第30讲三角函数的图像与性质_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第30讲 三角函数的图像与性质
知识梳理
知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
π 3π
(1)在正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，( ，1)，(π，0)，( ，
2 2
-1)，(2π，0)．
π
(2)在余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，( ，0)，(π，-1)，
2
3π
( ，0)，(2π，1)．
2
知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y=sinx y=cosx y=tanx
图象
π
定义域 R R {x|x∈R，x≠kπ+ }
2
值域 [-1，1] [-1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
π π π π
递增区间 [2kπ- ，2kπ+ ] [-π+2kπ，2kπ] (kπ- ，kπ+ )
2 2 2 2
π 3π
递减区间 [2kπ+ ，2kπ+ ] [2kπ，π+2kπ] 无
2 2
π kπ
对称中心 (kπ，0) (kπ+ ，0) ( ，0)
2 2
π
对称轴方程 x=kπ+ x=kπ 无
2
T
注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是 ；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距
2
T
离是 ；
2
T
正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离 ；
4
知识点三：y=Asin(wx+ϕ)与y=Acos(wx+ϕ)(A>0,w>0)的图像与性质
2π
(1)最小正周期：T= ．
w
(2)定义域与值域：y=Asin(wx+ϕ)，y=Acos(wx+ϕ)的定义域为R，值域为[-A，A]．
(3)最值
假设A>0，w>0．
①对于y=Asin(wx+ϕ)，
π
当wx+ϕ= +2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A;
 2

π
当wx+ϕ=- +2kπ(k∈Z)时，函数取得最小值-A;
2
第 页 共 页
222 1043②对于y=Acos(wx+ϕ)，

当wx+ϕ=2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A;

当wx+ϕ=2kπ+π(k∈Z)时，函数取得最小值-A;
(4)对称轴与对称中心．
假设A>0，w>0．
①对于y=Asin(wx+ϕ)，
π
  当wx 0 +ϕ=kπ+ 2 (k∈Z)，即sin(wx 0 +ϕ)

=±1时，y=sin(wx+ϕ)的对称轴为x=x
 0
当wx +ϕ=kπ(k∈Z)，即sin(wx +ϕ)=0
0 0

时，y=sin(wx+ϕ)的对称中心为(x
,0).
0
②对于y=Acos(wx+ϕ)，
当wx +ϕ=kπ(k∈Z)，即cos(wx +ϕ)=±1
 0 0
时，y=cos(wx+ϕ)的对称轴为x=x
0
当wx +ϕ=kπ+ π (k∈Z)，即cos(wx +ϕ)
 0 2 0
  =0时，y=cos(wx+ϕ)的对称中心为(x ,0).
0
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与
x轴交点的位置．
(5)单调性．
假设A>0，w>0．
①对于y=Asin(wx+ϕ)，
π π
wx+ϕ∈ - +2kπ, +2kπ
 2 2
 (k∈Z)⇒增区间；
π 3π
wx+ϕ∈  +2kπ, +2kπ
 2 2



(k∈Z)⇒减区间.
②对于y=Acos(wx+ϕ)，
wx+ϕ∈[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)⇒增区间；

wx+ϕ∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)⇒减区间.
(6)平移与伸缩
π
由函数y=sinx的图像变换为函数y=2sin2x+
3
 +3的图像的步骤；
π π
方法一：x→x+ →2x+
2 3
 ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：
我们“想欺负”(相一期一幅)三角函数图像，使之变形．
π
向左平移 个单位
y=sinx的图像3y=sinx+ π
3

1
所有点的横坐标变为原来的
的图像2
纵坐标不变
π
y=sin2x+
3

的图像所有点的纵坐标变为原来的2倍y=2sin2x+ π
横坐标不变 3
 的图像
向上平移3个单位y=2sin2x+ π
3
 +3
π π
方法二：x→x+ →2x+
2 3
 ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
1 π
所有点的横坐标变为原来的 向左平移 个单位
y=sinx的图像2y=sin2x的图像6
纵坐标不变
π
y=sin2x+
6

π
=sin2x+
2

的图像所有点的纵坐标变为原来的2倍
横坐标不变
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223 1043π
y=2sin2x+
3

