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第 21 讲 极值点偏移
知识梳理
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得
f (x) x=x y=f (x) y=b
函数图像没有对称性。若函数 在 0处取得极值，且函数 与直线
x +x x +x
M( 1 2,b) x ≠ 1 2
交于 A(x ,b),B(x ,b)两点，则AB的中点为 2 ，而往往 0 2 。如下
1 2
图所示。
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
y=f (x) (a,b) x
极值点偏移的定义：对于函数 在区间 内只有一个极值点 0，方程
x +x
1 2 ≠x
f (x)的解分别为 x 、x ，且 a<x <x <b ，（1）若 2 0，则称函数y=f (x)
1 2 1 2
x +x
在区间(x ,x )上极值点 x 偏移；（2）若
1
2
2 >x
0，则函数y=f (x)在区间(x ,x )
1 2 0 1 2
x +x
上极值点 x 左偏，简称极值点 x 左偏；（3）若
1
2
2 <x
0，则函数y=f (x)在区间
0 0
(x ,x ) x x
1 2 上极值点 0右偏，简称极值点 0右偏。2、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)
定函数(极值点为 )，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点
x.
0
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数 ，若证
，则令 .
(3)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(4)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的
大小关系．
(5)转化，即利用函数 的单调性，将 与 的大小关系转化为 与
之间的关系，进而得到所证或所求．
【注意】若要证明 的符号问题，还需进一步讨论 与x 的大小，得
0
出 所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，
它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无
关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化
难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技
巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行
解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，
有着非凡的功效3、应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数
的单调性证明题中的不等式即可.
必考题型全归纳
题型一：极值点偏移:加法型
例1．（2024·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数 ，
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ， ， 是方程 的两个实数根，证明： ．
例2．（2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 、 ，证明 .例3．（2024·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)①证明函数 （ 为自然对数的底数）在区间 内有唯一的零点；
②设①中函数 的零点为 ，记 （其中 表示 中的较
小值），若 在区间 内有两个不相等的实数根 ，证明：
.
变式1．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数
为其极小值点．
(1)求实数 的值；
(2)若存在 ，使得 ，求证： ．
变式2．（2024·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）已知函数
，a为实数．(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ，
，证明：
变式3．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数
(1)若函数 在定义域上单调递增，求 的最大值；
(2)若函数 在定义域上有两个极值点 和 ，若 ， ，求 的最
小值．
变式4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的极值点的个数；
(2)若函数 恰有三个极值点 、 、 ，且 ，求 的最
大值．变式5．（2024·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习）已知函数
．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当 时，若 ，求证：
变式6．（2024·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数
．
(1)若 为定义域上的增函数，求a的取值范围；
(2)令 ，设函数 ，且 ，求证：
．
变式7．（2024·全国·高二专题练习）已知函数 （ ）．
(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， （ ），求证： ．变式8．（2024·全国·高二专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点 ，证明： .
变式9．（2024·全国·高三专题练习）设函数 .
(1)若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)已知方程 有两个不同的根 、 ，求证： ，其中
为自然对数的底数.
变式10．（2024·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ， 是 的两个不同零点，证明： .
变式11．（2024·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数 .(1)讨论 的单调性；
(2)若存在 ，且 ，使得 ，求证： .
题型二：极值点偏移:减法型
例4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间与极值．
(2)若 ，求证： ．
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，
（其中 是自然对数的底数）
(1)试讨论函数 的零点个数；
(2)当 时，设函数 的两个极值点为 、 且 ，求证：
.
例6．（2024·四川成都·高二川大附中校考期中）已知函数 .（1）若 在定义域上不单调，求 的取值范围；
（2）设 分别是 的极大值和极小值，且 ，求 的取值范围.
题型三：极值点偏移:乘积型
例7．（2024·全国·高三统考阶段练习）已知函数
．
(1)当 ， 和 有相同的最小值，求 的值；
(2)若 有两个零点 ，求证： ．
例8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)证明： .
