第16讲极值与最值_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第16讲 极值与最值
知识梳理
知识点一：极值与最值
1、函数的极值
函数f(x)在点x 附近有定义，如果对x 附近的所有点都有f(x)<f(x )，则称f(x )是函数的
0 0 0 0
一个极大值，记作y =f(x )．如果对x 附近的所有点都有f(x)>f(x )，则称f(x )是函
极大值 0 0 0 0
数的一个极小值，记作y =f(x )．极大值与极小值统称为极值，称x 为极值点．
极小值 0 0
求可导函数f(x)极值的一般步骤
(1)先确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f(x)；
(3)求方程f(x)=0的根；
(4)检验f(x)在方程f(x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附
近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为
正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值．
注：①可导函数f(x)在点x 处取得极值的充要条件是：x 是导函数的变号零点，即f(x )=
0 0 0
0，且在x 左侧与右侧，f(x)的符号导号．
0
②f(x )=0是x 为极值点的既不充分也不必要条件，如f(x)=x3，f(0)=0，但x =0不是
0 0 0
极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数f(x)=x  ，在极小值点x =0是不可导的， 0
于是有如下结论：x 为可导函数f(x)的极值点⇒f(x )=0；但f(x )=0⇒x 为f(x)的极值
0 0 0 0
点．
2、函数的最值
函数y=f(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数f(x)最小值为极小值
与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为f(x)=ax2+bx+c=a(x-x)(x-x )(m<x <x <n)
1 2 1 2
(1)当a>0时，最大值是f(x)与f(n)中的最大者；最小值是f(x )与f(m)中的最小者．
1 2
(2)当a<0时，最大值是f(x )与f(m)中的最大者；最小值是f(x)与f(n)中的最小者．
2 1
一般地，设y=f(x)是定义在[m，n]上的函数，y=f(x)在(m，n)内有导数，求函数y=
f(x)在[m，n]上的最大值与最小值可分为两步进行：
(1)求y=f(x)在(m，n)内的极值(极大值或极小值)；
(2)将y=f(x)的各极值与f(m)和f(n)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小
值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函
数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区
间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【解题方法总结】
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121 1043(1)若函数fx  在区间D上存在最小值fx  和最大值fx
min
 ，则
max
不等式fx  >a在区间D上恒成立⇔fx  >a；
min
不等式fx  ≥a在区间D上恒成立⇔fx  ≥a；
min
不等式fx  <b在区间D上恒成立⇔fx  <b；
max
不等式fx  ≤b在区间D上恒成立⇔fx  ≤b；
max
(2)若函数fx  在区间D上不存在最大(小)值，且值域为m,n  ，则
不等式fx  >a 或fx   ≥a  在区间D上恒成立⇔m≥a．
不等式fx  <b 或fx   ≤b  在区间D上恒成立⇔m≤b．
(3)若函数fx  在区间D上存在最小值fx  和最大值fx min  ，即fx max  ∈m,n  ，则对不
等式有解问题有以下结论：
不等式a<fx  在区间D上有解⇔a<fx  ；
max
不等式a≤fx  在区间D上有解⇔a≤fx  ；
max
不等式a>fx  在区间D上有解⇔a>fx  ；
min
不等式a≥fx  在区间D上有解⇔a≥fx  ；
min
(4)若函数fx  在区间D上不存在最大(小)值，如值域为m,n  ，则对不等式有解问题有以
下结论：
不等式a<fx  或a≤fx    在区间D上有解⇔a<n
不等式b>fx  或b≥fx    在区间D上有解⇔b>m
(5)对于任意的x 1 ∈a,b  ，总存在x 2 ∈m,n  ，使得fx 1  ≤gx 2  ⇔fx 1  max ≤gx 2  ； max
(6)对于任意的x 1 ∈a,b  ，总存在x 2 ∈m,n  ，使得fx 1  ≥gx 2  ⇔fx 1  min ≥gx 2  ； min
(7)若存在x 1 ∈a,b  ，对于任意的x 2 ∈m,n  ，使得fx 1  ≤gx 2  ⇔fx 1  min ≤gx 2  ； min
(8)若存在x 1 ∈a,b  ，对于任意的x 2 ∈m,n  ，使得fx 1  ≥gx 2  ⇔fx 1  max ≥gx 2  ； max
(9)对于任意的x 1 ∈a,b  ，x 2 ∈m,n  使得fx 1  ≤gx 2  ⇔fx 1  max ≤gx 2  ； min
(10)对于任意的x 1 ∈a,b  ，x 2 ∈m,n  使得fx 1  ≥gx 2  ⇔fx 1  min ≥gx 2  ； max
(11)若存在x 1 ∈a,b  ，总存在x 2 ∈m,n  ，使得fx 1  ≤gx 2  ⇔fx 1  min ≤gx 2  max
(12)若存在x 1 ∈a,b  ，总存在x 2 ∈m,n  ，使得fx 1  ≥gx 2  ⇔fx 1  max ≥gx 2  ． min
必考题型全归纳
1 题型一：求函数的极值与极值点
508 (2024·全国·高三专题练习)若函数fx  存在一个极大值fx 1  与一个极小值fx 2  满足
fx 2  >fx 1  ，则fx  至少有( )个单调区间.