的图像向上平移3各单位y=2sin2x+ π
3
 +3
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即“想欺负”)，但先伸缩后平移
(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总
是对变量x而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角wx+ϕ”变化多少．
【解题方法总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
π
(1)函数y=sinx的对称轴为x=kπ+ (k∈Z)，对称中心为(kπ.0)(k∈Z)；
2
π
(2)函数y=cosx的对称轴为x=kπ(k∈Z)，对称中心为kπ+ ,0
2
 (k∈Z)；
kπ
(3)函数y=tanx函数无对称轴，对称中心为 ,0
2
 (k∈Z)；
π
(4)求函数y=Asin(wx+ϕ)+b(w≠0)的对称轴的方法；令wx+ϕ= +kπ(k∈Z)，得x
2
π
+kπ-ϕ
2 kπ-ϕ
= (k∈Z)；对称中心的求取方法；令wx+ϕ=kπ(k∈Z)，得x= ，即对称中
w w
kπ-ϕ
心为 ，b
w
 ．
(5)求函数y=Acos(wx+ϕ)+b(w≠0)的对称轴的方法；令wx+ϕ=kπ(k∈Z)得x=
π π
+kπ-ϕ  +kπ-ϕ
2 ，即对称中心为 2
,b
w  w

(k∈Z)
必考题型全归纳
1 题型一：五点作图法
2π
1186 (2024·湖北·高一荆州中学校联考期中)要得到函数f(x)=2sin2x+
3
 的图象，可以
从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线
得到．
(1)由y=sinx图象变换得到函数fx  的图象，写出变换的步骤和函数；
π 7π
(2)用“五点法”画出函数f(x)在区间  ,
 6 6
 上的简图．
1187 (2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习)函数fx  =sinx+2sinx  .
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224 1043(1)请用五点作图法画出函数fx  在0,2π  上的图象；(先列表，再画图)
(2)设Fx  =fx  -2m，x∈0,2π  ，当m>0时，试研究函数Fx  的零点的情况.
2 题型二：函数的奇偶性
1188 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  =cosx+a  +sinx+b  ，则 ( )
A.若a+b=0，则fx 
π
为奇函数 B.若a+b= ，则fx
2
 为偶函数
π
C.若b-a= ，则fx
2
 为偶函数 D.若a-b=π，则fx  为奇函数
1189 (2024·贵州贵阳·校联考模拟预测)使函数fx  = 3sin2x+θ  +cos2x+θ  为偶函
数，则θ的一个值可以是 ( )
π π π 7π
A. B. C.- D.
3 6 3 6
π
1190 (2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测)函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移
3
个单位得到函数g(x)的图像，若函数g(x)是偶函数，则tanφ= ( )
3 3
A.- 3 B. 3 C.- D.
3 3
1191 (2024·北京·高三专题练习)已知的f(x)=sinx+ 3cosx图象向左平移φ个单位长度
后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为 ( )
π π π 5π
A. B. C. D.
12 6 3 12
π
1192 (2024·浙江·高三期末)将函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移 个单位得到一个
12
奇函数的图象，则φ的取值可以是 ( )
π π π 2π
A. B. C. D.
6 3 2 3
π
1193 (2024·广东·高三统考学业考试)函数f(x)=sin4x+
2
 是 ( )
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
π π
C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数
2 2
x4-tanx+2
1194 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= 的最大值为M，最小值为m，
x4+2
则M+m的值为 ( )
A.0 B.2 C.4 D.6
1195 (2024·山东·高三专题练习)设函数fx  =ax3+b⋅tanx+c⋅ 3x+2x2+1，如果f2  =
10，则f-2  的值是 ( )
A.-10 B.8 C.-8 D.-7
3 题型三：函数的周期性
1196 (2024·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试)已知x 1 ，x 2 ，是函数fx  =
tanωx-φ  ω>0,0<φ<π  的两个零点，且x 1 -x 2 
π
的最小值为 ，若将函数fx 3  的图
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225 1043π
象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ的最大值为 ( )
12
3π π 7π π
A. B. C. D.
4 4 8 8
1197 (2024·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模)将函数f(x)=cos2x的图象向右平移
π
φ0<φ< 2  个单位长度后得到函数g(x)的图象，若对满足 fx 1  -gx 2    =2的x,x ， 1 2
总有x 1 -x 2 
π
的最小值等于 ，则φ= ( ) 6
π π π 5π
A. B. C. D.
12 6 3 12
1198 (2024·河北·高三校联考阶段练习)函数f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期为 ( )
3π π π
A.π B. C. D.
2 2 4
1199 (2024·高三课时练习)函数f(x)=tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y=2所得线
π π
段长为 ，则f
2 6
 的值是 .
1200 (2024·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习)下列函数中，最小正周期为π的奇
函数是 ( )
π
A.y=sinx+
4
 B.y=sinπ+x  cosπ-x 
π
C.y=cos2x-cos2x+
2
 D.y=sin2x 
1201 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)=2cosx对于∀x∈R，都有f(x)≤f(x)≤f(x )，
1 2
则|x -x |的最小值为( ).
1 2
π π
A. B. C.π D.2π
4 2
1202 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=cosωx(sinωx+ 3cosωx) (ω>0)，如果
存在实数x ，使得对任意的实数x，都有f(x )≤f(x)≤f(x +2016π)成立，则ω的最小值
0 0 0
为
1 1 1 1
A. B. C. D.
4032π 2016π 4032 2016
π
1203 (2024·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测)设函数f(x)=cosωx+
6
 在[-π,π]
的图象大致如图所示，则f(x)的最小正周期为 ( )
4π 10π 4 10
A. B. C. D.
3 9 3 9
1204 (2024·全国·高三对口高考)函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是 .
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226 10431205 (2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)函数f(x)=(cosx-sinx)
π
cos -x
2
 的最小正周期是 ．
1
1206 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinπx+1.则f
2

