第20讲三次函数的图像和性质_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第20讲 三次函数的图象和性质 知识梳理 1、基本性质 设三次函数为：f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R且a≠0)，其基本性质有： 性质1：①定义域为R．②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和 图像： a>0 a<0 图像 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0 性质2：三次方程f(x)=0的实根个数 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来 解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) 其导函数为二次函数:f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)， 判别式为：△=4b2-12ac=4(b2-3ac)，设f(x)=0的两根为x 、x ，结合函数草图易 1 2 得： (1) 若b2-3ac≤0，则f(x)=0恰有一个实根； (2) 若b2-3ac>0,且f(x)⋅f(x )>0，则f(x)=0恰有一个实根； 1 2 (3) 若b2-3ac>0,且f(x)⋅f(x )=0，则f(x)=0有两个不相等的实根； 1 2 (4) 若b2-3ac>0,且f(x)⋅f(x )<0，则f(x)=0有三个不相等的实根. 1 2 说明:(1)(2)f(x)=0含有一个实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴只相交一次，即 f(x)在R上为单调函数(或两极值同号)，所以b2-3ac≤0(或b2-3ac>0，且f(x )⋅f(x )> 1 2 0); (5)f(x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴有两个公共点且其中之 一为切点，所以b2-3ac>0，且f(x)⋅f(x )=0; 1 2 (6)f(x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴有三个公共点，即 f(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以b2-3ac>0且f(x)⋅f(x )<0. 1 2 性质3：对称性 b b (1)三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；(- ，f- 3a 3a  )； (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2、常用技巧 b (1)其导函数为f(x)=3ax2+2bx+c=0 对称轴为x=- ，所以对称中心的横坐标也就是 3a 导函数的对称轴，可见，y=f(x)图象的对称中心在导函数y=fx  的对称轴上，且又是两 第 页 共 页 152 1043个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点； (2)y=f(x)是可导函数，若y=f(x)的图象关于点(m,n)对称，则y=f(x)图象关于直 线x=m 对称. (3)若y=f(x)图象关于直线x=m对称，则y=f(x)图象关于点(m,0)对称. (4)已知三次函数fx  =ax3+bx2+cx+d的对称中心横坐标为x 0 ，若fx  存在两个极值 点x ，x ，则有 fx 1 1 2  -fx 2  a x -x =- 2 x 1 -x 2 1 2  2 2= 3 fx 0  . 必考题型全归纳 1 题型一：三次函数的零点问题 717 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  =x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是 ( ) A. -∞,-2  B. -∞,-3  C. -4,-1  D. -3,0  718 (2024·江苏扬州·高三校考阶段练习)设a为实数，函数fx  =-x3+3x+a． (1)求fx  的极值； (2)是否存在实数a，使得方程fx  =0恰好有两个实数根?若存在，求出实数a的值；若 不存在，请说明理由． 719 (2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习)已知函数f(x)=ax3+bx2- 3x(a,b∈R)，且f(x)在x=1和x=3处取得极值. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设函数g(x)=f(x)+t，若g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点，求实数t的取值范围. 720 (2024·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习)已知fx  =ax3+bx2-4a，a,b∈R. (1)当a=b=1，求y=fx  的极值； (2)当a=0，b=2，设gx  =x2-lnx+1，求不等式fx  0时，若函数fx  b 恰有两个零点，求 的值. a 721 (2024·河北保定·高三统考阶段练习)已知函数f(x)=x3-3x2+3x. (1)求函数fx  的图象在点x=0处的切线方程； (2)若f(x)-1≤x3+m在x∈0,2  上有解，求m的取值范围； (3)设fx  是函数fx  的导函数，fx  是函数fx  的导函数，若函数fx  的零点为 x 0 ，则点 x 0 ,fx 0    恰好就是该函数fx  1 的对称中心.试求f 1010  2 +f 1010  +⋯ 2018 +f 1010  2019 +f 1010  的值. 722 (2024·山西太原·高三太原市外国语学校校考阶段练习)已知三次函数f(x)=x3+bx2+ cx+d(a,b,c∈R)过点(3,0)，且函数f(x)在点(0,f(0))处的切线恰好是直线y=0. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设函数g(x)=9x+m-1，若函数y=f(x)-g(x)在区间[-2,1]上有两个零点，求实 数m的取值范围. 1 723 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= x3+ax，gx 3  =-x2-aa∈R  ． (1)若函数F(x)=f(x)-g(x)在x∈[1,+∞)上单调递增，求a的最小值； 第 页 共 页 153 1043(2)若函数G(x)=f(x)+g(x)的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围． 