第18讲函数的综合应用_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第18讲 函数的综合应用 知识梳理 1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数 与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌 握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破 口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式(如 对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等)；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式 大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求 导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的 几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等． 2、函数fx  n = x-a i i=1   的图象与性质 分奇、偶两种情况考虑： 比如图(1)函数fx  =x  +x-1  +x-3  ，图(2)函数gx  =x  +x-1  +x-2  +x+1  (1)当n为奇数时，函数fx  n = x-a i i=1   的图象是一个“∨”型，且在“最中间的点”取最小值； (2)当n为偶数时，函数fx  n = x-a i i=1   的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最 小值； 若ai∈N* i  为等差数列的项时，奇数的图象关于直线x=a 对称，偶数的图象关于直线x= 中 第 页 共 页 134 1043x +x 左中 右中 对称． 2 3、若fx  为m,n  上的连续单峰函数，且fm  =fn  ,x 为极值点，则当k,b变化时， 0 gx  = fx   -kx-b  fn 的最大值的最小值为  -fx 0    fn ，当且仅当k=0,b= 2  +fx 0  2 时取得． 必考题型全归纳 1 题型一：函数与数列的综合 605 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{x }，满足x =1，2x =ln(1+x )(n∈N*)，设数 n 1 n+1 n 列{x }的前n项和为S ，则以下结论正确的是 ( ) n n A.x >x B.x -2x x +1 D.S >2 n+2 n+1 n+5 606 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ex-x-1，数列{a }的前n项和为S ，且满 n n 1 足a = ,a =f(a )，则下列有关数列{a }的叙述正确的是 ( ) 1 2 n+1 n n A.a <|4a -3a| B.a ≤a 5 2 1 7 8 C.a >1 D.S >26 10 100 607 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ex-x-1，数列{a }的前n项和为S ，且满 n n 1 足a = ，a =f(a )，则下列有关数列{a }的叙述正确的是 ( ) 1 2 n+1 n n 1 A.a > B.a |4a -3a| 2 4 6 7 100 5 2 1 608 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }满足：a >0，且a2=3a2 -2a (n∈N*)，下 n n n n+1 n+1 列说法正确的是 ( ) 1 3 A.若a = ，则a >a B.若a =2，则a ≥1+ 1 2 n n+1 1 n 7  n-1 C.a 1 +a 5 ≤2a 3 D. a n+2 -a n+1  3 ≥ 3 a n+1 -a n  609 (2024·陕西渭南·统考二模)已知函数fx  =sinx+lnx，将fx  的所有极值点按照由小 到大的顺序排列，得到数列x n  ，对于∀n∈N ，则下列说法中正确的是 ( ) + A.nπ n 3 2 题型二：函数与不等式的综合 611 (2024·全国·高三专题练习)关于x的不等式x-1  9999-29999⋅x9999≤x+1，解集为 . 第 页 共 页 135 1043612 (2024·全国·高三专题练习)意大利数学家斐波那契(1175年~1250年)以兔子繁殖数量为 例，引人数列：1,1,2,3,5,8,⋯，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即a = n+2 a +a n∈N* n+1 n  ，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为a = n 1 1+ 5  5 2  n 1- 5 - 2   n    ．设n是不等式log 2(1+ 5)n-(1- 5)n  >n+5的正整 数解，则n的最小值为 ． 1 613 (2024·辽宁·高三校考阶段练习)已知函数f(x)= +x+2，若不等式f(m⋅4x+1)+ 2x+1 f(m-2x)≥5对任意的x>0恒成立，则实数m的最小值为 . 614 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx  是定义域为R的函数，f2+x  +f-x  =0，对任 意x 1 ，x 2 ∈1,+∞  x 1 0，已知a，ba≠b  为关于x的方程x2 -2x+t2-3=0的两个解，则关于t的不等式fa  +fb  +ft  >0的解集为 ( ) A. -2,2  B. -2,0  C. 0,1  D. 1,2  3 题型三：函数中的创新题 615 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明 的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的 a +ax+⋯+a xm [m,n]阶帕德近似定义为：R(x)= 0 1 m ，且满足：f(0)=R(0)，f(0)=R 1+bx+⋯+b xn 1 n (0)，f(0)=R(0)⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶 ax 帕德近似为R(x)= ．注：f(x)=f(x) 1+bx  ,f(x)=f(x)  ,f(4)(x)=f(x)  ,f(5) (x)=f(4)(x)  ,⋯ (1)求实数a，b的值； 1 (2)求证：(x+b)f x  >1； 1 (3)求不等式1+ x  x 1 sinhsinx  . 618 (2024·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习)布劳威尔不动点定理是拓 扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就 是对于满足一定条件的连续实函数fx  ，存在一个点x 0 ，使得fx 0  =x ，那么我们称该函 0 数为“不动点"函数，而称x 0 为该函数的一个不动点．