文档文本内容
数学破题 36 个大招
目 录
高考数学常考问题-大闯关（36 关）..................................................................... 1
第 1 关： 极值点偏移问题--对数不等式法.....................................................1
第 2 关： 参数范围问题—常见解题 6 法.........................................................7
第 3 关： 数列求和问题—解题策略 8 法.......................................................10
第 4 关： 绝对值不等式解法问题—7 大类型................................................15
第 5 关： 三角函数最值问题—解题 9 法.......................................................21
第 6 关： 求轨迹方程问题—6 大常用方法....................................................26
第 7 关： 参数方程与极坐标问题—“考点”面面看...................................38
第 8 关： 均值不等式问题—拼凑 8 法...........................................................44
第 9 关： 不等式恒成立问题—8 种解法探析................................................50
第 10 关： 圆锥曲线最值问题—5 大方面......................................................55
第 11 关： 排列组合应用问题—解题 21 法...................................................59
第 12 关： 几何概型问题—5 类重要题型......................................................65
第 13 关： 直线中的对称问题—4 类对称题型..............................................68
第 14 关： 利用导数证明不等式问题—4 大解题技巧..................................70
第 15 关： 函数中易混问题—11 对................................................................75
第 16 关： 三项展开式问题—破解“四法”.................................................80
第 17 关： 由递推关系求数列通项问题—“不动点”法.............................82
第 18 关： 类比推理问题—高考命题新亮点.................................................85
第 1 页 共 210 页第 19 关： 函数定义域问题—知识大盘点.....................................................90
第 20 关： 求函数值域问题—7 类题型 16 种方法........................................97
第 21 关： 求函数解析式问题—7 种求法....................................................118
第 22 关：解答立体几何问题—5 大数学思想方法......................................121
第 23 关： 数列通项公式—常见 9 种求法...................................................127
第 24 关：导数应用问题—9 种错解剖析......................................................138
第 25 关：三角函数与平面向量综合问题—6 种类型..................................141
第 26 关：概率题错解分类剖析—7 大类型..................................................147
第 27 关：抽象函数问题—分类解析.............................................................150
第 28 关：三次函数专题—全解全析.............................................................153
第 29 关：二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点.................................164
第 30 关：解析几何与向量综合问题—知识点大扫描.................................173
第 31 关：平面向量与三角形四心知识的交汇.............................................174
第 32 关：数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想.....................................178
第 33 关：函数零点问题—求解策略.............................................................189
第 34 关：求离心率取值范围—常见 6 法.....................................................193
第 35 关：高考数学选择题—解题策略..........................................................196
第 36 关：高考数学填空题—解题策略..........................................................206
第 2 页 共 210 页以下只要证明上述函数不等式即可.
以下我们来看看对数不等式的作用.
题目1：（2015长春四模题）已知函数 有两个零点 ，则下列说法错误的是
A. B. C. D.有极小值点 ，且
【答案】C
【解析】函数 导函数：
第 3 页 共 210 页有极值点 ，而极值 ， ，A正确.
有两个零点： ， ，即：
①
②
①-②得：
根据对数平均值不等式：
，而 ， B正确，C 错误
而①+②得： ，即D成立.
题目2：（2011辽宁理）已知函数 .
若函数 的图像与 轴交于 两点，线段 中点的横坐标为 ，证明：
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三
问：
设 ， ， ，则 ，
①
②
①-②得： ，化简得：
③
而根据对数平均值不等式：
第 4 页 共 210 页③等式代换到上述不等式
④
根据： （由③得出）∴④式变为：
∵ ，∴ ，∴ 在函数单减区间中，即：
题目3：(2010 天津理)已知函数 .如果 ，且 .
证明： .
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三
问：
设 ，则 ， ， 两边取对数
①
②
①-②得：
根据对数平均值不等式
题目4：（2014江苏南通市二模）设函数 ，其图象与 轴交于
两点，且 .
第 5 页 共 210 页证明： （ 为函数 的导函数）.
【解析】根据题意： ， 移项取对数得：
①
②
①-②得： ，即：
根据对数平均值不等式：
，①+②得：
根据均值不等式：
∵函数 在 单调递减
∴
第 6 页 共 210 页由题于 与 交于不同两点，易得出则
∴上式简化为:
∴
第 2 关： 参数范围问题—常见解题 6 法
求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类
问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．
第 7 页 共 210 页一、确定“主元”思想
常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．
例1.对于满足0 的一切实数 ，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．
分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p 时y>0恒成立，求x的
范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下
角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．
解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．
由题设知当0 时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，
解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．
二、分离变量
对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即
使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式
的问题。
例2．若对于任意角 总有 成立，求 的范围．
分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得 ，
又 ，则原不等式等价变形为 恒成立．
根据边界原理知， 必须小于 的最小值，这样问题化归为怎样求 的最小值．因为
即 时，有最小值为0，故 ．
评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：
①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)
②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min
③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)
④f(x)<g(k) [f(x)] max < g(k)
三、数形结合
对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的
目的．
例3．设 ，若不等式 恒成立，求a的取值范围．
第 8 页 共 210 页分析与解：若设函数 ，则 ，
其图象为上半圆．
设函数 ，其图象为直线．
在同一坐标系内作出函数图象如图，
依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心 到直线
的距离 且 时成立，即a的取值范围为 ．
四、分类讨论
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的
不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
例4．当 时，不等式 恒成立，求a的取值范围．
解：（1）当 时，由题设知 恒成立，即 ，而 ∴ 解
得
（2）当 时，由题设知 恒成立，即 ，而 ∴ 解
得 ．∴a的取值范围是 ．
五、利用判别式
当问题可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解．
例5．不等式 ，对一切 恒成立，求实数 的取值范围.
