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复习专题十二 功和功率
——精剖细解细复习讲义
知识点1：动能
1、定义
物体由于运动而具有的能叫动能。
2、表达式
E＝mv2
k
3、单位
国际单位为焦耳，简称焦，符号为J。
4、特性
标示性 动能为标量，只有大小，没有方向。
瞬时性 动能具有瞬时性，与某一时刻或某一位置的速度相对应。
相对性 选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
5、物理意义
动能是表征物体运动状态的物理量。因此动能是状态量（与物体某一时刻或某一位置的速度相
对应）。
6、动能与速度的关系
速度变了，动能不一定变化，只有速度的大小变了动能才变。
动能的定义和表达式
1．如图所示，某地有一风力发电机，它的叶片转动时可形成一个圆面。某时间内该地区的风速从
6m/s提升至9m/s，风向均恰好跟叶片转动的圆面垂直，假如空气的密度相同，这个风力发电机将
此圆内空气动能转化为电能的效率不变。则风速提升前后发电机的输电功率之比为（ ）A．1：2 B．2：3 C．4：9 D．8：27
【答案】D
【详解】设空气的密度为 ，叶片转动时可形成一个圆面的面积为 ，将此圆内空气动能转化为电
能的效率为 ，在时间 内通过叶片的空气质量为
则风能转化的电能为
所以风力发电机发电的功率为
又风速提升前后大小之比
因此风速提升前后发电机的输电功率之比为
故选D。
2．甲乙两个物体质量相等，若他们的速度之比为1：3，则它们的动能之比为（ ）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
【答案】C
【详解】它们的速度之比为1：3时，则它们的动能之比为
故选C。
物体动能的比较
3．如图所示，质量相同的两小球a、b分别从斜面顶端A和斜面中点B沿水平方向抛出，恰好都落
在斜面底端，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）A．小球a、b抛出时的初速度大小之比为2∶1
B．小球a、b到达斜面底端时的位移之比为
C．小球a、b到达斜面底端时的动能之比为4∶1
D．小球a、b到达斜面底端时速度方向与斜面夹角之比为1∶1
【答案】D
【详解】B．因为两球下落的高度之比为2:1，两球的水平位移之比为2:1，小球a、b到达斜面底端
时的位移之比为2:1，故B错误；
A．根据 得
则时间之比为 ，根据 知，初速度之比为 ，故A错误；
C．根据动能定理可知，到达斜面底端时的动能之比
故C错误；
D．小球落在斜面上，速度方向与水平方向夹角
位移与水平方向夹角正切值
可得
因为位移与水平方向的夹角相等，则速度与水平方向的夹角相等，到达斜面底端时速度方向与斜面
的夹角也相等，故D正确。故选D。
4．如图所示，高度相同、倾角不同的两个光滑斜面固定在同一水平地面上，质量相等的两个物体
分别从两斜面顶端由静止开始下滑，不计空气阻力，在它们到达斜面底端的过程中（ ）
A．到达底部时重力的功率相等 B．重力做的功相同
C．到达底部时的速度相同 D．到达底部时的动能不相等
【答案】B
【详解】B．设斜面高为h，倾角为θ，物体质量为m，则物体滑至底端，有
故B正确；
CD．物块沿斜面匀加速运动，有
解得
由此可知，当物块到达底部时速度大小相等，动能相等，但速度方向不同，故CD错误；
A．到达底部时重力的功率为
故A错误。
故选B。
知识点2：动能定理
1、内容
力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2、表达式W＝E －E ＝mv－mv。W表示物体所受合外力做的功，E ＝mv、E ＝mv分别表示物体的初、
k2 k1 k1 k2
末动能。
3、物理意义
动能定理指出了合外力做的总功与动能的变化关系，即动能变化的大小由外力对物体做的总功
的多少决定。合外力所做的功是物体动能变化的量度。动能定理说明了合外力对物体所做的总功和
物体的动能变化的因果关系和数量关系，不可理解为功转变成了物体的动能，而是物体动能的变化
