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第30讲 三角函数的图像与性质
知识梳理
知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
π 3π
(1)在正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，( ，1)，(π，0)，( ，
2 2
-1)，(2π，0)．
π
(2)在余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，( ，0)，(π，-1)，
2
3π
( ，0)，(2π，1)．
2
知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y=sinx y=cosx y=tanx
图象
π
定义域 R R {x|x∈R，x≠kπ+ }
2
值域 [-1，1] [-1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
π π π π
递增区间 [2kπ- ，2kπ+ ] [-π+2kπ，2kπ] (kπ- ，kπ+ )
2 2 2 2
π 3π
递减区间 [2kπ+ ，2kπ+ ] [2kπ，π+2kπ] 无
2 2
π kπ
对称中心 (kπ，0) (kπ+ ，0) ( ，0)
2 2
π
对称轴方程 x=kπ+ x=kπ 无
2
T
注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是 ；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距
2
T
离是 ；
2
T
正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离 ；
4
知识点三：y=Asin(wx+ϕ)与y=Acos(wx+ϕ)(A>0,w>0)的图像与性质
2π
(1)最小正周期：T= ．
w
(2)定义域与值域：y=Asin(wx+ϕ)，y=Acos(wx+ϕ)的定义域为R，值域为[-A，A]．
(3)最值
假设A>0，w>0．
①对于y=Asin(wx+ϕ)，
π
当wx+ϕ= +2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A;
2
π
当wx+ϕ=- +2kπ(k∈Z)时，函数取得最小值-A;
2
第 页 共 页
724 3427②对于y=Acos(wx+ϕ)，
当wx+ϕ=2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A;
当wx+ϕ=2kπ+π(k∈Z)时，函数取得最小值-A;
(4)对称轴与对称中心．
假设A>0，w>0．
①对于y=Asin(wx+ϕ)，
π
当wx 0 +ϕ=kπ+ 2 (k∈Z)，即sin(wx 0 +ϕ)
=±1时，y=sin(wx+ϕ)的对称轴为x=x
0
当wx +ϕ=kπ(k∈Z)，即sin(wx +ϕ)=0
0 0
时，y=sin(wx+ϕ)的对称中心为(x
,0).
0
②对于y=Acos(wx+ϕ)，
当wx +ϕ=kπ(k∈Z)，即cos(wx +ϕ)=±1
0 0
时，y=cos(wx+ϕ)的对称轴为x=x
0
当wx +ϕ=kπ+ π (k∈Z)，即cos(wx +ϕ)
0 2 0
=0时，y=cos(wx+ϕ)的对称中心为(x ,0).
0
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与
x轴交点的位置．
(5)单调性．
假设A>0，w>0．
①对于y=Asin(wx+ϕ)，
π π
wx+ϕ∈ - +2kπ, +2kπ
2 2
(k∈Z)⇒增区间；
π 3π
wx+ϕ∈ +2kπ, +2kπ
2 2
(k∈Z)⇒减区间.
②对于y=Acos(wx+ϕ)，
wx+ϕ∈[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)⇒增区间；
wx+ϕ∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)⇒减区间.
(6)平移与伸缩
π
由函数y=sinx的图像变换为函数y=2sin2x+
3
+3的图像的步骤；
π π
方法一：x→x+ →2x+
2 3
．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：
我们“想欺负”(相一期一幅)三角函数图像，使之变形．
π
向左平移 个单位
y=sinx的图像3y=sinx+ π
3
1
所有点的横坐标变为原来的
的图像2
纵坐标不变
π
y=sin2x+
3
的图像所有点的纵坐标变为原来的2倍y=2sin2x+ π
横坐标不变 3
的图像
向上平移3个单位y=2sin2x+ π
3
+3
π π
方法二：x→x+ →2x+
2 3
．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
1 π
所有点的横坐标变为原来的 向左平移 个单位
y=sinx的图像2y=sin2x的图像6
纵坐标不变
π
y=sin2x+
6
π
=sin2x+
2
的图像所有点的纵坐标变为原来的2倍
横坐标不变
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725 3427π
y=2sin2x+
3
的图像向上平移3各单位y=2sin2x+ π
3
+3
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即“想欺负”)，但先伸缩后平移
(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总
是对变量x而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角wx+ϕ”变化多少．
【解题方法总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
π
(1)函数y=sinx的对称轴为x=kπ+ (k∈Z)，对称中心为(kπ.0)(k∈Z)；
2
π
(2)函数y=cosx的对称轴为x=kπ(k∈Z)，对称中心为kπ+ ,0
2
(k∈Z)；
kπ
(3)函数y=tanx函数无对称轴，对称中心为 ,0
2
(k∈Z)；
π
(4)求函数y=Asin(wx+ϕ)+b(w≠0)的对称轴的方法；令wx+ϕ= +kπ(k∈Z)，得x
2
π
+kπ-ϕ
2 kπ-ϕ
= (k∈Z)；对称中心的求取方法；令wx+ϕ=kπ(k∈Z)，得x= ，即对称中
w w
kπ-ϕ
心为 ，b
w
．
(5)求函数y=Acos(wx+ϕ)+b(w≠0)的对称轴的方法；令wx+ϕ=kπ(k∈Z)得x=
π π
+kπ-ϕ +kπ-ϕ
2 ，即对称中心为 2
,b
w w
(k∈Z)
必考题型全归纳
1 题型一：五点作图法
2π
1186 (2024·湖北·高一荆州中学校联考期中)要得到函数f(x)=2sin2x+
3
的图象，可以
从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线
得到．
(1)由y=sinx图象变换得到函数fx 的图象，写出变换的步骤和函数；
π 7π
(2)用“五点法”画出函数f(x)在区间 ,
6 6
上的简图．
2π
【解析】(1)步骤1：把y=sinx图象上所有点向左平移 个单位长度，得到函数y=
3
第 页 共 页
726 34272π
sinx+
3
的图象；
2π
步骤2：把y=sinx+
3
1
图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到
2
2π
函数y=sin2x+
3
的图象；
2π
步骤3：最后把函数y=sin2x+
3
的图象的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得
2π
到函数y=2sin2x+
3
的图象．
1
或者步骤1：步骤1：把y=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，
2
得到函数y=sin2x的图象；
π π
步骤2：把y=sin2x图象上所有点向左平移 个单位长度，得到函数y=sin2x+
3 3
=
2π
sin2x+
3
的图象；
2π
步骤3：最后把函数y=sin2x+
3
的图象的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得
2π
到函数y=2sin2x+
3
的图象．
2π
(2)因为2x+ ∈[π,3π],列表：
3
2x+
3π 5π
2π π 2π 3π
2 2
3
π 5π 2π 11π 7π
x
6 12 3 12 6
y 0 -2 0 2 0
例2．(2024·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习)已知函数fx =
π π
2sin x+
3 6
(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数fx 在0,6 上的图像；
第 页 共 页
727 3427(2)求y=fx ，x∈R的单调递增区间；
(3)当x∈0,m 时，fx 的取值范围为1,2 ，直接写出m的取值范围.
(1)因为fx
π π
=2sin x+ 3 6 ，当x∈0,6
πx π π 13π
时， + ∈ , 3 6 6 6 ，
列表如下：
5 11
x 0 1 4 6
2 2
π
x+
3 π π 3π 13π
π 2π
π 6 2 2 6
6
y 1 2 0 -2 0 1
作图如下：
(2)因为fx
π π
=2sin x+
3 6
π π π
，令 x+ = +kπk∈Z
3 6 2
，解得x=3k+1k∈Z ，
π π π π
令2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ k∈Z
2 3 6 2
，解得6k-2≤x≤6k+1k∈Z ，
所以y=fx 的递增区间为6k-2,6k+1 k∈Z
(3)∵x∈0,m
π π π πm π
，∴ x+ ∈ , + 3 6 6 3 6 ，
又1≤fx ≤2，由(1)的图象可知，1≤m≤2，∴m的取值范围是1,2 ．
1187 (2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习)函数fx =sinx+2sinx .
(1)请用五点作图法画出函数fx 在0,2π 上的图象；(先列表，再画图)
(2)设Fx =fx -2m，x∈0,2π ，当m>0时，试研究函数Fx 的零点的情况.
3sinx, 0≤x≤π
【解析】(1)f(x)= ，
-sinx, π0，则t>1
当0log 3，即t>3时，F(x)有0个零点.
2
【解题方法总结】
π
(1)在正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，( ，1)，(π，0)，
2
3π
( ，-1)，(2π，0)．
2
π
(2)在余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，( ，0)，(π，
2
3π
-1)，( ，0)，(2π，1)．
2
2 题型二：函数的奇偶性
1188 (2024·全国·高三专题练习)函数fx =cosx+a +sinx+b ，则 ( )
A.若a+b=0，则fx
π
为奇函数 B.若a+b= ，则fx
2
为偶函数
π
C.若b-a= ，则fx
2
为偶函数 D.若a-b=π，则fx 为奇函数
【答案】B
【解析】fx 的定义域为R，
对A：若a+b=0，fx =cosx+a +sinx-a ，若fx 为奇函数，则f0 =0，而f0
=cosa-sina=0不恒成立，故fx 不是奇函数；
π
对B：若a+b= ，fx
2
=cosx+a
π
+sinx+ -a
2
=cosx+a +cosx-a ，
f-x =cos-x+a +cos-x-a =cosx-a +cosx+a =f(x)，故fx 为偶函
数，B正确；
π
对C：若b-a= ，fx
2
=cosx+a
π
+sinx+ +a
2
=2cosx+a ，f-x =
第 页 共 页
729 34272cos-x+a ≠f(x)，故fx 不是偶函数，故C错误；
对D：若a-b=π，fx =cosx+b+π +sinx+b =-cosx+b +sinx+b ，
若fx 为奇函数，则f0 =0，而f0 =-cosb+sinb=0不恒成立，故fx 不是奇函
数；
故选：B
1189 (2024·贵州贵阳·校联考模拟预测)使函数fx = 3sin2x+θ +cos2x+θ 为偶函
数，则θ的一个值可以是 ( )
π π π 7π
A. B. C.- D.
3 6 3 6
【答案】A
【解析】由fx = 3sin2x+θ +cos2x+θ
π
=2sin2x+θ+
6
，
因为fx
π π π
为偶函数，可得θ+ =kπ+ ,k∈Z，所以θ=kπ+ ,k∈Z，
6 2 3
π
令k=0，可得θ= .
3
故选：A.
π
1190 (2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测)函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移
3
个单位得到函数g(x)的图像，若函数g(x)是偶函数，则tanφ= ( )
3 3
A.- 3 B. 3 C.- D.
3 3
【答案】C
π 2π
【解析】函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移 个单位，得g(x)=sin2x+ +φ
3 3
的图像，
2π π π
又函数g(x)是偶函数，则有 +φ=kπ+ ，(k∈Z)，解得φ=kπ- ，k∈Z；
3 2 6
π
所以tanφ=tankπ-
6
3
=- .
3
故选：C．
1191 (2024·北京·高三专题练习)已知的f(x)=sinx+ 3cosx图象向左平移φ个单位长度
后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为 ( )
π π π 5π
A. B. C. D.
12 6 3 12
【答案】B
π
【解析】由题意可得f(x)=sinx+ 3cosx=2sinx+
3
，
π
故g(x)=2sinx+φ+
3
，由于g(x)的图象关于y轴对称，
π π π
则g(x)为偶函数，故φ+ = +kπ,k∈Z,即φ= +kπ,k∈Z，
3 2 6
π
故|φ|的最小值为 ，
6
故选：B
π
1192 (2024·浙江·高三期末)将函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移 个单位得到一个
12
奇函数的图象，则φ的取值可以是 ( )
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730 3427π π π 2π
A. B. C. D.
6 3 2 3
【答案】D
π
【解析】函数y=fx-
12
π
=cos 2x-
12
+φ
π
=cos2x- +φ
6
为奇函数，
π π 2π 2π
则- +φ= +kπ⇒φ= +kπ,k∈Z，取k=0，则φ= ．
6 2 3 3
故选：D
π
1193 (2024·广东·高三统考学业考试)函数f(x)=sin4x+
2
是 ( )
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
π π
C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数
2 2
【答案】D
π
【解析】解析：函数f(x)=sin4x+
2
=cos4x，
2π π
故该函数为偶函数，且它的最小正周期为 = .
4 2
故选：D.
x4-tanx+2
1194 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= 的最大值为M，最小值为m，
x4+2
则M+m的值为 ( )
A.0 B.2 C.4 D.6
【答案】B
x4-tanx+2 tanx tanx π
【解析】解:f(x)= =1- ，令g(x)= ，x≠ +kπ(k∈Z)，于是
x4+2 x4+2 x4+2 2
tan(-x) tanx
g(-x)= =- =-g(x)，所以g(x)是奇函数，从而g(x)的最大值G与最小
(-x)4+2 x4+2
值g的和为0，而M+m=1-g+1-G=2.
