文档内容
[在此处键入]
第 12 讲 函数与方程
知识梳理
一、函数的零点
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零
点.
三、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得
也就是方程 的根.
四、二分法
对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的
零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方
法叫做二分法.求方程 的近似解就是求函数 零点的近似值.
五、用二分法求函数 零点近似值的步骤
（1）确定区间 ，验证 ，给定精度 .
（2）求区间 的中点 .
[在此处键入][在此处键入]
（3）计算 .若 则 就是函数 的零点；若 ，则令
（此时零点 ）.若 ，则令 （此时零点 ）
（4）判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否
则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【解题方法总结】
函数的零点相关技巧:
f(x) f(x)
①若连续不断的函数 在定义域上是单调函数，则 至多有一个零点.
f(x)
②连续不断的函数 ，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
f(x)
③连续不断的函数 通过零点时，函数值不一定变号.
f(x) [a，b] f(a)f(b)<0
④连续不断的函数 在闭区间 上有零点，不一定能推出 .
必考题型全归纳
题型一：求函数的零点或零点所在区间
【例1】（2024·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数 是奇函数，且
，若 是函数 的一个零点，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
【对点训练1】（2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知 是函数
的一个零点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数
[在此处键入][在此处键入]
的零点依次为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）已知 ，若 是方程
的一个解，则 可能存在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【解题总结】
f (x)
求函数 零点的方法：
f (x)=0
（1）代数法，即求方程 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，
y=f (x)
即利用函数 的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
【例2】（2024·山西阳泉·统考三模）函数 在区间 存在零点．则
实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）函数 的一个零点在区间
内，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练5】（2024·河北·高三学业考试）已知函数 是R上的奇函数，若
函数 的零点在区间 内，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
[在此处键入][在此处键入]
【对点训练6】（2024·浙江绍兴·统考二模）已知函数 ，若 在区间
上有零点，则 的最大值为__________.
【对点训练7】（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数
在 上有零点，则实数 的取值范围___________.
【解题总结】
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，
列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数 ， 满足
， ，则 ________.
【对点训练8】（2024·新疆·校联考二模）已知函数 ，若 存在唯一
的零点 ，且 ，则 的取值范围是________．
【对点训练9】（2024·天津滨海新·统考三模）已知函数 ，若函数
在 上恰有三个不同的零点，则 的取值范围是________．
【对点训练10】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线 有两条过 的切线，则
a的范围是______.
【对点训练11】（2024·天津北辰·统考三模）设 ，对任意实数x，记
．若 有三个零点，则实数a的取值范围是
________．
【对点训练12】（2024·广东·统考模拟预测）已知实数m，n满足
[在此处键入][在此处键入]
，则 ___________.
【解题总结】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是
要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单
调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
题型四：嵌套函数的零点问题
【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于 的方程
有且只有三个不同的实数解，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，则关于 的方程
有 个不同实数解，则实数 满足（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【对点训练14】（2024·四川资阳·高三统考期末）定义在R上函数 ，若函数
关于点 对称，且 则关于x的方程
( )有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为
A．2 B．4
C．2或4 D．2或4或6
【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，设关于 的方
[在此处键入][在此处键入]
程 有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为
A． B． 或 C． 或 D． 或 或
【解题总结】
1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎
实．
题型五：函数的对称问题
【例5】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的图象上存在点
P，函数g（x）=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，函数 与 的图象
关于直线 对称，若 无零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的图象上存
在点 ，函数 的图象上存在点 ，且 ， 关于 轴对称，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
[在此处键入][在此处键入]
【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 （ ， 为自然
对数的底数）与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【解题总结】
转化为零点问题
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
【例6】（2024·浙江宁波·高三统考期末）若函数 至少存在一个
零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练19】（2024·湖北·高三校联考期中）设函数 ，记
，若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【对点训练20】（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个 ，使得方
程 成立．则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【对点训练21】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数
[在此处键入][在此处键入]
（其中 为自然对数的底数），若函数 至少存在一个零点，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题总结】
分类讨论数学思想方法
题型七：唯一零点求值问题
【例7】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 有唯一零点，
则实数 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【对点训练22】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 有
唯一零点，则 （ ）
A． B． C． D．
【对点训练23】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， 分别是定义在 上的偶
函数和奇函数，且 ，若函数 有
唯一零点，则实数 的值为
A． 或 B．1或 C． 或2 D． 或1
【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 有
唯一零点，则负实数
A． B． C． D． 或
【解题总结】
利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
[在此处键入][在此处键入]
题型八：分段函数的零点问题
【例8】（2024·天津南开·高三南开中学校考期末）已知函数 ，若函数
有两个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知 ，函数
恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练26】（2024·陕西西安·高三统考期末）已知函数 ， 若函数
，则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知函数
，若函数 在 内恰有5个零点，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解题总结】
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
[在此处键入][在此处键入]
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系
中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
题型九：零点嵌套问题
【例9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 有三个不同
的零点 .其中 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，有
三个不同的零点，（其中 ），则 的值为
A． B． C．-1 D．1
【对点训练29】（2024·辽宁·校联考二模）已知函数
有三个不同的零点 ， ， ，且 ，
则 的值为（ ）
A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9
【对点训练30】（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设定义在R上
的函数 满足 有三个不同的零点 且
则 的值是（ ）
A．81 B．-81 C．9 D．-9
[在此处键入][在此处键入]
【解题总结】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
题型十：等高线问题
【例10】（2024·全国·高三专题练习）设函数
①若方程 有四个不同的实根 ， ， ， ，则 的取值范围是
②若方程 有四个不同的实根 ， ， ， ，则 的取值范围是
③若方程 有四个不同的实根，则 的取值范围是
④方程 的不同实根的个数只能是1，2，3，6
四个结论中，正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若方程
有四个不同的解 且 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【对点训练32】（2024·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数
，若方程 有四个不同的实根 ， ， ， ，满足
[在此处键入][在此处键入]
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ ，若互不相
等的实数x，x，x 满足f（x）＝f（x）＝f（x），则 的取值范围是
1 2 3 1 2 3
（ ）
A．（ ） B．（1，4） C．（ ，4） D．（4，6）
【解题总结】
数形结合数学思想方法
题型十一：二分法
【例11】（2024·辽宁大连·统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于
非线性可导函数 在 附近一点的函数值可用 代替，该函
数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个
方法，解方程 ，选取初始值 ，在下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练34】（2024·全国·高三专题练习）函数 的一个正数零点附近的函数值用二
分法逐次计算，参考数据如下：
那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44
[在此处键入][在此处键入]
【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）利用二分法求方程 的近似解，可
以取的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练36】（2024·全国·高三专题练习）用二分法求函数 的一个零点，
根据参考数据，可得函数 的一个零点的近似解（精确到0.1）为（ ）（参考数据：
， ， ， ， ）
A． B． C． D．
【对点训练37】（2024·全国·高三专题练习）用二分法求函数 在区间
上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解题总结】
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫
做二分法.求方程 的近似解就是求函数 零点的近似值.
[在此处键入]
