第30讲三角函数的图像与性质_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第30讲 三角函数的图像与性质 知识梳理 知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 π 3π (1)在正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，( ，1)，(π，0)，( ， 2 2 -1)，(2π，0)． π (2)在余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，( ，0)，(π，-1)， 2 3π ( ，0)，(2π，1)． 2 知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 π 定义域 R R {x|x∈R，x≠kπ+ } 2 值域 [-1，1] [-1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 π π π π 递增区间 [2kπ- ，2kπ+ ] [-π+2kπ，2kπ] (kπ- ，kπ+ ) 2 2 2 2 π 3π 递减区间 [2kπ+ ，2kπ+ ] [2kπ，π+2kπ] 无 2 2 π kπ 对称中心 (kπ，0) (kπ+ ，0) ( ，0) 2 2 π 对称轴方程 x=kπ+ x=kπ 无 2 T 注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是 ；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距 2 T 离是 ； 2 T 正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离 ； 4 知识点三：y=Asin(wx+ϕ)与y=Acos(wx+ϕ)(A>0,w>0)的图像与性质 2π (1)最小正周期：T= ． w (2)定义域与值域：y=Asin(wx+ϕ)，y=Acos(wx+ϕ)的定义域为R，值域为[-A，A]． (3)最值 假设A>0，w>0． ①对于y=Asin(wx+ϕ)， π 当wx+ϕ= +2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A;  2  π 当wx+ϕ=- +2kπ(k∈Z)时，函数取得最小值-A; 2 第 页 共 页 222 1043②对于y=Acos(wx+ϕ)，  当wx+ϕ=2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A;  当wx+ϕ=2kπ+π(k∈Z)时，函数取得最小值-A; (4)对称轴与对称中心． 假设A>0，w>0． ①对于y=Asin(wx+ϕ)， π   当wx 0 +ϕ=kπ+ 2 (k∈Z)，即sin(wx 0 +ϕ)  =±1时，y=sin(wx+ϕ)的对称轴为x=x  0 当wx +ϕ=kπ(k∈Z)，即sin(wx +ϕ)=0 0 0  时，y=sin(wx+ϕ)的对称中心为(x ,0). 0 ②对于y=Acos(wx+ϕ)， 当wx +ϕ=kπ(k∈Z)，即cos(wx +ϕ)=±1  0 0 时，y=cos(wx+ϕ)的对称轴为x=x 0 当wx +ϕ=kπ+ π (k∈Z)，即cos(wx +ϕ)  0 2 0   =0时，y=cos(wx+ϕ)的对称中心为(x ,0). 0 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与 x轴交点的位置． (5)单调性． 假设A>0，w>0． ①对于y=Asin(wx+ϕ)， π π wx+ϕ∈ - +2kπ, +2kπ  2 2  (k∈Z)⇒增区间； π 3π wx+ϕ∈  +2kπ, +2kπ  2 2    (k∈Z)⇒减区间. ②对于y=Acos(wx+ϕ)， wx+ϕ∈[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)⇒增区间；  wx+ϕ∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)⇒减区间. (6)平移与伸缩 π 由函数y=sinx的图像变换为函数y=2sin2x+ 3  +3的图像的步骤； π π 方法一：x→x+ →2x+ 2 3  ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆： 我们“想欺负”(相一期一幅)三角函数图像，使之变形． π 向左平移 个单位 y=sinx的图像3y=sinx+ π 3  1 所有点的横坐标变为原来的 的图像2 纵坐标不变 π y=sin2x+ 3  的图像所有点的纵坐标变为原来的2倍y=2sin2x+ π 横坐标不变 3  的图像 向上平移3个单位y=2sin2x+ π 3  +3 π π 方法二：x→x+ →2x+ 2 3  ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 1 π 所有点的横坐标变为原来的 向左平移 个单位 y=sinx的图像2y=sin2x的图像6 纵坐标不变 π y=sin2x+ 6  π =sin2x+ 2  的图像所有点的纵坐标变为原来的2倍 横坐标不变 第 页 共 页 223 1043π y=2sin2x+ 3  的图像向上平移3各单位y=2sin2x+ π 3  +3 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即“想欺负”)，但先伸缩后平移 (先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总 是对变量x而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角wx+ϕ”变化多少． 