第20讲三次函数的图像和性质_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第20讲 三次函数的图象和性质
知识梳理
1、基本性质
设三次函数为：f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R且a≠0)，其基本性质有：
性质1：①定义域为R．②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和
图像：
a>0 a<0
图像 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0
性质2：三次方程f(x)=0的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来
解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
其导函数为二次函数:f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)，
判别式为：△=4b2-12ac=4(b2-3ac)，设f(x)=0的两根为x 、x ，结合函数草图易
1 2
得：
(1) 若b2-3ac≤0，则f(x)=0恰有一个实根；
(2) 若b2-3ac>0,且f(x)⋅f(x )>0，则f(x)=0恰有一个实根；
1 2
(3) 若b2-3ac>0,且f(x)⋅f(x )=0，则f(x)=0有两个不相等的实根；
1 2
(4) 若b2-3ac>0,且f(x)⋅f(x )<0，则f(x)=0有三个不相等的实根.
1 2
说明:(1)(2)f(x)=0含有一个实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴只相交一次，即
f(x)在R上为单调函数(或两极值同号)，所以b2-3ac≤0(或b2-3ac>0，且f(x )⋅f(x )>
1 2
0);
(5)f(x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴有两个公共点且其中之
一为切点，所以b2-3ac>0，且f(x)⋅f(x )=0;
1 2
(6)f(x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=f(x)与x轴有三个公共点，即
f(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以b2-3ac>0且f(x)⋅f(x )<0.
1 2
性质3：对称性
b b
(1)三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；(- ，f-
3a 3a
 )；
(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
b
(1)其导函数为f(x)=3ax2+2bx+c=0 对称轴为x=- ，所以对称中心的横坐标也就是
3a
导函数的对称轴，可见，y=f(x)图象的对称中心在导函数y=fx  的对称轴上，且又是两
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152 1043个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
(2)y=f(x)是可导函数，若y=f(x)的图象关于点(m,n)对称，则y=f(x)图象关于直
线x=m
对称.
(3)若y=f(x)图象关于直线x=m对称，则y=f(x)图象关于点(m,0)对称.
(4)已知三次函数fx  =ax3+bx2+cx+d的对称中心横坐标为x 0 ，若fx  存在两个极值
点x ，x ，则有 fx 1 1 2  -fx 2  a x -x =- 2 x 1 -x 2
1 2
 2 2= 3 fx 0  .
必考题型全归纳
1 题型一：三次函数的零点问题
717 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  =x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是
( )
A. -∞,-2  B. -∞,-3  C. -4,-1  D. -3,0 
718 (2024·江苏扬州·高三校考阶段练习)设a为实数，函数fx  =-x3+3x+a．
(1)求fx  的极值；
(2)是否存在实数a，使得方程fx  =0恰好有两个实数根?若存在，求出实数a的值；若
不存在，请说明理由．
719 (2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习)已知函数f(x)=ax3+bx2-
3x(a,b∈R)，且f(x)在x=1和x=3处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=f(x)+t，若g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.
720 (2024·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习)已知fx  =ax3+bx2-4a，a,b∈R.
(1)当a=b=1，求y=fx  的极值；
(2)当a=0，b=2，设gx  =x2-lnx+1，求不等式fx  <gx  的解集；
(3)当a>0时，若函数fx 
b
恰有两个零点，求 的值.
a
721 (2024·河北保定·高三统考阶段练习)已知函数f(x)=x3-3x2+3x.
(1)求函数fx  的图象在点x=0处的切线方程；
(2)若f(x)-1≤x3+m在x∈0,2  上有解，求m的取值范围；
(3)设fx  是函数fx  的导函数，fx  是函数fx  的导函数，若函数fx  的零点为
x 0 ，则点 x 0 ,fx 0    恰好就是该函数fx 
1
的对称中心.试求f 1010 
2
+f 1010  +⋯
2018
+f
1010

