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第16讲 极值与最值
知识梳理
知识点一：极值与最值
1、函数的极值
函数f(x)在点x 附近有定义，如果对x 附近的所有点都有f(x)f(x )，则称f(x )是函
极大值 0 0 0 0
数的一个极小值，记作y =f(x )．极大值与极小值统称为极值，称x 为极值点．
极小值 0 0
求可导函数f(x)极值的一般步骤
(1)先确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f(x)；
(3)求方程f(x)=0的根；
(4)检验f(x)在方程f(x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附
近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为
正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值．
注：①可导函数f(x)在点x 处取得极值的充要条件是：x 是导函数的变号零点，即f(x )=
0 0 0
0，且在x 左侧与右侧，f(x)的符号导号．
0
②f(x )=0是x 为极值点的既不充分也不必要条件，如f(x)=x3，f(0)=0，但x =0不是
0 0 0
极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数f(x)=x ，在极小值点x =0是不可导的， 0
于是有如下结论：x 为可导函数f(x)的极值点⇒f(x )=0；但f(x )=0⇒x 为f(x)的极值
0 0 0 0
点．
2、函数的最值
函数y=f(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数f(x)最小值为极小值
与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为f(x)=ax2+bx+c=a(x-x)(x-x )(m0时，最大值是f(x)与f(n)中的最大者；最小值是f(x )与f(m)中的最小者．
1 2
(2)当a<0时，最大值是f(x )与f(m)中的最大者；最小值是f(x)与f(n)中的最小者．
2 1
一般地，设y=f(x)是定义在[m，n]上的函数，y=f(x)在(m，n)内有导数，求函数y=
f(x)在[m，n]上的最大值与最小值可分为两步进行：
(1)求y=f(x)在(m，n)内的极值(极大值或极小值)；
(2)将y=f(x)的各极值与f(m)和f(n)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小
值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函
数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区
间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【解题方法总结】
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121 1043(1)若函数fx 在区间D上存在最小值fx 和最大值fx
min
，则
max
不等式fx >a在区间D上恒成立⇔fx >a；
min
不等式fx ≥a在区间D上恒成立⇔fx ≥a；
min
不等式fx a 或fx ≥a 在区间D上恒成立⇔m≥a．
不等式fx fx 在区间D上有解⇔a>fx ；
min
不等式a≥fx 在区间D上有解⇔a≥fx ；
min
(4)若函数fx 在区间D上不存在最大(小)值，如值域为m,n ，则对不等式有解问题有以
下结论：
不等式afx 或b≥fx 在区间D上有解⇔b>m
(5)对于任意的x 1 ∈a,b ，总存在x 2 ∈m,n ，使得fx 1 ≤gx 2 ⇔fx 1 max ≤gx 2 ； max
(6)对于任意的x 1 ∈a,b ，总存在x 2 ∈m,n ，使得fx 1 ≥gx 2 ⇔fx 1 min ≥gx 2 ； min
(7)若存在x 1 ∈a,b ，对于任意的x 2 ∈m,n ，使得fx 1 ≤gx 2 ⇔fx 1 min ≤gx 2 ； min
(8)若存在x 1 ∈a,b ，对于任意的x 2 ∈m,n ，使得fx 1 ≥gx 2 ⇔fx 1 max ≥gx 2 ； max
(9)对于任意的x 1 ∈a,b ，x 2 ∈m,n 使得fx 1 ≤gx 2 ⇔fx 1 max ≤gx 2 ； min
(10)对于任意的x 1 ∈a,b ，x 2 ∈m,n 使得fx 1 ≥gx 2 ⇔fx 1 min ≥gx 2 ； max
(11)若存在x 1 ∈a,b ，总存在x 2 ∈m,n ，使得fx 1 ≤gx 2 ⇔fx 1 min ≤gx 2 max
(12)若存在x 1 ∈a,b ，总存在x 2 ∈m,n ，使得fx 1 ≥gx 2 ⇔fx 1 max ≥gx 2 ． min
必考题型全归纳
1 题型一：求函数的极值与极值点
508 (2024·全国·高三专题练习)若函数fx 存在一个极大值fx 1 与一个极小值fx 2 满足
fx 2 >fx 1 ，则fx 至少有( )个单调区间.
