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第 30 讲 三角函数的图像与性质
知识梳理
知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
（2）在余弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中 ）
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是 ；正（余）弦曲线相邻两个对称
中心的距离是 ；
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离 ；
知识点三： 与 的图像与性质
（1）最小正周期： ．
（2）定义域与值域： ， 的定义域为R，值域为[-A，
A]．
（3）最值
假设 ．
①对于 ，
②对于 ，
（4）对称轴与对称中心．
假设 ．
①对于 ，②对于 ，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相
应函数与 轴交点的位置．
（5）单调性．
假设 ．
①对于 ，
②对于 ，
（6）平移与伸缩
由函数 的图像变换为函数 的图像的步骤；
方法一： ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用
谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．方法二： ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先
伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，
切记每一个变换总是对变量 而言的，即图像变换要看“变量 ”发生多大变化，而不是
“角 ”变化多少．
【解题方法总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数 的对称轴为 ，对称中心为 ；
（2）函数 的对称轴为 ，对称中心为 ；
（3）函数 函数无对称轴，对称中心为 ；
（4）求函数 的对称轴的方法；令 ，
得 ；对称中心的求取方法；令 ，得 ，
即对称中心为 ．
（5）求函数 的对称轴的方法；令 得，即对称中心为
必考题型全归纳
题型一：五点作图法
例1．（2024·湖北·高一荆州中学校联考期中）要得到函数 的图象，
可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描
点、连线得到．
(1)由 图象变换得到函数 的图象，写出变换的步骤和函数；
(2)用“五点法”画出函数 在区间 上的简图．
【解析】（1）步骤1：把 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到函数
的图象；
步骤2：把 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函
数 的图象；步骤3：最后把函数 的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到
函数 的图象．
或者步骤1：步骤1：把 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
得到函数 的图象；
步骤2：把 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到函数
的图象；
步骤3：最后把函数 的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到
函数 的图象．
（2）因为 列表：
例2．（2024·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数 在 上的图像；
(2)求 ， 的单调递增区间；
(3)当 时， 的取值范围为 ，直接写出m的取值范围.
【解析】（1）因为 ，当 时， ，
列表如下：
0 1
1 2 0 0 1
作图如下：
（2）因为 ，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，所以 的递增区间为
（3） ， ，
又 ，由（1）的图象可知， ， 的取值范围是 ．
例3．（2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）函数
.
(1)请用五点作图法画出函数 在 上的图象；（先列表，再画图）
(2)设 ， ，当 时，试研究函数 的零点的情况.
【解析】（1） ，
按五个关键点列表：
0
0 1 0 0
0 3 0 1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：
（2）因为 ，
所以 的零点个数等价于 与 图象交点的个数，
设 ， ，则
当 ，即 时， 有2个零点；当 ，即 时， 有1个零点；
当 ，即 时， 有0个零点.
【解题方法总结】
（1）在正弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
， 的图象中，五个关键点是：
（2）在余弦函数
．
题型二：函数的奇偶性
例4．（2024·全国·高三专题练习）函数 ，则（ ）
A．若 ，则 为奇函数 B．若 ，则 为偶函数
C．若 ，则 为偶函数 D．若 ，则 为奇函数
【答案】B
【解析】 的定义域为 ，
对A：若 ， ，若 为奇函数，则 ，而
不恒成立，故 不是奇函数；
对B：若 ， ，
，故 为偶函数，B正
确；
对C：若 ， ，，故 不是偶函数，故C错误；
对D：若 ， ，
若 为奇函数，则 ，而 不恒成立，故 不是奇函
数；
故选：B
例5．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数 为偶函
数，则 的一个值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，
因为 为偶函数，可得 ，所以 ，
令 ，可得 .
故选：A.
例6．（2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）函数 的图像向左平移
个单位得到函数 的图像，若函数 是偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的图像向左平移 个单位，得 的图
像，
又函数 是偶函数，则有 ， ，解得 ， ；所以 .
故选：C．
变式1．（2024·北京·高三专题练习）已知的 图象向左平移 个单位
长度后，得到函数 的图象，且 的图象关于y轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，
故 ，由于 的图象关于y轴对称，
则 为偶函数，故 ,即 ，
故 的最小值为 ，
故选：B
变式2．（2024·浙江·高三期末）将函数 的图象向右平移 个单位得到一
个奇函数的图象，则 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 为奇函数，
则 ，取 ，则 ．
故选：D
变式3．（2024·广东·高三统考学业考试）函数 是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
【答案】D
【解析】解析：函数 ，
故该函数为偶函数，且它的最小正周期为 .
故选：D.
变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的最大值为M，最小值
为m，则 的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】解: ，令 ， ，于是
，所以 是奇函数，从而 的最大值G与最小值g
的和为0，而 .
故选：B
变式5．（2024·山东·高三专题练习）设函数 ，如果
，则 的值是（ ）
A．-10 B．8 C．-8 D．-7
【答案】B
【解析】令 ，由奇函数定义可知 ，化简计算可求
得结果.令 ,则 ，
所以 ，由 可知， ，即 ，，
故选：B.
【解题方法总结】
由 是奇函数和 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若 为奇函数，则 ；
（2）若 为偶函数，则 ；
（3）若 为奇函数，则 ；
（4）若 为偶函数，则 ；
若 为奇函数，则 ，该函数不可能为偶函数．
题型三：函数的周期性
例7．（2024·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试）已知 ， ，是函数
的两个零点，且 的最小值为 ，若将函数
的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知函数 的最小正周期 ，则 ，得 ，
.