2019
+f
1010
 的值.
722 (2024·山西太原·高三太原市外国语学校校考阶段练习)已知三次函数f(x)=x3+bx2+
cx+d(a,b,c∈R)过点(3,0)，且函数f(x)在点(0,f(0))处的切线恰好是直线y=0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=9x+m-1，若函数y=f(x)-g(x)在区间[-2,1]上有两个零点，求实
数m的取值范围.
1
723 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= x3+ax，gx
3
 =-x2-aa∈R  ．
(1)若函数F(x)=f(x)-g(x)在x∈[1,+∞)上单调递增，求a的最小值；
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153 1043(2)若函数G(x)=f(x)+g(x)的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．
2 题型二：三次函数的最值、极值问题
1 1
724 (2024·云南·高三统考期末)已知函数f(x)=- x3+x2+2ax，g(x)= x2-4.
3 2
(1)若函数f(x)在0,+∞  上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
(2)设G(x)=f(x)-g(x).若0<a<2，G(x)在1,3  上的最小值为ha  ，求ha  的零
点.
1 1
725 (2024·高三课时练习)已知函数f(x)=- x3+x2+2ax，g(x)= x2-4.
3 2
(1)若函数f(x)在0,+∞  上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
(2)设G(x)=f(x)-g(x).若0<a<2，G(x)在1,3 
1
上的最小值为- ，求G(x)在
3
1,3  上取得最大值时，对应的x值.
726 (2024·江苏常州·高三常州市北郊高级中学校考期中)已知函数f(x)=x3-ax2-a2x+1，
其中a>0.
(1)当a=1时，求f(x)的单调增区间；
(2)若曲线y=f(x)在点 -a,f-a   
1
处的切线与y轴的交点为(0，b)，求b+ 的最小值.
a
727 (2024·广东珠海·高三校联考期中)已知函数fx 
1
= x3-ax2+a2-1
3
 x+b(a，b∈R)，
其图象在点 1,f1    处的切线方程为x+y-3=0．
(1)求a，b的值；
(2)求函数fx  的单调区间和极值；
(3)求函数fx  在区间-2,5  上的最大值．
728 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x3-ax2-x，a∈R，且f(1)=0．
(1)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值．
729 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x3+3bx2+cx+d在(-∞,0)上是增函数，在
(0,2)上是减函数，且f(x)=0的一个根为-b
(1)求c的值；
(2)求证：f(x)=0还有不同于-b的实根x 、x ，且x 、-b、x 成等差数列；
1 2 1 2
(3)若函数f(x)的极大值小于16，求f(1)的取值范围
1
730 (2024·浙江宁波·高三效实中学校考期中)已知函数f(x)= x3-ax2+(a+2)x+1(其
3
中a>0).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有两个不同的极值点x ，x ，求f(x)+f(x )的取值范围.
1 2 1 2
3 题型三：三次函数的单调性问题
731 (2024·陕西商洛·高三校考阶段练习)已知三次函数fx 
1
= x3-4m-1
3
 x2+
15m2-2m-7  x+2在R上是增函数，则m的取值范围是 ( )
A.m<2或m>4 B.-4<m<-2
C.2<m<4 D.2≤m≤4
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154 1043732 (2024·全国·高三专题练习)三次函数f(x)=mx3-x在(-∞,+∞)上是减函数，则m的
取值范围是 ( )
A.m<0 B.m<1 C.m≤0 D.m≤1
1 m+1 1
733 (2024·江西宜春·高三校考阶段练习)已知函数f(x)= x3- x2，g(x)= -mx，
3 2 3
m是实数.
(1)若f(x)在区间(2,+∞)为增函数，求m的取值范围；
(2)在(1)的条件下,函数h(x)=f(x)-g(x)有三个零点，求m的取值范围.
734 (2024·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习)已知三次函数f(x)=ax3+bx-3在x=1
处取得极值，且在(0,-3)点处的切线与直线3x+y=0平行.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)+mx在区间(1，2)上单调递增，求m的取值范围.
735 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
1
= x3-2ax+4
3
 在1,2  上单调递增，则a的
取值范围为 ．
4 题型四：三次函数的切线问题
736 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x3-x．
(1)求曲线y=f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；
(2)设常数a>0，如果过点P(a,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求m的取值范围．
737 (2024·江西·高三校联考阶段练习)已知函数fx  =x3-3x2+x-1.
(1)求曲线y=fx  在点P t,ft    处的切线方程；
(2)设m>1，若过点Qm,n  可作曲线y=fx  的三条切线，证明:-2m<n<fm  .
738 (2024·江苏·高三专题练习)已知函数fx 
1 1
= x3- ax2+a-1
3 2
 x+2a∈R  ，f(x)满
足f(x)+f(-x)=4，已知点M是曲线y=f(x)上任意一点，曲线在M处的切线为l.
(1)求切线l的倾斜角α的取值范围；
4
(2)若过点P(1,m)m≠
3
 可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.
739 (2024·安徽·高三校联考期末)已知函数fx 
1
=- x3-x2+mx+3，在x=0处取得极
6
值．
(1)求m的值；
(2)若过2,t  可作曲线y=fx  的三条切线，求t的取值范围．
740 (2024·陕西西安·高三校考阶段练习)已知函数fx  =ax3-bx2在点 1,f1    处的切线方
程为3x+y-1=0．
(1)求实数a，b的值；
(2)若过点-1,m  m≠-4  可作曲线y=fx  的三条切线，求实数m的取值范围．
741 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx 
1
= x3+ax2+bx+ca<0
3
 在x=0处取得极
值-1．
(1)设点A -a,f-a    ，求证：过点A的切线有且只有一条，并求出该切线方程；
(2)若过点0,0  可作曲线y=fx  的三条切线，求a的取值范围；
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155 1043(3)设曲线y=fx  在点 x 1 ,fx 1    、x 2 ,fx 2    x 1 ≠x 2  处的切线都过点0,0  ，证明：
fx 1  ≠fx 2  ．
5 题型五：三次函数的对称问题
742 (2024·全国·高三专题练习)给出定义：设f(x)是函数y=f(x)的导函数，f(x)是函数y
=f(x)的导函数.若方程f(x)=0有实数解x=x 0 ，则称 x 0 ,fx 0    为函数y=f(x)的
“拐点”.经研究发现所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”，且该
1
“拐点”也是函数y=f(x)的图象的对称中心.若函数f(x)=x3-3x2，则f
2023
 +
2
f
2023