解：∵ 在R上恒成立，
∴
， R
∴ ，解得
第 9 页 共 210 页故实数 的取值范围是 .
一般地二次函数f(x)=ax2+bx+c恒正 ，f(x)=ax2+bx+c恒负 .
六、构造函数
构造出函数，通过对函数性质的研究，来达到解决问题的目的．
例6．已知不等式 对于一切大于1的自然数 都成立，求实
数 的取值范围．
分析：注意到不等式仅仅左边是与 有关的式子，从函数的观点看，左边是关于 的函数，要使原不等式成立，
即要求这个函数的最小值大于右式．如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单
调性入手．
解：设 , N
∴ 是关于 N 的递增函数，则 = .
∴要使不等式成立，只须 ，解之得 .
∴实数 的取值范围是 ．
以上介绍了求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法，应灵活处理．
第 3 关： 数列求和问题—解题策略 8 法
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求
和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成
为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见解题策略作一归纳，供广大师生参考。
1、公式法求和
若所给数列的通项是关于n的多项式，此时可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基
本最重要的方法之一。常用求和公式列举如下：
等差数列求和公式： ，
等比数列求和公式：
第 10 页 共 210 页自然数的方幂和： k3=13+23+33+ +n3= n2(n+1)2， k=1+2+3+ +n= n(n+1)，
k2=12+22+32+ +n2= n(n+1)(2n+1)
例1已知数列 ，其中 ，记数列 的前 项和为 ，数列
的前 项和为 ，求 。
解：由题意， 是首项为 ，公差为 的等差数列
前 项和 ，
2、错位相减法求和
若数列 的通项公式为 ，其中 ， 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般
在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数
的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。它在推导等比数列的前n项和公式时曾用到的方法。
例2已知 当 时，求数列 的前n
项和 ；
解：当 时， ．由题可知，{ }的通项是等差数列{ }的通项与等比数列{ }
的通项之积，这时数列 的前 项和
． ①
①式两边同乘以 ，得 ②
①式减去②式，得
若 ， ，
若 ，
3、反序相加法求和
将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 ，S 表示从第一项依次到第n
n
项的和，然后又将S 表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到S 的一种求和方法。也称倒
n n
写相加法，这是在推导等差数列的前n项和公式时曾用到的方法.
第 11 页 共 210 页例 3 设 ， 利 用 课 本 中 推 导 等 差 数 列 的 前 项 和 的 公 式 的 方 法 ， 可 求 得
的值为：
解：因为f（x）= ，∴f（1－x）=
∴f（x）+f（1－x）= .
设S=f（－5）+f（－4）+…+f（6），则S=f（6）+f（5）+…+f（－5）
∴2S=（f（6）+f（－5））+（f（5）+f（－4））+…+（f（－5）+…f（6））=6
∴S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（6）=3 .
4、拆项重组求和.
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数
列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．也称分组求和法.
例4求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设
∴ ＝
将其每一项拆开再重新组合得：
S＝
n
＝
＝
＝
5、裂项相消法求和
有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加
数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，
第 12 页 共 210 页可得出前 项和公式．这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，也称为分裂通项法。它适用于 型
（其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数）、部分无理数列、含阶乘的数列等。常见拆项公式有：
； ； ；
； ；
； ；
等
例5设数列 的前 项的和 ， ，令 ， ，求
解：由题意得： （其中n为正整数）
所以：
。
6、并项求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在
一起先求和，然后再求和 。
例6设数列 的首项为 ，前 项和 满足关系式：
设数列 的公比为 ，作数列 使
，求和：b b －b b +b b －b b …+b b －b b .
1 2 2 3 3 4 4 5 2n－1 2n 2n 2n+1
解:由题意知 为等比数列，得 ，故 = ，
第 13 页 共 210 页故：b = ，可知{b }和{b }是首项分别为1和 ，公差均为 的等差数列。
n 2n－1 2n
于是b b －b b +b b －b b +…+b b －b b
1 2 2 3 3 4 4 5 2n－1 2n 2n 2n+1
=b （b －b ）+b （b －b ）+b （b －b ）+…+b （b +b ）
2 1 3 4 3 5 6 5 7 2n 2n－1 2n+1
=－ （b +b +…+b ）=－
2 4 2n
=－ （2n2+3n）
7、累加法
给出数列｛ ｝的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为 型，可以考虑利用累加法求
和，此法也叫叠加法。
例7数列 的前 项和为 ，已知 ，求
解：由 得： ，
即 ，
，对 成立。
由 ， ，…， 累加得： ，又
，所以 ，当 时，也成立
8多法并取求和
根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前
n项和，它通常集分组、裂项、公式求和于一体，是一个解决综合性数列求和的重要途径.
例8已知数列{a}： 的值.
n
解：∵
＝
＝
第 14 页 共 210 页
