第18讲函数的综合应用_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第18讲 函数的综合应用
知识梳理
1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数
与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌
握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破
口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式(如
对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等)；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式
大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求
导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的
几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数fx 
n
= x-a i
i=1
  的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图(1)函数fx  =x  +x-1  +x-3  ，图(2)函数gx  =x  +x-1  +x-2  +x+1 
(1)当n为奇数时，函数fx 
n
= x-a i
i=1
  的图象是一个“∨”型，且在“最中间的点”取最小值；
(2)当n为偶数时，函数fx 
n
= x-a i
i=1
  的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最
小值；
若ai∈N*
i
 为等差数列的项时，奇数的图象关于直线x=a 对称，偶数的图象关于直线x=
中
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134 1043x +x
左中 右中 对称．
2
3、若fx  为m,n  上的连续单峰函数，且fm  =fn  ,x 为极值点，则当k,b变化时， 0
gx  = fx   -kx-b  fn 的最大值的最小值为  -fx 0    fn ，当且仅当k=0,b=
2
 +fx 0 
2
时取得．
必考题型全归纳
1 题型一：函数与数列的综合
605 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{x }，满足x =1，2x =ln(1+x )(n∈N*)，设数
n 1 n+1 n
列{x }的前n项和为S ，则以下结论正确的是 ( )
n n
A.x >x B.x -2x <x x
n+1 n n n+1 n n+1
C.2 x >x +1 D.S >2
n+2 n+1 n+5
606 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ex-x-1，数列{a }的前n项和为S ，且满
n n
1
足a = ,a =f(a )，则下列有关数列{a }的叙述正确的是 ( )
1 2 n+1 n n
A.a <|4a -3a| B.a ≤a
5 2 1 7 8
C.a >1 D.S >26
10 100
607 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ex-x-1，数列{a }的前n项和为S ，且满
n n
1
足a = ，a =f(a )，则下列有关数列{a }的叙述正确的是 ( )
1 2 n+1 n n
1
A.a > B.a <a C.S <26 D.a >|4a -3a|
2 4 6 7 100 5 2 1
608 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }满足：a >0，且a2=3a2 -2a (n∈N*)，下
n n n n+1 n+1
列说法正确的是 ( )
1 3
A.若a = ，则a >a B.若a =2，则a ≥1+
1 2 n n+1 1 n 7

n-1
C.a 1 +a 5 ≤2a 3 D. a n+2 -a n+1 
3
≥ 3 a n+1 -a n 
609 (2024·陕西渭南·统考二模)已知函数fx  =sinx+lnx，将fx  的所有极值点按照由小
到大的顺序排列，得到数列x
n
 ，对于∀n∈N ，则下列说法中正确的是 ( )
+
A.nπ<x n <n+1  π B.x -x <π n+1 n
2n-1 C.数列 x - n  π  2     是递增数列 D. fx 2n  4n-1 <-1+ln  π 2
610 (2024·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试)无穷数列a
n
 满足：0<a <1，且对任意
1
的正整数n，均有ean+1=3-a n  ean，则下列说法正确的是 ( )
A.数列a
n
 为严格减数列 B.存在正整数n，使得a <0
n
C.数列a
n

4
中存在某一项为最大项 D.存在正整数n，使得a >
n 3
2 题型二：函数与不等式的综合
611 (2024·全国·高三专题练习)关于x的不等式x-1  9999-29999⋅x9999≤x+1，解集为
.
第 页 共 页
135 1043612 (2024·全国·高三专题练习)意大利数学家斐波那契(1175年~1250年)以兔子繁殖数量为
例，引人数列：1,1,2,3,5,8,⋯，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即a =
n+2
a +a n∈N*
n+1 n
 ，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为a =
n
1 1+ 5 
5 2
 n 1- 5 -
2
  n 

 ．设n是不等式log 2(1+ 5)n-(1- 5)n  >n+5的正整
数解，则n的最小值为 ．
1
613 (2024·辽宁·高三校考阶段练习)已知函数f(x)= +x+2，若不等式f(m⋅4x+1)+
2x+1
f(m-2x)≥5对任意的x>0恒成立，则实数m的最小值为 .
614 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx  是定义域为R的函数，f2+x  +f-x  =0，对任
意x 1 ，x 2 ∈1,+∞  x 1 <x 2  ，均有fx 2  -fx 1  >0，已知a，ba≠b  为关于x的方程x2
-2x+t2-3=0的两个解，则关于t的不等式fa  +fb  +ft  >0的解集为 ( )
A. -2,2  B. -2,0  C. 0,1  D. 1,2 
3 题型三：函数中的创新题
615 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明
的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的
a +ax+⋯+a xm
[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)= 0 1 m ，且满足：f(0)=R(0)，f(0)=R
1+bx+⋯+b xn
1 n
(0)，f(0)=R(0)⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶
ax
帕德近似为R(x)= ．注：f(x)=f(x)
1+bx
 ,f(x)=f(x)  ,f(4)(x)=f(x)  ,f(5)
(x)=f(4)(x)  ,⋯
(1)求实数a，b的值；
1
(2)求证：(x+b)f
x
 >1；
1
(3)求不等式1+
x