【解题方法总结】 关于三角函数对称的几个重要结论； π (1)函数y=sinx的对称轴为x=kπ+ (k∈Z)，对称中心为(kπ.0)(k∈Z)； 2 π (2)函数y=cosx的对称轴为x=kπ(k∈Z)，对称中心为kπ+ ,0 2  (k∈Z)； kπ (3)函数y=tanx函数无对称轴，对称中心为 ,0 2  (k∈Z)； π (4)求函数y=Asin(wx+ϕ)+b(w≠0)的对称轴的方法；令wx+ϕ= +kπ(k∈Z)，得x 2 π +kπ-ϕ 2 kπ-ϕ = (k∈Z)；对称中心的求取方法；令wx+ϕ=kπ(k∈Z)，得x= ，即对称中 w w kπ-ϕ 心为 ，b w  ． (5)求函数y=Acos(wx+ϕ)+b(w≠0)的对称轴的方法；令wx+ϕ=kπ(k∈Z)得x= π π +kπ-ϕ  +kπ-ϕ 2 ，即对称中心为 2 ,b w  w  (k∈Z) 必考题型全归纳 1 题型一：五点作图法 2π 1186 (2024·湖北·高一荆州中学校联考期中)要得到函数f(x)=2sin2x+ 3  的图象，可以 从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线 得到． (1)由y=sinx图象变换得到函数fx  的图象，写出变换的步骤和函数； π 7π (2)用“五点法”画出函数f(x)在区间  ,  6 6  上的简图． 1187 (2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习)函数fx  =sinx+2sinx  . 第 页 共 页 224 1043(1)请用五点作图法画出函数fx  在0,2π  上的图象；(先列表，再画图) (2)设Fx  =fx  -2m，x∈0,2π  ，当m>0时，试研究函数Fx  的零点的情况. 2 题型二：函数的奇偶性 1188 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  =cosx+a  +sinx+b  ，则 ( ) A.若a+b=0，则fx  π 为奇函数 B.若a+b= ，则fx 2  为偶函数 π C.若b-a= ，则fx 2  为偶函数 D.若a-b=π，则fx  为奇函数 1189 (2024·贵州贵阳·校联考模拟预测)使函数fx  = 3sin2x+θ  +cos2x+θ  为偶函 数，则θ的一个值可以是 ( ) π π π 7π A. B. C.- D. 3 6 3 6 π 1190 (2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测)函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移 3 个单位得到函数g(x)的图像，若函数g(x)是偶函数，则tanφ= ( ) 3 3 A.- 3 B. 3 C.- D. 3 3 1191 (2024·北京·高三专题练习)已知的f(x)=sinx+ 3cosx图象向左平移φ个单位长度 后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为 ( ) π π π 5π A. B. C. D. 12 6 3 12 π 1192 (2024·浙江·高三期末)将函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移 个单位得到一个 12 奇函数的图象，则φ的取值可以是 ( ) π π π 2π A. B. C. D. 6 3 2 3 π 1193 (2024·广东·高三统考学业考试)函数f(x)=sin4x+ 2  是 ( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 π π C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 2 x4-tanx+2 1194 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= 的最大值为M，最小值为m， x4+2 则M+m的值为 ( ) A.0 B.2 C.4 D.6 1195 (2024·山东·高三专题练习)设函数fx  =ax3+b⋅tanx+c⋅ 3x+2x2+1，如果f2  = 10，则f-2  的值是 ( ) A.-10 B.8 C.-8 D.-7 3 题型三：函数的周期性 1196 (2024·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试)已知x 1 ，x 2 ，是函数fx  = tanωx-φ  ω>0,0<φ<π  的两个零点，且x 1 -x 2  π 的最小值为 ，若将函数fx 3  的图 第 页 共 页 225 1043π 象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ的最大值为 ( ) 12 3π π 7π π A. B. C. D. 4 4 8 8 1197 (2024·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模)将函数f(x)=cos2x的图象向右平移 π φ0<φ< 2  个单位长度后得到函数g(x)的图象，若对满足 fx 1  -gx 2    =2的x,x ， 1 2 总有x 1 -x 2  π 的最小值等于 ，则φ= ( ) 6 π π π 5π A. B. C. D. 12 6 3 12 1198 (2024·河北·高三校联考阶段练习)函数f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期为 ( ) 3π π π A.π B. C. D. 2 2 4 1199 (2024·高三课时练习)函数f(x)=tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y=2所得线 π π 段长为 ，则f 2 6  的值是 . 