3
+f
2023

4044
+⋯+f
2023

4045
+f
2023
 = ( )
A.-8088 B.-8090 C.-8092 D.-8096
743 (2024·全国·高三专题练习)已知函数y=x3+3x2+x的图象C上存在一定点P满足：若
过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点Mx 1 ,y 1  ,Nx 2 ,y 2  ，就恒有y +y 的定值 1 2
为y ，则y 的值为 .
0 0
744 (2024·新疆·统考二模)对于三次函数fx  =ax3+bx2+cx+da≠0  ，给出定义：设
fx  是y=fx  的导数，φx  是y=fx  的导数，若方程φx  =0有实数解x ，则称点 0
x 0 ,fx 0    为曲线y=fx  的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”.设函数
gx 
1
=2x3-3x2+4x-3，则g
2023

2
+g
2023

2022
+⋯+g
2023
 = .
745 (多选题)(2024·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期末)对于三次函数fx  =
ax3+bx2+cx+da≠0  ，给出定义：fx  是函数y=fx  的导数，fx  是函数fx  的
导数，若方程fx  =0有实数解x 0 ，则称 x 0 ,fx 0    为函数y=fx  的“拐点”.某同学经
探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就
是对称中心.若函数fx 
2 49
= x3-x2-12x+ ，则下列说法正确的是 ( )
3 6
A. fx 
137
的极大值为
6
B. fx  有且仅有2个零点
1
C.点 ,2
2
 是fx  的对称中心
1
D. f
2024