是通过合外力所做的总功的过程来实现的。
4、适用条件
动能定理适用于直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、分段做功等各种情况。
研究对象是单个物体，或者是可以看成单一物体的物体系。
5、因果关系和数量关系
因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因。
数量关系：合外力所做的总功与物体动能的变化具有等量代换关系。
6、动能解题步骤
对于多个物理过程要仔细分析，将复杂的过程分割成一个个子过程，分别对每个过程进行分析，
得出每个过程遵循的规律，当每个过程都可以运用动能定理时，可以选择分段或全程应用动能定理。
物体所受的力在哪段位移上做功，哪些力做功，做正功还是负功，然后再正确写出总功。
7、对动能定理的理解
合外力所做的总功就是动能的增量，也不意味着功转变成了动能，而是意味着功引起了动能的
变化。
总功的求法：
①先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F ，然后由W＝F lcosα计算；
合 合
②计算各个力对物体做的功W、W、…、W，然后将各个外力所做的功求代数和。
1 2 n
合外力做的功中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面（相对地面静止的物
体）为参考系。
列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结
果加以确定。
优先使用该定理的问题：①不涉及加速度、时间的问题；②有多个物理过程且不需要研究整个
过程中的中间状态的问题；③变力做功的问题；④含有F、l、m、v、W、E等物理量的力学问题。
k
应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出运动过程的
草图，借助草图理解物理过程之间的关系。8、动能定理与F－x图像
F－x图：以力为纵坐标，位移为横坐标建立的平面直角坐标系，F－x图线与坐标轴围成的面
积表示力所做的功。
图像的实质是力与运动的关系问题，求解这类问题的关键是理解图像的物理意义，理解图像的
轴、点、线、截、斜、面六大功能。
解题方法：看清图像的横、纵坐标所表示的物理量及单位并注意坐标原来是否从0开始。理解
图像的物理意义，能够抓住图像的一些关键点，如斜率、截距、面积、交点、拐点的物理意义。判
断物体的运动情况或受力情况，明确因变量与自变量间的制约关系，明确物理量的变化趋势，分析
图线进而弄懂物理过程，再结合牛顿运动定律等相关规律列出与图像对应的函数方程式，进而明确
“图像与公式”、“图像与物体”间的关系，以便对有关物理问题做出准确判断。
计算物体动能的改变量
5．图为“二师兄”刀削面机器人。假设“二师兄”每次削出的面条质量相同，从同一位置依次削
出三块面条，分别落在水面上A、B、C三点，运动轨迹如图所示，面条被削离后可视为平抛运动。
关于面条被削离到落水的过程下列说法中正确的是（ ）
A．三块面条的动能变化量相同 B．重力对落在A点的面条做功最少
C．落在A点的面条在空中时间最短 D．二块面条被削离时的动能相同
【答案】A
【详解】AB．因三块面条下落的高度相同，质量相同，根据
W =mgh
G
可知重力做功相同，根据动能定理可能三块面条的动能变化量相同，故A正确，B错误；
C．由图可知，三块面条做平抛运动的高度相同，由
h= gt2
解得
可知，下落时间相同， C错误；
D．三块质量相同的面条做平抛运动的高度相同，下落时间相同，则竖直方向的速度相同，因水平
位移不同，故初速度不相同，则落地时的速度大小不相同，故三块面条被削离时的动能不相同，D
错误。
故选A。
6．如图（甲）所示，质量 的小物体放在长直的水平地面上，用水平细线绕在半径
的薄圆筒上。 时刻，圆筒由静止开始绕竖直中心轴转动，其角速度 随时间 的变化规律如图
（乙）所示，小物体和地面间的动摩擦因数为0.1，重力加速度 取 ，则下列判断正确的是