将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到
的图象，
要使该图象关于原点对称，则 ， ，所以 ， ，又 ，所以当 时， 取得最大值，最大值为 ．
故选：A
例8．（2024·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）将函数 的图象向右平移
个单位长度后得到函数 的图象，若对满足 的 ，总
有 的最小值等于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的周期为 ，
将函数的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，
可得 ，
由 可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且 ，
不妨设 ，则 ，即 在 时取得最小值，
由于 ，此时 ，不合题意； ，
此时 ，
当 时， 满足题意.
故选：C.
例9．（2024·河北·高三校联考阶段练习）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】 ，
所以 的最小正周期 ．
故选：C．
变式6．（2024·高三课时练习）函数 （ ）的图像的相邻两支截直线
所得线段长为 ，则 的值是______.
【答案】
【解析】因为函数 （ ）的图像的相邻两支截直线 所得线段长为 ，
所以该函数的最小正周期为 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因此 ，
故答案为：
变式7．（2024·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习）下列函数中，最小正周期为
的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A： 最小正周期为 ，故A错误；
对于B： ，最小正周期 ，且为奇函数，故B正确；
对于C： ，最小正周期为 的偶函数，故C错误；对于D： ，则 ，
故 为偶函数，故D错误.
故选：B
变式8．（2024·全国·高三专题练习）函数 对于 ，都有
，则 的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 恒成立，
∴ 是函数 的最小值， 是函数 的最大值，
即 、 是函数的两条对称轴，则 的最小值为 .
故选：C.
变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，如
果存在实数 ，使得对任意的实数 ，都有 成立，则 的最
小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 因为 ，设 的最
小正周期为 ，则 ，所以 的最小值为 ，故选C.
考点：三角函数的周期和最值．
变式10．（2024·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测）设函数 在的图象大致如图所示，则 的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图象可知， ， ，
解得 .
设函数的最小正周期为 ，易知 ，
当且仅当 时符合题意，此时 ,
故选：A.
变式11．（2024·全国·高三对口高考）函数 的最小正周期是__________.
【答案】
【解析】因为 ，
因为 的最小正周期为 ，
所以函数 最小正周期为 .
故答案为： .
变式12．（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的最小正周期是______．
【答案】
【解析】
所以最小正周期为 ，
故答案为：
变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .则
__________.
【答案】
【解析】由条件，可得 ， ，… ，共
506组，
所以 .
故答案为：1012.
变式14．（2024·四川遂宁·统考三模）已知函数 ，
， ，且 ，则 =_____
【答案】 /0.5
【解析】因为
，另外 ， ，且 ，
所以，函数 的最小正周期 满足 ，则 ，所以， ，故当 时， 取最小值 .
故答案为：
变式15．（2024·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知函数 ，则
函数 的最小正周期是__________．
【答案】
【解析】 ，故
，
故答案为： ．
变式16．（2024·上海·上海中学校考模拟预测）已知函数
的最小正周期是 ，则 ______.
【答案】4
【解析】 ，
所以最小正周期是 ，所以 .
故答案为：4
变式17．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）设函数
相邻两条对称轴之间的距离为 ， ，则 的
最小值为__________．
【答案】 /
【解析】因为函数 相邻两条对称轴之间的距离为 ，则
函数 的周期 ，，又 ，因此 ，即 ，
所以当 时， .
故答案为：
变式18．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）函数
的最小正周期为___________.
【答案】
【解析】 ，
所以，其最小正周期为 .
故答案为：
变式19．（2024·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）设函数
（ ， ， 是常数， ， ）．若 在区间 上具
有单调性，且 ，则 的最小正周期为_______．
【答案】 /
【解析】 在区间 上具有单调性，区间 的长度为 ，
区间 的长度为 ，
由于 ，
所以 的一条对称轴为 ，其相邻一个对称中心为 ，即
，所以 .
故答案为：
变式20．（2024·全国·高三专题练习）下列6个函数：① ，② ，③
，④ ，⑤ ，⑥ ，其中最小正周期为π的偶函数的编号
为___________.
【答案】①③⑤
【解析】① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥
都是偶函数，
由函数的图象如如所示，可知 ， ， 的最小正周期都是 ，
， 不是周期函数， ，最小正周期为 ，故答案为：①③⑤
【解题方法总结】
关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数 的周期分别为， ．
（2）函数 ， 的周期均为
（3）函数 的周期均 ．
题型四：函数的单调性
例10．（2024·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知函数
，则下列说法错误的是（ ）
A． 的值域为
B． 的单调递减区间为
C． 为奇函数，
D．不等式 的解集为
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ，故选项A正确；
由 得 ，
所以 的单调递减区间为 ，故选项B正确；
所以 ，
所以 为奇函数，故选项C正确；
由 得 ，
即所以 ，
所以不等式 的解集为 ，故选项D错误.
故选：D.
例11．（2024·全国·模拟预测）将函数 的图象上各点向右平移 个
单位长度得函数 的图象，则 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】将 的图象向右平移 个单位长度后，
得到 ，即 的图象，
令 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， .
故选：C.