A.3 B.4 C.5 D.6
509 (2024·全国·高三专题练习)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数fx  的大致图象如图
所示，则下列叙述正确的是 ( )
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122 1043A. fb  >fa  >fc 
B.函数fx  在x=c处取得最大值，在x=e处取得最小值
C.函数fx  在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值
D.函数fx  的最小值为fd 
510 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx  的导函数为f′x  ，则“y=f′x  在0,2  上有两个零
点”是“fx  在0,2  上有两个极值点”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
511 (2024·广西南宁·南宁三中校考一模)设函数fx  =x-a  x-b  x-c  ，a,b,c∈R，
fx  为fx  的导函数．
(1)当a=b=c=0时，过点P1,0  作曲线y=fx  的切线，求切点坐标；
(2)若a≠b，b=c，且fx  和fx 
2
的零点均在集合2,-2,  3  中，求fx  的极小值．
512 (2024·河北·统考模拟预测)已知函数f(x)= x-aln(x+b)．
(1)证明：当a>0,b=0时，fx  有唯一的极值点为x ，并求f(x )取最大值时x 的值； 0 0 0
(2)当b>0时，讨论fx  极值点的个数．
513 (2024·江苏无锡·校联考三模)已知函数fx  =tanx+ln1-x 
π
,x∈- ,1
2
 .求fx  的
极值；
2 题型二：根据极值、极值点求参数
514 (2024·贵州·校联考模拟预测)已知函数fx  =ax3+bx在x=1处取得极大值4，则a-b
= ( )
A.8 B.-8 C.2 D.-2
515 (2024·陕西商洛·统考三模)若函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x无极值，则a的取值范围为
( )
A.[-3,6] B.(-3,6)
C.(-∞,-3]∪[6,+∞) D.(-∞,-3)∪(6,+∞)
516 (2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)函数gx 
lnx
= 在区间t,+∞
x+1
 t∈N* 
上存在极值，则t的最大值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
517 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
1
= x2-1+a
2
 x+alnx在x=a处取得极小
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123 1043值，则实数a的取值范围为 ( )
A. 1,+∞  B. 1,+∞  C. 0,1  D. 0,1 
518 (2024·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测)已知函数fx 
1
=ex- x2-
2
axa∈R  有两个极值点，则实数a的取值范围 ( )
A. -∞,1  B. 0,1  C. 0,1  D. 1,+∞ 
519 (2024·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试)若x=a是函数f(x)=(x-a)2(x-
1)的极大值点，则a的取值范围是 ( )
A.a<1 B.a≤1 C.a>1 D.a≥1
3 题型三：求函数的最值(不含参)
520 (2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模)已知函数fx  =exsinx-2x.
(1)求曲线y=fx  在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求fx  在区间[-1,1]上的最大值；
521 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知函数fx 
x-1
=lnx- 在区间[1,e]
x
上最大值为M，最小值为m，则M-m的值是 .
522 (2024·辽宁葫芦岛·统考二模)已知函数f(x)=2sinx(1+cosx)，则f(x)的最大值是
．
523 (2024·湖北武汉·统考模拟预测)已知函数fx 
1+sinx π
= ，x∈ 0,
2cosx+sinx  2
 ，则函数fx 
的最小值为 .
524 (2024·山西·高三校联考阶段练习)已知x>0,y>0，且ln(xy)y=ex，则x2y-lnx-x的
最小值为 .
n
525 (2024·海南海口·统考模拟预测)已知正实数m，n满足：nlnn=em-nlnm，则 的最
m
小值为 .
4 题型四：求函数的最值(含参)
526 (2024·天津和平·统考三模)已知函数fx  = x-alnx，gx  =cosx-1  e-x，其中a∈
R.