（ ）
A．细线的拉力大小为
B．细线拉力的瞬时功率满足
C．小物体的速度随时间的变化关系满足
D．在 内，小物体动能增加了
【答案】D
【详解】AC．根据图象可知，圆筒做匀加速转动，角速度随时间变化的关系式为
圆筒边缘线速度与物块前进速度大小相同，根据 得
物体运动的加速度根据牛顿第二定律得
解得细线的拉力大小为
AC错误；
B．细线拉力的瞬时功率
故B错误；
D．4s末物体的速度
v=0.5×4m/s=2m/s
4
在0-4s内，物体动能增加
故D正确。
故选D。
动能定理的表述及其推导过程
7．如图所示，小球作平抛运动的初动能为6J，从倾角为30°的斜面上抛出并且落在该斜面上。若不
计空气的阻力，则它落到斜面上的动能为（ ）
A．10J B．12J C．14J D．8J
【答案】C
【详解】由平抛运动特点可知，斜面倾角为平抛运动位移与水平方向的夹角，则有
可得则落到斜面时的速度为
则它落到斜面上的动能为
故选C。
8．如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用
下竖直向上加速运动，当电梯的速度由 增加到 时，上升高度为H，则在这个过程中，下列说法
或表达式正确的是（ ）
A．对物体，动能定理的表达式为 ，其中 为支持力的功
B．对物体，动能定理的表达式为 ，其中 为合力的功
C．对物体，动能定理的表达式为的
D．对电梯，其所受合力做功为
【答案】C
【详解】ABC．物体受支持力和重力，动能定理的表达式为
解得
故AB错误，C正确；D．对电梯，根据动能定理可知其所受合力做功为
故D错误；
故选C。
用动能定理求解外力做功和初末速度
9．如图所示，一半径R=0.5m 的光滑半圆形轨道竖直固定放置，直径 MN水平，质量为0.6kg的
小球P从M点正上方2R处由静止下落，小球P经M点进入半圆形轨道。已知小球 P可视为质点，
忽略空气阻力，取g=10m/s²，则小球 P 对半圆形轨道最低点的压力大小为（ ）
A．42N B．30N C．24N D．12N
【答案】A
【详解】小球从静止释放到圆形轨道最低点，由动能定理有
小球在最低点所受合力提供向心力有
解得半圆形轨道对小球的支持力为
由牛顿第三定律，小球 P 对半圆形轨道最低点的压力大小为
故选A。
10．如图，小球A以初速度v 从高为h、倾角为θ的光滑斜面顶端下滑；与此同时，将小球B在与
0
斜面顶端等高处以速度v 竖直上抛。空气阻力忽略不计。已知两小球质量相等，则（ ）
0A．两小球到达水平面时的速度相等
B．两小球到达水平面时重力做功的瞬时功率相等
C．从开始运动至到达水平面的过程中，重力对两小球做的功相等
D．从开始运动至到达水平面的过程中，重力对两小球做功的平均功率相等
【答案】C
【详解】A．根据动能定理知，两球下降的高度相同，初动能相同，则末动能相等，可知两球到达
水平面时的速率相等，但速度方向不同，则速度不相等，故A错误；
B．A球到达水平面时，重力做功的瞬时功率为
P = mgvsinθ
两球速率相等，B球速度方向与重力方向相同，可知B球到达地面时重力的瞬时功率大于A球，故
B错误；
C．两球运动的初末两点的高度差相等，则重力做功相等，故C正确；
D．两球运动时间不同，根据 知，重力做功相等，则重力做功的平均功率不等，故D错误。
故选C。
汽车的制动距离问题
11．一辆质量为m、速度为v的汽车关闭发动机后在水平地面上滑行，滑行时受到阻力的大小为
F，则汽车滑行的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据动能定理
解得故选B。
12．两个物体A、B的质量之比为m :m =3:1，二者初速度之比是v :v =3:1，它们和水平桌面间的动
A B A B
摩擦因数之比为μ :μ =3:1，不计空气阻力。则二者在桌面上滑行到停止经过的距离之比为（ ）
A B
A．x :x =3:1 B．x :x =9:1
A B A B
C．x :x =1:1 D．x :x =1:3
A B A B
【答案】A
【详解】物体滑行过程中只有滑动摩擦力做功，根据动能定理，对A