例12．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分
图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．不等式 的解集为
D．将 的图象向右平移 个单位长度后所得函数的图象在 上单调递增
【答案】C
【解析】由函数图象可知，最小正周期为 ，所以 ，
将点 代入 ，得 ，
又 ，所以 ，故 ，故A错误；
所以 ，故B错误；
令 ，则 ，所以 ， ，解得
， ，
所以不等式 的解集为 ，故C正确；
将 的图象向右平移 个单位长度后，得到 的图
象，令 ， ，
解得 ， ，
令 得 ，因为 ，故D错误.
故选：C.
变式21．（2024·四川泸州·统考三模）将函数 的图象向左平移 个单位长
度，所得图象的函数（ ）
A．在区间 上单调递减 B．在区间 上单调递减C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递增
【答案】B
【解析】函数的最小正周期是 ，选项AC中区间长度是一个周期，因此不可能单
调，图象左右平移后也不可能单调，AC错；
函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象的函数解析式为
，
选项B， 时， ，在此区间上 是减函数，B正确；
选项D， 时， ，在此区间上 不是单调函数，D错误．
故选：B．
变式22．（2024·北京密云·统考三模）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C
【解析】因为 .
对于A选项，当 时，
在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
故B错；
对于C选项，当 时，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时，
则 在 上单调递减，故D错.
故选：C.
变式23．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数
，若函数 的图象向左平移 个单位长度后
得到的函数的部分图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设函数 的图象向左平移 单位长度后得到的函数图象对应的函数为 ，
由图可知 ，函数 的图象的最小正周期为 ，所以 ，
所以 ，
由 ，得 ， ， ，
所以 ， ，取 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以由 ，得 ，即 ，
所以 ， ，即 ， ，
所以不等式 的解集为 （ ），
故选：C
变式24．（2024·全国·高一专题练习） 的部分图像如图所示，则其单调递
减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图可得 ，即 ，结合图象可得到在区间 中， 为最高点，对应的横坐标为 ，
轴右侧第一个最低点为 ，对应的横坐标为 ，
故函数的单调递减区间为
故选：B
变式25．（2024·四川凉山·高一校联考期中）函数 的单调递增区间为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
故选：C
【解题方法总结】
三角函数的单调性，需将函数 看成由一次函数和正弦函数组成的复
合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数 的单调区间的确定基本思想是吧 看做是一个
整体，如由 解出 的范围，所得区间即为增区间；
由 解出 的范围，所得区间即为减区间．
若函数 中 ，可用诱导公式将函数变为 ，
则 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数 的单调性的讨论与以上类似处理即可．
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
例13．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知函数 ，若
将 的图像向右平移 个单位长度后图象关于 轴对称，则实数 的最小值
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 的图像向右平移 个单位长度后，变为
，
因 的图象关于 轴对称，
所以 为偶函数，
所以 ， ,
即 ， ,
因 ，所以 ，故当 时，实数 取得最小值为 ，
故选：B
例14．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知 ，
函数 ， 的最小正周期为 ，将 的图像向左平移 个单位
长度，所得图像关于 轴对称，则 的值是______．
【答案】 /
【解析】 ，函数 的最小正周期为 ， ，
．
将 的图像向左平移 个单位长度，可得 的图像，
根据所得图像关于 轴对称，可得 ， ，解得 ， ，
又 ，则令 ，可得 的值为 ．
故答案为： ．
例15．（2024·上海松江·校考模拟预测）已知函数 的对称中心为 ，若函数
的图象与函数 的图象共有6个交点，分别为 ， ，…，
，则 __________.
【答案】6
【解析】显然函数 的图象关于点 成中心对称，
依题意，函数 的图象与函数 的图象的交点关于点 成中心对称，于是 ，所以 .
故答案为：6
变式26．（2024·全国·高三对口高考）设函数 的图象关于点 成中心
对称，若 ，则 ______.
【答案】
【解析】因为函数 的图象关于点 成中心对称，
所以 ，所以 ，所以
因为 ，所以 时， .
故答案为：
变式27．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）函数 向左平移 个单位长度
之后关于 对称，则 的最小值为______.
【答案】1
【解析】 向左平移 个单位长度后，得 ，
因为函数关于 对称，
所以 ， ,
， ，
所以 的最小值为1.
故答案为：1
变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若，且直线 为 图象的一条对称轴，则 的最小值为______．
【答案】5
【解析】由 ，得 ，
又 ，解得 ，所以 ，
又直线 为 图象的一条对称轴，
则有 ， ，化简得 ， ，
又 ，故 的最小值为5．
故答案为： .
变式29．（2024·河南开封·校考模拟预测）已知函数 的图象关于点
对称，那么 的最小值为________．
【答案】
【解析】 的图象关于点 对称， ，
即 ，令 ，可得 的最小值为 ．
故答案为：
变式30．（2024·全国·模拟预测）将函数 的图象向左平移 个
单位长度得到函数 的图象.若函数 的图象关于点 对称，则 的最小值为
______.
【答案】【解析】由题可得 ，
的图象关于点 对称，
所以 ，解得 ，
，故 的最小值为 .
故答案为： .
变式31．（2024·江西吉安·高三统考期末）记函数 （ ）的最小正
周期为 ，且 的图象关于 对称，当 取最小值时， _______.
【答案】 /
【解析】由 的图象关于 对称，则 ， ，
∴ （ ），
又∵ ，
∴当 ， 的最小值为4，
此时 ， ，
∴ .
故答案为： .