A.3 B.4 C.5 D.6
509 (2024·全国·高三专题练习)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数fx 的大致图象如图
所示，则下列叙述正确的是 ( )
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122 1043A. fb >fa >fc
B.函数fx 在x=c处取得最大值，在x=e处取得最小值
C.函数fx 在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值
D.函数fx 的最小值为fd
510 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx 的导函数为f′x ，则“y=f′x 在0,2 上有两个零
点”是“fx 在0,2 上有两个极值点”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
511 (2024·广西南宁·南宁三中校考一模)设函数fx =x-a x-b x-c ，a,b,c∈R，
fx 为fx 的导函数．
(1)当a=b=c=0时，过点P1,0 作曲线y=fx 的切线，求切点坐标；
(2)若a≠b，b=c，且fx 和fx
2
的零点均在集合2,-2, 3 中，求fx 的极小值．
512 (2024·河北·统考模拟预测)已知函数f(x)= x-aln(x+b)．
(1)证明：当a>0,b=0时，fx 有唯一的极值点为x ，并求f(x )取最大值时x 的值； 0 0 0
(2)当b>0时，讨论fx 极值点的个数．
513 (2024·江苏无锡·校联考三模)已知函数fx =tanx+ln1-x
π
,x∈- ,1
2
.求fx 的
极值；
2 题型二：根据极值、极值点求参数
514 (2024·贵州·校联考模拟预测)已知函数fx =ax3+bx在x=1处取得极大值4，则a-b
= ( )
A.8 B.-8 C.2 D.-2
515 (2024·陕西商洛·统考三模)若函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x无极值，则a的取值范围为
( )
A.[-3,6] B.(-3,6)
C.(-∞,-3]∪[6,+∞) D.(-∞,-3)∪(6,+∞)
516 (2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)函数gx
lnx
= 在区间t,+∞
x+1
t∈N*
上存在极值，则t的最大值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
517 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx
1
= x2-1+a
2
x+alnx在x=a处取得极小
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123 1043值，则实数a的取值范围为 ( )
A. 1,+∞ B. 1,+∞ C. 0,1 D. 0,1
518 (2024·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测)已知函数fx
1
=ex- x2-
2
axa∈R 有两个极值点，则实数a的取值范围 ( )
A. -∞,1 B. 0,1 C. 0,1 D. 1,+∞
519 (2024·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试)若x=a是函数f(x)=(x-a)2(x-
1)的极大值点，则a的取值范围是 ( )
A.a<1 B.a≤1 C.a>1 D.a≥1
3 题型三：求函数的最值(不含参)
520 (2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模)已知函数fx =exsinx-2x.
(1)求曲线y=fx 在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求fx 在区间[-1,1]上的最大值；
521 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知函数fx
x-1
=lnx- 在区间[1,e]
x
上最大值为M，最小值为m，则M-m的值是 .
522 (2024·辽宁葫芦岛·统考二模)已知函数f(x)=2sinx(1+cosx)，则f(x)的最大值是
．
523 (2024·湖北武汉·统考模拟预测)已知函数fx
1+sinx π
= ，x∈ 0,
2cosx+sinx 2
，则函数fx
的最小值为 .
524 (2024·山西·高三校联考阶段练习)已知x>0,y>0，且ln(xy)y=ex，则x2y-lnx-x的
最小值为 .
n
525 (2024·海南海口·统考模拟预测)已知正实数m，n满足：nlnn=em-nlnm，则 的最
m
小值为 .
4 题型四：求函数的最值(含参)
526 (2024·天津和平·统考三模)已知函数fx = x-alnx，gx =cosx-1 e-x，其中a∈
R.