1200 (2024·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习)下列函数中，最小正周期为π的奇 函数是 ( ) π A.y=sinx+ 4  B.y=sinπ+x  cosπ-x  π C.y=cos2x-cos2x+ 2  D.y=sin2x  1201 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)=2cosx对于∀x∈R，都有f(x)≤f(x)≤f(x )， 1 2 则|x -x |的最小值为( ). 1 2 π π A. B. C.π D.2π 4 2 1202 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=cosωx(sinωx+ 3cosωx) (ω>0)，如果 存在实数x ，使得对任意的实数x，都有f(x )≤f(x)≤f(x +2016π)成立，则ω的最小值 0 0 0 为 1 1 1 1 A. B. C. D. 4032π 2016π 4032 2016 π 1203 (2024·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测)设函数f(x)=cosωx+ 6  在[-π,π] 的图象大致如图所示，则f(x)的最小正周期为 ( ) 4π 10π 4 10 A. B. C. D. 3 9 3 9 1204 (2024·全国·高三对口高考)函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是 . 第 页 共 页 226 10431205 (2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)函数f(x)=(cosx-sinx) π cos -x 2  的最小正周期是 ． 1 1206 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinπx+1.则f 2  3 +f 2  5 +f 2  + 7 f 2  2021 +⋯+f 2  2023 +f 2  = . 1207 (2024·四川遂宁·统考三模)已知函数fx  π =sinωx+ 6  +cosωx ω>0  ，fx 1  =0， fx 2  = 3，且x 1 -x 2  的最小值为π，则ω= 1208 (2024·上海宝山·上海交大附中校考三模)已知函数fx  =sin2x+2 3cos2x，则函数 fx  的最小正周期是 ． π 1209 (2024·上海·上海中学校考模拟预测)已知函数f(x)=sinωx-sinωx+ 3  (ω>0)的最 π 小正周期是 ，则ω= . 2 1210 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模)设函数fx  = Asinωx+ϕ  A>0,ω>0  π π 相邻两条对称轴之间的距离为 ，f 2 3    =A，则φ  的最小 值为 ． 1211 (2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小 正周期为 . 1212 (2024·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习)设函数f(x)=Acos(ωx+φ) π π (A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间  ,  4 2  π 上具有单调性，且f 2  = 2π f 3  π =-f 4  ，则f(x)的最小正周期为 ． 1213 (2024·全国·高三专题练习)下列6个函数：①y=sinx  ，②y=sinx  ，③y=cosx  ，④y =cosx  ，⑤y=tanx  ，⑥y=tanx  ，其中最小正周期为π的偶函数的编号为 . 4 题型四：函数的单调性 1214 (2024·河北石家庄·正定中学校考模拟预测)已知函数fx  =sin2023π+x  x -sin2 + 2 x cos2 ，则下列说法错误的是 ( ) 2 A. fx  的值域为- 2, 2  B. fx  π 3π 的单调递减区间为 - +2kπ, +2kπ  4 4  k∈Z  5π C.y=fx+ 4  为奇函数， D.不等式fx  2 7π π ≥ 的解集为 - +kπ, +kπ 2  12 12  k∈Z  1215 (2024·全国·模拟预测)将函数fx  1 π =3sin x+ 3 12  π 的图象上各点向右平移 个单位 12 长度得函数gx  的图象，则gx  的单调递增区间为 ( ) 5π 22π A.  2kπ- ,2kπ+  3 3  5π 4π ,k∈Z B.  4kπ- ,4kπ+  3 3  ,k∈Z 第 页 共 页 227 10435π 4π C.  6kπ- ,6kπ+  3 3  ,k∈Z D. 4π,9π  1216 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx  =3sinωx+φ  x∈R,ω>0,φ  π  < 2  的部分图象 如图所示，则下列说法正确的是 ( ) A. fx  1 π =3sin x- 3 12  3π B. f 4  3 = 2 C.不等式fx  3 π 9π ≥ 的解集为 6kπ+ ,6kπ+ 2  4 4  k∈Z D.将fx  π 的图象向右平移 个单位长度后所得函数的图象在6π,8π 12  上单调递增 π 1217 (2024·四川泸州·统考三模)将函数y=sin2x+ 3  π 的图象向左平移 个单位长度，所 12 得图象的函数 ( ) π 3π A.在区间  ,  2 2  3π 上单调递减 B.在区间 π,  2  上单调递减 C.在区间π,2π  3π 5π 上单调递增 D.在区间  ,  4 4  上单调递增 x x 1218 (2024·北京密云·统考三模)已知函数f(x)=cos2 -sin2 ，则 ( ) 2 2 A. fx  π π 在- ,- 2 6  上单调递减 B. fx  π π 在- , 4 12  上单调递增 C. fx  π 在0, 3  上单调递减 D. fx  π 7π 在 , 4 12  上单调递增 1219 (2024·河南·高三校联考阶段练习)已知函数fx  = Acosωx+φ  π A>0,ω>0,|φ|< 2  ，若函数fx  π 的图象向左平移 个单位长度后得到 6 的函数的部分图象如图所示，则不等式fx  ≥-1的解集为 ( ) 7π π A.  - +kπ, +kπ  12 4  k∈Z  π 7π B.  - +2kπ, +2kπ  3 12  k∈Z  π 5π C.  - +kπ, +kπ  4 12  k∈Z  π π D.  - +kπ, +kπ  3 12  k∈Z  第 页 共 页 228 10431220 (2024·全国·高一专题练习)y=cosωx+φ  的部分图像如图所示，则其单调递减区间为 ( ) 1 7 A.  +2k, +2k 12 12  1 7 ,k∈Z B.  +k, +k 12 12  ,k∈Z 1 7 C.  +2kπ, +2kπ 12 12  1 7 ,k∈Z D.  +kπ, +kπ 12 12  ,k∈Z 1 π 1221 (2024·四川凉山·高一校联考期中)函数y= tan2x- 3 6  1 + 的单调递增区间为 2 ( ) π π A. kπ- ,kπ+ 6 3  k∈Z  π 5π B. kπ+ ,kπ+ 6 12  k∈Z  kπ π kπ π C.  - , + 2 6 2 3  k∈Z  kπ π kπ 5π D.  + , + 2 6 2 12  k∈Z  5 题型五：函数的对称性(对称轴、对称中心) 5 π 1222 (2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)已知函数f(x)=cos x- 2 4  +1，若将 y=fx  的图像向右平移mm>0  个单位长度后图象关于y轴对称，则实数m的最小值 为 ( ) π 3π 7π 11π A. B. C. D. 10 10 10 10 1223 (2024·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习)已知fx  π =sinωx+ 4  ω>0  ，函 数y=fx  ，x∈R的最小正周期为π，将y=fx  π 的图像向左平移φ0<φ< 2  个单位 长度，所得图像关于y轴对称，则φ的值是 ． 1224 (2024·上海松江·校考模拟预测)已知函数y=fx  的对称中心为0,1  ，若函数y=1+ sinx的图象与函数y=fx  的图象共有6个交点，分别为x 1 ,y 1  ，x 2 ,y 2  ，⋯，x 6 ,y 6  ，则 6 x i +y i i=1   = . π 1225 (2024·全国·高三对口高考)设函数y=sin2x+ 3  的图象关于点Px 0 ,0  成中心对称， π 若x ∈ - ,0 0  2  ，则x = . 0 1226 (2024·新疆喀什·校考模拟预测)函数y=2sinωxω>0  π 向左平移 个单位长度之后关 3 π 于x= 对称，则ω的最小值为 . 6 1227 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =2sinωx+φ  ω>0,φ  π  < 2  ，若f0  = 第 页 共 页 229 1043π - 3，且直线x= 为fx 6  图象的一条对称轴，则ω的最小值为 ． 4π 1228 (2024·河南开封·校考模拟预测)已知函数f(x)=2cos(3x+φ)的图象关于点 ,0 3  对 称，那么φ  的最小值为 ． 1229 (2024·全国·模拟预测)将函数fx  π =cosωx- 6  ω>0  π 的图象向左平移 个单位长 9 度得到函数gx  的图象.若函数gx  π 的图象关于点 ,0 3  对称，则ω的最小值为 . 1230 (2024·江西吉安·高三统考期末)记函数fx  π =cosωx+ 3  (ω>0)的最小正周期为T， 且y=fx  π T 的图象关于x= 对称，当ω取最小值时，f 6 2  = . π 1231 (2024·福建宁德·高三校考阶段练习)写出满足条件“函数f(x)=cos x-φ 3  的图象关 于直线x=2对称”的φ的一个值 ． 1232 (2024·江西赣州·高三校联考期中)已知函数fx  =2cos2x+φ  图象的一条对称轴为x π = ．若0<φ<4π,则φ的最大 ． 8 1233 (2024·河北石家庄·统考模拟预测)曲线fx  sinx+cosx = 的一个对称中心为 sinx-cosx (答案不唯一). 1234 (2024·甘肃武威·甘肃省武威第一中学校考模拟预测)函数fx  π =3tan2x+ 3  图象的 一个对称中心的坐标是 ． 6 题型六：函数的定义域、值域(最值) 1235 (2024·全国·高三专题练习)实数x,y满足x2-xy+y2=1，则x+2y的范围是 . x x x x 1236 (2024·河北·校联考一模)函数f(x)=sin3 cos -sin cos3 的最小值为 . 2 2 2 2 1237 (2024·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测)若函数f(x)=sinx+cos(x+φ)的最小值为 - 3，则常数φ的一个取值为 .(写出一个即可) 1238 (2024·全国·高三对口高考)f(x)=cos2x-2 3sinxcosx的最小值为 . π 1239 (2024·上海嘉定·校考三模)若关于x的方程2sin2x- 3sin2x+m-1=0在  ,π  2  上 有实数解，则实数m的取值范围是 . 1240 (2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测)函数f(x)=2sin2x-cos2x  的值域为 ． 1241 (2024·上海·高三专题练习)已知函数fx  1 π = sin2x- 2 3  π π ，x∈ - ,  4 4  ，则函数fx  的值域为 ． π 1242 (2024·全国·高三专题练习)设函数f(x)=sinx，x∈R，则y= fx+ 12      2 + 第 页 共 页 230 1043π fx+ 4      2 的最小值为 . 1243 (2024·全国·高三专题练习)设a>0，则fx  =2asinx+cosx  -sinx⋅cosx-2a2的最 小值为 . 