2 题型二：三次函数的最值、极值问题 1 1 724 (2024·云南·高三统考期末)已知函数f(x)=- x3+x2+2ax，g(x)= x2-4. 3 2 (1)若函数f(x)在0,+∞  上存在单调递增区间，求实数a的取值范围； (2)设G(x)=f(x)-g(x).若00. (1)当a=1时，求f(x)的单调增区间； (2)若曲线y=f(x)在点 -a,f-a    1 处的切线与y轴的交点为(0，b)，求b+ 的最小值. a 727 (2024·广东珠海·高三校联考期中)已知函数fx  1 = x3-ax2+a2-1 3  x+b(a，b∈R)， 其图象在点 1,f1    处的切线方程为x+y-3=0． (1)求a，b的值； (2)求函数fx  的单调区间和极值； (3)求函数fx  在区间-2,5  上的最大值． 728 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x3-ax2-x，a∈R，且f(1)=0． (1)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值． 729 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x3+3bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数，在 (0,2)上是减函数，且f(x)=0的一个根为-b (1)求c的值； (2)求证：f(x)=0还有不同于-b的实根x 、x ，且x 、-b、x 成等差数列； 1 2 1 2 (3)若函数f(x)的极大值小于16，求f(1)的取值范围 1 730 (2024·浙江宁波·高三效实中学校考期中)已知函数f(x)= x3-ax2+(a+2)x+1(其 3 中a>0). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)有两个不同的极值点x ，x ，求f(x)+f(x )的取值范围. 1 2 1 2 3 题型三：三次函数的单调性问题 731 (2024·陕西商洛·高三校考阶段练习)已知三次函数fx  1 = x3-4m-1 3  x2+ 15m2-2m-7  x+2在R上是增函数，则m的取值范围是 ( ) A.m<2或m>4 B.-40，如果过点P(a,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求m的取值范围． 737 (2024·江西·高三校联考阶段练习)已知函数fx  =x3-3x2+x-1. (1)求曲线y=fx  在点P t,ft    处的切线方程； (2)设m>1，若过点Qm,n  可作曲线y=fx  的三条切线，证明:-2m0；②fx  在R上单调；③fx  有唯一零 点；④存在x 0 ，使得gx 0  <0．其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是 ( ) A.① B.② C.③ D.④ 750 (2024·全国·高三专题练习)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc，a0；⑤abc<4． 其中正确结论的序号是 ． 9 751 (2024·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期末)已知f(x)=x3- x2+6x-abc,a0； ②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(2)>0； ④f(0)f(2)<0. 其中正确结论的序号为 ( ) A.②③ B.①④ C.②④ D.①③ 752 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)函数y=fx  的图象关于坐标原点成中心对称图形的 充要条件是函数y=fx  为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=fx  的图象关 于点Pa,b  成中心对称图形的充要条件是函数y=fx+a  -b为奇函数.已知函数 fx  =x3+ax2+bx+1. (1)若函数y=fx  的对称中心为-1,2  ，求函数y=fx  的解析式. (2)由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式fx  在复数集中可以 分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计). 如设实系数一元二次方程a 2 x2+a 1 x+a 0 =0a 2 ≠0  ，在复数集内的根为x ，x ，则方程 1 2 a 2 x2+a 1 x+a 0 =0可变形为a 2x-x 1  x-x 2  =0，展开得：a 2 x2-a 2x 1 x 2  x+a xx =0 2 1 2 第 页 共 页 157 1043则有 a 1 =-a 2x 1 +x 2  a x +x =- 1   a =a xx ，即   1 2 a a 2 ， 0 2 1 2 xx = 0 1 2 a 2 类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系， ①若a=0，方程fx  =k在复数集内的根为x 1 、x 2 、x 3 ，当k∈0,1  时，求x3+x3+x3的 1 2 3 最大值； ②若a=-3，b=-2，函数y=fx  1 1 1 的零点分别为x 、x 、x ，求 + + 的值. 1 2 3 x2 x2 x2 1 2 3 753 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0]上为增函数，在 0,6  上为减函数，且方程fx  =0的三个根分别为1,x,x ． 1 2 (1)求实数b的取值范围； (2)求x2-4xx +x2的取值范围． 1 1 2 2 754 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)给出定义：设f(x)是函数y=f(x)的导函 数，f(x)是函数y=f(x)的导函数，若方程f(x)=0有实数解x 0 ，则称 x 0 ,fx 0    为函 数y=f(x)的.“固点”.经研究发现所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有 “固点”，且该“固点”也是函数y=f(x)的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答 下列问题：已知函数f(x)=x3+(3a-3)x2+(6a-9a2)x-5a(a∈R). (1)当a=-1时，试求y=f(x)的对称中心. (2)讨论f(x)的单调性； (3)当a=2时，f(x)=m有三个不相等的实数根x 1 -1)上的最大值，试求最大的 实数b． (2)若00，b∈R. (1)当b=-3时，讨论函数fx  的单调性； (2)当a=3，且b<0时， (i)若fx  有两个极值点x 1 ，x 2x 1