变式32．（2024·福建宁德·高三校考阶段练习）写出满足条件“函数 的
图象关于直线 对称”的 的一个值________．
【答案】 （答案不唯一，满足 即可）【解析】由题意可得： ，则 ，
当 时， .
故答案为： .
变式33．（2024·江西赣州·高三校联考期中）已知函数 图象的一条对
称轴为 ．若 ,则 的最大______．
【答案】
【解析】由题知 .
所以
因为 ,所以当 取最大值
故答案为：
变式34．（2024·河北石家庄·统考模拟预测）曲线 的一个对称中心为
______（答案不唯一）.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 ，
令 或 ，
则 或 ，
令 ，则 .所以函数的一个对称中心是 .
故答案为： （答案不唯一）.变式35．（2024·甘肃武威·甘肃省武威第一中学校考模拟预测）函数
图象的一个对称中心的坐标是______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】令 ，解得 ,则 图象的对称中心的坐标是
．
当 时， ，则 是 图像的一个对称中心．
故答案为： （答案不唯一）.
【解题方法总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数 的对称轴为 ，对称中心为 ；
（2）函数 的对称轴为 ，对称中心为 ；
（3）函数 函数无对称轴，对称中心为 ；
（4）求函数 的对称轴的方法；令 ，
得 ；对称中心的求取方法；令 ，得
，即对称中心为 ．
（5）求函数 的对称轴的方法；令 得
，即对称中心为
题型六：函数的定义域、值域（最值）例16．（2024·全国·高三专题练习）实数 满足 ，则 的范围是
___________.
【答案】
【解析】 .故令 ， .
则原式 ，故 .
故答案为： .
例17．（2024·河北·校联考一模）函数 的最小值为
__________.
【答案】 /
【解析】因为
，所以当 时， ，此时 的最小值为 .
故答案为：
例18．（2024·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若函数 的最小值为
，则常数 的一个取值为___________.（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）.
【解析】 可化为 ，所以 ，
设 ，
则 ，设 ，
则 ，
因为函数 的最小值为 ，
所以 ， ，
所以 或 ，其中 ，
故答案为： （答案不唯一）.
变式36．（2024·全国·高三对口高考） 的最小值为__________.
【答案】
【解析】 ，
所以当 ， 时， 取得最小值 .
故答案为： ．
变式37．（2024·上海嘉定·校考三模）若关于 的方程 在
上有实数解，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】原方程
等价于
即函数 ， 在 上有交点，∵ ，∴ ， ，故 ，
则 .
故答案为：
变式38．（2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数 的
值域为__________．
【答案】
【解析】因为 ，
又 ，所以 ，则 ，
即函数 的值域为 .
故答案为： .
变式39．（2024·上海·高三专题练习）已知函数 ， ，则函
数 的值域为______．
【答案】
【解析】当 时， ，
则 ，所以 ，
所以函数 的值域为 .
故答案为：
变式40．（2024·全国·高三专题练习）设函数 ， ，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
.
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即函数 的最小值为
.
故答案为： .
变式41．（2024·全国·高三专题练习）设 ，则 的
最小值为__________.
【答案】
【解析】设 ，由 ，得 ，
又由 ，得 ，
所以 ，
令 ， ，
当 时， 时，即当 时，原函数取到最小值 .
故答案为： .
变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，该函数的最大值为
__________．
【答案】
【解析】由题意，函数 ，
令 且 ，则 ，
从而 ， 令 ，解得 或 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递减；在 上单调递增；在 上单调递减．
因为 ， ，所以 的最大值为 .
故答案为： .
变式43．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）设角 、 均为锐角，则
的范围是______________．
【答案】
【解析】因为角 、 均为锐角，所以 的范围均为 ，
所以 ，所以
因为 ，
所以 ，
，
当且仅当 时取等，
令 ， ， ，
所以 .
则 的范围是： .
故答案为：
变式44．（2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）函数 的值域
是___________.
【答案】
【解析】因为
又因为 ,
所以当 时, 取得最小值 -1 ,
当 时, 取得最大值 2 , 故 的值域是 .
故答案为：变式45．（2024·全国·高三专题练习）设 、 且 ，求 的取值范
围是________.
【答案】
【解析】解法一： ，
，可得 ．
，
令 ， ，
显然函数 在 上单调递增， ， ，即 ，
的取值范围是 ．
解法二：由 得 ，设 ，即 ，
则
令 ， ， ， ，显然 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
变式46．（2024·全国·高三专题练习）函数 的值域为_____________．【答案】
【解析】令 ， ，
则 ，即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
即函数 的值域为 ．
故答案为： .
变式47．（2024·全国·高三专题练习）函数 的最大值为
______．
【答案】2
【解析】 ，其中 ， ，
.
∵ ， ，
∴ ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∵
∴当 时， 取得最大值 ．故答案为：
变式48．（2024·全国·高三专题练习）函数 的定义域为______．
【答案】
【解析】 的定义域满足 ，即 .
故答案为： .
变式49．（2024·全国·高三专题练习）函数 的值域为______.
【答案】
【解析】设 ，因为 ，可得 ，
因为正切函数 在 上的值域为 ，
即函数 在 的值域为 .
故答案为： .