1 1244 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= sin2xcosx，该函数的最大值为 ． 2 1245 (2024·江苏苏州·高三统考开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β  的 范围是 ． 1246 (2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测)函数fx  =cos2x+cosx  的值域是 . 1247 (2024·全国·高三专题练习)设x、y∈R且3x2+2y2=6x，求x2+y2的取值范围是 . sinxcosx 1248 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)= 的值域为 ． 1+sinx+cosx 1249 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)=-sinx+2cosx(x∈[0,π])的最大值为 ． π 1250 (2024·全国·高三专题练习)函数y=tanx+ 6  的定义域为 ． π 1251 (2024·全国·高三专题练习)函数y=tanx+ 6  π π ,x∈- , 6 3  的值域为 . 2tanx π 1252 (2024·江西·校联考模拟预测)函数f(x)= ,x∈0, 1+2tan2x 3  的最大值为 ． 7 题型七：三角函数性质的综合 1253 (多选题)(2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)已知函数fx  = 2cos2x+φ  ϕ  π  < 2  的图象与函数gx  π =sinωx+ 6  的图象的对称中心完全相同， π 且在0, 2  上，fx  有极小值，则 ( ) A. fφ  =-2 B. gφ  =1 π C.函数fx- 3  是偶函数 D. gx  π π 在- ,- 2 3  上单调递增 1254 (多选题)(2024·广东潮州·统考模拟预测)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) ω>0，φ  π  ≤ 2  的最小正周期为π，且过点0, 2  ，则下列正确的有 ( ) π A. f(x)在0, 2  单调递减 π B. f(x)的一条对称轴为x= 2 π C. f(|x|)的周期为 2 π D.把函数f(x)的图象向左平移 个长度单位得到函数g(x)的解析式为g(x)= 6 π 2cos2x+ 6  1255 (多选题)(2024·广东佛山·统考模拟预测)已知函数f(x)=asinx-cosx(x∈R)的图象 π 关于x= 对称，则 ( ) 3 第 页 共 页 231 1043A. fx  的最大值为2 π B. fx+ 3  是偶函数 C. fx  2π π 在 - ,  3 3  上单调递增 D.把fx  π 3π 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于点 ,0 6 4  对称 1256 (多选题)(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)已知函数fx  = π sinx+ 4  ，则下列说法正确的有 ( ) A.若 fx 1  -fx 2    =2，则x 1 -x 2  =π min B.将fx  π 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于y轴对称 4 π C.函数y=sin2x+ 4  的最小正周期为2π D.若fωx  (ω>0)在0,π  11 15 上有且仅有3个零点，则ω的取值范围为  ,  4 4  1257 (多选题)(2024·海南·高三校联考期末)已知函数fx  =cosωx+φ  (ω>0,-π<φ< π π)，f 6  =0，fx  π ≥f- 12  恒成立，fx  13π 17π 在  ,  12 12  上单调，则 ( ) 5π A.φ=- 6 B.将fx  π 的图象向左平移 个单位长度后得到函数gx 6  =sin2x的图象 π C. f +x 6  π +f -x 6  =1 D.若函数y=fx  π 11π -m在 - ,  2 6  2 2 上有5个零点，则- ≤m≤ 2 2 1258 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型 是函数y=Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数 学模型是函数f(x)=|cosx|+ 3|sinx|，则下列结论不正确的是 ( ) A. f(x)是偶函数 B. f(x)的最小正周期为2π π C. f(x)在区间 0,  2  上单调递增 D. f(x)的最小值为1 1259 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinx  +cosx  ，下列叙述正确的 有 ( ) A. f(x)的周期为2π； B. f(x)是偶函数； 3π 5π C. f(x)在区间  ,  4 4  上单调递减； D.∀x 1 ，x 2 ∈R，f(x 1 )-f(x 2 )  ≤ 2 1260 (多选题)(2024·重庆·统考模拟预测)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波， 我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数fx  =sinx+ 1 sin2xx∈R 2  ，则下列结论正确的是 ( ) A. fx  的一个周期为2π B. fx  3 的最小值为- 2 C. fx  的图象关于点π,0  对称 D. fx  在区间0,2π  上有3个零点 π 1261 (2024·全国·高三专题练习)设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφω>0,|φ|< 2  ． 