故选：B
1195 (2024·山东·高三专题练习)设函数fx =ax3+b⋅tanx+c⋅ 3x+2x2+1，如果f2 =
10，则f-2 的值是 ( )
A.-10 B.8 C.-8 D.-7
【答案】B
【解析】令gx =ax3+b⋅tanx+c⋅ 3x，由奇函数定义可知g-x =-gx ，化简计算可
求得结果.令gx =ax3+b⋅tanx+c⋅ 3x,则g-x =-gx ，
所以fx =gx +2x2+1，由f2 =10可知，f2 =g2 +2×4+1=10，即g2 =1，
f-2 =g-2 +9=-g2 +9=-1+9=8，
故选：B.
【解题方法总结】
由y=sinx是奇函数和y=cosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
(1)若y=Asin(x+ϕ)为奇函数，则ϕ=kπ(k∈Z)；
π
(2)若y=Asin(x+ϕ)为偶函数，则ϕ=kπ+ (k∈Z)；
2
π
(3)若y=Acos(x+ϕ)为奇函数，则ϕ=kπ+ (k∈Z)；
2
第 页 共 页
731 3427(4)若y=Acos(x+ϕ)为偶函数，则ϕ=kπ(k∈Z)；
kπ
若y=Atan(x+ϕ)为奇函数，则ϕ= (k∈Z)，该函数不可能为偶函数．
2
3 题型三：函数的周期性
1196 (2024·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试)已知x 1 ，x 2 ，是函数fx =
tanωx-φ ω>0,0<φ<π 的两个零点，且x 1 -x 2
π
的最小值为 ，若将函数fx 3 的图
π
象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ的最大值为 ( )
12
3π π 7π π
A. B. C. D.
4 4 8 8
【答案】A
【解析】由题意知函数fx
π π π
的最小正周期T= ，则 = ，得ω=3，∴fx
3 ω 3
=
tan3x-φ .
将函数fx
π π
的图象向左平移 个单位长度，得到y=tan 3x+
12 12
-φ
=
π
tan3x+ -φ
4
的图象，
π kπ π kπ
要使该图象关于原点对称，则 -φ= ，k∈Z，所以φ= - ，k∈Z，
4 2 4 2
3π
又0<φ<π，所以当k=-1时，φ取得最大值，最大值为 ．
4
故选：A
1197 (2024·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模)将函数f(x)=cos2x的图象向右平移
π
φ0<φ< 2 个单位长度后得到函数g(x)的图象，若对满足 fx 1 -gx 2 =2的x,x ， 1 2
总有x 1 -x 2
π
的最小值等于 ，则φ= ( ) 6
π π π 5π
A. B. C. D.
12 6 3 12
【答案】C
【解析】函数f(x)=cos2x的周期为π，
π
将函数的图象向右平移φ0<φ<
2
个单位长度后得到函数g(x)的图象，
可得g(x)=cos(2x-2φ)，
由 fx 1 -gx 2 =2可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且x 1 -x 2
π
= ， min 6
π π
不妨设x =0，则x =± ，即g(x)在x =± 时取得最小值，
1 2 6 2 6
π
由于cos2× -2φ
6
π π
=-1，此时φ=- -kπ,k∈Z，不合题意；cos 2×-
3 6
-2φ
=
2
-1，此时φ=- π-kπ,k∈Z，
3
π
当k=-1时，φ= 满足题意.
3
故选：C.
1198 (2024·河北·高三校联考阶段练习)函数f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期为 ( )
3π π π
A.π B. C. D.
2 2 4
第 页 共 页
732 3427【答案】C
【解析】f(x)=|sinx|+|cosx|= (|sinx|+|cosx|)2= 1+sin2x
1-cos4x
= 1+ ，
2
2π π
所以f(x)的最小正周期T= = ．
4 2
故选：C．
1199 (2024·高三课时练习)函数f(x)=tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y=2所得线
π π
段长为 ，则f
2 6
的值是 .
【答案】 3
π
【解析】因为函数f(x)=tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y=2所得线段长为 ，
2
π
所以该函数的最小正周期为 ，
2
π π
因为ω>0，所以 = ⇒ω=2，即f(x)=tan2x，
2 ω
π
因此f
6
π
=tan2×
6
π
=tan = 3，
3
故答案为： 3
1200 (2024·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习)下列函数中，最小正周期为π的奇
函数是 ( )
π
A.y=sinx+
4
B.y=sinπ+x cosπ-x
π
C.y=cos2x-cos2x+
2
D.y=sin2x
【答案】B
π
【解析】对于A：y=sinx+
4
最小正周期为2π，故A错误；
1 2π
对于B：y=sinxcosx= sin2x，最小正周期T= =π，且为奇函数，故B正确；
2 2
对于C：y=cos2x-sin2x=cos2x，最小正周期为π的偶函数，故C错误；
对于D：y=fx =sin2x ，则f-x =sin-2x=sin 2x =fx ，
故y=sin2x 为偶函数，故D错误.
故选：B
1201 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)=2cosx对于∀x∈R，都有f(x)≤f(x)≤f(x )，
1 2
则|x -x |的最小值为( ).
1 2
π π
A. B. C.π D.2π
4 2
【答案】C
【解析】∵f(x)≤f(x)≤f(x )恒成立，
1 2
∴f(x)是函数f(x)的最小值，f(x )是函数f(x)的最大值，
1 2
T 2π
即x 、x 是函数的两条对称轴，则|x -x |的最小值为 = =π.
1 2 1 2 2 2
故选：C.
1202 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=cosωx(sinωx+ 3cosωx) (ω>0)，如果
存在实数x ，使得对任意的实数x，都有f(x )≤f(x)≤f(x +2016π)成立，则ω的最小值
0 0 0
为
第 页 共 页
733 34271 1 1 1
A. B. C. D.
4032π 2016π 4032 2016
【答案】C
π
【解析】因为f(x)=cosωx(sinωx+ 3cosωx) (ω>0)=sin2ωx+
3
3
+ ，设
2
fx
T 1 1
的最小正周期为T，则 ≤2016π,∴ω≥ ，所以ω的最小值为 ，故选C.
2 4032 4032
考点：三角函数的周期和最值．
π
1203 (2024·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测)设函数f(x)=cosωx+
6
在[-π,π]
的图象大致如图所示，则f(x)的最小正周期为 ( )
4π 10π 4 10
A. B. C. D.
3 9 3 9
【答案】A
4π
【解析】由图象可知，f-
9
4π π π
=0，∴- ω+ = +kπk∈Z
9 6 2
，
3+9k
解得ω=- k∈Z
4
.
设函数的最小正周期为T，易知T<2π<2T，
2π
∴
ω
4π
<2π< ∴1<ω
ω
<2
3 2π 4π
当且仅当k=-1时符合题意，此时ω= , ∴T= =
2 ω 3
故选：A.
1204 (2024·全国·高三对口高考)函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是 .
【答案】π
【解析】因为f(x)=sinx+cosx
π
= 2sinx+
4
，
π
因为y= 2sinx+
4
2π
的最小正周期为T= =2π，
1
π
所以函数f(x)= 2sinx+
4
最小正周期为π.
故答案为：π.
1205 (2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)函数f(x)=(cosx-sinx)
π
cos -x
2
的最小正周期是 ．
【答案】π
π
【解析】f(x)=(cosx-sinx)cos -x
2
1 1-cos2x
=(cosx-sinx)sinx= sin2x- =
2 2
2 π
sin2x+
2 4
1 2π
- 所以最小正周期为 =π，
2 2
第 页 共 页
734 3427故答案为：π
1
1206 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinπx+1.则f
2
3
+f
2
5
+f
2
+
7
f
2
2021
+⋯+f
2
2023
+f
2
= .
【答案】1012
1
【解析】由条件，可得f
2
3
+f
2
5
=2，
2
7
+f
2
2021
=2，⋯f
2
2023
+f
2
=2，
共506组，
1
所以f
2
3
+f
2
5
+f
2
7
+f
2
2021
+⋯+f
2
2023
+f
2
=1012.
故答案为：1012.
1207 (2024·四川遂宁·统考三模)已知函数fx
π
=sinωx+ 6 +cosωx ω>0 ，fx 1 =0，
fx 2 = 3，且x 1 -x 2 的最小值为π，则ω=
1
【答案】 /0.5
2
【解析】因为fx
π
=sinωx+
6
3 1 3
+cosωx= sinωx+ cosωx+cosωx= sinωx
2 2 2
3
+ cosωx
2
π
= 3sinωx+ 3 ，另外fx 1 =0，fx 2 = 3，且x 1 -x 2 的最小值为π，
2k+1 4π
所以，函数f(x)的最小正周期T满足 ⋅T=π(k∈N)，则T= (k∈N)，
4 2k+1
2π 2k+1 1
所以，ω= = (k∈N)，故当k=0时，ω取最小值 .
T 2 2
1
故答案为：
2
1208 (2024·上海宝山·上海交大附中校考三模)已知函数fx =sin2x+2 3cos2x，则函数
fx 的最小正周期是 ．
【答案】π
【解析】fx
π
=sin2x+2 3cos2x=sin2x+ 3cos2x+ 3=2sin2x+
3
+ 3，故T
2π
= =π，
2
故答案为：π．
π
1209 (2024·上海·上海中学校考模拟预测)已知函数f(x)=sinωx-sinωx+
3
(ω>0)的最
π
小正周期是 ，则ω= .
2
【答案】4
【解析】fx
π
=sinωx-sinωx+
3
1 3 π
=sinωx- sinωx- cosωx=sinωx-
2 2 3
，
2π π
所以最小正周期是T= = ，所以ω=4.
ω 2
故答案为：4
1210 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模)设函数fx =
Asinωx+ϕ A>0,ω>0
π π
相邻两条对称轴之间的距离为 ，f
2 3
=A，则φ 的最小
值为 ．
第 页 共 页
735 3427π 1
【答案】 / π
6 6
【解析】因为函数fx =Asinωx+ϕ A>0,ω>0
π
相邻两条对称轴之间的距离为 ，
2
则函数f(x)的周期T=π，
2π π
ω= =2，又 f
T 3
π π π
=A，因此2× +φ=kπ+ ,k∈Z，即φ=kπ- ,k∈Z，
3 2 6
所以当k=0时，φ
π
= .
min 6
π
故答案为：
6
1211 (2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小
正周期为 .
【答案】π
【解析】y=2cos2x+1=cos2x+2，
2π
所以，其最小正周期为 =π.
2
故答案为：π
1212 (2024·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习)设函数f(x)=Acos(ωx+φ)
π π
(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间 ,
4 2
π
上具有单调性，且f
2
=
2π
f
3
π
=-f
4
，则f(x)的最小正周期为 ．
5π 5
【答案】 / π
6 6
π π
【解析】f(x)在区间 ,
4 2
π π
上具有单调性，区间 ,
4 2
π π π
的长度为 - = ，
2 4 4
π 2π
区间 ,
2 3
2π π π π
的长度为 - = < ，
3 2 6 4
π
由于f
2
2π
=f
3
π
=-f
4
，
所以fx
π 2π π π
+ +
的一条对称轴为x= 2 3 = 7π ，其相邻一个对称中心为 4 2 ,0
2 12 2
，即
3π
,0
8
，
T 7π 3π 5π 5π
所以 = - = ,T= .
4 12 8 24 6
5π
故答案为：
6
1213 (2024·全国·高三专题练习)下列6个函数：①y=sinx ，②y=sinx ，③y=cosx ，④y
=cosx ，⑤y=tanx ，⑥y=tanx ，其中最小正周期为π的偶函数的编号为 .