x 1
<e<1+
x

x+1
2的解集，其中e=2.71828⋯．
616 (2024·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模)定义：如果函数y=fx  和y=gx  的图像
上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y=fx  和y=gx  具有C关系．
(1)判断函数fx  =log 8x2 2  和gx  =log x是否具有C关系； 1
2
(2)若函数fx  =a x-1和gx  =-x-1不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数fx  =xex和gx  =msinxm<0  在区间0,π  上具有C关系，求实数m的
取值范围．
617 (2024·重庆·高三统考阶段练习)悬索桥(如图)的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中
c x x
的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为y= ec+ec
2
 ，其中c为参
数.当c=1时，该方程就是双曲余弦函数coshx 
ex+e-x
= ，类似的我们有双曲正弦函
2
数sinhx 
ex-e-x
= .
2
第 页 共 页
136 1043(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数y=cosh2x  +sinhx  的最小值；
① coshx    2- sinhx    2=1；
②sinh2x  =2sinhx  coshx  ；
③cosh2x  = coshx    2+ sinhx    2.
π
(2)求证：∀x∈ -π,
 4
 ，coshcosx  >sinhsinx  .
618 (2024·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习)布劳威尔不动点定理是拓
扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就
是对于满足一定条件的连续实函数fx  ，存在一个点x 0 ，使得fx 0  =x ，那么我们称该函 0
数为“不动点"函数，而称x 0 为该函数的一个不动点．现新定义：若x 0 满足fx 0  =-x ， 0
则称x 0 为fx  的次不动点．
(1)判断函数fx  =x2-2是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理
由
(2)已知函数gx 
1
= x+1
2
 ，若a是gx  的次不动点，求实数a的值：
(3)若函数hx  =log 4x-b⋅2x
1
2
 在0,1  上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b
的取值范围．
4 题型四：最大值的最小值问题(平口单峰函数、铅锤距离)
619 (2024·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试)已知函数fx  =x3-6x2+ax+b  ，
对于任意的实数a，b，总存在x 0 ∈0,3  ，使得fx 0  ≥m成立，则当m取最大值时，a+b
= ( )
A.7 B.4 C.-4 D.-7
620 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)设函数fx 
4
=x+ -ax-b
x
 ，若对任意的实数a，b，
总存在x 0 ∈1,3  使得fx 0  ≥m成立，则实数m的最大值为 ( )
8-4 3
A.-1 B.0 C. D.1
3
621 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx 
4
= -ax x  ，若对任意的正实数a，总存在x ∈ 0
1,4  ，使得fx 0  ≥m，则实数m的取值范围为 ( )
A. -∞,0  B. -∞,1  C. -∞,2  D. -∞,3 
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137 1043x-2
622 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= -ax-b
x+2
 ，若对任意的实数a，b，总存
在x 0 ∈[-1,2]，使得fx 0  ≥m成立，则实数m的取值范围是 ( )
1
A. -∞,
4

1
B. -∞,
2

2
C. -∞,
3
 D.(-∞,1]
623 (2024·高一课时练习)已知函数fx 
1
=ax+ +b
x
 a,b∈R 
1
，当x∈  ,2
 2
 时，设fx  的
最大值为Ma,b  ，则Ma,b  的最小值为 ( )
1 1 1
A. B. C. D.1
8 4 2
624 (2024·江西宜春·校联考模拟预测)已知函数fx 
1
=lnx+ -ax-b x  a,b∈R  ，且x ∈ 0
1,e2 
1 1
，满足lnx + =e-1，当x∈  ,x 0 x  e 0
0
 时，设函数fx  的最大值为Ma,b  ，则
Ma,b  的最小值为 ( )
3-e 1 e-1 e-2
A. B. C. D.
2 2 2 2
625 (2024·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中)若a、b∈R，且对于0≤x≤1时，不
等式 1-x2-ax-b 
2-1
≤ 均成立，则实数对a,b
2
 = ．
5 题型五：倍值函数
626 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  的定义域为D，若满足：①fx  在D内是单调函数；
②存在a,b  ⊆D使得fx  在a,b 
a b
上的值域为  ,
 2 2
 ，则称函数fx  为“成功函数”．
若函数fx  =log mmx+2t  (其中m>0，且m≠1)是“成功函数”，则实数t的取值范围
为 ( )
A. 0,+∞ 
1
B. -∞,
8

