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第21讲 极值点偏移
知识梳理
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数
图像没有对称性。若函数f(x)在x=x 处取得极值，且函数y=f(x)与直线y=b交于A(x,
0 1
x +x
b),B(x ,b)两点，则AB的中点为M 1 2,b
2 2
x +x
，而往往x ≠ 1 2。如下图所示。
0 2
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x ，方程f(x)的解
0
x +x
分别为x 、x ，且ax ，则函数y=f(x)在区间(x ,x )上极值点x 左偏，简称极值点
0 2 0 1 2 0
x +x
x 左偏；(3)若 1 2 x2 ，则
0 1 2 0
2x
令F(x)=f(x)-f 0
x
.
(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性．
(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x -x)的大小
0
关系．
(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x -x)的大小关系转化为x与2x -
0 0
x之间的关系，进而得到所证或所求．
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160 1043x +x
【注意】若要证明f 1 2
2
x +x
的符 号问题，还需进一步讨论 1 2 与x 的大小，得
2 0
x +x
出 1 2 所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
2
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的
应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，
但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、
化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，
这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种
常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功
效
x -x x +x
3、应用对数平均不等式 xx < 1 2 < 1 2 证明极值点偏移：
1 2 lnx -lnx 2
1 2
①由题中等式中产生对数；
x -x
②将所得含对数的等式进行变形得到 1 2 ；
lnx -lnx
1 2
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调
性证明题中的不等式即可.
必考题型全归纳
1 题型一：极值点偏移:加法型
763 (2024·河南周口·高二校联考阶段练习)已知函数fx
x2-ax
= ，a∈R
ex
(1)若a=2，求fx 的单调区间；
(2)若a=1，x 1 ，x 2 是方程fx
lnx+1
= 的两个实数根，证明：x +x >2． ex 1 2
764 (2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习)已知函数fx =x2lnx-aa∈R .
(1)求函数fx 的单调区间；
(2)若函数fx
2
有两个零点x 、x ，证明12x .
1 2 0
766 (2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测)已知函数fx
π
=x-sin x
2
-alnx,x
=1为其极小值点．
(1)求实数a的值；
(2)若存在x 1 ≠x 2 ，使得fx 1 =fx 2 ，求证：x +x >2． 1 2
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161 1043767 (2024·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习)已知函数fx
3
=x2lnx- a
2
，a
为实数．
(1)求函数fx 的单调区间；
(2)若函数fx 在x=e处取得极值，fx 是函数fx 的导函数，且fx 1 =fx 2 ，x 1
x 1 ，λ=ee-2 ，求λx +x 的 1 2
最小值．
769 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx
aex
= +lnx-xa∈R
x
．
(1)讨论函数fx 的极值点的个数；
(2)若函数fx 恰有三个极值点x 1 、x 2 、x 3x 1 2
1 2 1 2 1 2
771 (2024·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习)已知函数fx
1 3
= x3- x2+
3 2
log a xa>0,a≠1 ．
(1)若fx 为定义域上的增函数，求a的取值范围；
(2)令a=e，设函数gx =fx
1
- 3 x3-4lnx+9x，且gx 1 +gx 2 =0，求证：x +x ≥ 1 2
3+ 11．
772 (2024·全国·高二专题练习)已知函数fx =lnx-ax-2 (a∈R)．
(1)试讨论函数fx 的单调性；
(2)若函数fx
3
有两个零点x ，x (x -a+2． 1 2 1 2 1 2 a
773 (2024·全国·高二专题练习)已知函数fx =ax2+a-2 x-lnxa∈R .
(1)讨论fx 的单调性；
(2)若fx
2
有两个零点x,x ，证明：x +x > . 1 2 1 2 a
774 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx =lnx-1
kx-2
-
.
x
(1)若fx ≥0对∀x∈2,+∞ 恒成立，求实数k的取值范围；
lnx-1
(2)已知方程
1
= 有两个不同的根x 、x ，求证：x +x >6e+2，其中e=
x-1 3e 1 2 1 2
2.71828⋯为自然对数的底数.
775 (2024·江西宜春·高三校考开学考试)已知函数fx =3alnx-a-3 x，a∈R.
