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第 6 讲 函数的概念
知识梳理
1、函数的概念
A B f A x
（1）一般地，给定非空数集 ， ，按照某个对应法则 ，使得 中任意元素 ，都
有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合
B x→y=f(x) x∈A A D
的一个函数．记作： ， ．集合 叫做函数的定义域，记为 ，集合
¿ ¿
x∈A¿¿ C
， 叫做值域，记为 ．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
2、函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函
数．
3、函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，
这种函数称为分段函数．
【解题方法总结】
1、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切 的定义域是 且 ；
（6）已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求
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的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，
括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函
数的定义域．
2、基本初等函数的值域
（1） y=kx+b (k≠0) 的值域是R．
4ac−b2
（2） y=ax2 +bx+c (a≠0) 的值域是：当a>0时，值域为 {y|y≥ 4a } ；当a<0
4ac−b2
{y|y≥ }
时，值域为 4a ．
k
（3）
y=
x
(k≠0)
的值域是
{y|y≠0}
．
y=ax (a>0 a≠1) (0，+∞)
（4） 且 的值域是 ．
（5） y=log a x (a>0 且 a≠1) 的值域是R．
必考题型全归纳
题型一：函数的概念
例1．（2024·山东潍坊·统考一模）存在函数 满足：对任意 都有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，当 时， ；当 时， ，
不符合函数定义，A错误；
对于B,令 ，则 ，令 ，则 ，
不符合函数定义，B错误；
对于C, 令 ，则 ，令 ，则 ，
不符合函数定义，C错误；
对于D, , ,则 ，则存在 时， ，
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符合函数定义，即存在函数 满足：对任意 都有 ，D
正确，
故选：D
例2．（2024·重庆·二模）任给 ，对应关系 使方程 的解 与 对应，
则 是函数的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的定义，对任意 ，按 ，在 的范围中必有唯一的值与之
对应， ，则 ，则 的范围要包含 ，
故选：A．
例3．（2024·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数 的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义，对于一个 ，只能有唯一的 与之对应，只有D满足要求
故选：D
变式1．（2024·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线 的交点个数（ ）
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A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多
个
【答案】B
【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 有1个交点，
故选：B.
【解题方法总结】
利用函数概念判断
题型二：同一函数的判断
例4．（2024·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】C
【解析】对于A： 的定义域为 ， 的定义域为 .因为定义域不
同，所以 和 不是同一个函数.故A错误；
对于B： 的定义域为 ， 的定义域
为 .因为定义域不同，所以 和 不是同一个函数.故B错误；
对于C： 的定义域为 ， 的定义域为 ，所以定义域相
同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；
对于D： 的定义域为 ， 的定义域为 .因为定义域不同，所
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以 和 不是同一个函数.故D错误；
故选：C
例5．（2024·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于 ， 和 的定义域都是 ，对应关系也相同，是同一个函数，
故选项 正确；
对于 ，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，定义域不同，不是
同一个函数，故选项 错误；
对于 ，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，定义域不同，
不是同一个函数，故选项 错误；
对于 ，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为
，定义域不同，不是同一个函数，故选项 错误，
故选： .
例6．（2024·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． ，
B．
C． ，
D． ， ，0， ， ， ，0，
【答案】D
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【解析】对于A： 的定义域是 ， 的定义域是 ，两个函数的定义域不相同，
不是同一函数，
对于B： ， ， 的定义域是 ，两个函数的定义域不相同，不是同
一函数，
对于C： 的定义域为 ， 的定义域是 ，两个函数的定义域不相同，不是
同一函数，
对于D： 对应点的坐标为 ， ， ， 对应点的坐标为 ， ，
，两个函数对应坐标相同，是同一函数，
故选：D．
【解题方法总结】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示
不同的函数．
题型三：给出函数解析式求解定义域
例7．（2024·北京·高三专题练习）函数 的定义域为________.
【答案】
【解析】令 ，可得 ，解得 .
故函数 的定义域为 .
故答案为: .
例8．（2024·全国·高三专题练习）若 ，则 _________.
【答案】 或
【解析】由 有意义可得
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，
所以 或 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
故答案为： 或 .
例9．（2024·高三课时练习）函数 的定义域为______．
【答案】
【解析】要使函数有意义，则 ，解得 .
所以函数的定义域为 .
故答案为： .
变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足 ，则函数
的定义域为___________.