对B
可得
x :x =3:1
A B
故选A。
应用动能定理求变力的功
13．某质量为m的电动玩具小车在平直的水泥路上由静止开始加速行驶。经过时间t前进的距离为
x，且速度刚好达到最大值v ，设这一过程中电动机的功率恒为P，小车受到的阻力恒为f，则t时
max
间内（ ）
A．小车做匀加速运动
B．小车受到的牵引力逐渐增大
C．合外力对小车所做的功为Pt
D．小车动能的增量为Pt﹣fx
【答案】D
【详解】A．根据
，
解得
t时间内，电动机的功率恒为P，小车速度增大，则加速度减小，可知小车做加速度减小得变加速
运动，故A错误；B．根据上述有
t时间内，电动机的功率恒为P，小车速度增大，则牵引力逐渐减小，故B错误；
C．根据题意合外力做功为
故C错误；
D．根据动能定理有
即小车动能的增量为Pt﹣fx，故D正确。
故选D。
14．如图所示，半径为R的半球形容器固定在水平面上，质量为m的质点由静止开始从容器边缘上
的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为F ，重力加速度为g，在质点从A点滑到B点
N
的过程中，摩擦力对其做的功为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】在B点根据牛顿第三定律可知，容器对质点的支持力大小为F ，对质点分析有
N
从A到B的过程，据动能定理可得
解得故选A。
应用动能定理理解多段过程问题
15．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m
的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。
已知AP=2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（ ）
A．重力做功2mgR
B．合外力做功
C．克服摩擦力做功
D．重力势能减少2mgR
【答案】C
【详解】AD．从P到B的过程中，重力做功
因此重力势能减少mgR，A、D错误；
BC．由于到达B点时，小球对轨道恰好没有压力，因此
从P到B的过程中，根据动能定理
联立可得
，B错误，C正确。
故选C。
16．木箱放在水平地面，在水平外力F作用下由静止开始运动，F随木箱的位移x的变化规律如图
所示，当木箱运动0.4m时，木箱的动能最大，已知木箱质量为 ，重力加速度 ，
则（ ）
A．木箱与水平地面间的动摩擦因数为0.2
B．木箱运动0.5m的动能为0
C．木箱运动的最大位移为1.25m
D．木箱获得的最大动能为4.8J
【答案】C
【详解】A．根据图像，当木箱运动0.4m时，外力大小为
此时木箱的动能最大，则速度最大，可知合力为0，即有
解得
故A错误；
B．木箱运动0.5m，水平外力做功为
木箱运动0.5m，摩擦力做功为
根据动能定理有解得
故B错误；
C．令木箱运动的最大位移为 ，则有
解得
故C正确；
D．结合上述，当木箱运动0.4m时，外力做功为
摩擦力做功为
此过程木箱的动能最大，根据动能定理有
解得
故D错误。
故选C。
利用动能定理求机车启动位移的问题
17．复兴号动车在世界上首次实现速度350km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大
标志性成果。一列质量为m的动车，在平直轨道上由静止起加速，经时间t达到最大速度v，此过
程发动机的输出功率恒为P，所受到的阻力为F。则动车在时间t内（ ）A．加速大小恒为 B．合力做功为
C．牵引力做功为 D．位移大小为
【答案】D
【详解】A．根据题意，由公式 可得，牵引力为
由牛顿第二定律可得，加速度为
可知，由于速度 增大，则汽车做加速度减小的加速运动，故A错误；
BCD．根据题意，设动车在时间t内位移大小为 ，由动能定理有
解得
即合力做功小于 ，牵引力做功大于 ，位移大小为 ，故BC错误，D正确。
故选D。
18．近日，沿江高铁合肥至武汉高速铁路（简称“合武高铁”）湖北段项目正式启动。项目建成后，