【答案】①③⑤
【解析】①y=sinx ，②y=sinx ，③y=cosx ，④y=cosx ，⑤y=tanx ，⑥y=
tanx 都是偶函数，
由函数的图象如如所示，可知y=sinx ，y=cosx ，y=tanx 的最小正周期都是π，y
=sinx ，y=tanx 不是周期函数，y=cosx =cosx，最小正周期为2π，
第 页 共 页
736 3427第 页 共 页
737 3427故答案为：①③⑤
【解题方法总结】
关于三角函数周期的几个重要结论：
(1)函数y=Asin(wx+ϕ)+b,y=Acos(wx+ϕ)+b,y=Atan(wx+ϕ)+b的周期分别
2π
为T=
w
π
，T=
w
．
(2)函数y=Asin(wx+ϕ) ,y=Acos(wx+ϕ) ，y=Atan(wx+ϕ)
π
的周期均为T=
w
(3)函数y=Asin(wx+ϕ)+b (b≠0),y=Acos(wx+ϕ)+b
2π
(b≠0)的周期均T=
w
．
4 题型四：函数的单调性
1214 (2024·河北石家庄·正定中学校考模拟预测)已知函数fx =sin2023π+x
x
-sin2 +
2
x
cos2 ，则下列说法错误的是 ( )
2
A. fx 的值域为- 2, 2
B. fx
π 3π
的单调递减区间为 - +2kπ, +2kπ
4 4
k∈Z
5π
C.y=fx+
4
为奇函数，
D.不等式fx
2 7π π
≥ 的解集为 - +kπ, +kπ
2 12 12
k∈Z
【答案】D
【解析】因为fx =sin2023π+x
x x π
-sin2 +cos2 =-sinx+cosx=- 2sinx-
2 2 4
，
所以fx
π
=- 2sinx-
4
，所以fx ∈- 2, 2 ，故选项A正确；
π π π
由- +2kπ≤x- ≤ +2kπk∈Z
2 4 2
π 3π
得- +2kπ≤x≤ +2kπk∈Z
4 4
，
所以fx
π 3π
的单调递减区间为 - +2kπ, +2kπ
4 4
k∈Z ，故选项B正确；
5π
所以fx+
4
5π π
=- 2sinx+ -
4 4
= 2sinx，
5π
所以y=fx+
4
为奇函数，故选项C正确；
π
由- 2sinx-
4
2 π
≥ 得sinx-
2 4
1
≤- ，
2
第 页 共 页
738 34275π π π
即- +2kπ≤x- ≤- +2kπk∈Z
6 4 6
7π π
所以- +2kπ≤x≤ +2kπk∈Z
12 12
，
所以不等式fx
2 7π π
≥ 的解集为 - +2kπ, +2kπ
2 12 12
k∈Z ，故选项D错误.
故选：D.
1215 (2024·全国·模拟预测)将函数fx
1 π
=3sin x+
3 12
π
的图象上各点向右平移 个单位
12
长度得函数gx 的图象，则gx 的单调递增区间为 ( )
5π 22π
A. 2kπ- ,2kπ+
3 3
5π 4π
,k∈Z B. 4kπ- ,4kπ+
3 3
,k∈Z
5π 4π
C. 6kπ- ,6kπ+ 3 3 ,k∈Z D. 4π,9π
【答案】C
【解析】将fx
1 π
=3sin x+
3 12
π
的图象向右平移 个单位长度后，
12
得到gx
1 π
=3sin x-
3 12
π
+
12
，即gx
1 π
=3sin x+
3 18
的图象，
π 1 π π
令2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
2 3 18 2
5π 4π
解得6kπ- ≤x≤6kπ+ ，k∈Z，
3 3
所以gx
5π 4π
的单调递增区间为 6kπ- ,6kπ+
3 3
，k∈Z.
故选：C.
1216 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx =3sinωx+φ x∈R,ω>0,φ
π
<
2
的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A. fx
1 π
=3sin x-
3 12
3π
B. f
4
3
=
2
C.不等式fx
3 π 9π
≥ 的解集为 6kπ+ ,6kπ+
2 4 4
k∈Z
D.将fx
π
的图象向右平移 个单位长度后所得函数的图象在6π,8π
12
上单调递增
【答案】C
11π 5π
【解析】由函数图象可知，最小正周期为T=4 -
4 4
2π 1
=6π，所以ω= = ，
6π 3
5π
将点 ,3
4
代入fx =3sinωx+φ
1 5π
，得3=3sin × +φ
3 4
，
又ϕ
π π
< ，所以φ= ，故fx
2 12
1 π
=3sin x+
3 12
，故A错误；
3π
所以f
4
π 3 3
=3sin = ，故B错误；
3 2
令fx
3 1 π
≥ ，则sin x+
2 3 12
1 π 1 π 5π
≥ ，所以2kπ+ ≤ x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解
2 6 3 12 6
第 页 共 页
739 3427π 9π
得6kπ+ ≤x≤6kπ+ ，k∈Z，
4 4
所以不等式fx
3 π 9π
≥ 的解集为 6kπ+ ,6kπ+
2 4 4
k∈Z，故C正确；
将fx
1 π
=3sin x+
3 12
π
的图象向右平移 个单位长度后，得到fx
12
=
1 π
3sin x+
3 18
π 1 π π
的图象，令2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
2 3 18 2
5π 4π
解得6kπ- ≤x≤6kπ+ ，k∈Z，
3 3
13π 22π
令k=1得 ≤x≤ ，因为6π,8π 3 3
13π 22π
⊄ , 3 3 ，故D错误.
故选：C.
π
1217 (2024·四川泸州·统考三模)将函数y=sin2x+
3
π
的图象向左平移 个单位长度，所
12
得图象的函数 ( )
π 3π
A.在区间 ,
2 2
3π
上单调递减 B.在区间 π,
2
上单调递减
C.在区间π,2π
3π 5π
上单调递增 D.在区间 , 4 4 上单调递增
【答案】B
2π
【解析】函数的最小正周期是T= =π，选项AC中区间长度是一个周期，因此不可能
2
单调，图象左右平移后也不可能单调，AC错；
π
函数y=sin2x+
3
π
的图象向左平移 个单位长度，所得图象的函数解析式为y=
12
π
sin 2x+
12
π
+
3
π
=sin2x+
2
=cos2x，
3π
选项B，x∈ π,
2
时，2x∈[2π,3π]，在此区间上y=cos2x是减函数，B正确；
3π 5π
选项D，x∈ ,
4 4
3π 5π
时，2x∈ ,
2 2
，在此区间上y=cos2x不是单调函数，D错
误．
故选：B．
x x
1218 (2024·北京密云·统考三模)已知函数f(x)=cos2 -sin2 ，则 ( )
2 2
A. fx
π π
在- ,-
2 6
上单调递减 B. fx
π π
在- ,
4 12
上单调递增
C. fx
π
在0,
3
上单调递减 D. fx
π 7π
在 ,
4 12
上单调递增
【答案】C
x x
【解析】因为f(x)=cos2 -sin2 =cosx.
2 2
π π
对于A选项，当- 0,ω>0,|φ|<
2
，若函数fx
π
的图象向左平移 个单位长度后得到
6
的函数的部分图象如图所示，则不等式fx ≥-1的解集为 ( )
7π π
A. - +kπ, +kπ
12 4
k∈Z
π 7π
B. - +2kπ, +2kπ
3 12
k∈Z
π 5π
C. - +kπ, +kπ
4 12
k∈Z
π π
D. - +kπ, +kπ
3 12
k∈Z
【答案】C
【解析】设函数fx
π
的图象向左平移 单位长度后得到的函数图象对应的函数为gx
6
，
由图可知A=2，函数gx
π π
的图象的最小正周期为4× +
6 12
=π，
2π
所以ω= =2，
π
所以gx =2cos2x+φ ，
π
由g-
12
2π
=2，得cos- +φ
12
2π
=1，- +φ=2kπ，k∈Z，
12
π π
所以φ= +2kπ，k∈Z，取k=0，得φ= ，
6 6
所以gx
π
=2cos2x+
6
π
，所以f(x)=2cos 2x-
6
π
+
6
π
=2cos2x-
6
，
所以由fx
π
≥-1，得2cos2x-
6
π
≥-1，即cos2x-
6
1
≥- ，
2
2π π 2π π 5π
所以- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ，k∈Z，即- +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，
3 6 3 4 12
所以不等式fx
π 5π
≥-1的解集为 - +kπ, +kπ
4 12
(k∈Z)，
故选：C
1220 (2024·全国·高一专题练习)y=cosωx+φ 的部分图像如图所示，则其单调递减区间为
( )
第 页 共 页
741 34271 7
A. +2k, +2k
12 12
1 7
,k∈Z B. +k, +k
12 12
,k∈Z
1 7
C. +2kπ, +2kπ
12 12
1 7
,k∈Z D. +kπ, +kπ
12 12
,k∈Z
【答案】B
T 1 1
【解析】由图可得 = --
2 3 6
1
= ，即T=1，
2
1 1
结合图象可得到在区间- ,
6 3
1 1
- +
6 3 1
中，A为最高点，对应的横坐标为 = ，
2 12
1 T 7
y轴右侧第一个最低点为B，对应的横坐标为 + = ，
3 4 12
1 7
故函数的单调递减区间为 +k, +k
12 12
,k∈Z
故选：B
1 π
1221 (2024·四川凉山·高一校联考期中)函数y= tan2x-
3 6
1
+ 的单调递增区间为
2
( )
π π
A. kπ- ,kπ+
6 3
k∈Z
π 5π
B. kπ+ ,kπ+
6 12
k∈Z
kπ π kπ π
C. - , +
2 6 2 3
k∈Z
kπ π kπ 5π
D. + , +
2 6 2 12
k∈Z
【答案】C
π π π
【解析】令kπ- <2x- 0,w>0)的单调区间的确定基本思想是吧wx+ϕ看做是
一个整体，
第 页 共 页
742 3427π π
如由2kπ- ≤wx+ϕ≤2kx+ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间；
2 2
π 3π
由2kπ+ ≤wx+ϕ≤2kx+ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．
2 2
若函数y=Asin(wx+ϕ)中A>0,w>0，可用诱导公式将函数变为y=-Asin(-wx-
ϕ)，则y=Asin(-wx-ϕ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数y=Acos(wx+ϕ),y=Atan(wx+ϕ)的单调性的讨论与以上类似处理即可．
5 题型五：函数的对称性(对称轴、对称中心)
5 π
1222 (2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)已知函数f(x)=cos x-
2 4
+1，若将
y=fx 的图像向右平移mm>0 个单位长度后图象关于y轴对称，则实数m的最小值
为 ( )
π 3π 7π 11π
A. B. C. D.
10 10 10 10
【答案】B
5 π
【解析】f(x)=cos x-
2 4
+1的图像向右平移mm>0 个单位长度后，变为
5
g(x)=cos x-m
2
π
-
4
5 5 π
+1=cos x- m-
2 2 4
+1，
因y=gx 的图象关于y轴对称，
所以y=gx 为偶函数，
5 π
所以 m+ =kπ，k∈Z,
2 4
1 2
即m=- π+ kπ，k∈Z,
10 5
因m>0，所以k≥1，
3π
故当k=1时，实数m取得最小值为 ，
10
故选：B
1223 (2024·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习)已知fx
π
=sinωx+
4
ω>0 ，函
数y=fx ，x∈R的最小正周期为π，将y=fx
π
的图像向左平移φ0<φ<
2
个单位
长度，所得图像关于y轴对称，则φ的值是 ．
π 1
【答案】 / π
8 8
【解析】∵fx
π
=sinωx+
4
ω>0
2π
，函数y=f(x)的最小正周期为T= =π，∴ω=
ω
π
2，f(x)=sin2x+
4
．
π
将y=f(x)的图像向左平移φ个单位长度，可得y=sin2x+2φ+
4
的图像，
π π kπ π
根据所得图像关于y轴对称，可得2φ+ =kπ+ ，k∈Z，解得φ= + ，k∈Z，
4 2 2 8
π π
又0<φ< ，则令k=0，可得φ的值为 ．
2 8
π
故答案为： ．
8
1224 (2024·上海松江·校考模拟预测)已知函数y=fx 的对称中心为0,1 ，若函数y=1+
sinx的图象与函数y=fx 的图象共有6个交点，分别为x 1 ,y 1 ，x 2 ,y 2 ，⋯，x 6 ,y 6 ，则
第 页 共 页
743 34276
x i +y i
i=1
= .
【答案】6
【解析】显然函数y=1+sinx的图象关于点0,1 成中心对称，
依题意，函数y=1+sinx的图象与函数y=fx 的图象的交点关于点0,1 成中心对
称，
6 6 6
于是x i =0,y i =6，所以 x i +y i
i=1 i=1 i=1
=6.
故答案为：6
π
1225 (2024·全国·高三对口高考)设函数y=sin2x+ 3 的图象关于点Px 0 ,0 成中心对称，
π
若x ∈ - ,0
0 2
，则x = .
0
π
【答案】-
6
π
【解析】因为函数y=sin2x+
3
的图象关于点P(x ,0)成中心对称，
0
π
所以sin2x +
0 3
π kπ π
=0，所以2x + =kπ(k∈Z)，所以x = - (k∈Z)
0 3 0 2 6
π
因为x ∈ - ,0
0 2
π
，所以k=0时，x =- .
0 6
π
故答案为：-
6
1226 (2024·新疆喀什·校考模拟预测)函数y=2sinωxω>0
π
向左平移 个单位长度之后关
3
π
于x= 对称，则ω的最小值为 .
