文档内容
数学破题 36 个大招
目 录
高考数学常考问题-大闯关（36 关）..................................................................... 1
第 1 关： 极值点偏移问题--对数不等式法.....................................................1
第 2 关： 参数范围问题—常见解题 6 法.........................................................7
第 3 关： 数列求和问题—解题策略 8 法.......................................................10
第 4 关： 绝对值不等式解法问题—7 大类型................................................15
第 5 关： 三角函数最值问题—解题 9 法.......................................................21
第 6 关： 求轨迹方程问题—6 大常用方法....................................................26
第 7 关： 参数方程与极坐标问题—“考点”面面看...................................38
第 8 关： 均值不等式问题—拼凑 8 法...........................................................44
第 9 关： 不等式恒成立问题—8 种解法探析................................................50
第 10 关： 圆锥曲线最值问题—5 大方面......................................................55
第 11 关： 排列组合应用问题—解题 21 法...................................................59
第 12 关： 几何概型问题—5 类重要题型......................................................65
第 13 关： 直线中的对称问题—4 类对称题型..............................................68
第 14 关： 利用导数证明不等式问题—4 大解题技巧..................................70
第 15 关： 函数中易混问题—11 对................................................................75
第 16 关： 三项展开式问题—破解“四法”.................................................80
第 17 关： 由递推关系求数列通项问题—“不动点”法.............................82
第 18 关： 类比推理问题—高考命题新亮点.................................................85
第 1 页 共 210 页第 19 关： 函数定义域问题—知识大盘点.....................................................90
第 20 关： 求函数值域问题—7 类题型 16 种方法........................................97
第 21 关： 求函数解析式问题—7 种求法....................................................118
第 22 关：解答立体几何问题—5 大数学思想方法......................................121
第 23 关： 数列通项公式—常见 9 种求法...................................................127
第 24 关：导数应用问题—9 种错解剖析......................................................138
第 25 关：三角函数与平面向量综合问题—6 种类型..................................141
第 26 关：概率题错解分类剖析—7 大类型..................................................147
第 27 关：抽象函数问题—分类解析.............................................................150
第 28 关：三次函数专题—全解全析.............................................................153
第 29 关：二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点.................................164
第 30 关：解析几何与向量综合问题—知识点大扫描.................................173
第 31 关：平面向量与三角形四心知识的交汇.............................................174
第 32 关：数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想.....................................178
第 33 关：函数零点问题—求解策略.............................................................189
第 34 关：求离心率取值范围—常见 6 法.....................................................193
第 35 关：高考数学选择题—解题策略..........................................................196
第 36 关：高考数学填空题—解题策略..........................................................206
第 2 页 共 210 页以下只要证明上述函数不等式即可.
以下我们来看看对数不等式的作用.
题目1：（2015长春四模题）已知函数 有两个零点 ，则下列说法错误的是
A. B. C. D.有极小值点 ，且
【答案】C
【解析】函数 导函数：
第 3 页 共 210 页有极值点 ，而极值 ， ，A正确.
有两个零点： ， ，即：
①
②
①-②得：
根据对数平均值不等式：
，而 ， B正确，C 错误
而①+②得： ，即D成立.
题目2：（2011辽宁理）已知函数 .
若函数 的图像与 轴交于 两点，线段 中点的横坐标为 ，证明：
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三
问：
设 ， ， ，则 ，
①
②
①-②得： ，化简得：
③
而根据对数平均值不等式：
第 4 页 共 210 页③等式代换到上述不等式
④
根据： （由③得出）∴④式变为：
∵ ，∴ ，∴ 在函数单减区间中，即：
题目3：(2010 天津理)已知函数 .如果 ，且 .
证明： .
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三
问：
设 ，则 ， ， 两边取对数
①
②
①-②得：
根据对数平均值不等式
题目4：（2014江苏南通市二模）设函数 ，其图象与 轴交于
两点，且 .
第 5 页 共 210 页证明： （ 为函数 的导函数）.
【解析】根据题意： ， 移项取对数得：
①
②
①-②得： ，即：
根据对数平均值不等式：
，①+②得：
根据均值不等式：
∵函数 在 单调递减
∴
第 6 页 共 210 页由题于 与 交于不同两点，易得出则
∴上式简化为:
∴
第 2 关： 参数范围问题—常见解题 6 法
求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类
问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．
第 7 页 共 210 页一、确定“主元”思想
常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．
例1.对于满足0 的一切实数 ，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．
分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p 时y>0恒成立，求x的
范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下
角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．
解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．
由题设知当0 时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，
解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．
二、分离变量
对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即
使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式
的问题。
例2．若对于任意角 总有 成立，求 的范围．
分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得 ，
又 ，则原不等式等价变形为 恒成立．
根据边界原理知， 必须小于 的最小值，这样问题化归为怎样求 的最小值．因为
即 时，有最小值为0，故 ．
评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：
①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)
②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min
③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)
④f(x)