2
+f
2024

3
+f
2024

2023
+⋅⋅⋅f
2024
 =4046
746 (多选题)(2024·广东佛山·高三南海中学校考期中)定义：设fx  是fx  的导函数，
fx  是函数fx  的导数.若方程fx  =0有实数解x 0 ，则称点 x 0 ,fx 0    为函数y=
fx  的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像
的对称中心，已知函数fx 
5
=ax3+bx2+ ab≠0
3
 的对称中心为1,1  ，则下列说法中
正确的有 ( )
1
A.a= ，b=-1
3
B.函数fx  有三个零点
5
C.过3,
3
 可以作两条直线与y=fx  图像相切
D.若函数fx  在区间t-6,t  上有最大值，则0<t≤3
747 (多选题)(2024·安徽阜阳·高三安徽省太和中学校考竞赛)定义：设fx  是fx  的导函
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156 1043数，fx  是函数fx  的导数，若方程fx  =0有实数解x 0 ，则称点 x 0 ,fx 0    为函数y
=fx  的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图
5
像的对称中心.已知函数f(x)=ax3+bx2+ (ab≠0)的对称中心为1,1
3
 ，则下列说法中
正确的有 ( )
1
A.a= ，b=-1
3
1
B. f
100

2
+f
100

198
+⋯+f
100

199
+f
100
 的值是199.
C.函数fx  有三个零点
1
D.过-1,
3
 可以作三条直线与y=fx  图像相切
6 题型六：三次函数的综合问题
748 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =x3+bx2+cx+d在 -∞,0  上是增函数，
在0,2  上是减函数，且方程fx  =0有3个实数根，它们分别是α，β，2，则α2+β2的最
小值是 ( )
A.5 B.6 C.1 D.8
749 (2024·陕西西安·高三西安中学校考期中)已知函数fx  =ax3+bx2+cx+da≠0  ，
fx  =gx  ，给出下列四个结论，分别是：①a>0；②fx  在R上单调；③fx  有唯一零
点；④存在x 0 ，使得gx 0  <0．其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是
( )
A.① B.② C.③ D.④
750 (2024·全国·高三专题练习)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc，a<b<c，且fa  =fb  =
fc  =0，现给出如下结论：
①f(x)≤1；②f(x)≥3；③f0  f1  <0；
④f0  f3  >0；⑤abc<4．
其中正确结论的序号是 ．
9
751 (2024·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期末)已知f(x)=x3- x2+6x-abc,a<b
2
<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0，现给出如下结论：
①f(0)f(1)>0； ②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(2)>0； ④f(0)f(2)<0.
其中正确结论的序号为 ( )
A.②③ B.①④ C.②④ D.①③
752 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)函数y=fx  的图象关于坐标原点成中心对称图形的
充要条件是函数y=fx  为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=fx  的图象关
于点Pa,b  成中心对称图形的充要条件是函数y=fx+a  -b为奇函数.已知函数
fx  =x3+ax2+bx+1.
(1)若函数y=fx  的对称中心为-1,2  ，求函数y=fx  的解析式.
(2)由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式fx  在复数集中可以
分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计).
如设实系数一元二次方程a 2 x2+a 1 x+a 0 =0a 2 ≠0  ，在复数集内的根为x ，x ，则方程 1 2
a 2 x2+a 1 x+a 0 =0可变形为a 2x-x 1  x-x 2  =0，展开得：a 2 x2-a 2x 1 x 2  x+a xx =0 2 1 2
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157 1043则有 a 1 =-a 2x 1 +x 2 
a
x +x =- 1
  a =a xx ，即   1 2 a a 2 ，
0 2 1 2 xx = 0
1 2 a
2
类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系，
①若a=0，方程fx  =k在复数集内的根为x 1 、x 2 、x 3 ，当k∈0,1  时，求x3+x3+x3的 1 2 3
最大值；
②若a=-3，b=-2，函数y=fx 
1 1 1
的零点分别为x 、x 、x ，求 + + 的值. 1 2 3 x2 x2 x2