6
【答案】1
π π
【解析】y=2sinωx向左平移 个单位长度后，得y=2sinωx+
3 3
，
π
因为函数关于x= 对称，
6
π π
所以ω× +
6 3
π π
=ω⋅ = +kπ，k∈Z,
2 2
ω=1+2k，k∈Z，ω>0
所以ω的最小值为1.
故答案为：1
1227 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =2sinωx+φ ω>0,φ
π
<
2
，若f0 =
π
- 3，且直线x= 为fx
6
图象的一条对称轴，则ω的最小值为 ．
【答案】5
【解析】由f0
3
=2sinφ=- 3，得sinφ=- ，
2
又ϕ
π π
< ，解得φ=- ，所以fx
2 3
π
=2sinωx-
3
，
π
又直线x= 为fx
6
图象的一条对称轴，
π π π
则有 ω- =kπ+ ，k∈Z，化简得ω=6k+5，k∈Z，
6 3 2
又ω>0，故ω的最小值为5．
第 页 共 页
744 3427故答案为：5.
4π
1228 (2024·河南开封·校考模拟预测)已知函数f(x)=2cos(3x+φ)的图象关于点 ,0
3
对
称，那么φ 的最小值为 ．
π
【答案】
2
【解析】∵fx =2cos3x+φ
4π
的图象关于点 ,0
3
4π π
对称，∴3× +φ=kπ+ ,k∈
3 2
7π
Z，即φ=kπ- ,k∈Z，令k=4，可得φ
2
π
的最小值为 ．
2
π
故答案为：
2
1229 (2024·全国·模拟预测)将函数fx
π
=cosωx-
6
ω>0
π
的图象向左平移 个单位长
9
度得到函数gx 的图象.若函数gx
π
的图象关于点 ,0
3
对称，则ω的最小值为
.
3
【答案】
2
【解析】由题可得gx
π
=cos ωx+
9
π
-
6
πω π
=cosωx+ -
9 6
，
π
∵g(x)的图象关于点 ,0
3
对称，
πω ωπ π π 9k 3
所以 + - =kπ+ ,k∈Z，解得ω= + ,k∈Z，
3 9 6 2 4 2
3
∵ω>0，故ω的最小值为 .
2
3
故答案为： .
2
1230 (2024·江西吉安·高三统考期末)记函数fx
π
=cosωx+
3
(ω>0)的最小正周期为T，
且y=fx
π T
的图象关于x= 对称，当ω取最小值时，f
6 2
= .
1
【答案】- /-0.5
2
【解析】由y=fx
π π π
的图象关于x= 对称，则ω× + =kπ，k∈Z，
6 6 3
∴ω=6k-2(k∈Z)，
又∵ω>0，
∴当k=1，ω的最小值为4，
此时fx
π
=cos4x+
3
2π π
，T= = ，
4 2
T
∴f
2
π
=f
4
π π
=cos4× +
4 3
π
=cosπ+
3
1
=- .
2
1
故答案为：- .
2
π
1231 (2024·福建宁德·高三校考阶段练习)写出满足条件“函数f(x)=cos x-φ
3
的图象关
于直线x=2对称”的φ的一个值 ．
2π 2π
【答案】φ= (答案不唯一，满足φ= -kπ,k∈Z即可)
3 3
2π 2π
【解析】由题意可得： -φ=kπ,k∈Z，则φ= -kπ,k∈Z，
3 3
第 页 共 页
745 34272π
当k=0时，φ= .
3
2π
故答案为：φ= .
3
1232 (2024·江西赣州·高三校联考期中)已知函数fx =2cos2x+φ 图象的一条对称轴为x
π
= ．若0<φ<4π,则φ的最大 ．
8
15
【答案】 π
4
π
【解析】由题知2× +φ=kπ.
8
π
所以φ=- +kπ
4
15
因为0<φ<4π,所以当k=4,φ取最大值 π
4
15
故答案为： π
4
1233 (2024·河北石家庄·统考模拟预测)曲线fx
sinx+cosx
= 的一个对称中心为
sinx-cosx
(答案不唯一).
π
【答案】 ,0
4
(答案不唯一)
【解析】fx
π
tanx+tan
sinx+cosx tanx+1 4 π
= = =- =-tanx+
sinx-cosx tanx-1 π 4
1-tanxtan
4
，
π π π
令x+ 4 =k 1 π或x+ 4 = 2 +k 2 πk 1 ,k 2 ∈Z ，
π π
则x=- +kπ或x= +k π，
4 1 4 2
π π
令k =0，则x= .所以函数的一个对称中心是 ,0
2 4 4
.
π
故答案为： ,0
4
(答案不唯一).
1234 (2024·甘肃武威·甘肃省武威第一中学校考模拟预测)函数fx
π
=3tan2x+
3
图象的
一个对称中心的坐标是 ．
π
【答案】- ,0
6
(答案不唯一)
π kπ
【解析】令2x+ = k∈Z
3 2
kπ π
，解得x= - k∈Z
4 6
,则fx 图象的对称中心的坐
kπ π
标是 - ,0
4 6
k∈Z ．
π π
当k=0时，x=- ，则- ,0
6 6
是fx 图像的一个对称中心．
π
故答案为：- ,0
6
(答案不唯一).
【解题方法总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
π
(1)函数y=sinx的对称轴为x=kπ+ (k∈Z)，对称中心为(kπ.0)(k∈Z)；
2
π
(2)函数y=cosx的对称轴为x=kπ(k∈Z)，对称中心为kπ+ ,0
2
(k∈Z)；
kπ
(3)函数y=tanx函数无对称轴，对称中心为 ,0
2
(k∈Z)；
第 页 共 页
746 3427π
(4)求函数y=Asin(wx+ϕ)+b(w≠0)的对称轴的方法；令wx+ϕ= +kπ(k∈Z)，
2
π
+kπ-ϕ
2
得x= (k∈Z)；对称中心的求取方法；令wx+ϕ=kπ(k∈Z)，得
w
kπ-ϕ kπ-ϕ
x= ，即对称中心为 ，b
w w
．
(5)求函数y=Acos(wx+ϕ)+b(w≠0)的对称轴的方法；令wx+ϕ=kπ(k∈Z)得x=
π π
+kπ-ϕ +kπ-ϕ
2 ，即对称中心为 2
,b
w w
(k∈Z)
6 题型六：函数的定义域、值域(最值)
1235 (2024·全国·高三专题练习)实数x,y满足x2-xy+y2=1，则x+2y的范围是 .
【答案】
-
2 21
,
2 21
3 3
y
【解析】x2-xy+y2=1⇔x- 2
2 3
+ y 2
y
x- =cosθ
2 2
=1.故令 ，θ∈0,2π 3
y=sinθ
2
.
5 2 21 则原式x+2y=cosθ+ sinθ= sinθ+φ
3 3
，故x+2y∈ - 2 21 , 2 21
3 3
.
故答案为：
-
2 21
,
2 21
3 3
.
x x x x
1236 (2024·河北·校联考一模)函数f(x)=sin3 cos -sin cos3 的最小值为 .
2 2 2 2
1
【答案】- /-0.25
4
x x x x x x x x
【解析】因为f(x)=sin3 cos -sin cos3 =sin cos sin2 -cos2
2 2 2 2 2 2 2 2
=
1 1 π
- sinxcosx=- sin2x，所以当2x= +2kπ,k∈Z时，sin2x=1，此时f(x)的最小值
2 4 2
1
为- .
4
1
故答案为：-
4
1237 (2024·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测)若函数f(x)=sinx+cos(x+φ)的最小值为
- 3，则常数φ的一个取值为 .(写出一个即可)
π
【答案】- (答案不唯一).
6
【解析】f(x)=sinx+cos(x+φ)可化为f(x)=sinx+cosxcosφ-sinxsinφ，
所以f(x)=sinx1-sinφ +cosxcosφ，
设a= 1-sinφ 2+cos2φ= 2-2sinφ，
1-sinφ cosφ
则f(x)=asinx +cosx
a a
1-sinφ cosφ
，设 =cosθ, =sinθ，
a a
则f(x)=asinx+θ ，
因为函数f(x)=sinx+cos(x+φ)的最小值为- 3，
1
所以- 2-2sinφ=- 3，sinφ=- ，
2
π 5π
所以φ=2kπ- 或φ=2kπ- ，其中k∈Z，
6 6
第 页 共 页
747 3427π
故答案为：- (答案不唯一).
6
1238 (2024·全国·高三对口高考)f(x)=cos2x-2 3sinxcosx的最小值为 .
【答案】-2
【解析】fx
π
=cos2x-2 3sinxcosx=cos2x- 3sin2x=-2sin2x-
6
，
π π
所以当2x- = +2kπ，k∈Z时，fx
6 2
取得最小值-2.
故答案为：-2．
π
1239 (2024·上海嘉定·校考三模)若关于x的方程2sin2x- 3sin2x+m-1=0在 ,π
2
上
有实数解，则实数m的取值范围是 .
【答案】[-2,1]
【解析】原方程2sin2x- 3sin2x+m-1=0
π
等价于m-1= 3sin2x-2sin2x= 3sin2x+cos2x-1=2sin2x+
6
-1
π
即函数y=m-1，y=2sin2x+
6
π
-1在 ,π
2
上有交点，
π
∵x∈ ,π 2
π 7π 13π
，∴2x+ ∈ , 6 6 6
π
，sin2x+ 6
1
∈ -1, 2 ，故y∈-3,0 ，
则-3≤m-1≤0,∴m∈-2,1 .
故答案为：[-2,1]
1240 (2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测)函数f(x)=2sin2x-cos2x 的值域为
．
【答案】0,3
【解析】因为f(x)=2sin2x-cos2x =2sin2x-(1-2sin2x) =4sin2x-1 ，
又0≤sin2x≤1，所以-1≤4sin2x-1≤3，则0≤4sin2x-1 ≤3，
即函数f(x)的值域为0,3 .
故答案为：0,3 .
1241 (2024·上海·高三专题练习)已知函数fx
1 π
= sin2x-
2 3
π π
，x∈ - ,
4 4
，则函数fx
的值域为 ．
1 1
【答案】 - ,
2 4
π π
【解析】当x∈ - ,
4 4
π
时，2x-
3
5π π
∈ - ,
6 6
，
π
则sin2x-
3
1
∈ -1,
2
1 π
，所以 sin2x-
2 3
1 1
∈ - ,
2 4
，
所以函数fx
1 1
的值域为 - ,
2 4
.
1 1
故答案为： - ,
2 4
π 1242 (2024·全国·高三专题练习)设函数f(x)=sinx，x∈R，则y= fx+
12
2 +
π fx+
4
2 的最小值为 .
3
【答案】1-
2
第 页 共 页
748 3427π 【解析】y= fx+
12
2 π + fx+
4
2 =sin2x+ π
12
π +sin2x+
6
π
1-cos2x+
6
=
π
1-cos2x+
2
+
2
1 π π
=1- cos2xcos -sin2xsin -sin2x
2 2 6 6
3 3 3 π
=1+ sin2x- cos2x=1+ sin2x-
4 4 2 6
.
π
因为x∈R，所以-1≤sin2x-
6
3 3 π
≤1，所以- ≤ sin2x-
2 2 6
3
≤ ，
2
3 3 π 所以1- ≤1+ sin2x-
2 2 6
3 π ≤1+ ，即函数y= fx+
2 12
2 π + fx+
4
2
3
的最小值为1- .
2
3
故答案为：1- .
2
1243 (2024·全国·高三专题练习)设a>0，则fx =2asinx+cosx -sinx⋅cosx-2a2的最
小值为 .
1
【答案】-2a2-2 2a-
2
π
【解析】设t=sinx+cosx，由t=sinx+cosx= 2sinx+
4
，得t∈- 2 , 2 ，
又由sinx+cosx
t2-1
2=1+2sinx⋅cosx，得sinx⋅cosx= ，
2
所以fx
t2-1 1
=2at- -2a2=- t-2a
2 2
1
2+ ，
2
令gt
1
=- t-2a
2
1
2+ (a>0)，t∈- 2 , 2
2
，
π
当t=- 2时，sinx+
4
5
=-1时，即当x=2kπ+ π, k∈Z时，
4
1
原函数取到最小值-2a2-2 2a- .
2
1
故答案为：-2a2-2 2a- .