变式50．（2024·江西·校联考模拟预测）函数 的最大值为
________．
【答案】 /
【解析】∵ ，∴ ，由题意得 ，当
且仅当 ，即 时取等号，故 的最大值为 ．
故答案为：
【解题方法总结】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．
（1） ，设 ，化为一次函数 在 上的最值求解．
（2） ，引入辅助角 ，化为
，求解方法同类型（1）
（3） ，设 ，化为二次函数 在闭区间
上的最值求解，也可以是 或 型．
（4） ，设 ，则 ，
故 ，故原函数化为二次函数 在闭区间 上
的最值求解．
（5） 与 ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，
也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于 或
的函数求解释务必注意 或 的范围．
（6）导数法
（7）权方和不等式
题型七：三角函数性质的综合
例19．（多选题）（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数
（ ）的图象与函数 的图象的对称中心完全相
同，且在 上， 有极小值，则（ ）
A． B．C．函数 是偶函数 D． 在 上单调递增
【答案】AD
【解析】由题意，函数 与 的最小正周期相同，则 ，且 .
当 时， ，其一个对称中心为 ，
也是 的一个对称中心，
所以 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ， ， ， 有极大值，无极小值，不
合题意；
当 时， ，其一个对称中心为 ，
也是 的一个对称中心，
所以 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ， ， ， 有极小值，满足题意.
， ，A项正确，B项不正确；
，不是偶函数，C项不正确；
当 时， ，函数 在 上单调递减，则
在 上单调递增，D项正确.
故选：AD例20．（多选题）（2024·广东潮州·统考模拟预测）设函数
， 的最小正周期为 ，且过点 ，则下列正确的有（ ）
A． 在 单调递减
B． 的一条对称轴为
C． 的周期为
D．把函数 的图象向左平移 个长度单位得到函数 的解析式为
【答案】AB
【解析】根据辅助角公式得 ．
最小正周期为 ， ， ，即 ．
函数 过点 ， ，
，则 ．
当 时 ．即 ．
令 ，则 ，
当 时， 在 单调递减，故A正确．
令 ，则 ，
当 时， 的一条对称轴为 ，故B正确．
因为 为偶函数，所以 ，则 的周期为 且 ，故C错误．
函数 的图象向左平移 个长度单位得到函数 的解析式为
，故D错误．
故选：AB．
例21．（多选题）（2024·广东佛山·统考模拟预测）已知函数 的
图象关于 对称，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 是偶函数
C． 在 上单调递增
D．把 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于点 对称
【答案】AB
【解析】因为函数 的图象关于 对称，
所以 ，解得 ，
所以 ，其最大值为2，故A正确；
令 ，
定义域为 ， ，
所以 即 是偶函数，故B正确；
时， ， 在 单调递增，
在 单调递减，故C错误；把 的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，
因为 ，
所以 的图象不关于点 对称，故D错误.
故选：AB
变式51．（多选题）（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．将 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称
C．函数 的最小正周期为
D．若 在 上有且仅有3个零点，则 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】由 ，故 必有一个最大值和一个最小值，
则 为半个周期长度，故 正确；
由题意 的图象关于 轴对称，B正确；
的最小正周期为 C错误.
，在 上 有且仅在3个零点，
结合正弦函数的性质知： ，则 ，D正确；
故选：ABD
变式52．（多选题）（2024·海南·高三校联考期末）已知函数， ， 恒成立， 在
上单调，则（ ）
A．
B．将 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象
C．
D．若函数 在 上有5个零点，则
【答案】AB
【解析】因为 ，所以 是函数的一个零点，所以 ①，
又因为 对 恒成立，所以 时取得最小值，
即 ②，则①减②可得： ，
又因为 在 上单调，所以 ，
则 ，结合 ，所以 ，
所以 ， ，
则 ， ，又因为 ，
所以 ，故A正确；
所以 ，
将 的图象向左平移 个单位长度后得到 ，
故B正确；，故C错误；
函数 在 上有5个零点，令 ，
即 与 的图象有5个交点，画出 与 的图象如下，
， ，
由图可知，当 时， 与 的图象有5个交点，
即函数 在 上有5个零点,故D错误.
故选：AB
变式53．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）声音是由物体振动产生的声波，纯音的
数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合
音的数学模型是函数 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 的最小正周期为
C． 在区间 上单调递增 D． 的最小值为1
【答案】BC
【解析】因为 ， ，所以 是偶函数，A正确； 显然是周期函数，
因为 ，所以B错误；因为当时，
所以 在区间 上单调递增，在 上单调递减，C错误；
因为
当 时，设 ，则 ，
同理：当 时， ，
由B中解答知， 是 的周期，所以 的最小值为1，D正确.
故选：BC.
变式54．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，下列叙
述正确的有（ ）
A． 的周期为2π； B． 是偶函数；
C． 在区间 上单调递减； D． x，x∈R，
1 2
【答案】BC
【解析】 是偶函数，不是周期函数， 是偶函数，是周期函数，最
小正周期为 ，故 不是周期函数，A错误，B正确；当 时，
，因为 ， 在
次区间上单调递减，故 在区间 上单调递减，C正确；
当 时， ， ， ，即，D选项错误.
故选：BC
变式55．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）声音是由于物体的振动产生的能引起听
觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数
，则下列结论正确的是（ ）
A． 的一个周期为 B． 的最小值为
C． 的图象关于点 对称 D． 在区间 上有3个零点
【答案】ACD
【解析】选项A：
故 的一个周期为 ，A正确.