3
+f
2

5
+f
2
 +
7
f
2

2021
+⋯+f
2

2023
+f
2
 = .
1207 (2024·四川遂宁·统考三模)已知函数fx 
π
=sinωx+ 6  +cosωx ω>0  ，fx 1  =0，
fx 2  = 3，且x 1 -x 2  的最小值为π，则ω=
1208 (2024·上海宝山·上海交大附中校考三模)已知函数fx  =sin2x+2 3cos2x，则函数
fx  的最小正周期是 ．
π
1209 (2024·上海·上海中学校考模拟预测)已知函数f(x)=sinωx-sinωx+
3
 (ω>0)的最
π
小正周期是 ，则ω= .
2
1210 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模)设函数fx  =
Asinωx+ϕ  A>0,ω>0 
π π
相邻两条对称轴之间的距离为 ，f
2 3
   =A，则φ  的最小
值为 ．
1211 (2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小
正周期为 .
1212 (2024·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习)设函数f(x)=Acos(ωx+φ)
π π
(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间  ,
 4 2

π
上具有单调性，且f
2
 =
2π
f
3

π
=-f
4
 ，则f(x)的最小正周期为 ．
1213 (2024·全国·高三专题练习)下列6个函数：①y=sinx  ，②y=sinx  ，③y=cosx  ，④y
=cosx  ，⑤y=tanx  ，⑥y=tanx  ，其中最小正周期为π的偶函数的编号为 .
4 题型四：函数的单调性
1214 (2024·河北石家庄·正定中学校考模拟预测)已知函数fx  =sin2023π+x 
x
-sin2 +
2
x
cos2 ，则下列说法错误的是 ( )
2
A. fx  的值域为- 2, 2 
B. fx 
π 3π
的单调递减区间为 - +2kπ, +2kπ
 4 4
 k∈Z 
5π
C.y=fx+
4
 为奇函数，
D.不等式fx 
2 7π π
≥ 的解集为 - +kπ, +kπ
2  12 12
 k∈Z 
1215 (2024·全国·模拟预测)将函数fx 
1 π
=3sin x+
3 12

π
的图象上各点向右平移 个单位
12
长度得函数gx  的图象，则gx  的单调递增区间为 ( )
5π 22π
A.  2kπ- ,2kπ+
 3 3

5π 4π
,k∈Z B.  4kπ- ,4kπ+
 3 3
 ,k∈Z
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227 10435π 4π
C.  6kπ- ,6kπ+  3 3  ,k∈Z D. 4π,9π 
1216 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx  =3sinωx+φ  x∈R,ω>0,φ 
π
 <
2
 的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A. fx 
1 π
=3sin x-
3 12

3π
B. f
4

3
=
2
C.不等式fx 
3 π 9π
≥ 的解集为 6kπ+ ,6kπ+
2  4 4
 k∈Z
D.将fx 
π
的图象向右平移 个单位长度后所得函数的图象在6π,8π
12
 上单调递增
π
1217 (2024·四川泸州·统考三模)将函数y=sin2x+
3

π
的图象向左平移 个单位长度，所
12
得图象的函数 ( )
π 3π
A.在区间  ,
 2 2

3π
上单调递减 B.在区间 π,
 2
 上单调递减
C.在区间π,2π 
3π 5π
上单调递增 D.在区间  ,  4 4  上单调递增
x x
1218 (2024·北京密云·统考三模)已知函数f(x)=cos2 -sin2 ，则 ( )
2 2
A. fx 
π π
在- ,-
2 6
 上单调递减 B. fx 
π π
在- ,
4 12
 上单调递增
C. fx 
π
在0,
3
 上单调递减 D. fx 
π 7π
在 ,
4 12
 上单调递增
1219 (2024·河南·高三校联考阶段练习)已知函数fx  =
Acosωx+φ 
π
A>0,ω>0,|φ|<
2
 ，若函数fx 
π
的图象向左平移 个单位长度后得到
6
的函数的部分图象如图所示，则不等式fx  ≥-1的解集为 ( )
7π π
A.  - +kπ, +kπ
 12 4
 k∈Z 
π 7π
B.  - +2kπ, +2kπ
 3 12
 k∈Z 
π 5π
C.  - +kπ, +kπ
 4 12
 k∈Z 
π π
D.  - +kπ, +kπ
 3 12
 k∈Z 
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228 10431220 (2024·全国·高一专题练习)y=cosωx+φ  的部分图像如图所示，则其单调递减区间为
( )
1 7
A.  +2k, +2k
12 12