1 1
C.   ,
 8 4

1
D. 0,
8

627 (2024·上海金山·高三上海市金山中学校考期末)设函数f(x)的定义域为D，若存在闭区
间a,b  ⊆D，使得f(x)函数满足：(1)f(x)在a,b  上是单调函数；(2)f(x)在a,b  上的值
域是2a,2b  ，则称区间a,b  是函数f(x)的“和谐区间”，下列结论错误的是
A.函数f(x)=x2(x≥0)存在“和谐区间”
B.函数f(x)=ex(x∈R)不存在“和谐区间”
4x
C.函数f(x)= (x≥0)存在“和谐区间”
x2+1
1
D.函数f(x)=log ax-
a 8
 (a>0，a≠1)不存在“和谐区间”
628 (2024·安徽·高三统考期末)函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a,b]⊆D，使得函数
f(x)满足：①f(x)在[a,b]内是单调函数；②f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则称区间
[a,b]为y=f(x)的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
① ；②f(x)=ex(x∈R)；
③ ；④
A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①③
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138 1043629 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间
a,b  ⊆D，使得函数fx  满足：①fx  在a,b  内是单调函数；②fx  在a,b  上的值域
为ka,kb  ，则称区间a,b  为y=fx  的k级“理想区间”.下列结论错误的是 ( )
A.函数fx  =x2(x∈R)存在1级“理想区间”
B.函数fx  =ex(x∈R)不存在2级“理想区间”
C.函数fx 
4x
= (x≥0)存在3级“理想区间”
x2+1
D.函数fx 
π π
=tanx，x∈- ,
2 2
 不存在4级“理想区间”
630 (2024·全国·高三专题练习)设函数的定义域为D，若满足条件：存在a,b  ⊆D，使fx  在
a,b 
a b
上的值域为  ,
 2 2
 ，则称fx  为“倍缩函数”.若函数fx  =ex+t为“倍缩函数”，
则实数t的取值范围是
1+ln2
A. -∞,-
2

1+ln2
B. -∞,-
2

1+ln2
C.   ,+∞
 2

1+ln2
D.  ,+∞
2

6 题型六：函数不动点问题
631 (2024·广西柳州·统考模拟预测)设函数f(x)= ex+e-1  x-a(a∈R，e为自然对数的
底数)，若曲线y=sinx上存在点x 0 ,y 0  使fy 0  =y 成立，则a的取值范围是 ( ) 0
A. 1,2e-2  B. e-1-e,1  C. 1,e  D. e-1-e,2e-2 
632 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx 
lnx
= +x-aa∈R
x

2ex+1
，若曲线y= (e是自
e2x+1
然对数的底数)上存在点x 0 ,y 0  使得f fy 0    =y ，则a的取值范围是 0
A. -∞,0  B. 0,e 
1
C. -∞,
e
 D. 0,+∞ 
633 (2024·江苏·高二专题练习)若存在一个实数t，使得Ft  =t成立，则称t为函数Fx  的
一个不动点.设函数gx  =ex+1- e  x-a(a∈R,e为自然对数的底数)，定义在R上
的连续函数fx  满足f-x  +fx  =x2，且当x≤0时，f'x  <x.若存在x ∈ 0
x fx 
1
+ ≥f1-x 2    +x   ，且x 0 为函数gx  的一个不动点，则实数a的取值范围为
( )
e A. -∞,
2
  e B.  ,+∞
 2
 e C.  , e
2
 e D.  ,+∞
2

634 (2024·全国·高三专题练习)设函数f(x)= ex+x-a(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲
3 10 10
线y= sinx+ cosx上存在点(x ，y )使得f(y )=y ，则a的取值范围是
10 10 0 0 0 0
1-e 1-e
A.[ ,1] B.   ，e+1
e  e
 C.[1，e+1] D.[1,e]
635 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx  =ex+2x-a(a∈R)，e为自然对数的底数，若曲
线y=sinx上存在点x 0 ,y 0  ，使得f fy 0    =y ，则a的取值范围是 ( ) 0
A. -1+e-1,1+e  B. 1,1+e 
C. e,e+1  D. 1,e 
第 页 共 页
139 10437 题型七：函数的旋转问题
636 (2024·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习)将函数f(x)=ln(x+1)(x≥0)的图象绕
坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都
仍然是一个函数的图象，则α的最大值为 ( )
π π π
A.π B. C. D.
2 3 4
637 (2024·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中)设D是含数1的有限实数集，fx  是定
义在D上的函数，若fx 
π
的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项
6
中，f1  的可能取值只能是 ( )
3 3
A. 3 B. C. D.0
2 3
x2
638 (2024·全国·高三专题练习)双曲线 -y2=1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函
3
数f(x)的图象，关于此函数f(x)有如下四个命题，其中真命题的个数为 ( )
①f(x)是奇函数；
3 3
②f(x)的图象过点 ,
2 2