3 (1)若f(0)=- ，求φ的值． 2 π 2π (2)已知f(x)在区间 - ,  3 3  2π 上单调递增，f 3  =1，再从条件①、条件②、条件③这三 第 页 共 页 232 1043个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值． π 条件①：f 3  = 2； π 条件②：f- 3  =-1； π π 条件③：f(x)在区间 - ,-  2 3  上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分． 1262 (2024·江西赣州·高三校联考阶段练习)已知函数fx  = Asinωx+φ  A>0,ω>0,φ  π  < 2  的部分图象如图所示. (1)求fx  的解析式； (2)将fx  1 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左 2 π 平移 个单位长度，得到函数gx 12  的图象，求函数y=gx  π π sinx在 - ,  2 2  内的零点. 1263 (2024·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)在 π π 区间- , 6 3  π 上单调，其中ω>0，0<φ<π，且f- 6  π =-f 3  ． (1)求y=f(x)的图象的一个对称中心的坐标； π 3 (2)若点P- , 12 2  在函数f(x)的图象上，求函数f(x)的表达式．  1264 (2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测)a= 3sinωx,sinωx+cosωx   ，b= 2cosωx,sinωx-cosωx  ，fx    =a⋅b， π (1)若ω=1，求f 6  的值； (2)若函数fx  的最小正周期为π ①求ω的值； 5π 5π ②当x∈  , 24 12  时，对任意t∈R，不等式mt2+mt+3≥fx  恒成立，求m的取值范 围 1265 (2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测)某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足 函数ht  =Asinωt+φ  +B A>0,ω>0,φ  π  < ,0≤t<24 2  ，其中h为水深(单位：米)， t为时间(单位：小时)，该函数图像如图所示. 第 页 共 页 233 1043(1)求函数ht  的解析式； (2)若一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的 安全间隙(船底与水底的距离)，则该船一天之内至多能在港口停留多久？ 1266 (2024·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测)已知函数fx  = sinωx+φ  ω>0,0<φ<π  π 的图像相邻对称轴之间的距离是 ， ； 2 ①若将fx  π 的图像向右平移 个单位，所得函数gx 6  为奇函数． ②若将fx  π 的图像向左平移 个单位，所得函数gx 12  为偶函数， 在①，②两个条件中选择一个补充在 并作答 π (1)若x∈ 0,  3  ，求y=2f2 x  -fx  的取值范围； (2)设函数hx  =fx  3 π - 的零点为x ，求cos -4x 5 0 3 0  的值． 1267 (2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测)已知函数fx  = Asinωx+φ  A>0,ω>0,φ  π  < 2  的部分图象如图所示. (1)求函数fx  的解析式； (2)将函数fx  π 的图象向左平移 个单位，得到函数gx 6  的图象，若方程gx  + ksinx+cosx  π +2=0在x∈ 0,  2  上有解，求实数k的取值范围. 8 题型八：根据条件确定解析式 方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式． 1268 (2024·甘肃金昌·高三统考阶段练习)已知函数fx  = Acosωx+φ  A>0，ω>0，φ  π  < 2  的部分图象如图所示，设使fx  =-f2a-x  成立 的a的最小正值为m，f0  =n，则m+n= ( ) π π 3 π π 3 A. +1 B. + C. +1 D. + 6 6 2 3 3 2 第 页 共 页 234 10431269 (2024·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试)已知函数fx  = Asinωx+φ  (A,ω,φ为常数，ω>0,A>0)的部分图像如图所示，若将fx  的图像向左 π 平移 个单位长度，得到函数gx 6  的图像，则gx  的解析式可以为 ( ) A. gx  π =2 2sin3x+ 4  B. gx  π =2 2cos3x+ 4  C. gx  π =2 2sin3x- 4  D. gx  π =-2 2cos3x- 4  1270 (2024·全国·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) π x∈R,A>0,ω>0,|φ|< 2  的部分图象如图所示，把f(x)的图象上所有的点向左平移 π 1 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到 12 2 的函数图象的解析式是 ( ) π A.y=2sinx+ 6  π ，x∈R B.y=2sinx+ 3  ，x∈R π C.y=2sin4x+ 6  π ，x∈R D.y=2sin4x+ 3  ，x∈R 1271 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  =Asinωx+φ  A>0,ω>0,0<φ<π  的部分图 象如图所示，则函数f(x)的解析式为 ( ) 第 页 共 页 235 10432π A. f(x)= 3sin2x+ 3  π B. f(x)= 3sin2x+ 3  x π C. f(x)= 3sin + 2 3  D. fx  x 2π = 3sin + 2 3  1272 (2024·北京通州·统考模拟预测)已知函数fx  =2sinωx+φ  ω>0，ϕ  π  < 2  的部分图 象如图所示，则fx  的解析式为 ( ) A. fx  π =2sinx+ 6  B. fx  π =2sinx- 6  C. fx  π =2sin2x+ 3  D. fx  π =2sin2x- 3  1273 (2024·宁夏·高三银川一中校考阶段练习)已知函数fx  =Asinωx+φ  ，A>0，ω> 0，φ  π < 的部分图象如图所示，则函数的解析式为 . 