1 7
,k∈Z B.  +k, +k
12 12
 ,k∈Z
1 7
C.  +2kπ, +2kπ
12 12

1 7
,k∈Z D.  +kπ, +kπ
12 12
 ,k∈Z
1 π
1221 (2024·四川凉山·高一校联考期中)函数y= tan2x-
3 6

1
+ 的单调递增区间为
2
( )
π π
A. kπ- ,kπ+
6 3
 k∈Z 
π 5π
B. kπ+ ,kπ+
6 12
 k∈Z 
kπ π kπ π
C.  - , +
2 6 2 3
 k∈Z 
kπ π kπ 5π
D.  + , +
2 6 2 12
 k∈Z 
5 题型五：函数的对称性(对称轴、对称中心)
5 π
1222 (2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)已知函数f(x)=cos x-
2 4
 +1，若将
y=fx  的图像向右平移mm>0  个单位长度后图象关于y轴对称，则实数m的最小值
为 ( )
π 3π 7π 11π
A. B. C. D.
10 10 10 10
1223 (2024·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习)已知fx 
π
=sinωx+
4
 ω>0  ，函
数y=fx  ，x∈R的最小正周期为π，将y=fx 
π
的图像向左平移φ0<φ<
2
 个单位
长度，所得图像关于y轴对称，则φ的值是 ．
1224 (2024·上海松江·校考模拟预测)已知函数y=fx  的对称中心为0,1  ，若函数y=1+
sinx的图象与函数y=fx  的图象共有6个交点，分别为x 1 ,y 1  ，x 2 ,y 2  ，⋯，x 6 ,y 6  ，则
6
x i +y i
i=1
  = .
π
1225 (2024·全国·高三对口高考)设函数y=sin2x+ 3  的图象关于点Px 0 ,0  成中心对称，
π
若x ∈ - ,0
0  2
 ，则x = .
0
1226 (2024·新疆喀什·校考模拟预测)函数y=2sinωxω>0 
π
向左平移 个单位长度之后关
3
π
于x= 对称，则ω的最小值为 .
6
1227 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =2sinωx+φ  ω>0,φ 
π
 <
2
 ，若f0  =
第 页 共 页
229 1043π
- 3，且直线x= 为fx
6
 图象的一条对称轴，则ω的最小值为 ．
4π
1228 (2024·河南开封·校考模拟预测)已知函数f(x)=2cos(3x+φ)的图象关于点 ,0
3
 对
称，那么φ  的最小值为 ．
1229 (2024·全国·模拟预测)将函数fx 
π
=cosωx-
6
 ω>0 
π
的图象向左平移 个单位长
9
度得到函数gx  的图象.若函数gx 
π
的图象关于点 ,0
3
 对称，则ω的最小值为
.
1230 (2024·江西吉安·高三统考期末)记函数fx 
π
=cosωx+
3
 (ω>0)的最小正周期为T，
且y=fx 
π T
的图象关于x= 对称，当ω取最小值时，f
6 2
 = .
π
1231 (2024·福建宁德·高三校考阶段练习)写出满足条件“函数f(x)=cos x-φ
3
 的图象关
于直线x=2对称”的φ的一个值 ．
1232 (2024·江西赣州·高三校联考期中)已知函数fx  =2cos2x+φ  图象的一条对称轴为x
π
= ．若0<φ<4π,则φ的最大 ．
8
1233 (2024·河北石家庄·统考模拟预测)曲线fx 
sinx+cosx
= 的一个对称中心为
sinx-cosx
(答案不唯一).
1234 (2024·甘肃武威·甘肃省武威第一中学校考模拟预测)函数fx 
π
=3tan2x+
3
 图象的
一个对称中心的坐标是 ．
6 题型六：函数的定义域、值域(最值)
1235 (2024·全国·高三专题练习)实数x,y满足x2-xy+y2=1，则x+2y的范围是 .
x x x x
1236 (2024·河北·校联考一模)函数f(x)=sin3 cos -sin cos3 的最小值为 .
2 2 2 2
1237 (2024·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测)若函数f(x)=sinx+cos(x+φ)的最小值为
- 3，则常数φ的一个取值为 .(写出一个即可)
1238 (2024·全国·高三对口高考)f(x)=cos2x-2 3sinxcosx的最小值为 .
π
1239 (2024·上海嘉定·校考三模)若关于x的方程2sin2x- 3sin2x+m-1=0在  ,π
 2
 上
有实数解，则实数m的取值范围是 .
1240 (2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测)函数f(x)=2sin2x-cos2x  的值域为
．
1241 (2024·上海·高三专题练习)已知函数fx 
1 π
= sin2x-
2 3