3 3
或 ,-
2 2
 ；
3
③f(x)的值域是-∞,-
2

3
∪  ,+∞
 2
 ；
④函数y=f(x)-x有两个零点．
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
x π
639 (2024·全国·高三专题练习)将函数y=2sin x∈ 0,
2  2
   的图像绕着原点逆时针旋转角
α得到曲线T，当α∈0,θ  时都能使T成为某个函数的图像，则θ的最大值是 ( )
π π 3 2
A. B. C. π D. π
6 4 4 3
8 题型八：函数的伸缩变换问题
640 (2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末)定义域为R的函数fx  满足fx+2  =
2fx  -1，当x∈0,2  时，fx 
x2-x,x∈0,1
=

1
,x∈1,2
x


 .若x∈0,4 
7t
时，t2- ≤fx
2
 ≤3
-t恒成立，则实数t的取值范围是 ( )
A. 1,2 
5
B.  1,  2 
1
C.   ,2  2 
5
D.  2,  2 
641 (2024·全国·高三专题练习)定义域为R的函数fx  满足fx+2  =2fx  ，当x0,2  时，
fx 
x2-x,x∈0,1
=

1 -
2
 x-3 2  ,x∈1,2 

 ，若当x∈-4,-2  时，不等式fx 
m2 1
≥ -m+ 恒成立， 4 2
则实数m的取值范围是 ( )
A. 2,3  B. 1,3  C. 1,4  D. 2,4 
642 (2024·全国·高三专题练习)已知定义域为R的函数fx  满足fx  =2fx+2  ，当x∈
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140 10430,2 
-x2+x+1,x∈[0,1)
时，f(x)= 1 
2
 x-3 2 

 ，设fx ,x∈[1,2)  在2n-2,2n  上的最大值为a n∈N* n  则
数列{a }的前n项和S 的值为 ( )
n n
1
A.5-5
2

n 5 1
B. -5
2 2

n 1
C.5-5
2

n+1 5 1
D. -5
2 2

n+1
643 (2024·甘肃·高三西北师大附中阶段练习)定义域为R的函数fx  满足fx+2  =2fx 
-2，当x∈0,2  时，fx 
x2-x,x∈(0,1)

= 1 ，若x∈0,4
,x∈[1,2]
x

7t
时，t2- ≤f(x)恒成立，则
2
实数t的取值范围是 ( )
A. 1,2 
5
B.  2,  2  C. 2,+∞ 
5
D.  1,  2 
9 题型九：V型函数和平底函数
644 (2024·全国·高三专题练习)已知a ，a ，a 与b ，b ，b 是6个不同的实数，若关于x的方
1 2 3 1 2 3
程|x-a|+|x-a |+|x-a |=|x-b|+|x-b |+|x-b |解集A是有限集，则集合A中，
1 2 3 1 2 3
最多有 个元素．
645 (浙江省衢州市2024学年高三数学试题)已知等差数列a n  满足：a 1  +a 2  +⋯+a n  =
1
a -
1 2

1
+a -
2 2

1
+⋯+a -
n 2

3
=a +
1 2

3
+a +
2 2

3
+⋯+a +
n 2
 =72，则n的最大值
为 ( )
A.18 B.16 C.12 D.8
646 (上海市川沙中学2024学年高三第二学期数学试题)等差数列a,a ,⋅⋅⋅,
1 2
a n≥3,n∈N*
n
 ，满足|a|+|a |+⋅⋅⋅+|a | = |a +1|+|a +1|+⋅⋅⋅+|a +1|= |a -2|
1 2 n 1 2 n 1
+|a -2|+⋅⋅⋅+|a -2| =2019，则 ( )
2 n
A.n的最大值为50 B.n的最小值为50
C.n的最大值为51 D.n的最小值为51
647 (上海市青浦区2024届高三二模数学试题)等差数列a,a ⋯,a n∈N* 1 2 n  ，满足a 1  +a 2 
+⋯+a n  =a 1 +1  +a 2 +1  +⋯+a n +1  =a 1 +2  +a 2 +2  +⋯+a n +2  =a 1 +3  +
a 2 +3  +⋯+a n +3  =2010，则 ( )
A.n的最大值是50 B.n的最小值是50
C.n的最大值是51 D.n的最小值是51
648 (浙江省金丽衢十二校2024学年高三第一次联考数学试题)设等差数列a ，a ，⋯，a (n
1 2 n
≥3，n∈N*)的公差为d，满足a 1  +a 2  +⋅⋅⋅+a n  =a 1 -1  +a 2 -1  +⋅⋅⋅+a n -1  =
a 1 +2  +a 2 +2  +⋅⋅⋅+a n +2  =m，则下列说法正确的是
A. d  ≥3 B.n的值可能为奇数
C.存在i∈N*，满足-2<a <1 D.m的可能取值为11
i
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