(1)当a=1时，求曲线gx =fx
π
-3lnx-sinx在x= 处的切线方程；
2
(2)设x 1 ，x 2 是hx =fx -3a-2 lnx-3x的两个不同零点，证明：ax 1 +x 2 >4.
776 (2024·海南·海南华侨中学校考模拟预测)已知函数f(x)=lnx+x(x-3).
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162 1043(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若存在x,x ,x ∈(0,+∞)，且x
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2
x .
3
2 题型二：极值点偏移:减法型
777 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx =x-e-1
1
ex- ex2+e2x．
2
(1)求函数fx 的单调区间与极值．
(2)若fx 1 =fx 2 =fx 3 x 1 1时，设函数hx =fx -gx 的两个极值点为x 、x 且x 0 ,
gx
lnx
=bx- ．
x
(1)当b=1，fx 和gx 有相同的最小值，求a的值；
(2)若gx 有两个零点 x ， x ，求证：xx >e． 1 2 1 2
781 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =lnx.
(1)证明：fx+1 ≤x.
(2)若函数hx =2xfx ，若存在x 1 e2． 1 2 1 2
785 (2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知f(x)=2x-sinx- alnx．
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163 1043(1)当a=1时，讨论函数f(x)的极值点个数；
(2)若存在x ，x (00)
x
(1)已知f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=x-1，求实数a的值；
(2)已知f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知gx =fx
a
+ 有两个零点x ，x ，求实数a的取值范围并证明xx >e2. x 1 2 1 2
4 题型四：极值点偏移:商型
787 (2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中)已知函数f(x)=2e-x lnx，其中e
=2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若x 1 ,x 2 ∈0,1 ，且x 2 lnx 1 -x 1 lnx 2 =2ex 1 x 2lnx 1 -lnx 2
1 1
，证明：2e< + <2e+ x x
1 2
1.
788 (2024·全国·统考高考真题)已知函数fx =x1-lnx .
(1)讨论fx 的单调性；
1 1
(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2< + ．
x x xx
2 1 1 2
5 题型五：极值点偏移:平方型
791 (2024·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知函数fx =lnx-ax2.
(1)讨论函数fx 的单调性：
(2)若x 1 ,x 2 是方程fx =0的两不等实根，求证：x2+x2>2e； 1 2
792 (2024·全国·高二专题练习)已知函数fx
lnx
= -ax.
x
(1)若fx ≤-1，求实数a的取值范围；
(2)若fx
12
有2个不同的零点x,x (x . 1 2 1 2 1 2 5a
793 (2024·全国·高二专题练习)已知函数fx
1+lnx
= ，a>0．
ax
(1)若fx ≤1，求a的取值范围；
(2)证明：若存在x 1 ，x 2 ，使得fx 1 =fx 2 ，则x2+x2>2． 1 2
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164 1043794 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx
1+lnx
=
ax
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若ex 1 x2=ex 2 x1，且x >0，x >0，x ≠x ，证明: x2+x2> 2. 1 2 1 2 1 2
795 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =x-sinxcosx-alnx，a∈R.
π π
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点 ,f
2 2
处的切线方程；
(2)若f(m)=f(n)，0|a|.
6 题型六：极值点偏移:混合型
a-1-x
796 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= (x>0)(e为自然对数的底数，a∈
ex
R)．
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若存在x 1 ≠x 2 ，满足fx 1 =fx 2
4a
，求证： x +x > ． 1 2 a+2
797 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x-a
1
- +a,a∈R.
x
(1)若f(1)=2，求a的值；
(2)若存在两个不相等的正实数x,x ，满足f(x)=f(x )，证明：
1 2 1 2
①2e1+λ恒成立.