π π
，x∈ - ,
 4 4
 ，则函数fx 
的值域为 ．
π 1242 (2024·全国·高三专题练习)设函数f(x)=sinx，x∈R，则y= fx+
12
  

 2 +
第 页 共 页
230 1043π fx+
4
  

 2 的最小值为 .
1243 (2024·全国·高三专题练习)设a>0，则fx  =2asinx+cosx  -sinx⋅cosx-2a2的最
小值为 .
1
1244 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= sin2xcosx，该函数的最大值为 ．
2
1245 (2024·江苏苏州·高三统考开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β  的
范围是 ．
1246 (2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测)函数fx  =cos2x+cosx  的值域是
.
1247 (2024·全国·高三专题练习)设x、y∈R且3x2+2y2=6x，求x2+y2的取值范围是
.
sinxcosx
1248 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)= 的值域为 ．
1+sinx+cosx
1249 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)=-sinx+2cosx(x∈[0,π])的最大值为 ．
π
1250 (2024·全国·高三专题练习)函数y=tanx+
6
 的定义域为 ．
π
1251 (2024·全国·高三专题练习)函数y=tanx+
6

π π
,x∈- ,
6 3
 的值域为 .
2tanx π
1252 (2024·江西·校联考模拟预测)函数f(x)= ,x∈0,
1+2tan2x 3
 的最大值为 ．
7 题型七：三角函数性质的综合
1253 (多选题)(2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)已知函数fx  =
2cos2x+φ  ϕ 
π
 <
2
 的图象与函数gx 
π
=sinωx+
6
 的图象的对称中心完全相同，
π
且在0,
2
 上，fx  有极小值，则 ( )
A. fφ  =-2 B. gφ  =1
π
C.函数fx-
3
 是偶函数 D. gx 
π π
在- ,-
2 3
 上单调递增
1254 (多选题)(2024·广东潮州·统考模拟预测)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)
ω>0，φ 
π
 ≤
2
 的最小正周期为π，且过点0, 2  ，则下列正确的有 ( )
π
A. f(x)在0,
2
 单调递减
π
B. f(x)的一条对称轴为x=
2
π
C. f(|x|)的周期为
2
π
D.把函数f(x)的图象向左平移 个长度单位得到函数g(x)的解析式为g(x)=
6
π
2cos2x+
6

1255 (多选题)(2024·广东佛山·统考模拟预测)已知函数f(x)=asinx-cosx(x∈R)的图象
π
关于x= 对称，则 ( )
3
第 页 共 页
231 1043A. fx  的最大值为2
π
B. fx+
3
 是偶函数
C. fx 
2π π
在 - ,
 3 3
 上单调递增
D.把fx 
π 3π
的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于点 ,0
6 4
 对称
1256 (多选题)(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)已知函数fx  =
π
sinx+
4
 ，则下列说法正确的有 ( )
A.若 fx 1  -fx 2    =2，则x 1 -x 2  =π min
B.将fx 
π
的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于y轴对称
4
π
C.函数y=sin2x+
4
 的最小正周期为2π
D.若fωx  (ω>0)在0,π 
11 15
上有且仅有3个零点，则ω的取值范围为  ,  4 4 
1257 (多选题)(2024·海南·高三校联考期末)已知函数fx  =cosωx+φ  (ω>0,-π<φ<
π
π)，f
6
 =0，fx 
π
≥f-
12
 恒成立，fx 
13π 17π
在  ,
 12 12
 上单调，则 ( )
5π
A.φ=-
6
B.将fx 
π
的图象向左平移 个单位长度后得到函数gx
6
 =sin2x的图象
π
C. f +x
6

