江西宜春·高一江西省万载中学校考期末）已知 ， 是平面内两个互相
垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足 ，则 的最大值是（ ）
A．1 B．2
C． D．
变式15．（2024·湖北武汉·高二校联考期中）已知 和 是平面内两个单位向量，且
，若向量 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
变式16．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知向量 ， 是平
面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
例10．（2024·全国·高一专题练习）设向量 满足 ， ，
，则 的最大值等于 .
例11．（2024·全国·高三专题练习）在边长为8正方形 中，点 为 的中点，
是 上一点，且 ，若对于常数 ，在正方形 的边上恰有 个不同的点 ，使得 ，则实数 的取值范围为 .
例12．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形 中，连接对角线 ，已知 ，
， ， ，则对角线 的最大值为（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
变式17．（2024·全国·高考真题）设向量 满足 ， ，
，则 的最大值等于
A．4 B．2 C． D．1
变式18．（2024·全国·高三专题练习）在平面内,设A、B为两个不同的定点,动点P满足:
( 为实常数)，则动点P的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不能确定
变式19．（2024·全国·高三专题练习）如图，梯形 中， ， ，
， , 和 分别为 与 的中点，对于常数 ，在梯形 的四
条边上恰好有8个不同的点 ，使得 成立，则实数 的取值范围是
A． B．C． D．
变式20．（2024·江苏·高一专题练习）已知正方形 的边长为4，点 ， 分别为 ，
的中点，如果对于常数 ，在正方形 的四条边上，有且只有8个不同的点 ，使
得 成立，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
例13．（2024·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希
腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深
刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是
他的研究成果之一.指的是：已知动点 与两定点 的距离之比 ，
那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为
，其中，定点 为 轴上一点，定点 的坐标为 ，若点 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例14．（2024·江西赣州·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、
阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼
斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为
，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆 、点 和点 ，M为圆O上的动点，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
例15．（2024·湖南张家界·高二统考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、
阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究
成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：
已知动点 与两定点 ， 的距离之比为 ，那么点 的轨迹就是阿波罗尼
斯圆．如动点 与两定点 ， 的距离之比为 时的阿波罗尼斯圆为
．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆 上的动点 和
定点 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式21．（2024·广东东莞·高三东莞实验中学校考开学考试）对平面上两点A、B，满足
的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名
为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于
此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在
圆内，另一点在圆外，系数 只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知 ， ，
，若动点P满足 ，则 的最小值是 ．变式22．（2024·上海·高三校联考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥
曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足 （其
中 是正常数，且 ），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已
知两定点 ，P是圆 上的动点，则 的最小值为
变式23．（2024·四川广安·高二广安二中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，
对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动
点M与两定点Q，P的距离之比 ，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯
圆.已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点 为 轴上一点，
且 ，若点 ，则 的最小值为 .
变式24．（2024·河北沧州·校考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥
曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗
尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点 与两定点 的距离之比为(
，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问
题，已知点 为圆 上的动点， ，则 的最小值为
.
变式25．（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约公元前 年）证明过这样一个
命题：平面内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知 、 分别是圆 ，圆 上的动点， 是坐标原点，则
的最小值是