(1)若曲线y=fx 在x=1处的切线l 1 与曲线y=gx
π
在x= 处的切线l 平行，求a 2 2
的值；
(2)若x∈0,π 时，求函数gx 的最小值；
(3)若fx 的最小值为ha ，证明：当a∈0,+∞ 时，ha ≤1.
527 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx
1
=alnx+ x-a，a∈R．讨论函数fx
2
的最值；
528 (2024·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知函数fx
1 1
= x3- 6+a
3 2
x2+8+6a x
-8alnx-4a，其中a∈R．
(1)若a=2，求fx 的单调区间；
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124 1043(2)已知f2 =f4 ，求fx
1
的最小值．(参考数据：1<
33-4ln2
<2)
529 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =ln1+x +axe-x．
(1)当a=-1时，讨论函数fx 在0,+∞ 上的单调性；
(2)当a≥0时，求fx 在-1,0 内的最大值；
1+lnx
530 (2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测)已知函数f(x)=1+klnx-
x
(k≠
0)．
(1)若f(x)存在最大值M，证明：M+k>1；
x+M-1
(2)在(1)的条件下，设函数g(x)=xe k -x，求g(x)的最小值(用含M，k的代数式表
示)．
5 题型五：根据最值求参数
531 (2024·四川宜宾·统考三模)已知函数f(x)=mxe-x+x-lnx(m∈R).
(1)讨论函数fx 的极值点个数；
(2)若m>0，fx 的最小值是1+lnm，求实数m的所有可能值.
532 (2024·山东·山东省实验中学校考一模)若函数fx
1
= x3+x2-2在区间a-4,a
3
上存
在最小值，则整数a的取值可以是 ．
533 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)=12x-x3在区间(m-5,2m+1)上有最小值，
则实数m的取值范围为 .
534 (2024·福建泉州·高三统考阶段练习)已知函数f(x)=|x-1|-alnx的最小值为0，则a的
取值范围为 ．
535 (2024·江苏南通·高三校考开学考试)若函数f(x)=|ex+a|-x的最小值为-1，则a=
．
536 (2024·全国·高三专题练习)若函数fx =ex -x2+2x+a 在区间a,a+1 上存在最大
值，则实数a的取值范围为
537 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx
1 1
= x3+ x2-2x+1，若函数fx
3 2
在
2a-2,2a+3 上存在最小值.则实数a的取值范围是 .
6 题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
538 (2024·天津河北·统考二模)已知a>0，函数fx =xlna-alnx+x-e 2，其中e是自然
对数的底数.
(1)当a=1时，求曲线y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2)当a=e时，求函数fx 的单调区间；
(3)求证：函数fx 存在极值点，并求极值点x 的最小值. 0
539 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+1，其中a∈R．
(1)当a=3时，求函数fx 在0,3 内的极值；
(2)若函数fx 在1,2 上的最小值为5，求实数a的取值范围．
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125 1043540 (2024·全国·高三专题练习)已知f(x)=exsinx．
(1)求函数f(x)在0,2π 内的极值点；
π π
(2)求函数g(x)=f(x)-x在 - ,
2 2
上的最值．
541 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx =lna-x ，已知x=0是函数y=xfx 的极值
点．
(1)若函数gx =fx +mx2在-1,1 内单调递减，求实数m的取值范围；
(2)讨论函数hx =4fx -x2的零点个数；
(3)求φx
fx
=
1 1
在 - ,
x 2 2
内的最值．
7 题型七：不等式恒成立与存在性问题
542 (2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测)若存在实数a,b(01，不等式ex-x4+3x3lnx-ax3≥0恒成
立，则实数a的取值范围为 .
546 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=2x2+x-k，g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠
0)是R上的奇函数，当x=1时，g(x)取得极值-2．
(1)求函数g(x)的单调区间和极大值；
(2)若对任意x∈-1,3 ，都有f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围；
(3)若对任意x 1 ∈-1,3 ，x 2 ∈-1,3 ，都有f(x)≤g(x )成立，求实数k的取值范围． 1 2
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126 1043