π
+f -x
6
 =1
D.若函数y=fx 
π 11π
-m在 - ,
 2 6

2 2
上有5个零点，则- ≤m≤
2 2
1258 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型
是函数y=Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数
学模型是函数f(x)=|cosx|+ 3|sinx|，则下列结论不正确的是 ( )
A. f(x)是偶函数 B. f(x)的最小正周期为2π
π
C. f(x)在区间 0,
 2
 上单调递增 D. f(x)的最小值为1
1259 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinx  +cosx  ，下列叙述正确的
有 ( )
A. f(x)的周期为2π； B. f(x)是偶函数；
3π 5π
C. f(x)在区间  ,  4 4  上单调递减； D.∀x 1 ，x 2 ∈R，f(x 1 )-f(x 2 )  ≤ 2
1260 (多选题)(2024·重庆·统考模拟预测)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，
我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数fx  =sinx+
1
sin2xx∈R
2
 ，则下列结论正确的是 ( )
A. fx  的一个周期为2π B. fx 
3
的最小值为-
2
C. fx  的图象关于点π,0  对称 D. fx  在区间0,2π  上有3个零点
π
1261 (2024·全国·高三专题练习)设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφω>0,|φ|<
2
 ．
3
(1)若f(0)=- ，求φ的值．
2
π 2π
(2)已知f(x)在区间 - ,
 3 3

2π
上单调递增，f
3
 =1，再从条件①、条件②、条件③这三
第 页 共 页
232 1043个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值．
π
条件①：f
3
 = 2；
π
条件②：f-
3
 =-1；
π π
条件③：f(x)在区间 - ,-
 2 3
 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
1262 (2024·江西赣州·高三校联考阶段练习)已知函数fx  =
Asinωx+φ  A>0,ω>0,φ 
π
 <
2
 的部分图象如图所示.
(1)求fx  的解析式；
(2)将fx 
1
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左
2
π
平移 个单位长度，得到函数gx
12
 的图象，求函数y=gx 
π π
sinx在 - ,
 2 2
 内的零点.
1263 (2024·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)在
π π
区间- ,
6 3

π
上单调，其中ω>0，0<φ<π，且f-
6

π
=-f
3
 ．
(1)求y=f(x)的图象的一个对称中心的坐标；
π 3
(2)若点P- ,
12 2
 在函数f(x)的图象上，求函数f(x)的表达式．

1264 (2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测)a= 3sinωx,sinωx+cosωx 

，b=
2cosωx,sinωx-cosωx  ，fx 
 
=a⋅b，
π
(1)若ω=1，求f
6
 的值；
(2)若函数fx  的最小正周期为π
①求ω的值；
5π 5π
②当x∈  ,
24 12
 时，对任意t∈R，不等式mt2+mt+3≥fx  恒成立，求m的取值范
围
1265 (2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测)某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足
函数ht  =Asinωt+φ  +B A>0,ω>0,φ 
π
 < ,0≤t<24
2
 ，其中h为水深(单位：米)，
t为时间(单位：小时)，该函数图像如图所示.
第 页 共 页
233 1043(1)求函数ht  的解析式；
(2)若一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的
安全间隙(船底与水底的距离)，则该船一天之内至多能在港口停留多久？
1266 (2024·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测)已知函数fx  =
sinωx+φ  ω>0,0<φ<π 
π
的图像相邻对称轴之间的距离是 ， ；
2
①若将fx 
π
的图像向右平移 个单位，所得函数gx
6
 为奇函数．
②若将fx 
π
的图像向左平移 个单位，所得函数gx
12
 为偶函数，
在①，②两个条件中选择一个补充在 并作答
π
(1)若x∈ 0,
 3
 ，求y=2f2 x  -fx  的取值范围；
(2)设函数hx  =fx 
3 π
- 的零点为x ，求cos -4x 5 0 3 0  的值．
1267 (2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测)已知函数fx  =
Asinωx+φ  A>0,ω>0,φ 
π
 <
2
 的部分图象如图所示.
(1)求函数fx  的解析式；
(2)将函数fx 
π
的图象向左平移 个单位，得到函数gx
6
 的图象，若方程gx  +
ksinx+cosx 
π
+2=0在x∈ 0,
 2
 上有解，求实数k的取值范围.
8 题型八：根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式．
1268 (2024·甘肃金昌·高三统考阶段练习)已知函数fx  =
Acosωx+φ  A>0，ω>0，φ 
π
 <
2
 的部分图象如图所示，设使fx  =-f2a-x  成立
的a的最小正值为m，f0  =n，则m+n= ( )
π π 3 π π 3
A. +1 B. + C. +1 D. +
6 6 2 3 3 2
第 页 共 页
234 10431269 (2024·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试)已知函数fx  =
Asinωx+φ  (A,ω,φ为常数，ω>0,A>0)的部分图像如图所示，若将fx  的图像向左
π
平移 个单位长度，得到函数gx
6
 的图像，则gx  的解析式可以为 ( )
A. gx 
π
=2 2sin3x+
4
 B. gx 
π
=2 2cos3x+
4