湖北高铁总里程将达到3600公里，有望进入全国前五，其中时速350公里的高铁线路全长将达到
2700公里，有望居全国第3位。不仅让老百姓的出行更加方便，也将推动各地经济文化技术交流。
现有一列质量为m的动车，从静止开始，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下
的最大速度v ，设动车行驶过程所受到的阻力f保持不变。动车在时间t内（ ）
mA．动车启动过程所受合外力不变
B．动车位移为
C．平均速度为
D．动车先做匀加速运动后做加速度减小的加速运动
【答案】B
【详解】A．动车的功率恒定，根据
P = Fv
可知v增大，动车的牵引力减小，受到的合力
F = F﹣f
合
将减小，故A错误；
B．在整个运动过程中，根据动能定理可得
解得
故B正确；
CD．根据牛顿第二定律可知
F﹣f = ma
由于牵引力F减小，则动车的加速度减小，所以动车做加速度减小的变加速运动，其平均速度
，故CD错误。
故选B。用动能定理解决物体在传送带运动问题
19．如图所示，足够长的水平传送带保持 的速度匀速运动，漏斗以20kg/s的流量往传送带
上装砂子，不计砂子的初速度，则与不传送砂子相比，传送带的电动机每秒要多做的功为（ ）
A．10J B．20J C．30J D．40J
【答案】B
【详解】设t时间内砂子与传送带共速，砂子达到传送带速度经历的位移为
传送带的位移
则相对运动的位移大小为
根据动能定理知
产生的热量为
根据能量守恒定律得，传送带的电动机每秒要多做的功为
故选B。
20．如图所示，两个皮带轮在电机的带动下顺时针转动，带动水平传送带以不变的速率 运
行。将质量为 的物体A（可视为质点）轻轻放在传送带左端，经时间 后，A的速度变
为v，再经过相同时间后，到达传送带右端。则下列说法正确的是（ ）A．物体A由传送带左端到右端的平均速度为4m/s
B．传送带对物体做功为32J
C．系统因摩擦而产生的热量为16J
D．因传送物块，电机额外输出的能量为48J
【答案】C
【详解】A．物体A由传送带左端到右端通过的位移为
平均速度为
故A错误；
B．物体从静止释放后经时间t速度变为v，对此过程，应用动能定理可得传送带对物体A做的功为
故B错误；
C．根据牛顿第二定律有
系统因摩擦而产生的热量为
解得
故C正确；
D．因传送物块，电机额外输出的能量为
故D错误。
故选C。利用动能定理求解其他问题（运动时间、力等）
21．某同学为探测野外一潭未知液体，将探测球从距离液体表面h 高度处以E 大小的动能射出，
1 1
探测球垂直进入液体。将探测球受液体的作用力视为恒力，探测球从发射至进入液体最深处过程中，
探测球的动能E 与它离液体表面高度h的变化图像如图所示。已知空气对探测球的阻力可忽略，当
k
地重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．探测球的质量为
B．探测球的质量为
C．探测球在液体中运动时，受到液体的作用力大小为
D．探测球在液体中运动时，受到液体的作用力大小为
【答案】D
【详解】AB．根据图像可知，探测球进入液体时刻动能为 ，在进入液体前的过程，根据动能
定理
解得
AB错误；
CD．进入液体后，受到液体的作用力为F，根据动能定理解得
C错误D正确。
故选D。
22．在粗糙的水平面上给滑块一定的初速度，使其沿粗糙的水平面滑动，经测量描绘出了滑块的动
能与滑块的位移的变化规律图线，如图所示。用μ表示滑块与水平面之间的动摩擦因数，用t表示
滑块在该水平面上滑动的时间。已知滑块的质量 ，g取10m/s2，则μ和t分别等于
（ ）
A． 、 B． 、
C． 、 D． 、
【答案】D
【详解】根据动能定理，依题意有
解得
设其初速度为v，则有
0
解得根据牛顿第二定律，依题意有
解得
故ABC错误，D正确。
故选D。
多选题
23．如图甲所示，质量为1kg的物块在零时刻受方向沿固定光滑斜面向上的恒力F作用，从足够长、
倾角为 的斜面底端由静止向上滑行，在r=2s时刻撤去恒力，物块的速度一时间（v—t）图像如
图乙所示，某时刻物块恰好返回斜面底端。取g=10m/s2， ， 。下列说法正确