1 2 1 2 1 2
1+x
799 (2024·陕西宝鸡·校考模拟预测)已知f(x)= ex, g(x)=a(x+1)．
1-x
(1)求y=f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，若关于x的方程f(x)+g(x)=0存在两个正实数根x 1 ,x 2x 1 e2且xx ln2．
1 2 1 2 1 2
801 (2024·天津河西·统考二模)设k∈R，函数f(x)=lnx-kx．
(1)若k=2，求曲线y=f(x)在P(1,-2)处的切线方程；
(2)若f(x)无零点，求实数k的取值范围；
(3)若f(x)有两个相异零点x,x ，求证：lnx +lnx >2．
1 2 1 2
802 (2024·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习)已知函数fx =x1-alnx ，
a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
1
(2)若x∈0,
2
时，都有fx <1，求实数a的取值范围；
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165 10431+lnx x
(3)若有不相等的两个正实数x ，x 满足 2 = 2，证明：x +x 28；②2 ax 1 +x 2 >3xx ；③ x -1+ x -1>2； 1 2 1 2
请从①②③中任选一个进行证明．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
804 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数fx =alnx+2 -
xa∈R .
(1)讨论f(x)的单调性和最值；
2 1 m
(2)若关于x的方程ex= - ln (m>0)有两个不等的实数根x,x ，求证：ex1+
m m x+2 1 2
2
ex2> .
m
805 (2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)已知函数hx =x-alnxa∈R .
(1)若hx 有两个零点，a的取值范围；
(2)若方程xex-alnx+x
e2
=0有两个实根x 、x ，且x ≠x ，证明：ex1+x2> . 1 2 1 2 xx
1 2
806 (2024·广东佛山·高二统考期末)已知函数fx =xex-alnx-a，其中a>0．
(1)若a=2e，求fx 的极值：
(2)令函数gx =fx -ax+a，若存在x 1 ，x 2 使得gx 1 =gx 2 ，证明：xex1+x ex2> 1 2
2a．
807 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =x1-alnx ,a≥0.
(1)讨论fx 的单调性；
1
(2)若x∈0,
2
时，都有fx <1，求实数a的取值范围；
1+lnx x
(3)若有不相等的两个正实数x,x 满足 2 = 2，求证：x +x 2．
1 2 1 2 1 2 1 2
1
810 (2024·陕西咸阳·统考模拟预测)已知函数f(x)= x2-3x+2lnx.
2
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)(ⅰ)若对于任意x 1 ,x 2 ∈[1,3]，都有f(x 1 )-f(x 2 ) ≤2m-2，求实数m的取值范围;
1 7
(ⅱ)设g(x)=f(x)+ x2，且g(x)+g(x )=0，求证:x +x > .
2 1 2 1 2 2
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166 10431 1
811 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= x2-1+
2a a2
1
x+ lnx(a∈R).
a
(1)当a>0时，讨论函数f(x)的单调性；
1
(2)当a= 时，设g(x)=f(x)+6x，若正实数x ，x ，满足g(x)+g(x )=4，求证：x +x
2 1 2 1 2 1 2
≥2
812 (2024·江苏盐城·江苏省东台中学校考一模)已知函数f(x)=lnx+x-ax2，a∈R．
(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；
(2)设g(x)=f(x)+(a-3)x，试讨论函数g(x)的单调性；
1
(3)当a=-2时，若存在正实数x,x 满足n，求证：x +x > ．
1 2 1 2 2
813 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ae2x+ex+x，a∈R．
(1)若f(x)在x=0处取得极值，求a的值；
(2)设g(x)=f(x)-(a+3)ex，试讨论函数g(x)的单调性；
1
(3)当a=2时，若存在实数x ，x 满足f(x)+f(x )+3ex1ex2=0，求证：ex1+ex2> ．
1 2 1 2 2
814 (2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知函数fx =2lnx+mx2-
2m+1 x-8，m∈R.
(1)讨论函数fx 的单调性；
(2)对实数m=2，令gx =fx -3x，正实数x 1 ，x 2 满足gx 1 +gx 2 +2xx =0，求x 1 2 1
+x 的最小值.
2
815 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =lnx+2x-ax2，a∈R.
(1)若fx 在x=1处取得极值，求a的值；
(2)设gx =fx +a-4 x，试讨论函数gx 的单调性；
(3)当a=-2时，若存在正实数x 1 ,x 2 满足fx 1 +fx 2 +3xx =x +x ，求证：x +x > 1 2 1 2 1 2
1
.
2
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167 1043