(1)若曲线y=fx  在x=1处的切线l 1 与曲线y=gx 
π
在x= 处的切线l 平行，求a 2 2
的值；
(2)若x∈0,π  时，求函数gx  的最小值；
(3)若fx  的最小值为ha  ，证明：当a∈0,+∞  时，ha  ≤1.
527 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx 
1
=alnx+ x-a，a∈R．讨论函数fx
2
 的最值；
528 (2024·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知函数fx 
1 1
= x3- 6+a
3 2
 x2+8+6a  x
-8alnx-4a，其中a∈R．
(1)若a=2，求fx  的单调区间；
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124 1043(2)已知f2  =f4  ，求fx 
1
的最小值．(参考数据：1<
33-4ln2 
<2)
529 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =ln1+x  +axe-x．
(1)当a=-1时，讨论函数fx  在0,+∞  上的单调性；
(2)当a≥0时，求fx  在-1,0  内的最大值；
1+lnx
530 (2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测)已知函数f(x)=1+klnx-
x
 (k≠
0)．
(1)若f(x)存在最大值M，证明：M+k>1；
x+M-1
(2)在(1)的条件下，设函数g(x)=xe k -x，求g(x)的最小值(用含M，k的代数式表
示)．
5 题型五：根据最值求参数
531 (2024·四川宜宾·统考三模)已知函数f(x)=mxe-x+x-lnx(m∈R).
(1)讨论函数fx  的极值点个数；
(2)若m>0，fx  的最小值是1+lnm，求实数m的所有可能值.
532 (2024·山东·山东省实验中学校考一模)若函数fx 
1
= x3+x2-2在区间a-4,a
3
 上存
在最小值，则整数a的取值可以是 ．
533 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)=12x-x3在区间(m-5,2m+1)上有最小值，
则实数m的取值范围为 .
534 (2024·福建泉州·高三统考阶段练习)已知函数f(x)=|x-1|-alnx的最小值为0，则a的
取值范围为 ．
535 (2024·江苏南通·高三校考开学考试)若函数f(x)=|ex+a|-x的最小值为-1，则a=
．
536 (2024·全国·高三专题练习)若函数fx  =ex -x2+2x+a  在区间a,a+1  上存在最大
值，则实数a的取值范围为
537 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
1 1
= x3+ x2-2x+1，若函数fx
3 2
 在
2a-2,2a+3  上存在最小值.则实数a的取值范围是 .
6 题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
538 (2024·天津河北·统考二模)已知a>0，函数fx  =xlna-alnx+x-e  2，其中e是自然
对数的底数.
(1)当a=1时，求曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程；
(2)当a=e时，求函数fx  的单调区间；
(3)求证：函数fx  存在极值点，并求极值点x 的最小值. 0
539 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+1，其中a∈R．
(1)当a=3时，求函数fx  在0,3  内的极值；
(2)若函数fx  在1,2  上的最小值为5，求实数a的取值范围．
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125 1043540 (2024·全国·高三专题练习)已知f(x)=exsinx．
(1)求函数f(x)在0,2π  内的极值点；
π π
(2)求函数g(x)=f(x)-x在 - ,
 2 2
 上的最值．
541 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx  =lna-x  ，已知x=0是函数y=xfx  的极值
点．
(1)若函数gx  =fx  +mx2在-1,1  内单调递减，求实数m的取值范围；
(2)讨论函数hx  =4fx  -x2的零点个数；
(3)求φx 
fx
=
 1 1
在 - ,
x  2 2
 内的最值．
7 题型七：不等式恒成立与存在性问题
542 (2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测)若存在实数a,b(0<b<2)，使得关于x的不
2
等式3x3≤ax+b≤2x2+2对x∈0,+∞  恒成立，则b的最大值是 .
x2 a
543 (2024·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习)若不等式 +2ln +x-2≥0
ex-2 x
对∀x∈0,+∞  恒成立，则a的取值范围是 .
π
544 (2024·全国·高三专题练习)若存在x∈0,
2
 ，使得不等式2x-sinx≥mx成立，则m的
取值范围为
545 (2024·浙江金华·统考模拟预测)对任意的x>1，不等式ex-x4+3x3lnx-ax3≥0恒成
立，则实数a的取值范围为 .
546 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=2x2+x-k，g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠
0)是R上的奇函数，当x=1时，g(x)取得极值-2．
(1)求函数g(x)的单调区间和极大值；
(2)若对任意x∈-1,3  ，都有f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围；
(3)若对任意x 1 ∈-1,3  ，x 2 ∈-1,3  ，都有f(x)≤g(x )成立，求实数k的取值范围． 1 2
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