的是（ ）
A．恒力F的大小为4N B．前2s内物块的动能改变量为0.5J
C．整个运动过程物块受到的重力做功为0 D．前2s内恒力F的平均功率为6.5W
【答案】BC
【详解】A． 内物块的加速度为
根据牛顿第二定律得解得
故A错误；
B．前 内物块的动能改变量为
故B正确；
C．由于最终物块返回斜面底端，所以整个运动过程物块受到的重力做功为0，故 正确；
D．前 内恒力 的平均功率为
故D错误。
故选BC。
24．如图所示为运动员将一铅球抛出后，铅球在空中的运动轨迹示意图，A、B为轨迹上等高的两
点，铅球可视为质点，空气阻力不计。则铅球从A点运动到 点的过程中，其动能 随着相对A
点的高度 变化的关系图像以及重力的瞬时功率 随时间 变化的关系图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC【详解】AB．根据动能定理有
解得
动能与高度成线性关系，斜率为负值，A错误，B正确；
CD．令A点铅球竖直分速度为 ，铅球向上运动时有
，
解得
此过程功率与时间成线性关系，斜率为负值，令铅球向上运动时间为 ，则铅球向下运动时有
，
解得
此过程功率与时间成线性关系，斜率为正值，综合上述，可知，C正确，D错误。
故选BC。
25．一轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一物块从高处自由下落，0至5m的下落过
程中，物块受到的合外力和位移的关系如图所示。已知重力加速度g=10m/s2，物块受到的空气阻力
不计，弹簧一直处于弹性限度以内。关于此过程，下列说法正确的是（ ）
A．物块一直处于失重状态 B．下落5m的过程，合力对物块做功为8J
C．物块最大加速度等于g D．在物块下落5m时，物块的速度为 m/s【答案】CD
【详解】AC．由图像可知，0~3m内物块只受重力，加速度为重力加速10m/s2，所以物块处于完全
失重状态，3~4m内物块加速度向下且大小由10m/s2减小到零，物块处于失重状态，4~5m内加速度
方向向上，大小由零逐渐增大到10m/s2，物块处于超重状态，故A错误，C正确；
B．合力与位移关系图线与横轴所围面积可表示合力做功，故物块下落5m过程合力做的功为
故B错误；
D．物块下落前3m过程只受重力作用，故物块质量为0.2kg，物块下落5m的过程中，根据动能定
理可得
解得
故D正确。
故选CD。
26．如图所示，在一半径为R=6m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m=8kg的物块（可看成
质点）。用大小始终为F=75N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B（圆弧AB在同一竖直平面内），
拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，
sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。在这一过程中，下列说法正确的是（ ）
A．重力做功240 J B．支持力做功为0
C．拉力F做功约为376.8 J D．摩擦力做功约为136.8 J
【答案】BC
【详解】A．由题意可得物块重力做的功
A错误；
B．支持力始终与运动方向垂直，支持力不做功，B正确；C．将圆弧AB分成很多小段l、l ln，拉力在每一小段上做的功为W、W Wn，拉力F大小不变，
1 2 1 2
方向始终与物块在该点的切线成3⋯7°角，则 ⋯
⋯
可得
C正确；
D．因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理得
解得
D错误。
故选BC。
27．水平长直轨道上紧靠放置n个质量为m可看做质点的物块，物块间用长为l的细线连接，开始
处于静止状态，轨道动摩擦力因数为 。用水平恒力F拉动1开始运动，到连接第n个物块的线刚
好拉直时整体速度正好为零，则（ ）
A．拉力F所做功为nFl
B．系统克服摩擦力做功为