2 1274 (2024·江苏南京·高三统考期中)设函数f(x)=2sin(ωx+φ)，(其中ω>0，|φ|<π)的部 分图象如图，则函数f(x)的解析式为f(x)= . 第 页 共 页 236 10431275 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx  =2cosωx+φ  ω>0,φ  π  < 3  ，当fx 1  fx 2  = -4时，x 1 -x 2  π 的最小值为 ，则ω= ；若将函数fx 4  π 的图象向左平移 个单位 6 长度后，所得图象在y轴上的截距为- 3，则fx  π π 在  ,  6 3  上的值域为 ． 1276 (2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)某函数f(x)满足以下三个条件： ①g(x)=f(x)-1是偶函数；②g(2-x)+g(x)=0；③f(x)的最大值为4． 请写出一个满足上述条件的函数f(x)的解析式 ． π 1277 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，f- 8    =1，且 5π f 8  =0，写出一个满足条件的函数f(x)的解析式： . 1278 (2024·河北·校联考模拟预测)已知函数fx  =sinωx+φ  ω>0,0<φ<π  的图象过点 π  ,0 3  ，且相邻两个零点的距离为π.若将函数fx  π 的图象向左平移 个单位长度得到 3 gx  的图象，则函数gx  的解析式为 . 1279 (2024·全国·高三专题练习)已知fx  =sinωx+φ  ω>0,0<φ<π  π ，满足fx- 3  + f-x  2π =0，f +x 3  =f-x  ，且fx  在0,π  上有且仅有5个零点，则此函数解析式 为fx  = ． 1280 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0≤φ<2π)满 足f(2+x)=f(2-x)，其图象与x轴在原点右侧的第一个交点的坐标为(6,0)，则函数y =f(x)的解析式为 . 1281 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)= 3sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)(ω>0，0<ϕ< π π)为偶函数，且函数y=f(x)的图像的两条对称轴之间的最小距离为 ，则f(x)的解析 2 式为 . 1282 (2024·上海虹口·统考一模)设函数fx  =cosωx+φ  (其中ω>0,ϕ  π < ),若函数y= 2 fx  π π 图象的对称轴x= 与其对称中心的最小距离为 ,则fx 6 8  = ． 9 题型九：三角函数图像变换 1283 (2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习)如图，函数fx  = 2sinωx+φ  π ω>0,|φ|< 2  π 的图像过 ,0 2  ,2π,2  两点，为得到函数gx  = 第 页 共 页 237 10432cosωx-φ  的图像，应将fx  的图像 ( ) 7π 7π A.向右平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度 6 6 5π 5π C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 2 2 1284 (2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)将函数y=sin2x的图象向右平移φ π 个单位长度后，得到函数y=cos2x+ 6  的图象，则φ的值可以是 ( ) π π π 2π A. B. C. D. 12 6 3 3 1285 (2024·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试)已知把函数f(x)= π sinx+ 3  1 π cosx的图象向右平移φ个单位长度，可得函数y= cos2x+ 2 6  3 + 的图 4 象，则φ的最小正值为 ( ) π π 5 π A. B. C. π D. 4 6 6 3 4π 1286 (2024·全国·高三专题练习)为了得到函数y=sin2x+ 3  的图象，只需将函数y= π sin2x+ 6  的图象 ( ) 7π 7π A.向左平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度 12 6 7π 7π C.向右平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 12 6 π 1287 (2024·青海西宁·统考二模)为了得到函数y=sin4x+ 6  图象，只要将y=sinx的图象 ( ) π 1 A.向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不 6 4 变 π B.向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不 3 变 π 1 C.