选项B：
，当 ， 时，取得最小值 ，
，当 ， 时即 ， 时，取得最小值 ，
所以两个函数不可能同时取得最小值，所以 的最小值不是 ，故B错误.
选项C：
，
，
所以 ，
所以 的图象关于点 对称，C正确，
选项D：，
得 ，或 ，
得 ，或 ， ，
故 区间中的根为 ， ， ，
故D正确.
故选：ACD
变式56．（2024·全国·高三专题练习）设函数
．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三
个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
【解析】（1）因为
所以 ，
因为 ，所以 .（2）因为 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
若选条件①：因为 的最大值为 ，最小值为 ，所以 无解，
故条件①不能使函数 存在；
若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ,所以 , ,
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
所以 ， ；
若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得最小值 ，即 .
以下与条件②相同．
变式57．（2024·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示.(1)求 的解析式；
(2)将 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向左
平移 个单位长度，得到函数 的图象，求函数 在 内的零点.
【解析】（1）由图象可得 ，
，则 ，即 ，
∴ ，
由图象得 ，即 ，
∴ ， ，则 ， ，
又 ，∴ ，
故 ；
（2）将 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），
再将所得图象向左平移 个单位长度，得到函 ，
∴ ，
令 ，则 或 ，
解得 ， ，或 ， ，又 ，∴ 或 ，
即函数 在 内的零点为0与 .
变式58．（2024·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知函数
在区间 上单调，其中 ， ，且 ．
(1)求 的图象的一个对称中心的坐标；
(2)若点 在函数 的图象上，求函数 的表达式．
【解析】（1）由函数 在区间 上单调，
且 ，可知 ，
故 的图象的一个对称中心的坐标为
（2）由点 在函数 的图象上，
有 ，又由 ，
，
可知函数 在区间 上单调递减，
由函数 的图象和性质，
有 ，
又 ，有 ，
将上面两式相加，有 ，
有 ，又由 ，可得 ，
则 ，
又由函数 在区间 上单调，
有 ，可得 ，可得 ，
故 ．
变式59．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测） ，
， ，
(1)若 ，求 的值；
(2)若函数 的最小正周期为
①求 的值；
②当 时，对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围
【解析】（1）依题意，
，
当 时， ，
（2）①由（1）知 ，
最小正周期 ，得 ，
②当 时， ，当 时，
，当 ，即 时， 的最大值为2，不等式 恒成立，即 恒成立，
整理为 ， 恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时， ，得 ，
综上可得， ，
当 时， ，当 时，
，当 ，即 时， 的最大值为0
不等式 恒成立，即 恒成立，
整理为 ， 恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时， ，得 ，
综上可得， ，
综上可知，当 时， ，当 时， .
变式60．（2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）某港口在一天之内的水深变化曲线近
似满足函数 ，其中 为水深（单位：
米）， 为时间（单位：小时），该函数图像如图所示.(1)求函数 的解析式；
(2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的
安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？
【解析】（1）由图知 ， ， ， ，
所以 ，将点 代入得 ，
结合 解得 ，
所以函数 的解析式 .
（2）货船需要的安全水深为 米，所以当 时货船可以停留在港口.
由 得 ，得 ，
即 ，
当 时， ，当 时， ，
所以该船一天之内至多能在港口停留 小时.
变式61．（2024·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知函数
的图像相邻对称轴之间的距离是 ，______；
①若将 的图像向右平移 个单位，所得函数 为奇函数．
②若将 的图像向左平移 个单位，所得函数 为偶函数，
在①，②两个条件中选择一个补充在______并作答
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)设函数 的零点为 ，求 的值．
【解析】（1）因为函数 的图像相邻对称轴之间的距离是 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
选①：
当将 的图像向右平移 个单位，得到函数
，
因为 为奇函数，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，则
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 .
选②： 的图像向左平移 个单位，得到函数
，
因为函数 为偶函数，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，则
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 .（2）因为函数 的零点为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
.
变式62．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若方程
在 上有解，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由函数的图象知： ，则 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，则 ，
又因为 ，则 ，
所以 ；（2）由题意得： ，
令 ，
则 化为： ，
即 在 上有解，
由对勾函数的性质得： ，
所以 .
【解题方法总结】
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性 奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数 为奇函数；若函数
图像关于 轴对称，则函数 为偶函数）；对称性 周期性（相邻的两条对称轴之间的
距离是 ；相邻的对称中心之间的距离为 ；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为
）；对称性 单调性（在相邻的对称轴之间，函数 单调，特殊的，若
，函数 在 上单调，且 ，设 ，
则 深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
题型八：根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式．
例22．（2024·甘肃金昌·高三统考阶段练习）已知函数 （ ，， ）的部分图象如图所示，设使 成立的a的最小正值为m，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】使 成立的a即为 的对称中心的横坐标，
∴a的最小正值为 ，
由图可知 ， ， ，∴ ，
将点 代入 ，得 ，
∴ ， ，
， ，∵ ，∴取 ，
∴ ，∴ ，
∴ .
故选：B.
例23．（2024·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知函数
（ 为常数， ）的部分图像如图所示，若将 的图像向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，所以 ，故 ，
因为 ， ，所以 ， ，
即 .
又因为 ， 解得 .
即 .
将 的图像向左平移 个单位长度，
得到函数 .
故选：A
例24．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，把 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵
坐标不变），得到的函数图象的解析式是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】由题中函数图象可知： .