【答案】
【解析】由 可得 ，即 ，所以 ，代入
即 ，解得 或 （舍），则
所以
解得
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所以函数定义域为
故答案为:
变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为 ，底边长 是腰
长 的函数，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设有 ，
由 得 ，故选A.
【解题方法总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子 有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
题型四：抽象函数定义域
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，
则函数 的定义域为_____
【答案】
【解析】令 ，由 得： ，
所以 ，即 ，
所以，函数 的定义域为 .
故答案为：
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例11．（2024·高三课时练习）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为______．
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为 ，
所以在函数 中， ，解得 或 ，
故函数 的定义域为 .
故答案为： .
例12．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 定义域为 ，则函数 的
定义域为_______.
【答案】
【解析】因 的定义域为 ，则当 时， ，
即 的定义域为 ，于是 中有 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数
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的定义域为______
【答案】
【解析】由函数 的定义域是 ，得到 ，故 即 .
解得: ；所以原函数的定义域是： .
故答案为： .
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的
定义域为__________．
【答案】
【解析】由 解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
【解题方法总结】
1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若f(x)
的定义域为(a，b)，求f[g(x)]中a<g(x)<b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域，口诀：
定义域指的是x的范围，括号范围相同．已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域
2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域
的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．
题型五：函数定义域的应用
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例13．（2024·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为R，则实数a的
取值范围是__________．
【答案】
【解析】 的定义域是R，则 恒成立，
时， 恒成立，
时，则 ，解得 ，
综上， ．
故答案为： ．
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知 的定义域为 ，那么a的取
值范围为_________．
【答案】
【解析】依题可知， 的解集为 ，所以 ，解得 ．
故答案为： ．
例15．（2024·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，则实数
a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为 R，所以 的解为R，
即函数 的图象与x轴没有交点，
（1）当 时，函数 与x轴没有交点，故 成立；
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（2）当 时，要使函数 的图象与x轴没有交点，则 ，
解得 .
综上：实数 的取值范围是 .
故答案为：
变式6．（2024·全国·高三专题练习）若函数 的定义域是R，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由函数 的定义域为R,得 恒成立,化简得
恒成立,所以由 解得: .
故答案为: .
【解题方法总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求
解，必要时对参数进行分类讨论．
题型六：函数解析式的求法
例16．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的解析式：
(1)已知 ，求 的解析式；
(2)已知 ，求 的解析式；
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(3)已知 是一次函数且 ，求 的解析式；
(4)已知 满足 ，求 的解析式.
【解析】(1)设 ， ，则
∵
∴ ，
即 ，
(2)∵
由勾型函数 的性质可得，其值域为
所以
(3)由f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，
∴ 解得
∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.
(4)∵2f(x)+f(-x)=3x，①
∴将x用 替换，得 ，②
由①②解得f(x)=3x.
例17．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求 的解析式
(1)已知 满足
(2)已知 是一次函数，且满足 ；
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(3)已知 满足
【解析】（1）令 ，则 ，
故 ，
所以 ；
（2）设 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ；
（3）因为 ①，
所以 ②，
② ①得 ，
所以 .
例18．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数 的解析式．
(1)已知 ，则 的解析式为__________．
(2)已知 满足 ，求 的解析式．
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(3)已知 ，对任意的实数x，y都有 ，求 的解析式．
【解析】（1）方法一（换元法）：令 ，则 ， ．
所以 ，
所以函数 的解析式为 ．
方法二（配凑法）： ．
因为 ，所以函数 的解析式为 ．
（2）将 代入 ，得 ，
因此 ，解得 ．
（3）令 ，得 ，
所以 ，即 ．
变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，求 的解析式.
【解析】由 ，令 ，则 ，
所以 ，
所以 .
变式8．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：
的函数解析式为______.
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【答案】
【解析】 中，令 ，解得 ，
令 得 ，故 ，
不妨设 ，满足要求.
故答案为：
变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知定义在 上的单调函数 ，若对任意
都有 ，则方程 的解集为_______．
【答案】 ．
【解析】∵定义在 上的单调函数 ，对任意 都有
，
令 ，则 ，
在上式中令 ，则 ，解得 ，
故 ，
由 得， 即 ，
在同一坐标系中作出函数 和 的图像，
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可知这两个图像有2个交点，即 和 ，
则方程 的解集为 ．
故答案为： .