现新定义：若x 0 满足fx 0  =-x ， 0 则称x 0 为fx  的次不动点． (1)判断函数fx  =x2-2是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理 由 (2)已知函数gx  1 = x+1 2  ，若a是gx  的次不动点，求实数a的值： (3)若函数hx  =log 4x-b⋅2x 1 2  在0,1  上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围． 4 题型四：最大值的最小值问题(平口单峰函数、铅锤距离) 619 (2024·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试)已知函数fx  =x3-6x2+ax+b  ， 对于任意的实数a，b，总存在x 0 ∈0,3  ，使得fx 0  ≥m成立，则当m取最大值时，a+b = ( ) A.7 B.4 C.-4 D.-7 620 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)设函数fx  4 =x+ -ax-b x  ，若对任意的实数a，b， 总存在x 0 ∈1,3  使得fx 0  ≥m成立，则实数m的最大值为 ( ) 8-4 3 A.-1 B.0 C. D.1 3 621 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx  4 = -ax x  ，若对任意的正实数a，总存在x ∈ 0 1,4  ，使得fx 0  ≥m，则实数m的取值范围为 ( ) A. -∞,0  B. -∞,1  C. -∞,2  D. -∞,3  第 页 共 页 137 1043x-2 622 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= -ax-b x+2  ，若对任意的实数a，b，总存 在x 0 ∈[-1,2]，使得fx 0  ≥m成立，则实数m的取值范围是 ( ) 1 A. -∞, 4  1 B. -∞, 2  2 C. -∞, 3  D.(-∞,1] 623 (2024·高一课时练习)已知函数fx  1 =ax+ +b x  a,b∈R  1 ，当x∈  ,2  2  时，设fx  的 最大值为Ma,b  ，则Ma,b  的最小值为 ( ) 1 1 1 A. B. C. D.1 8 4 2 624 (2024·江西宜春·校联考模拟预测)已知函数fx  1 =lnx+ -ax-b x  a,b∈R  ，且x ∈ 0 1,e2  1 1 ，满足lnx + =e-1，当x∈  ,x 0 x  e 0 0  时，设函数fx  的最大值为Ma,b  ，则 Ma,b  的最小值为 ( ) 3-e 1 e-1 e-2 A. B. C. D. 2 2 2 2 625 (2024·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中)若a、b∈R，且对于0≤x≤1时，不 等式 1-x2-ax-b  2-1 ≤ 均成立，则实数对a,b 2  = ． 5 题型五：倍值函数 626 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  的定义域为D，若满足：①fx  在D内是单调函数； ②存在a,b  ⊆D使得fx  在a,b  a b 上的值域为  ,  2 2  ，则称函数fx  为“成功函数”． 若函数fx  =log mmx+2t  (其中m>0，且m≠1)是“成功函数”，则实数t的取值范围 为 ( ) A. 0,+∞  1 B. -∞, 8  1 1 C.   ,  8 4  1 D. 0, 8  627 (2024·上海金山·高三上海市金山中学校考期末)设函数f(x)的定义域为D，若存在闭区 间a,b  ⊆D，使得f(x)函数满足：(1)f(x)在a,b  上是单调函数；(2)f(x)在a,b  上的值 域是2a,2b  ，则称区间a,b  是函数f(x)的“和谐区间”，下列结论错误的是 A.函数f(x)=x2(x≥0)存在“和谐区间” B.函数f(x)=ex(x∈R)不存在“和谐区间” 4x C.函数f(x)= (x≥0)存在“和谐区间” x2+1 1 D.函数f(x)=log ax- a 8  (a>0，a≠1)不存在“和谐区间” 628 (2024·安徽·高三统考期末)函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a,b]⊆D，使得函数 f(x)满足：①f(x)在[a,b]内是单调函数；②f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则称区间 [a,b]为y=f(x)的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 ① ；②f(x)=ex(x∈R)； ③ ；④ A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①③ 第 页 共 页 138 1043629 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间 a,b  ⊆D，使得函数fx  满足：①fx  在a,b  内是单调函数；②fx  在a,b  上的值域 为ka,kb  ，则称区间a,b  为y=fx  的k级“理想区间”.下列结论错误的是 ( ) A.函数fx  =x2(x∈R)存在1级“理想区间” B.函数fx  =ex(x∈R)不存在2级“理想区间” C.函数fx  4x = (x≥0)存在3级“理想区间” x2+1 D.函数fx  π π =tanx，x∈- , 2 2  不存在4级“理想区间” 630 (2024·全国·高三专题练习)设函数的定义域为D，若满足条件：存在a,b  ⊆D，使fx  在 a,b  a b 上的值域为  ,  2 2  ，则称fx  为“倍缩函数”.若函数fx  =ex+t为“倍缩函数”， 则实数t的取值范围是 1+ln2 A. -∞,- 2  1+ln2 B. -∞,- 2  1+ln2 C.   ,+∞  2  1+ln2 D.  ,+∞ 2  6 题型六：函数不动点问题 631 (2024·广西柳州·统考模拟预测)设函数f(x)= ex+e-1  x-a(a∈R，e为自然对数的 底数)，若曲线y=sinx上存在点x 0 ,y 0  使fy 0  =y 成立，则a的取值范围是 ( ) 0 A. 1,2e-2  B. e-1-e,1  C. 1,e  D. e-1-e,2e-2  632 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx  lnx = +x-aa∈R x  2ex+1 ，若曲线y= (e是自 e2x+1 然对数的底数)上存在点x 0 ,y 0  使得f fy 0    =y ，则a的取值范围是 0 A. -∞,0  B. 0,e  1 C. -∞, e  D. 0,+∞  633 (2024·江苏·高二专题练习)若存在一个实数t，使得Ft  =t成立，则称t为函数Fx  的 一个不动点.设函数gx  =ex+1- e  x-a(a∈R,e为自然对数的底数)，定义在R上 的连续函数fx  满足f-x  +fx  =x2，且当x≤0时，f'x 