最小正周期为 ，所以 ， ，
将点 代入函数解析式中，得 ，
所以 ， ，即 ， .
因为 ，所以 ，故 ， .
把 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，
得到函数图象的解析式为 ， ；
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），
得到函数图象的解析式为 ， .
故选：D
变式63．（2024·全国·高三专题练习）函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图象可得 ，可得 ，
，可得 ，
由于函数 在 附近单调递减，且 ， ，
由图象可知，函数 的最小正周期 满足 ，可得 ，
，则 ，
所以 ，解得 ，
，所以 ， ，因此 ．
故选：D．
变式64．（2024·北京通州·统考模拟预测）已知函数 （ ，
）的部分图象如图所示，则 的解析式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图知： ，则 ，故 ，
则 ，
由 ，则 ，
所以 ， ，
又 ，故 ，
综上， ，
故选：C.
变式65．（2024·宁夏·高三银川一中校考阶段练习）已知函数 ， ，
， 的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________.【答案】
【解析】由图象得到 的最大值为 ，所以
将点 、 代入解析式 ，
，因为 ， ，可得 ，
所以
故答案为： ．
变式66．（2024·江苏南京·高三统考期中）设函数 ，（其中 ，
）的部分图象如图，则函数 的解析式为 _______.【答案】
【解析】由 过 求 的值，根据五点画法坐标求出 ，即可求出结论. 过
点 ，
，或 ，
函数在 轴右侧第一个最高点坐标为
若 时， ，
若 时， （舍去），
.
故答案为: .
方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即
的值的确定）
变式67．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，当
时， 的最小值为 ，则 ______；若将函数 的图象向左
平移 个单位长度后，所得图象在 轴上的截距为 ，则 在 上的值域为
______．
【答案】
【解析】易知 的最大值和最小值分别为 和 ，
因为 ，所以 、 一个为 的最大值点，一个为 的最小值点，
设函数 的最小正周期为 ，则由 的最小值为 ，
得 ，所以 ，则 ，
所以 ．
将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
所得图象对应的函数为 ，
令 ，则 ，
可得 ，
，所以， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
若 ，则 ，
则 ，则 .
故 在 上的值域为 ．
故答案为： ； ．
变式68．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某函数 满足以下三个条
件：
① 是偶函数；② ；③ 的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数 的解析式______．【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为 是偶函数，所以 的图象关于y轴对称，
因为 ，所以 ，即
所以 的图象关于点 对称，所以4为 的一个周期，
又 的最大值为4，所以 满足条件.
故答案为： （答案不唯一）
变式69．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，
且 ，写出一个满足条件的函数 的解析式：___________.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】∵ ， ，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
令 ， ， ， ， ，
令 ， ， .
故答案为： （答案不唯一）.
变式70．（2024·河北·校联考模拟预测）已知函数 的图
象过点 ，且相邻两个零点的距离为 .若将函数 的图象向左平移 个单位长度
得到 的图象，则函数 的解析式为___________.【答案】
【解析】 的相邻两个零点的距离为 ， 的最小正周期 ， ；
又 ， ，解得： ，
又 ， ， ，
.
故答案为： .
变式71．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，满足
， ，且 在 上有且仅有5个零点，则此
函数解析式为 _____________．
【答案】
【解析】因为 ，令 ，
则 ，即 ，
所以 是 图像的对称中心，
又 ，令 ，
则 ，即 ，
所以 是 图像的对称轴，
所以 ，得 ，令 ，则 ，所以 ，
因为 在 上有且只有5个零点，所以 ，又 ，
即 ，所以 ，得 ，代入上式，得 ，
又 ，所以 ，所以 .
故答案为：
变式72．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数 （ ，
）满足 ，其图象与 轴在原点右侧的第一个交点的坐标为
，则函数 的解析式为__________.
【答案】 或
【解析】因为 满足 ，所以 图象关于 对称，
因为 图象与 轴在原点右侧的第一个交点的坐标为 ，
所以 ，所以 ，
所以 即 ，所以 ， ，
解得： ， ，
因为 ，所以 或
所以 或 .
故答案为： 或 .
变式73．（2024·全国·高三专题练习）函数 ( ，)为偶函数，且函数 的图像的两条对称轴之间的最小距离为 ，则
的解析式为________.
【答案】
【解析】∵函数 ，
∴ ，
由题意得 ，
∴ ，则 .
∵ 为偶函数，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
故 ，
即 ，
∴ .
故答案为：
变式74．（2024·上海虹口·统考一模）设函数 （其中 , ）,若
函数 图象的对称轴 与其对称中心的最小距离为 ,则 ______．
【答案】【解析】解:由题知,因为 对称轴与对称中心的最小距离为 ,
所以 ,即 ,
所以 ,此时 ,
因为对称轴为 ,
故有: ,
即 ,
因为 ,
所以 ,
故 .
故答案为:
【解题方法总结】
根据函数必关于 轴对称，在三角函数中联想到 的模型，从图象、对称轴、
对称中心、最值点或单调性来求解．
题型九：三角函数图像变换
例25．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）如图，函数
的图像过 两点，为得到函数
的图像，应将 的图像（ ）A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】D
【解析】
代入 得 即
即
对于A选项，
,故A错误
对于B选项
，故B错误
对于C选项
，故C错误对于D选项，
，故D正确
故选：D
例26．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）将函数 的图象向右平
移 个单位长度后，得到函数 的图象，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数
的图象，
由题意可得 ，可得 ，当 时， ，
故选：D.