(2)若函数 ，若存在 使 ，证明： .
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
(1)求证： ， ；(2)若存在 、 ，且当 时，使得 成立，求证： .
变式12．（2024·全国·高二专题练习）已知函数 ．
(1)证明：若 ，则 ；
(2)证明：若 有两个零点 ， ，则 ．
变式13．（2024·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数 ，
．
(1)当 时， 恒成立，求a的取值范围．
(2)若 的两个相异零点为 ， ，求证： ．
变式14．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知 ．
(1)当 时，讨论函数 的极值点个数；
(2)若存在 ， ，使 ，求证： ．变式15．（2024·北京通州·统考三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
题型四：极值点偏移:商型
例10．（2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数 ，
其中 为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 ，证明： .
例11．（2024·全国·统考高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .例12．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
变式16．（2024·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数 ，
．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 ，
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证： ．
题型五：极值点偏移:平方型
例13．（2024·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；例14．（2024·全国·高二专题练习）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 有2个不同的零点 （ ），求证： .
例15．（2024·全国·高二专题练习）已知函数 ， ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)证明：若存在 ， ，使得 ，则 ．
变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若 ，且 ，证明: .
变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， .（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ， ，求证： .
题型六：极值点偏移:混合型
例16．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 （ 为自然对数的底数，
）．
(1)求 的单调区间和极值；
(2)若存在 ，满足 ，求证： ．
例17．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若f（1）=2，求a的值；
(2)若存在两个不相等的正实数 ，满足 ，证明：
① ；
② .例18．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，在其定义
域内有两个不同的极值点.
(1)求 的取值范围；
(2)记两个极值点为 ， ，且 ，当 时，求证：不等式 恒成立.
变式19．（2024·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知 ．
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，若关于x的方程 存在两个正实数根 ，证明：
且 ．
变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）判断函数 的单调性；
（2）若方程 有两个不同的根，求实数 的取值范围；
（3）如果 ，且 ，求证： ．变式21．（2024·天津河西·统考二模）设 ，函数 ．
（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 无零点，求实数 的取值范围；
（3）若 有两个相异零点 ，求证： ．
变式22．（2024·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知函数
， .
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)若 时，都有 ，求实数a的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数 ， 满足 ，证明： .
变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中a，b为常数，
为自然对数底数， ．
(1)当 时，若函数 ，求实数b的取值范围；
(2)当 时，若函数 有两个极值点 ， ，现有如下三个命题：
① ；② ；③ ；
请从①②③中任选一个进行证明．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
变式24．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数
.
(1)讨论 的单调性和最值；
(2)若关于 的方程 有两个不等的实数根 ，求证： .
变式25．（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .
变式26．（2024·广东佛山·高二统考期末）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求 的极值：
(2)令函数 ，若存在 ， 使得 ，证明： ．变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 时，都有 ，求实数 的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数 满足 ，求证： .
题型七：拐点偏移问题
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程.
（2）若正实数 满足 ，求证： .
例20．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，当
时， 恒成立．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若正实数 、 满足 ，证明： ．例21．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程;
(2)（ⅰ）若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围;
（ⅱ）设 ，且 ，求证: .
变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，设 ，若正实数 ， ，满足 ，求证：
变式29．（2024·江苏盐城·江苏省东台中学校考一模）已知函数 ， ．
(1)若 在 处取得极值，求 的值；
(2)设 ，试讨论函数 的单调性；
(3)当 时，若存在正实数 满足 ，求证： ．变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)若 在 处取得极值，求 的值；
(2)设 ，试讨论函数 的单调性；
(3)当 时，若存在实数 ， 满足 ，求证： ．
变式31．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数
， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）对实数 ，令 ，正实数 ， 满足 ，求
的最小值.
变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）设 ，试讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若存在正实数 满足 ，求证：