2
1
1244 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= sin2xcosx，该函数的最大值为 ．
2
2 3
【答案】
9
【解析】由题意，函数fx =sinxcos2x=sinx1-sin2x =sinx-sin3x，
令sinx=t且t∈-1,1 ，则y=g(t)=t-t3，
从而gt =1-3t2=1- 3t 1+ 3t ，令gt
3 3
=0，解得t =- 或t = ， 1 3 2 3
3
当-10；
3
当 sinα+β +cosα+β
π
= 2sinα+β+
4
π π π π 3π
因为0<α< ,0<β< , <α+β+ < ，
2 2 4 4 4
π
所以 2sinα+β+
4
2
> 2× =1，
2
sinα+sinβ+cosα+β =sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ
=1-sinβ sinα+cosαcosβ+sinβ≤ 1-sinβ 2+cos2β+sinβ
= 21-sinβ +sinβ，
当且仅当1-sinβ cosα=sinαcosβ时取等，
令 1-sinβ=t，t∈0,1 ，sinβ=1-t2，
所以= 21-sinβ
2
+sinβ= 2t+1-t2=-t-
2
2 3 3
+ ≤ .
2 2
则sinα+sinβ+cosα+β
3
的范围是：1,
2
.
3
故答案为：1,
2
1246 (2024·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测)函数fx =cos2x+cosx 的值域是
.
【答案】-1,2
1 【解析】因为f(x)=2cos2x+|cosx|-1=2|cosx|2+|cosx|-1=2|cosx|+
4
2 9 - ,
8
又因为0≤cosx ≤1,
所以当cosx =0时,fx 取得最小值 -1 ,
当cosx =1时,fx 取得最大值 2 , 故fx 的值域是-1,2 .
故答案为：-1,2
1247 (2024·全国·高三专题练习)设x、y∈R且3x2+2y2=6x，求x2+y2的取值范围是
.
【答案】0,4
【解析】解法一：∵3x2+2y2=6x，
3
∴y2=3x- x2≥0，可得0≤x≤2．
2
3 1
x2+y2=x2+3x- x2=- x-3
2 2
9
2+ ，
2
令fx
1
=- x-3
2
9
2+ ，x∈0,2
2
，
显然函数fx 在0,2 上单调递增，f0 =0，f2 =4，即fx ∈0,4 ，
∴x2+y2的取值范围是0,4 ．
解法二：由3x2+2y2=6x得x-1
y2 x-1=cosα x=1+cosα
2+ =1，设 6 ，即 6 ，
3 y= sinα y= sinα
2 2
2
3
则x2+y2=1+2cosα+cos2α+ sin2α
2
第 页 共 页
750 34273 1
=1+2cosα+ - cos2α
2 2
1 5 1
=- cos2α+2cosα+ =- cosα-2
2 2 2
9
2+
2
令t=cosα，t∈-1,1 ，gt
1
=- t-2
2
9
2+ ，t∈-1,1
2
，显然gt 在-1,1 上单调
递增，
所以gt ∈0,4
1
，即- cosα-2
2
9
2+ ∈0,4
2
，
所以x2+y2的取值范围是0,4 .
故答案为：0,4
sinxcosx
1248 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)= 的值域为 ．
1+sinx+cosx
【答案】 - 2-1 ,-1
2
2-1 ∪-1,
2
π
【解析】令t=sinx+cosx= 2sinx+
4
，t∈[- 2,-1)∪(-1, 2]，
t2-1
则t2=1+2sinxcosx，即sinxcosx= ，
2
t2-1
2 t-1
所以f(t)= = ，
1+t 2
又因为t∈[- 2,-1)∪(-1, 2]，所以ft - 2-1 ∈ ,-1
2
2-1 ∪-1,
2
，
即函数f(x)= sinxcosx 的值域为 - 2-1 ,-1
1+sinx+cosx 2
2-1 ∪-1,
2
．
故答案为： - 2-1 ,-1
2
2-1 ∪-1,
2
.
1249 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)=-sinx+2cosx(x∈[0,π])的最大值为 ．
【答案】2
【解析】f(x)=-sinx+2cosx= 5cosx+φ
5 2 5
，其中sinφ= ，cosφ= ，tanφ=
5 5
1 3
< .
2 3
∵x∈0,π
π
，φ∈0,
6
，
∴x+φ∈φ,π+φ ，
∴f(x)在0,π-φ 上单调递减，在π-φ,π 上单调递增，
∵f(0)=2,f(π)=-2
∴当x=0时，f(x)取得最大值f(0)=2．
故答案为：2
π
1250 (2024·全国·高三专题练习)函数y=tanx+
6
的定义域为 ．
π
【答案】xx≠ +kπ,k∈Z
3
π
【解析】y=tanx+
6
π π
的定义域满足x+ ≠ +kπ k∈Z
6 2
π
，即x≠ +kπ k∈Z
3
.
π
故答案为：xx≠ +kπ,k∈Z
3
.
π
1251 (2024·全国·高三专题练习)函数y=tanx+
6
π π
,x∈- ,
6 3
的值域为 .
第 页 共 页
751 3427【答案】0,+∞
π π π
【解析】设z=x+ ，因为x∈- ,
6 6 3
π
，可得z∈0,
2
，
π
因为正切函数y=tanz在0,
2
上的值域为0,+∞ ，
π
即函数y=tanx+
6
π π
在- ,
6 3
的值域为0,+∞ .
故答案为：0,+∞ .
2tanx π
1252 (2024·江西·校联考模拟预测)函数f(x)= ,x∈0,
1+2tan2x 3
的最大值为 ．
2 1
【答案】 / 2
2 2
π
【解析】∵x∈0,
3
2 2 2
，∴tanx∈(0, 3)，由题意得f(x)= ≤ = ，
1 2 2 2
+2tanx
tanx
1 2 2
当且仅当 =2tanx，即tanx= ∈(0, 3)时取等号，故f(x)的最大值为 ．
tanx 2 2
2
故答案为：
2
【解题方法总结】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列
基本类型处理．
(1)y=asinx+b，设t=sinx，化为一次函数y=at+b在[-1,1]上的最值求解．
b
(2)y=asinx+bcosx+c，引入辅助角ϕtanϕ=
a
，化为y= a2+b2sin(x+ϕ)+c，求
解方法同类型(1)
(3)y=asin2x+bsinx+c，设t=sinx，化为二次函数y=at2+bt+c在闭区间t∈[-1,
1]上的最值求解，也可以是y=acos2x+bsinx+c或y=acos2x+bsinx+c型．
(4)y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c，设t=sinx±cosx，则t2=1±2sinxcosx，故
t2-1 t2-1
sinxcosx=± ，故原函数化为二次函数y=a⋅±
2 2
+bt+c在闭区间[- 2,
2]上的最值求解．
asinx+b asinx+b
(5)y= 与y= ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可
csinx+d ccosx+d
用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于sinx或
cosx的函数求解释务必注意sinx或cosx的范围．
(6)导数法
(7)权方和不等式
7 题型七：三角函数性质的综合
1253 (多选题)(2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)已知函数fx =
2cos2x+φ ϕ
π
<
2
的图象与函数gx
π
=sinωx+
6
的图象的对称中心完全相同，
π
且在0,
2
上，fx 有极小值，则 ( )
A. fφ =-2 B. gφ =1
π
C.函数fx-
3
是偶函数 D. gx
π π
在- ,-
2 3
上单调递增
【答案】AD
第 页 共 页
752 3427【解析】由题意，函数fx 与gx 的最小正周期相同，则ω =2，且ϕ
π
< .
2
当ω=2时，gx
π
=sin2x+
6
π
，其一个对称中心为- ,0
12
，
也是fx =2cos2x+φ 的一个对称中心，
π
所以f-
12
π
=2cos- +φ
6
2π
=0，所以φ= +kπ，k∈Z，
3
又ϕ
π π
< ，所以φ=- ，
2 3
所以fx
π
=2cos2x-
3
π
，x∈0,
2
π π 2π
，2x- ∈- ,
3 3 3
，fx 有极大值，无极小值，
不合题意；
当ω=-2时，gx
π
=sin-2x+
6
π
=-sin2x-
6
π
，其一个对称中心为 ,0
12
，
也是fx =2cos2x+φ 的一个对称中心，
π
所以f
12
π
=2cos +φ
6
π
=0，所以φ= +kπ，k∈Z，
3
又ϕ
π π
< ，所以φ= ，
2 3
所以fx
π
=2cos2x+
3
π
，x∈0,
2
π π 4π
，2x+ ∈ ,
3 3 3
，fx 有极小值，满足题意.
fφ
π
=f
3
=2cosπ=-2，gφ
π
=g
3
π
=sin-
2
=-1，A项正确，B项不正确；
π
fx-
3
π
=2cos2x-
3
，不是偶函数，C项不正确；
π π 7π π 5π 7π 5π
当- 0，φ
π
≤
2
的最小正周期为π，且过点0, 2 ，则下列正确的有 ( )
π
A. f(x)在0,
2
单调递减
π
B. f(x)的一条对称轴为x=
2
π
C. f(|x|)的周期为
2
π
D.把函数f(x)的图象向左平移 个长度单位得到函数g(x)的解析式为g(x)=
6
π
2cos2x+
6
【答案】AB
【解析】根据辅助角公式得fx
π
=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)= 2sinωx+φ+
4
．
2π 2π π
∵最小正周期为π，ω>0，∴ω= = =2，即f(x)= 2sin2x+φ+
T π 4
．
∵函数f(x)过点0, 2
π
，|φ|≤ ，
2
π
∴f(0)= 2sinφ+
4
π π
= 2，则φ+ = +2kπ,k∈Z．
4 2
π π
当k=0时φ= ．即f(x)= 2sin2x+
4 2
= 2cos2x．
令2x∈2kπ,π+2kπ
π
,k∈Z，则x∈kπ, +kπ
2
,k∈Z，
第 页 共 页
753 3427当k=0时，fx
π
在0,
2
单调递减，故A正确．
kπ
令2x=kπ,k∈Z，则x= ,k∈Z，
2
π
当k=1时，f(x)的一条对称轴为x= ，故B正确．
2
因为f(x)= 2cos2x为偶函数，所以f x = 2cos|2x| = 2cos2x，
则f x 的周期为kπ,k∈Z且k≠0，故C错误．
π
函数f(x)的图象向左平移 个长度单位得到函数g(x)的解析式为g(x)=
6
π
2cos 2x+
6
π
= 2cos2x+
3
，故D错误．
故选：AB．
1255 (多选题)(2024·广东佛山·统考模拟预测)已知函数f(x)=asinx-cosx(x∈R)的图象
π
关于x= 对称，则 ( )
3
A. fx 的最大值为2
π
B. fx+
3
是偶函数
C. fx
2π π
在 - ,
3 3
上单调递增
D.把fx
π 3π
的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于点 ,0
6 4
对称
【答案】AB
π
【解析】因为函数f(x)=asinx-cosx(x∈R)的图象关于x= 对称，
3
π
所以f
3
π π 3 1
=asin -cos = a- =± a2+1，解得a=- 3，
3 3 2 2
π
所以f(x)=- 3sinx-cosx=-2sinx+
6
，其最大值为2，故A正确；
π
令fx+
3
π π
=g(x)=-2sinx+ +
3 6
π
=-2sinx+
2
=-2cosx，
gx 定义域为R，g-x =-2cos(-x)=-2cosx=g(x)，
所以gx
π
即fx+
3
是偶函数，故B正确；
2π π
x∈ - ,
3 3
π π π
时，x+ ∈ - ,
6 2 2
π
，y=2sinx+
6
2π π
在 - ,
3 3
单调递增，
π
f(x)=-2sinx+
6
2π π
在 - ,
3 3
单调递减，故C错误；
把fx
π
的图象向左平移 个单位长度，得到函数
6
π
h(x)=-2sin x+
6
π
+
6
π
=-2sinx+
3
的图象，
3π
因为h
4
3π π
=-2sin +
4 3
π
=-2sinπ+
12
π
=2sin ≠0，
12
3π
所以h(x)的图象不关于点 ,0
4
对称，故D错误.
故选：AB
1256 (多选题)(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)已知函数fx =
π
sinx+
4
，则下列说法正确的有 ( )
A.若 fx 1 -fx 2 =2，则x 1 -x 2 =π min
B.将fx
π
的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于y轴对称
4
第 页 共 页
754 3427π
C.函数y=sin2x+
4
的最小正周期为2π
D.若fωx (ω>0)在0,π
11 15
上有且仅有3个零点，则ω的取值范围为 , 4 4
【答案】ABD
【解析】由 fx 1 -fx 2 =2，故fx 1 ,fx 2 必有一个最大值和一个最小值，
则x 1 -x 2
T
为半个周期长度，故 =π,A正确； min 2
π
由题意fx+
4
π
=sinx+
2
=cosx的图象关于y轴对称，B正确；
π
y=sin2x+
4
π
1-cos2x+
2
=
1+sin2x
= 的最小正周期为π,C错误.