C. gx 
π
=2 2sin3x-
4
 D. gx 
π
=-2 2cos3x-
4

1270 (2024·全国·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
π
x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
2
 的部分图象如图所示，把f(x)的图象上所有的点向左平移
π 1
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到
12 2
的函数图象的解析式是 ( )
π
A.y=2sinx+
6

π
，x∈R B.y=2sinx+
3
 ，x∈R
π
C.y=2sin4x+
6

π
，x∈R D.y=2sin4x+
3
 ，x∈R
1271 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  =Asinωx+φ  A>0,ω>0,0<φ<π  的部分图
象如图所示，则函数f(x)的解析式为 ( )
第 页 共 页
235 10432π
A. f(x)= 3sin2x+
3

π
B. f(x)= 3sin2x+
3

x π
C. f(x)= 3sin +
2 3
 D. fx 
x 2π
= 3sin +
2 3

1272 (2024·北京通州·统考模拟预测)已知函数fx  =2sinωx+φ  ω>0，ϕ 
π
 <
2
 的部分图
象如图所示，则fx  的解析式为 ( )
A. fx 
π
=2sinx+
6
 B. fx 
π
=2sinx-
6

C. fx 
π
=2sin2x+
3
 D. fx 
π
=2sin2x-
3

1273 (2024·宁夏·高三银川一中校考阶段练习)已知函数fx  =Asinωx+φ  ，A>0，ω>
0，φ 
π
< 的部分图象如图所示，则函数的解析式为 .
2
1274 (2024·江苏南京·高三统考期中)设函数f(x)=2sin(ωx+φ)，(其中ω>0，|φ|<π)的部
分图象如图，则函数f(x)的解析式为f(x)= .
第 页 共 页
236 10431275 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx  =2cosωx+φ  ω>0,φ 
π
 < 3  ，当fx 1  fx 2  =
-4时，x 1 -x 2 
π
的最小值为 ，则ω= ；若将函数fx 4 
π
的图象向左平移 个单位 6
长度后，所得图象在y轴上的截距为- 3，则fx 
π π
在  ,
 6 3
 上的值域为 ．
1276 (2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)某函数f(x)满足以下三个条件：
①g(x)=f(x)-1是偶函数；②g(2-x)+g(x)=0；③f(x)的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数f(x)的解析式 ．
π
1277 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，f-
8
   =1，且
5π
f
8
 =0，写出一个满足条件的函数f(x)的解析式： .
1278 (2024·河北·校联考模拟预测)已知函数fx  =sinωx+φ  ω>0,0<φ<π  的图象过点
π
 ,0
3
 ，且相邻两个零点的距离为π.若将函数fx 
π
的图象向左平移 个单位长度得到
3
gx  的图象，则函数gx  的解析式为 .
1279 (2024·全国·高三专题练习)已知fx  =sinωx+φ  ω>0,0<φ<π 
π
，满足fx-
3
 +
f-x 
2π
=0，f +x
3
 =f-x  ，且fx  在0,π  上有且仅有5个零点，则此函数解析式
为fx  = ．
1280 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0≤φ<2π)满
足f(2+x)=f(2-x)，其图象与x轴在原点右侧的第一个交点的坐标为(6,0)，则函数y
=f(x)的解析式为 .
1281 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)= 3sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)(ω>0，0<ϕ<
π
π)为偶函数，且函数y=f(x)的图像的两条对称轴之间的最小距离为 ，则f(x)的解析
2
式为 .
1282 (2024·上海虹口·统考一模)设函数fx  =cosωx+φ  (其中ω>0,ϕ 
π
< ),若函数y=
2
fx 
π π
图象的对称轴x= 与其对称中心的最小距离为 ,则fx
6 8
 = ．
9 题型九：三角函数图像变换
1283 (2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习)如图，函数fx  =
2sinωx+φ 
π
ω>0,|φ|<
2

π
的图像过 ,0
2
 ,2π,2  两点，为得到函数gx  =
第 页 共 页
237 10432cosωx-φ  的图像，应将fx  的图像 ( )
7π 7π
A.向右平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度
6 6
5π 5π
C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度
2 2
1284 (2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)将函数y=sin2x的图象向右平移φ
π
个单位长度后，得到函数y=cos2x+
6
 的图象，则φ的值可以是 ( )
π π π 2π
A. B. C. D.
12 6 3 3
1285 (2024·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试)已知把函数f(x)=
π
sinx+
3