例27．（2024·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知把函数
的图象向右平移 个单位长度，可得函数 的图象，
则 的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，，
且
，
，
即 ，
解得 ，当 时， 取得最小正值，
.
故选：C.
变式75．（2024·全国·高三专题练习）为了得到函数 的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】A
【解析】由题意，由于函数 ，
观察发现可由函数 向左平移 个单位长度，得到函数 的
图象，
故选：A.变式76．（2024·青海西宁·统考二模）为了得到函数 图象，只要将
的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
B．向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不
变
C．向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
D．向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】只要将 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的
图象，即A正确；
将 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4
倍，纵坐标不变，得到的是函数 的图象，故B错误；
将 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，
纵坐标不变，得到的是函数 的图象，故C错误；
将 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4
倍，纵坐标不变，得到的是函数 的图象，故D错误；
故选：A
变式77．（2024·全国·高三专题练习）若要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【解析】因为 ，
故将已知转化为要得到函数 的图象，
又 ，
所以将 的图象向右平移 个单位长度即可得到 的图象.
故选：D
变式78．（2024·陕西·统考模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A．将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象
B．将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象C．将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象
D．将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象
【答案】A
【解析】由图象可知，函数 的最小正周期为 ，则 ， ，
，则 ，可得 ，
，所以， ，
所以， ，
因此，将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象.
故选：A.
变式79．（2024·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知曲线
，则下面结论正确的是（ ）
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
1
个单位长度，得到曲线C
2
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
1
个单位长度，得到曲线C
2
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单
1
位长度C
2
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单
1
位长度，得到曲线C
2
【答案】C
【解析】曲线 ，把 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，可得 的图象；
再把得到的曲线向左平移 个单位长度，可以得到曲线
的图象.
故选：C.
变式80．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，将函
数 的图象经过下列哪种可以与 的图象重合（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】C
【解析】 ，
将函数 的图象向右平移 个单位： ；
故选：C
【解题方法总结】
由函数 的图像变换为函数 的图像．
方法： 先相位变换，后周期变换，再振幅变换．
的图像 的图像
的图像的图像
题型十：三角函数模型
例28．（2024·江西赣州·高三校联考阶段练习）如图，摩天轮的半径为 m，其中心 点
距离地面的高度为 m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且 转一圈，若摩天轮上点
的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（ ）
A．转动 后点 距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第 和第 点 距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点 距离地面的高度不低于 m的时间长为
【答案】D
【解析】设转动过程中，点 离地面距离的函数为：
，
由题意得： ，
，则 ，
所以 ，
选项A，转到 后，点 距离地面的高度为：
，故A不正确；选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，
故B不正确；
选项C，因为
，
，
所以 ，
即第 和第 点 距离地面的高度不相同，故C不正确；
选项D，令 ，
则 ，由 ，
解得 ，
所以 ，
即摩天轮转动一圈，点 距离地面的高度不低于 m的时间为 ，
故D正确；
故选：D.
例29．（2024·全国·高三专题练习）2019年长春市新地标——“长春眼”在摩天活力城
Mall购物中心落成，其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约
为60m，摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点
处，已知在时刻t（min）时P距离地面的高度 ，当距
离地面的高度在 以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到
整个城市全貌的时间约为（ ）A．2.0min B．2.5min C．2.8min D．3.0min
【答案】B
【解析】由题意可知摩天轮运动一周距离底面的最高点为(60+40)米与最低点(60-40)米，相
差80米，
∴ ；运动一周15分钟，即 ；
由 ，可得 ，故 .
要看到全景需 ，解之得： ，故时间长为 min.
故选：B
例30．（2024·重庆·高三统考阶段练习）某钟表的秒针端点 到表盘中心 的距离为
，秒针绕点 匀速旋转，当时间 时，点 与表盘上标“12”处的点 重合．在秒
针正常旋转过程中， ， 两点的距离 （单位： ）关于时间 （单位： ）的函数解
析式为（ ）
A．
B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知函数 的定义域为 ，周期为 ，且 时， ，
对于选项A，函数 周期为 ，A错误；
对于选项B，函数 周期为 ，B错误；
对于选项D，当 时， ，D错误；
对于选项C，
，
所以函数 ，
故选：C.
变式81．（2024·全国·高三专题练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古
老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为 的水车，一个水斗从
点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过 秒后，水斗
旋转到 点，设点 的坐标为 ，其纵坐标满足
，则 的表达式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因点 在水车上，所以 .
由题可知 的最小正周期为8，则 ，又 ，则 .
因 ，则 ，又 ，故 .
综上： .
故选：D
变式82．（2024·全国·高三专题练习）一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每
12min旋转一周.它的最低点 离地面2m，风车翼片的一个端点 从 开始按逆时针方向
旋转，点 离地面距离 与时间 之间的函数关系式是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为y轴，该直线与地面的交点为原点，
建立坐标系，如图，
依题意，设函数解析式为 ，
显然 ，则 ， ，
函数 的周期 ，则 ，因当 时， ，即有 ，则
，
于是得 ，
所以点 离地面距离 与时间 之间的函数关系式是 .
故选：C
【解题方法总结】
（1）研究 的性质时可将 视为一个整体，利用换元法和数形结
合思想进行解题．
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问
题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题