2 2
fωx
π
=sinωx+ 4 ，在x∈0,π
π π π
上ωx+ ∈ ,ωπ+ 4 4 4 有且仅在3个零点，
π 11 15
结合正弦函数的性质知：3π≤ωπ+ <4π，则 ≤ω< ，D正确；
4 4 4
故选：ABD
1257 (多选题)(2024·海南·高三校联考期末)已知函数fx =cosωx+φ (ω>0,-π<φ<
π
π)，f
6
=0，fx
π
≥f-
12
恒成立，fx
13π 17π
在 ,
12 12
上单调，则 ( )
5π
A.φ=-
6
B.将fx
π
的图象向左平移 个单位长度后得到函数gx
6
=sin2x的图象
π
C. f +x
6
π
+f -x
6
=1
D.若函数y=fx
π 11π
-m在 - ,
2 6
2 2
上有5个零点，则- ≤m≤
2 2
【答案】AB
π
【解析】因为f
6
π π π
=0，所以x= 是函数的一个零点，所以ω⋅ +φ= +kπ,k ∈Z
6 6 2 1 1
①，
又因为x∈R对fx
π
≥f-
12
π
恒成立，所以x=- 时取得最小值，
12
π
即ω⋅- 12 +φ=π+2k 2 π,k 2 ∈Z②，则①减②可得：ω=4k 1 -2k 2 -2,k,k ∈Z， 1 2
又因为fx
13π 17π
在 ,
12 12
T 2π 17π 13π π
上单调，所以 = ≥ - = ，
2 2ω 12 12 3
则0<ω≤3，结合ω=4k 1 -2k 2 -2,k,k ∈Z，所以ω=2， 1 2
π π π
所以 +φ= +kπ,k ∈Z，- +φ=π+2k π,k ∈Z，
3 2 1 1 6 2 2
π 7π
则φ= +kπ,k ∈Z，φ= +2k π,k ∈Z，又因为-π<φ<π，
6 1 1 6 2 2
5π
所以φ=- ，故A正确；
6
所以fx
5π
=cos2x-
6
，
将fx
π π
的图象向左平移 个单位长度后得到y=cos 2x+
6 6
5π
-
6
π
=cos2x-
2
=sin2x，故B正确；
π
f +x
6
π
+f -x
6
π
=cos 2 +x
6
5π
-
6
π
+cos 2 -x
6
5π
-
6
π
=cos2x-
2
π
+cos-2x-
2
=sin2x-sin2x=0，故C错误；
第 页 共 页
755 3427函数y=fx
π 11π
-m在 - ,
2 6
上有5个零点，令fx =m，
即y=fx 与y=m的图象有5个交点，画出y=fx 与y=m的图象如下，
π
f-
2
5π
=cos-π-
6
3 11π
= ，f
2 6
11π 5π
=cos -
3 6
5π 3
=cos =- ，
6 2
由图可知，当m∈ - 3 , 3
2 2
时，y=fx 与y=m的图象有5个交点，
即函数y=fx
π 11π
-m在 - ,
2 6
上有5个零点,故D错误.
故选：AB
1258 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型
是函数y=Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数
学模型是函数f(x)=|cosx|+ 3|sinx|，则下列结论不正确的是 ( )
A. f(x)是偶函数 B. f(x)的最小正周期为2π
π
C. f(x)在区间 0,
2
上单调递增 D. f(x)的最小值为1
【答案】BC
【解析】因为x∈R，f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，A正确；f(x)显然是周期函数，
因为f(x+π)=|cos(x+π)|+ 3|sin(x+π)|=|cosx|+ 3|sinx|=f(x)，所以B错误；因
π
为当x∈ 0,
2
时，fx =sinx + 3cosx
π
=sinx+ 3cosx=2sinx+
3
所以fx
π
在区间 0,
6
π π
上单调递增，在 ,
6 2
上单调递减，C错误；
因为fx
π
2sinx+
3
=
π
,x∈ 0,
2
,
π
2sinx-
3
π
,x∈ ,π
2
,
π
当x∈ 0,
2
π π 5π
时，设t=x+ ，则t∈ ,
3 3 6
1
,∴sint∈ ,1
2
,∴f(x) =1，
min
π
同理：当x∈ ,π
2
时，fx ∈1,2 ，
由B中解答知，π是fx 的周期，所以fx 的最小值为1，D正确.
故选：BC.
1259 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinx +cosx ，下列叙述正确的
有 ( )
A. f(x)的周期为2π； B. f(x)是偶函数；
3π 5π
C. f(x)在区间 , 4 4 上单调递减； D.∀x 1 ，x 2 ∈R，f(x 1 )-f(x 2 ) ≤ 2
【答案】BC
【解析】gx =sinx 是偶函数，不是周期函数，hx =cosx 是偶函数，是周期函数，最
3π 5π
小正周期为π，故f(x)不是周期函数，A错误，B正确；当x∈ ,
4 4
时，f(x)=sinx
第 页 共 页
756 3427+cosx
π
=sinx-cosx= 2sinx-
4
π π
，因为x- ∈ ,π
4 2
π
， 2sinx-
4
在次区间
3π 5π
上单调递减，故f(x)在区间 ,
4 4
上单调递减，C正确；
当x>0时，fx =sinx+cosx
3
，f π
4
3
= 2，f π
2
3
=-1，即f π
4
3
-f π
2
= 2
+1> 2，D选项错误.
故选：BC
1260 (多选题)(2024·重庆·统考模拟预测)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，
我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数fx =sinx+
1
sin2xx∈R
2
，则下列结论正确的是 ( )
A. fx 的一个周期为2π B. fx
3
的最小值为-
2
C. fx 的图象关于点π,0 对称 D. fx 在区间0,2π 上有3个零点
【答案】ACD
【解析】选项A：
fx+2π =sinx+2π
1
+ sin 2x+2π
2
1
=sinx+ sin2x=fx
2
故fx 的一个周期为2π，A正确.
选项B：
π
y=sinx，当x=- +2kπ，k∈Z时，取得最小值-1，
2
1 π π 1
y= sin2x，当2x=- +2kπ，k∈Z时即x=- +kπ，k∈Z时，取得最小值- ，
2 2 4 2
所以两个函数不可能同时取得最小值，所以fx
3
的最小值不是- ，故B错误.
2
选项C：
fπ+x =sinπ+x
1
+ sin 2π+x
2
1
=-sinx+ sin2x，
2
fπ-x =sinπ-x
1
+ sin 2π-x
2
1
=sinx- sin2x，
2
所以fπ-x +fπ+x =0，
所以fx 的图象关于点π,0 对称，C正确，
选项D：
fx
1
=sinx+ sin2x=sinx+sinxcosx=sinx1+cosx
2
=0，
得sinx=0，或cosx=-1，
得x=kπ，或x=π+2kπ，k∈Z，
故0,2π 区间中的根为0，π，2π，
故D正确.
故选：ACD
π
1261 (2024·全国·高三专题练习)设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφω>0,|φ|<
2
．
3
(1)若f(0)=- ，求φ的值．
2
π 2π
(2)已知f(x)在区间 - ,
3 3
2π
上单调递增，f
3
=1，再从条件①、条件②、条件③这三
个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值．
π
条件①：f
3
= 2；
第 页 共 页
757 3427π
条件②：f-
3
=-1；
π π
条件③：f(x)在区间 - ,-
2 3
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
π
【解析】(1)因为f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ,ω>0,|φ|<
2
所以f(0)=sinω⋅0 cosφ+cosω⋅0
3
sinφ=sinφ=- ，
2
π π
因为|φ|< ，所以φ=- .
2 3
π
(2)因为f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ,ω>0,|φ|< ，
2
所以f(x)=sinωx+φ
π
,ω>0,|φ|< ，所以f(x)的最大值为1，最小值为-1.
2
若选条件①：因为f(x)=sinωx+φ
π
的最大值为1，最小值为-1，所以f
3
= 2无解，
故条件①不能使函数f(x)存在；
π 2π
若选条件②：因为f(x)在 - ,
3 3
2π
上单调递增，且f
3
π
=1，f-
3
=-1
T 2π π
所以 = --
2 3 3
2π
=π,所以T=2π,ω= =1,
T
所以f(x)=sinx+φ ，
π
又因为f-
3
π
=-1，所以sin- +φ
3
=-1，
π π
所以- +φ=- +2kπ,k∈Z，
3 2
π π π
所以φ=- +2kπ,k∈Z，因为|φ|< ，所以φ=- .
6 2 6
π
所以ω=1，φ=- ；
6
π 2π
若选条件③：因为f(x)在 - ,
3 3
π π
上单调递增，在 - ,-
2 3
上单调递减，
π π
所以f(x)在x=- 处取得最小值-1，即f-
3 3
=-1.
以下与条件②相同．
1262 (2024·江西赣州·高三校联考阶段练习)已知函数fx =
Asinωx+φ A>0,ω>0,φ
π
<
2
的部分图象如图所示.
(1)求fx 的解析式；
(2)将fx
1
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左
2
π
平移 个单位长度，得到函数gx
12
的图象，求函数y=gx
π π
sinx在 - ,
2 2
内的零点.
【解析】(1)由图象可得A=2，
7π π
T= --
2 2
2π 1
=4π，则 =4π，即ω= ，
ω 2
第 页 共 页
758 3427∴fx
1
=2sin x+φ
2
，
π
由图象得f-
2
π
=2sin- +φ
4
π
=0，即sin- +φ
4
=0，
π π
∴- +φ=2kπ，k∈Z，则φ= +2kπ，k∈Z，
4 4
又ϕ
π π
< ，∴φ= ，
2 4
故fx
1 π
=2sin x+
2 4
；
(2)将fx
1 π
=2sin x+
2 4
1
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，
2
π
再将所得图象向左平移 个单位长度，得到函gx
12
π
=2sinx+
3
，
∴y=gx
π
sinx=2sinx⋅sinx+
3
，
令gx
π
⋅sinx=0，则sinx=0或sinx+
3
=0，
π
解得x=kπ，k∈Z，或x=- +kπ，k∈Z，
3
π π
又x∈ - ,
2 2
π
，∴x=0或- ，
3
即函数y=gx
π π
sinx在 - ,
2 2
π
内的零点为0与- .
3
1263 (2024·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)在
π π
区间- ,
6 3
π
上单调，其中ω>0，0<φ<π，且f-
6
π
=-f
3
．
(1)求y=f(x)的图象的一个对称中心的坐标；
π 3
(2)若点P- ,
12 2
在函数f(x)的图象上，求函数f(x)的表达式．
π π
【解析】(1)由函数f(x)在区间- ,
6 3
上单调，
π
且f-
6
π
=-f
3
π
，可知f
12
=0，
π
故y=f(x)的图象的一个对称中心的坐标为 ,0
12
π 3
(2)由点P- ,
12 2
在函数f(x)的图象上，
π
有f-
12
3 π π π π
= ，又由- <- < < ，
2 6 12 12 3
π
f-
12
3 π
= >f
2 12
=0，
π π
可知函数f(x)在区间- ,
6 3
上单调递减，
由函数f(x)的图象和性质，
πω π
有 12 +φ=2k 1 π+ 2 k 1 ∈Z ，
π
又f- 12
3 πω π
= 2 ，有- 12 +φ=2k 2 π+ 6 k 2 ∈Z ，
将上面两式相加，有2φ=2k 1 +k 2
2π
π+ 3 k 1 ∈Z,k 2 ∈Z ，
有φ=k 1 +k 2
π
π+ ， 3
π
又由0<φ<π，可得φ= ，
3
则ω=24k 1 +2k 1 ∈Z ，
第 页 共 页
759 3427π π
又由函数f(x)在区间- ,
6 3
上单调，
2π π π
有 ≥2 --
ω 3 6
，可得0<ω≤2，可得ω=2，
π
故f(x)=cos2x+
3
．
1264 (2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测)a= 3sinωx,sinωx+cosωx
，b=
2cosωx,sinωx-cosωx ，fx
=a⋅b，
π
(1)若ω=1，求f
6
的值；
(2)若函数fx 的最小正周期为π
①求ω的值；
5π 5π
②当x∈ ,
24 12
时，对任意t∈R，不等式mt2+mt+3≥fx 恒成立，求m的取值范
围
【解析】(1)依题意，
a⋅b=2 3sinωxcosωx+sin2ωx-cos2ωx
= 3sin2ωx-cos2ωx
π
=2sin2ωx-
6
，
当ω=1时，fx
π
=2sin2x-
6
π
，f
6
π
=2sin =1
6
(2)①由(1)知fx
π
=2sin2ωx-
6
，
2π
最小正周期T=
2ω
=π，得ω=±1，
②当ω=1时，fx
π
=2sin2x-
6
5π 5π
，当x∈ ,
24 12
时，
π π 2π
2x- ∈ ,
6 4 3
π π π
，当2x- = ，即x= 时，fx
6 2 3
的最大值为2，
不等式mt2+mt+3≥fx
恒成立，即mt2+mt+3≥2恒成立，
整理为mt2+mt+1≥0，t∈R恒成立，
当m=0时，1≥0恒成立，
m>0
当m≠0时，
Δ=m2-4m≤0
，得00
当m≠0时，
Δ=m2-12m≤0
，得00,ω>0,φ
π
< ,0≤t<24
2
，其中h为水深(单位：米)，
t为时间(单位：小时)，该函数图像如图所示.