C．
D．【答案】BC
【详解】A．根据题意可知，物体1的位移为 ，则拉力F所做的功为
故A错误；
B．根据题意可知，系统克服摩擦力做的功为
故B正确；
CD．由题意可得，连接第 个物体的线刚好拉直时整体速度刚好为零，假设没有动能损失，由动
能定理有
解得
现由于绳子绷紧瞬间系统有动能损失，所以根据功能关系可知
故C正确，D错误。
故选BC。
28．已知做功公式 ，则 图像与坐标轴围成的面积可以表示W。现有一均匀变小的力F
拉着物体在粗糙水平地面从静止开始滑动，物体质量 ，物体与地面间动摩擦因数 ，
F随物体位移x的变化如图所示，当物体位移为3m时停止运动。g取10m/s2，则下列说法正确的是
（ ）
A．物体动能的最大值为2.25JB．
C．物体在1.5m时的速度最大
D．物体速度的最大值为1.5m/s
【答案】AC
【详解】B．在 内，F做的功为
根据动能定理得
其中
解得
故B错误；
ACD．当 于滑动摩擦力大小相等时速度最大，则有
由图可得
解得
此时速度最大，根据动能定理得
解得
故AC正确，D错误。
故选AC。
解答题29．某科技小组参加了过山车游戏项目研究，如图甲所示，为了研究其中的物理规律，科技组成员
设计出如图乙所示的装置。 为弹性发射装置， 为倾角 的倾斜轨道， 为水平轨道，
为竖直圆轨道， 为足够长的倾斜轨道，各段轨道均平滑连接。以A点为坐标原点，水平
向右为 轴正方向，竖直向上为 轴正方向建立平面直角坐标系。已知滑块质量为 ，圆轨道半径
， 长为 ， 、 段动摩擦因数均为 ，其余各段轨道均光滑。现滑块从弹
射装置 弹出的速度为 ，且恰好从A点沿 方向进入轨道，滑块可视为质点。重力加速度
， ， 。求：
（1）求滑块从弹射装置 弹出时的坐标值；
（2）若滑块恰好能通过 点，求轨道 的长度；
（3）若滑块能进入圆轨道且不脱轨，求轨道 的长度；
（4）若轨道 的长度为 ，试判断滑块在圆轨道是否脱轨；若发生脱轨，计算脱轨的位置。
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ；（4）滑块在圆心以
上 处脱轨
【详解】（1）对滑块由 到A的运动，根据平抛规律有
平抛运动的竖直方向有
解得
运动时间则
即弹出时位置的坐标值为
（2）滑块恰好能通过 点，在最高点有
从 到圆轨道最高点，由动能定理得
联立解得
（3）滑块刚好不脱离轨道，有两种临界情况，一是刚好在圆轨道最高点压力为零时，二是刚好到
达与圆轨道圆心等高的地方。由（2）知，滑块刚好能够到达圆轨道最高点时
滑块刚好到达与圆轨道圆心等高的地方时，从 到与圆心等高的位置，由动能定理得
解得
滑块从A点切入后不脱离轨道时 的长度应满足
或
（4）由（3）知， 时，滑块在圆轨道发生脱轨，设脱轨地点和圆心的连线与水平方向的
夹角为 ，则脱轨时从 到脱轨的位置，由动能定理得
联立解得
即滑块在圆心以上
处脱轨。
30．如图所示，粗糙水平地面AB与固定在竖直面内的半圆形光滑轨道BC在B点平滑连接，轨道
半径 。用外力将一质量 的物块压缩弹簧至A点，撤去外力，由静止释放物块，物
块经过B点（此时物块与弹簧已分离）进入半圆形轨道向上运动到达最高点C后飞出，落到水平地
面上时与B点的距离 。已知A、B两点间的距离 ，物块与水平地面AB间的动摩擦因
数 ，取重力加速度大小 ，不计空气阻力。
（1）求物块经过C点时对轨道的压力大小；
（2）求弹簧被压缩至A点时的弹性势能；
（3）若半圆形轨道BC的半径可调节，仍然用外力将物块压缩弹簧至A点后由静止释放，求物块从
C点平抛后落到水平地面上时离B点的最大距离。
【答案】（1） ；（2） ；（3）1.25m
【详解】（1）物块从C点飞出做平抛运动，竖直方向上有
水平方向上有
解得对物块在半圆形轨道上C点受力分析，有
由牛顿第三定律有
解得
（2）物块从A点运动到C点，由动能定理有
根据功能关系可知
解得
。
（3）当半圆形轨道BC的半径变为 时，物块从A点运动到C点，由动能定理有
物块从C点做平抛运动，竖直方向上有
水平方向上有
解得
当 时，物块从C点平抛后落到水平地面上时离B点的最大距离