1 π
cosx的图象向右平移φ个单位长度，可得函数y= cos2x+
2 6

3
+ 的图
4
象，则φ的最小正值为 ( )
π π 5 π
A. B. C. π D.
4 6 6 3
4π
1286 (2024·全国·高三专题练习)为了得到函数y=sin2x+
3
 的图象，只需将函数y=
π
sin2x+
6
 的图象 ( )
7π 7π
A.向左平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度
12 6
7π 7π
C.向右平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
12 6
π
1287 (2024·青海西宁·统考二模)为了得到函数y=sin4x+
6
 图象，只要将y=sinx的图象
( )
π 1
A.向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不
6 4
变
π
B.向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不
3
变
π 1
C.向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不
3 4
变
π
D.向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
6
1288 (2024·全国·高三专题练习)若要得到函数fx 
π
=sin2x+
6
 的图象，只需将函数gx 
π
=cos2x+
3
 的图象 ( )
π π
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
6 6
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238 1043π π
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
3 3
1289 (2024·陕西·统考模拟预测)已知函数fx  =Asinωx+φ  A>0,ω>0,-π<φ<0  的部
分图象如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A.将函数y=fx 
π
的图象向左平移 个单位长度得到函数gx
3
 =Acosωx的图象
B.将函数y=fx 
π
的图象向右平移 个单位长度得到函数gx
3
 =Acosωx的图象
C.将函数y=fx 
π
的图象向左平移 个单位长度得到函数gx
6
 =Acosωx的图象
D.将函数y=fx 
π
的图象向右平移 个单位长度得到函数gx
6
 =Acosωx的图象
π
1290 (2024·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知曲线C:y=sin +2x
1 2
 ,C :y=
2
5π
-cos -3x
6
 ，则下面结论正确的是 ( )
3 π
A.把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
1 2 6
个单位长度，得到曲线C
2
3 π
B.把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
1 2 18
个单位长度，得到曲线C
2
2 π
C.把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个
1 3 18
单位长度C
2
2 π
D.把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个
1 3 6
单位长度，得到曲线C
2
1291 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
π
=cos2x-
3
 ，gx  =sin2x，将函数fx  的
图象经过下列哪种可以与gx  的图象重合 ( )
π π
A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位
12 6
π π
C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位
12 6
10 题型十：三角函数模型
1292 (2024·江西赣州·高三校联考阶段练习)如图，摩天轮的半径为50m，其中心O点距离地
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239 1043面的高度为60m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20min转一圈，若摩天轮上点P的起
始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是 ( )
A.转动10min后点P距离地面8m
1
B.若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
2
C.第17min和第42min点P距离地面的高度相同
20
D.摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于85m的时间长为 min
3
1293 (2024·全国·高三专题练习)2019年长春市新地标--“长春眼”在摩天活力城Mall购物
中心落成，其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m，
摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知
在时刻t(min)时P距离地面的高度ft  =Asinωt+φ  +h ω>0,φ   <π  ，当距离地面
的高度在60+20 3  m以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个
城市全貌的时间约为 ( )
A.2.0min B.2.5min C.2.8min D.3.0min
1294 (2024·重庆·高三统考阶段练习)某钟表的秒针端点A到表盘中心O的距离为5cm，秒
针绕点O匀速旋转，当时间t=0时，点A与表盘上标“12”处的点B重合．在秒针正常旋
转过程中，A，B两点的距离d(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式为 ( )
π
A.d=10sin t(t≥0)
60
π
B.d=10cos t(t≥0)
60
π
10sin t,120k≤t≤60+120k,k∈N
60
C.d=
π
-10sin t,60+120k<t<120k+1
60



,k∈N
π
10cos t,120k≤t≤30+120k,k∈N
 60
D.d=
π
-10cos t,30+120k<t<90+120k,k∈N
60
1295 (2024·全国·高三专题练习)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发
明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点
A1,- 3  出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过t秒后，水斗
旋转到P点，设点P的坐标为x,y  ，其纵坐标满足y=ft  =
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240 1043Rsinωt+φ  t≥0,ω>0,φ 
π
 <
2
 ，则ft  的表达式为 ( )
π π
A.y=sin t+
4 3

π π
B.y=sin t-
4 3

π π
C.y=2sin t+
4 3

π π
D.y=2sin t-
4 3

1296 (2024·全国·高三专题练习)一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转
一周.它的最低点P 离地面2m，风车翼片的一个端点P从P 开始按逆时针方向旋转，点
0 0
P离地面距离hm  与时间tmin  之间的函数关系式是 ( )
A.ht 
π
=-8sin t+10 B.ht
6

π
=8sin t+2
6
C.ht 
π
=-8cos t+10 D.ht
6

π
=8cos t+10
6
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