(1)求函数ht 的解析式；
(2)若一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的
安全间隙(船底与水底的距离)，则该船一天之内至多能在港口停留多久？
1 1 T π π
【解析】(1)由图知A= (7-1)=3，B= (7+1)=4， = =11-5=6，ω= ，
2 2 2 ω 6
所以ht
π
=3sin t+φ
6
5π
+4，将点(5,7)代入得7=3sin +φ
6
+4，
结合ϕ
π π
< 解得φ=- ，
2 3
所以函数ht 的解析式ht
π π
=3sin t-
6 3
+40≤t<24 .
(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5米，所以当ht ≥5.5时货船可以停留在港口.
由ht
π π
≥5.5得sin t-
6 3
1 π π π 5π
≥ ，得 +2kπ≤ t- ≤ +2kπ(k∈Z)，
2 6 6 3 6
即3+12k≤t≤7+12k(k∈Z)，
当k=0时，3≤t≤7，当k=1时，15≤t≤19，
所以该船一天之内至多能在港口停留7-3+19-15=8小时.
1266 (2024·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测)已知函数fx =
sinωx+φ ω>0,0<φ<π
π
的图像相邻对称轴之间的距离是 ， ；
2
①若将fx
π
的图像向右平移 个单位，所得函数gx
6
为奇函数．
②若将fx
π
的图像向左平移 个单位，所得函数gx
12
为偶函数，
在①，②两个条件中选择一个补充在 并作答
π
(1)若x∈ 0,
3
，求y=2f2 x -fx 的取值范围；
(2)设函数hx =fx
3 π
- 的零点为x ，求cos -4x 5 0 3 0 的值．
【解析】(1)因为函数fx =sinωx+φ ω>0,0<φ<π 的图像相邻对称轴之间的距离
π
是 ，
2
π π
所以 = ，解得ω=2，所以fx
ω 2
=sin2x+φ ，
选①：
当将fx
π
的图像向右平移 个单位，得到函数gx
6
π
=sin 2x-
6
+φ =
π
sin2x- +φ
3
，
因为gx
π π
为奇函数，所以- +φ=kπ,k∈Z，即φ=kπ+ ,k∈Z，
3 3
第 页 共 页
761 3427π
因为 0<φ<π，所以φ= ，则fx
3
π
=sin2x+
3
则y=2f2 x -fx
π
=2sin22x+
3
π
-sin2x+
3
，
π
因为x∈ 0, 3
π π
，所以2x+ ∈ ,π 3 3
π
，则t=sin2x+ 3 ∈0,1 ，
所以y=2f2 x -fx 1 =2t2-t=2t-
4
2 - 1 ∈ - 1 ,1
8 8
.
选②：fx
π
的图像向左平移 个单位，得到函数gx
12
π
=sin 2x+
12
+φ =
π
sin2x+ +φ
6
，
因为函数gx
π π π
为偶函数，所以 +φ= +kπ,k∈Z，即φ=kπ+ ,k∈Z.
6 2 3
π
因为 0<φ<π，所以φ= ，则fx
3
π
=sin2x+
3
则y=2f2 x -fx
π
=2sin22x+
3
π
-sin2x+
3
，
π
因为x∈ 0, 3
π π
，所以2x+ ∈ ,π 3 3
π
，则t=sin2x+ 3 ∈0,1 ，
所以y=2f2 x -fx 1 =2t2-t=2t-
4
2 - 1 ∈ - 1 ,1
8 8
.
(2)因为函数hx =fx
3
- 的零点为x ， 5 0
所以hx 0 =fx 0
3 π
- =sin2x + 5 0 3
3 π
- =0，则sin2x + 5 0 3
3
= ， 5
π
所以cos -4x
3 0
π
=-cos π- -4x
3 0
，
2π
=-cos4x +
0 3
π
=2sin22x +
0 3
7
-1=- .
25
1267 (2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测)已知函数fx =
Asinωx+φ A>0,ω>0,φ
π
<
2
的部分图象如图所示.
(1)求函数fx 的解析式；
(2)将函数fx
π
的图象向左平移 个单位，得到函数gx
6
的图象，若方程gx +
ksinx+cosx
π
+2=0在x∈ 0,
2
上有解，求实数k的取值范围.
T 2π π π
【解析】(1)由函数的图象知：A=1, = - = ，则T=π，
2 3 6 2
2π
所以ω= =2，fx
T
=sin(2x+φ)，
π
因为f
6
π
=sin +φ
3
=0，
π π
所以 +φ=kπ,k∈Z，则φ=kπ- ,k∈Z，
3 3
又因为ϕ
π π
< ，则φ=- ，
2 3
第 页 共 页
762 3427所以fx
π
=sin2x-
3
；
(2)由题意得：gx =sin2x，
令t=sinx+cosx,t∈1, 2 ，
则gx +ksinx+cosx +2=0化为：t2-1+kt+2=0，
1
即-k=t+ 在t∈1, 2
t
上有解，
由对勾函数的性质得：m=t+ 1 ∈ 2, 3 2
t 2
，
所以k∈ - 3 2 ,-2
2
.
【解题方法总结】
三角函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，尤为重要的是对称性．
因为对称性⇒奇偶性(若函数图像关于坐标原点对称，则函数f(x)为奇函数；若函数图
像关于y轴对称，则函数f(x)为偶函数)；对称性⇒周期性(相邻的两条对称轴之间的距
T T T
离是 ；相邻的对称中心之间的距离为 ；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 )；
2 2 4
对称性⇒单调性(在相邻的对称轴之间，函数f(x)单调，特殊的，若f(x)=Asin(wx),A
>0,w>0，函数f(x)在[θ 1 ,θ 2 ]上单调，且0∈[θ 1 ,θ 2 ]，设θ=max θ 1 ,θ 2
T
，则 ≥θ深刻 4
体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系)
8 题型八：根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式．
1268 (2024·甘肃金昌·高三统考阶段练习)已知函数fx =
Acosωx+φ A>0，ω>0，φ
π
<
2
的部分图象如图所示，设使fx =-f2a-x 成立
的a的最小正值为m，f0 =n，则m+n= ( )
π π 3 π π 3
A. +1 B. + C. +1 D. +
6 6 2 3 3 2
【答案】B
【解析】使fx =-f2a-x 成立的a即为fx 的对称中心的横坐标，
1 π 5π
∴a的最小正值为 - +
2 12 12
π
= ，
6
T 5π π
由图可知A= 3， = --
2 12 12
π 2π
= ，T=π，∴ω= =2，
2 π
5π
将点 ,- 3
12
代入fx = 3cos2x+φ
5π
，得cos +φ
6
=-1，
第 页 共 页
763 34275π
∴ +φ=π+2kπ，k∈Z，
6
π
φ= +2kπ，k∈Z，∵φ
6
π π
< ，∴取φ= ，
2 6
∴fx
π
= 3cos2x+
6
，∴f0
3
= ，
2
π 3
∴m+n= + .
6 2
故选：B.
1269 (2024·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试)已知函数fx =
Asinωx+φ (A,ω,φ为常数，ω>0,A>0)的部分图像如图所示，若将fx 的图像向左
π
平移 个单位长度，得到函数gx
6
的图像，则gx 的解析式可以为 ( )
A. gx
π
=2 2sin3x+
4
B. gx
π
=2 2cos3x+
4
C. gx
π
=2 2sin3x-
4
D. gx
π
=-2 2cos3x-
4
【答案】A
11π 5 π 3 2π
【解析】由题意得 - π= = T，所以T= ，故ω=3，
12 12 2 4 3
5π π
因为3× +φ=π+2kπ，k∈Z，所以φ=- +2kπ，k∈Z，
12 4
即 fx
π
=Asin3x- +2kπ
4
π
=Asin3x-
4
.
π
又因为f
2
3π π
=Asin -
2 4
5π
=Asin
4
=-2，A>0解得A=2 2.
即fx
π
=2 2sin3x-
4
.
将fx
π
的图像向左平移 个单位长度，
6
得到函数gx
π
=2 2sin 3x+
6
π
-
4
π
=2 2sin3x+
4
.
故选：A
1270 (2024·全国·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
π
x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
2
的部分图象如图所示，把f(x)的图象上所有的点向左平移
π 1
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到
12 2
第 页 共 页
764 3427的函数图象的解析式是 ( )
π
A.y=2sinx+
6
π
，x∈R B.y=2sinx+
3
，x∈R
π
C.y=2sin4x+
6
π
，x∈R D.y=2sin4x+
3
，x∈R
【答案】D
【解析】由题中函数图象可知：fx =A=2.
max
5π π
最小正周期为T=4× -
12 6
2π
=π，所以ω= =2，fx
π
=2sin2x+φ ，
π
将点 ,2
6
π
代入函数解析式中，得2sin +φ
3
=2，
π π π
所以 +φ= +2kπ，k∈Z，即φ= +2kπ，k∈Z.
3 2 6
因为φ
π π π
< ，所以φ= ，故f(x)=2sin2x+
2 6 6
，x∈R.
把fx
π
的图象上所有的点向左平移 个单位长度，
12
π
得到函数图象的解析式为y=2sin 2x+
12
π
+
6
π
=2sin2x+
3
，x∈R；
1
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，
2
π
得到函数图象的解析式为y=2sin4x+
3
，x∈R.
故选：D
1271 (2024·全国·高三专题练习)函数fx =Asinωx+φ A>0,ω>0,0<φ<π 的部分图
象如图所示，则函数f(x)的解析式为 ( )
2π
A. f(x)= 3sin2x+
3
π
B. f(x)= 3sin2x+
3
x π
C. f(x)= 3sin +
2 3
D. fx
x 2π
= 3sin +
2 3
【答案】D
【解析】由图象可得-A=fx =- 3，可得A= 3，
min
∵f0
3 3
= 3sinφ= ，可得sinφ= ，
2 2
第 页 共 页
765 3427由于函数fx
2π
在x=0附近单调递减，且0<φ<π，∴φ= ，
3
由图象可知，函数fx
1 π 5π
T= <
4 2ω 3 3 3
的最小正周期T满足 ，可得 <ω< ，
1 π 5π 10 5
T= >
2 ω 3
5π
∵f
3
5πω 2π
= 3sin +
3 3
5πω 2π
=- 3，则sin +
3 3
=-1，
5ωπ 2π 3π
所以 + =2kπ+ k∈Z
3 3 2
6k 1
，解得ω= + k∈Z
5 2
，
3 3 1
∵ <ω< ，所以k=0，ω= ，因此fx
10 5 2
x 2π
= 3sin +
2 3
．
故选：D．
1272 (2024·北京通州·统考模拟预测)已知函数fx =2sinωx+φ ω>0，ϕ
π
<
2
的部分图
象如图所示，则fx 的解析式为 ( )
A. fx
π
=2sinx+
6
B. fx
π
=2sinx-
6
C. fx
π
=2sin2x+
3
D. fx
π
=2sin2x-
3
【答案】C
T π π
【解析】由图知： = --
2 3 6
π
= ，则T=π，故ω=2，
2
则fx =2sin2x+φ ，
π
由f
3
2π
=2sin +φ
3
2π
=0，则 +φ=kπ,k∈Z，
3
2π
所以φ=- +kπ，k∈Z，
3
又ϕ
π π
< ，故φ= ，
2 3
综上，fx
π
=2sin2x+
3
，
故选：C.
1273 (2024·宁夏·高三银川一中校考阶段练习)已知函数fx =Asinωx+φ ，A>0，ω>
0，φ
π
< 的部分图象如图所示，则函数的解析式为 .
2
第 页 共 页
766 3427【答案】fx
π
=2sin2x+
6
【解析】由图象得到fx 的最大值为2，所以A=2
11π
将点 ,0
12
、0,1 代入解析式fx =Asinωx+φ ，
11π
2sinω× +φ
12
=0
2sin0+φ
，因为ω>0，φ
=1
π π
< ，可得φ= ，ω=2
2 6
所以fx
π
=2sin2x+
6
故答案为：fx
π
=2sin2x+
6
．
1274 (2024·江苏南京·高三统考期中)设函数f(x)=2sin(ωx+φ)，(其中ω>0，|φ|<π)的部
分图象如图，则函数f(x)的解析式为f(x)= .