向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不 3 4 变 π D.向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 6 1288 (2024·全国·高三专题练习)若要得到函数fx  π =sin2x+ 6  的图象，只需将函数gx  π =cos2x+ 3  的图象 ( ) π π A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 6 6 第 页 共 页 238 1043π π C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 3 3 1289 (2024·陕西·统考模拟预测)已知函数fx  =Asinωx+φ  A>0,ω>0,-π<φ<0  的部 分图象如图所示，则下列说法正确的是 ( ) A.将函数y=fx  π 的图象向左平移 个单位长度得到函数gx 3  =Acosωx的图象 B.将函数y=fx  π 的图象向右平移 个单位长度得到函数gx 3  =Acosωx的图象 C.将函数y=fx  π 的图象向左平移 个单位长度得到函数gx 6  =Acosωx的图象 D.将函数y=fx  π 的图象向右平移 个单位长度得到函数gx 6  =Acosωx的图象 π 1290 (2024·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知曲线C:y=sin +2x 1 2  ,C :y= 2 5π -cos -3x 6  ，则下面结论正确的是 ( ) 3 π A.把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 1 2 6 个单位长度，得到曲线C 2 3 π B.把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 1 2 18 个单位长度，得到曲线C 2 2 π C.把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个 1 3 18 单位长度C 2 2 π D.把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个 1 3 6 单位长度，得到曲线C 2 1291 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  π =cos2x- 3  ，gx  =sin2x，将函数fx  的 图象经过下列哪种可以与gx  的图象重合 ( ) π π A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位 12 6 π π C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 12 6 10 题型十：三角函数模型 1292 (2024·江西赣州·高三校联考阶段练习)如图，摩天轮的半径为50m，其中心O点距离地 第 页 共 页 239 1043面的高度为60m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20min转一圈，若摩天轮上点P的起 始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是 ( ) A.转动10min后点P距离地面8m 1 B.若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 2 C.第17min和第42min点P距离地面的高度相同 20 D.摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于85m的时间长为 min 3 1293 (2024·全国·高三专题练习)2019年长春市新地标--“长春眼”在摩天活力城Mall购物 中心落成，其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m， 摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知 在时刻t(min)时P距离地面的高度ft  =Asinωt+φ  +h ω>0,φ   <π  ，当距离地面 的高度在60+20 3  m以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个 城市全貌的时间约为 ( ) A.2.0min B.2.5min C.2.8min D.3.0min 1294 (2024·重庆·高三统考阶段练习)某钟表的秒针端点A到表盘中心O的距离为5cm，秒 针绕点O匀速旋转，当时间t=0时，点A与表盘上标“12”处的点B重合．在秒针正常旋 转过程中，A，B两点的距离d(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式为 ( ) π A.d=10sin t(t≥0) 60 π B.d=10cos t(t≥0) 60 π 10sin t,120k≤t≤60+120k,k∈N 60 C.d= π -10sin t,60+120k0,φ  π  < 2  ，则ft  的表达式为 ( ) π π A.y=sin t+ 4 3  π π B.y=sin t- 4 3  π π C.y=2sin t+ 4 3  π π D.y=2sin t- 4 3  1296 (2024·全国·高三专题练习)一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转 一周.它的最低点P 离地面2m，风车翼片的一个端点P从P 开始按逆时针方向旋转，点 0 0 P离地面距离hm  与时间tmin  之间的函数关系式是 ( ) A.ht  π =-8sin t+10 B.ht 6  π =8sin t+2 6 C.ht  π =-8cos t+10 D.ht 6  π =8cos t+10 6 第 页 共 页 241 1043