【解题方法总结】求函数解析式的常用方法如下：
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．
f (1 x ) x
（2）当已知表达式为 时，可考虑配凑法或换元法，若易将含 的式子配成
g(x)
x
，用配凑法．若易换元后求出 ，用换元法．
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法．
（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．
（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．
（6）若已知成对出现 ， 或 ， ，类型的抽象函数表达式，则常用
解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出 ．
题型七：函数值域的求解
例19．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的值域
（1） ；
（2） ；
（3） ；
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（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8）
（9） ；
（10） .
【解析】（1）分式函数 ，
定义域为 ，故 ，所有 ，
故值域为 ；
（2）函数 中，分母 ，
则 ，故值域为 ；
（3）函数 中，令 得 ，
易见函数 和 都是减函数，
故函数 在 时是递减的，故 时 ，
故值域为 ；
（4） ，
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故值域为 且 ；
（5） ，
而 ， ，
， ，
即 ，故值域为 ；
（6）函数 ，定义域为 ，令 ，
所以 ，所以 ，对称轴方程为 ，
所以 时，函数 ，故值域为 ；
（7）由题意得 ，解得 ，
则 ，
故 ， ， ，
由y的非负性知， ，故函数的值域为 ；
（8）函数 ，定义域为 ， ，故
，即值域为 ；
（9）函数 ，定义域为 ，
故 ，所有 ，故值域为 ；
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（10）函数 ，
令 ，则由 知， ， ，
根据对勾函数 在 递减，在 递增,
可知 时， ，故值域为 .
例20．（2024·全国·高三专题练习）若函数 的值域是 ，则函数
的值域为 __．
【答案】
【解析】因为函数 的值域是 ，
所以函数 的值域为 ，
则 的值域为 ，
所以函数 的值域为 ．
故答案为： ．
例21．（2024·全国·高三专题练习）函数 的值域为_____
【答案】
【解析】 表示点 与点 连线的斜率，
的轨迹为圆 ，
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表示圆 上的点与点 连线的斜率，
由图象可知：过 作圆 的切线，斜率必然存在，
则设过 的圆 的切线方程为 ，即 ，
圆心 到切线的距离 ，解得： ，
结合图象可知：圆 上的点与点 连线的斜率的取值范围为
，
即 的值域为 .
故答案为： .
变式10．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数 的最大值为
______.
【答案】 /
【解析】因为 ，
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令 ，则 ，
令 ， ，因为函数 在 上单调递增，所以
，
即 ，则 ，
即函数 的最大值为 ，当且仅当 时取等号.
故答案为：
变式11．（2024·全国·高三专题练习）函数 的值域为______.
【答案】
【解析】由 有意义可得 ，所以 ，
的定义域为 ，
，
设 ，则 ， ，则 .
故答案为： ．
【解题方法总结】
函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法：根据最基本函数值域（如 ≥0， 及函数的图像、性质、简单的
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计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．
（2）配方法：对于形如 的值域问题可充分利用二次函数可配方
的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形 的值城，可
通过换元将原函数转化为二次型函数．
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便
于分析．
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别
式求值域，一般地，形如 ， 或 的函数值域问题可
运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．
（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于
y=√ax+b+√cx+d y=ax+b+√cx+d
形如 或 的函数，当ac>0时可利用单调性法．
（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出
现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法．
（10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而
求出函数的值域．
题型八：分段函数的应用
例22．（2024·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数 ，则
（ ）
A．-6 B．0 C．4 D．6
【答案】A
【解析】由分段函数知：当 时，周期 ，
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所以 ，
所以 ．
故选：A
例23．（2024·河南·统考模拟预测）已知函数 且 ，
则 （ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
【答案】C
【解析】当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
故选：C
例24．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，满足 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，
所以 ，即 ，解得 ，
当 时， ，
所以 ，即 ，解得 ，
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所以， 的取值范围是
故选：D
变式12．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，则使
的 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】①当 时，由 ，可得 ，
若 时，则 ，此时 无解，
若 时，由 ，解得 ；
②当 时，由 ，可得 或 .
若 时，则 ，由 可得 ，方程 无解，
若 时，由 可得 或 ，由 可得 或
.
综上所述，满足 的 的取值集合为 .
故选：BCD.
变式13．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若
，则实数a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】ACD
【解析】根据题意，函数 ，
当 时， ，
其中当 时， ，此时 ，解可得 ，符合
题意；
当 时， ，此时 ，解可得 或 ，符合
题意；
当 时 ，必有 ，
此时 ，变形可得 或 ，
若 ，解可得 ，
若 ，无解；
综合可得： 或 或 或 ，分析可得选项可得：ACD符合；
故选：ACD．
【解题方法总结】
1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解
析式代入求值
2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内．
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