1 2 3
753 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0]上为增函数，在
0,6  上为减函数，且方程fx  =0的三个根分别为1,x,x ． 1 2
(1)求实数b的取值范围；
(2)求x2-4xx +x2的取值范围．
1 1 2 2
754 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)给出定义：设f(x)是函数y=f(x)的导函
数，f(x)是函数y=f(x)的导函数，若方程f(x)=0有实数解x 0 ，则称 x 0 ,fx 0    为函
数y=f(x)的.“固点”.经研究发现所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有
“固点”，且该“固点”也是函数y=f(x)的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答
下列问题：已知函数f(x)=x3+(3a-3)x2+(6a-9a2)x-5a(a∈R).
(1)当a=-1时，试求y=f(x)的对称中心.
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当a=2时，f(x)=m有三个不相等的实数根x 1 <x 2 <x 3 ，当x 1 -x 3  取得最大值时，
求m的值.
7 题型七：三次函数恒成立问题
755 (2024·全国·高三专题练习)已知三次函数f(x)的导函数f(x)=-3x2+3且f(0)=-1，
a
g(x)=xlnx+ (a≥1)．
x
(1)求f(x)的极值；
(2)求证：对任意x,x ∈(0,+∞)，都有f(x)≤g(x )．
1 2 1 2
756 (2024·全国·高三专题练习)设a为实数，函数fx  =x3-3x2+a，gx  =xlnx.
(1)求fx  的极值；
(2)对于∀x 1 ∈1,3 
1
，∀x ∈  ,e 2  e  ，都有fx 1  ≥gx 2  ，试求实数a的取值范围.
757 (2024·四川泸州·高三泸州老窖天府中学校考阶段练习)已知三次函数fx  =ax3+bx2-
3xa,b,c∈R  ．
(1)若函数fx  在点 1,f1    处的切线方程是y+2=0，求函数fx  的解析式；
(2)在(1)的条件下，若对于区间-2,3  上任意两个自变量的值x ，x ，都有 1 2
fx 1  -fx 2    ≤m，求出实数m的取值范围．
1 1
758 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=- x3+ ax2+2a2x+3(a∈R)，fx
3 2
 为函
数f(x)的导函数
(1)若x=-1为函数f(x)的极值点，求实数a的值；
(2)f(x)的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数a的取值范围；
1
(3)对任意0<a≤ 2 时，任意实数x 1 ,x 2 ∈-1,2 
20
，都有f(x)+f(x )-3≥M+7a- 1 2 3
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158 1043恒成立，求实数M的最大值.
759 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=2x3+3(1-a)x2-6ax-3a，g(x)=3x2+
kx．
(1)对任意a≥1，使得f(-1)是函数f(x)在区间-1,b  (b>-1)上的最大值，试求最大的
实数b．
(2)若0<a<1，对于区间-1,0  的任意两个不相等的实数x 、x ，且x <x ，都有|g(x) 1 2 1 2 1
-g(x )|<f(x)-f(x )成立，求k的取值范围．
2 1 2
760 (2024·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考期中)已知函数f(x)=2x2+x-k，g(x)=ax3+
bx2+cx+d(a≠0)是R上的奇函数，当x=1时，g(x)取得极值-2．
(1)求函数g(x)的单调区间和极大值；
(2)若对任意x∈-1,3  ，都有f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围；
(3)若对任意x 1 ∈-1,3  ，x 2 ∈-1,3  ，都有f(x)≤g(x )成立，求实数k的取值范围． 1 2
761 (2024·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中)已知函数fx 
1
= ax3+
3
a-3
b-
2
 x2+3x，其中 a>0，b∈R.
(1)当b=-3时，讨论函数fx  的单调性；
(2)当a=3，且b<0时，
(i)若fx  有两个极值点x 1 ，x 2x 1 <x 2  ，求证：fx 1  <1；
(ii)若对任意的x∈0,t  ，都有-1≤fx  ≤16成立，求正实数t的最大值.
762 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x3-mx+50在x=2处取得极值，m∈R．
(1)求m的值与f(x)的单调区间；
f(x)
(2)设0<t≤2，已知函数g(x)= 16t ，若对于任意x 1 、x 2 ∈[t-2，t]，都有g(x 1 )-g(x 2 ) 
≤1，求实数t的取值范围．
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159 1043