2 π
【答案】2sin x+
5 4
【解析】由f(x)过(0, 2)求φ的值，根据五点画法坐标求出ω，即可求出结论.∵f(x)过
2
点(0, 2)，∴f(0)=2sinφ= 2,sinφ=
2
π 3π
∵|φ|<π∴φ= ，或φ= ，
4 4
5π
函数在y轴右侧第一个最高点坐标为 ,2
8
π 5π π π 2
若φ= 时， ω+ = ,ω= ，
4 8 4 2 5
3π 5π 3π π 2
若φ= 时， ω+ = ,ω=- (舍去)，
4 8 4 2 5
第 页 共 页
767 34272 π
∴f(x)=2sin x+
5 4
.
2 π
故答案为:2sin x+
5 4
.
方向二：知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值)，求解函数解析式(即A,w,ϕ的值的确
定)
1275 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx =2cosωx+φ ω>0,φ
π
< 3 ，当fx 1 fx 2 =
-4时，x 1 -x 2
π
的最小值为 ，则ω= ；若将函数fx 4
π
的图象向左平移 个单位 6
长度后，所得图象在y轴上的截距为- 3，则fx
π π
在 ,
6 3
上的值域为 ．
【答案】 4 -2,0
【解析】易知fx =2cosωx+φ 的最大值和最小值分别为2和-2，
因为fx 1 fx 2 =-4，所以x 1 、x 2 一个为fx 的最大值点，
一个为fx 的最小值点，
设函数fx 的最小正周期为T，则由x 1 -x 2
π
的最小值为 ， 4
T π π 2π
得 = ，所以T= ，则ω= =4，
2 4 2 T
所以fx =2cos(4x+φ)．
将函数fx
π
的图象向左平移 个单位长度后，
6
π
所得图象对应的函数为g(x)=2cos 4x+
6
+φ
2π
=2cos4x+ +φ
3
，
2π
令x=0，则2cos +φ
3
=- 3，
2π
可得cos +φ
3
3
=- ，
2
π π π 2π
∵- <φ< ，所以， < +φ<π，
3 3 3 3
2π 5π π
所以 +φ= ，所以φ= ，
3 6 6
所以fx
π
=2cos4x+
6
，
π π
若x∈ ,
6 3
π 5π 3π
，则4x+ ∈ ,
6 6 2
，
π
则-1≤cos4x+
6
≤0，则-2≤fx ≤0.
故fx
π π
在 , 6 3 上的值域为-2,0 ．
故答案为：4；-2,0 ．
1276 (2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)某函数f(x)满足以下三个条件：
①g(x)=f(x)-1是偶函数；②g(2-x)+g(x)=0；③f(x)的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数f(x)的解析式 ．
【答案】fx
π
=3cos x+1(答案不唯一)
2
【解析】因为g(x)=f(x)-1是偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，
因为g(2-x)+g(x)=0，所以f(2-x)-1+f(x)-1=0，即f(2-x)+f(x)=2
所以f(x)的图象关于点(1,1)对称，所以4为f(x)的一个周期，
又f(x)的最大值为4，所以fx
π
=3cos x+1满足条件.
2
第 页 共 页
768 3427故答案为：fx
π
=3cos x+1(答案不唯一)
2
π
1277 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，f-
8
=1，且
5π
f
8
=0，写出一个满足条件的函数f(x)的解析式： .
π
【答案】f(x)=sin2x-
4
(答案不唯一)
π
【解析】∵f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，f-
8
5π
=1，且f
8
=0，
T kT 5π π
∴ + = --
4 2 8 8
3π
= ，k∈N，
4
3π
∴T= ，k∈N，
2k+1
π
令k=1，T=π，ω=2，2×-
8
π
+φ=mπ+ ，m∈Z，
2
π π
令m=-1，φ=- ，f(x)=sin2x-
4 4
.
π
故答案为：f(x)=sin2x-
4
(答案不唯一).
1278 (2024·河北·校联考模拟预测)已知函数fx =sinωx+φ ω>0,0<φ<π 的图象过点
π
,0
3
，且相邻两个零点的距离为π.若将函数fx
π
的图象向左平移 个单位长度得到
3
gx 的图象，则函数gx 的解析式为 .
【答案】gx =-sinx
【解析】∵fx 的相邻两个零点的距离为π，∴fx 的最小正周期T=2π，∴ω=1；
π
又f
3
π
=sin +φ
3
π
=0，∴ +φ=kπk∈Z
3
π
，解得：φ=kπ- k∈Z
3
，
2π
又0<φ<π，∴ϕ= ，∴fx
3
2π
=sinx+
3
，
∴gx
π
=fx+
3
=sinx+π =-sinx.
故答案为：gx =-sinx.
1279 (2024·全国·高三专题练习)已知fx =sinωx+φ ω>0,0<φ<π
π
，满足fx-
3
+
f-x
2π
=0，f +x
3
=f-x ，且fx 在0,π 上有且仅有5个零点，则此函数解析式
为fx = ．
5π
【答案】sin5x+
6
π
【解析】因为fx-
3
π
+f(-x)=0，令t=x- ，
6
π
则ft-
6
π
=-f-t-
6
π
，即fx-
6
π
=-f-x-
6
，
π
所以- ，0
6
是f(x)图像的对称中心，
2π
又fx+
3
π
=f(-x)，令t=x+ ，
3
π
则ft+
3
π
=f -t
3
π
，即f +x
3
π
=f -x
3
，
π
所以x= 是f(x)图像的对称轴，
3
第 页 共 页
769 3427π
- ω+φ=kπ，k ∈Z
6 1 1 π π
所以 ，得 ω=(k -k)π+ ，
π π 2 2 1 2
ω+φ=k π+ ，k ∈Z
3 2 2 2
令k=k -k ，则k∈Z，所以ω=2k+1，
2 1
2π
因为f(x)在(0，π)上有且只有5个零点，所以2T<π<3T，又T= ，ω>0，
ω
4π 6π 5π
即 <π< ，所以4<ω<6，得ω=5，代入上式，得- +φ=kπ，
ω ω 6 1
5π 5π
又0<φ<π，所以φ= ，所以f(x)=sin5x+
6 6
.
5π
故答案为：sin5x+
6
1280 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0≤φ<2π)满
足f(2+x)=f(2-x)，其图象与x轴在原点右侧的第一个交点的坐标为(6,0)，则函数y
=f(x)的解析式为 .
π π
【答案】f(x)=sin x+
8 4
π 5π
或f(x)=sin x+
8 4
【解析】因为fx 满足f(2+x)=f(2-x)，所以fx 图象关于x=2对称，
因为fx 图象与x轴在原点右侧的第一个交点的坐标为(6,0)，
所以T=46-2
2π 2π π
=16，所以ω= = = ，
T 16 8
π
所以f(6)=sin ×6+φ
8
3π
=0即sin +φ
4
3π
=0，所以 +φ=kπ，k∈Z，
4
3π
解得：φ=kπ- ，k∈Z，
4
π 5π
因为0≤φ<2π，所以k=1,φ= 或k=2,φ=
4 4
π π
所以f(x)=sin x+
8 4
π 5π
或f(x)=sin x+
8 4
.
π π
故答案为：f(x)=sin x+
8 4
π 5π
或f(x)=sin x+
8 4
.
1281 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)= 3sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)(ω>0，0<ϕ<
π
π)为偶函数，且函数y=f(x)的图像的两条对称轴之间的最小距离为 ，则f(x)的解析
2
式为 .
【答案】f(x)=2cos2x
【解析】∵函数f(x)= 3sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)，
π
∴f(x)=2sinωx+ϕ-
6
，
2π π
由题意得 =2× ，
ω 2
π
∴ω=2，则f(x)=2sin2x+ϕ-
6
.
∵f(x)为偶函数，
π
∴f(0)=2sinϕ-
6
=±2，
π π
∴ϕ- =kπ+ ，k∈Z，
6 2
又∵0<ϕ<π，
π π
故ϕ- = ，
6 2
第 页 共 页
770 3427π
即f(x)=2sin2x+
2
，
∴f(x)=2cos2x.
故答案为：f(x)=2cos2x
1282 (2024·上海虹口·统考一模)设函数fx =cosωx+φ (其中ω>0,ϕ
π
< ),若函数y=
2
fx
π π
图象的对称轴x= 与其对称中心的最小距离为 ,则fx
6 8
= ．
π
【答案】cos4x+
3
【解析】解:由题知,因为fx
π
对称轴与对称中心的最小距离为 ,
8
T π π
所以 = ,即T= ,
4 8 2
2π
所以ω= =4,此时fx
T
=cos4x+φ ,
π
因为对称轴为x= ,
6
π
故有:4⋅ +φ=kπ,k∈Z,
6
2π
即φ=- +kπ,k∈Z,
3
因为ϕ
π
< ,
2
π
所以φ= ,
3
故fx
π
=cos4x+
3
.
π
故答案为:cos4x+
3
【解题方法总结】
根据函数必关于y轴对称，在三角函数中联想到y=coswx的模型，从图象、对称轴、对称
中心、最值点或单调性来求解．
9 题型九：三角函数图像变换
1283 (2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习)如图，函数fx =
2sinωx+φ
π
ω>0,|φ|<
2
π
的图像过 ,0
2
,2π,2 两点，为得到函数gx =
2cosωx-φ 的图像，应将fx 的图像 ( )
7π 7π
A.向右平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度
6 6
5π 5π
C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度
2 2
【答案】D
第 页 共 页
771 3427π
【解析】T=2π-
2
2π 2π 1
×4=6π ∴ω= = = ∴fx
T 6π 3
1
=2sin x+φ
3
代入2π,2
2π
得2sin +φ
3
2π
=2 即 sin +φ
3
=1
2π π π
+φ= +2kπ,k∈Z⇒φ=- +2kπ,k∈Z
3 2 6
∵φ
π π
< ∴k=0 即 φ=-
2 6
∴fx
1 π
=2sin x-
3 6
对于A选项，
1 7π
2sin x-
3 6
π
-
6
1 7π π
=2sin x- -
3 18 6
1 5π
=2sin x-
3 9
1 19π π
=2sin x- +
3 18 2
1 19π
=2cos x-
3 18
,故A错误
对于B选项
1 7π
2sin x+
3 6
π
-
6
1 7π π
=2sin x+ -
3 18 6
1 2π
=2sin x+
3 9
1 5π π
=2sin x- +
3 18 2
1 5π
=2cos x-
3 18
，故B错误
对于C选项
1 5π
2sin x-
3 2
π
-
6
1 5π π
=2sin x- -
3 6 6
1
=2sin x-π
3
1
=-2sin x，故C错误
3
对于D选项，
1 5π
2sin x+
3 2
π
-
6
1 5π π
=2sin x+ -
3 6 6
1 2π
=2sin x+
3 3
1 π π
=2sin x+ +
3 6 2
1 π
=2cos x+
3 6
，故D正确
故选：D
1284 (2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)将函数y=sin2x的图象向右平移φ
π
个单位长度后，得到函数y=cos2x+
6
的图象，则φ的值可以是 ( )
π π π 2π
A. B. C. D.
12 6 3 3
【答案】D
π
【解析】因为y=cos2x+
6
π π
=sin2x+ +
6 2
2π
=sin2x+
3
，
将函数y=sin2x的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数y=sin 2x-φ =
sin2x-2φ 的图象，
2π
由题意可得 =2kπ-2φk∈Z
3
π
，可得φ=kπ- k∈Z
3
2π
，当k=1时，φ= ，
3
故选：D.
1285 (2024·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试)已知把函数f(x)=
π
sinx+
3
1 π
cosx的图象向右平移φ个单位长度，可得函数y= cos2x+
2 6
3
+ 的图
4
象，则φ的最小正值为 ( )
π π 5 π
A. B. C. π D.
4 6 6 3
【答案】C
第 页 共 页
772 3427【解析】由题知，
π
∵f(x)=sinx+
3
cosx
π π
=sinxcos +cosxsin
3 3
cosx
1 3
= sinxcosx+ cos2x
2 2
1 3 1+cos2x
= sin2x+ ⋅
4 2 2
1 π
= sin2x+
2 3
3
+ ，
4
1 π
且y= cos2x+
2 6
3
+
4
1 π π
= sin2x+ +
2 2 6
3
+ ，
4
π
∴sin 2(x-φ)+
3
π π
=sin2x+ +
2 6
，
π π π
即2(x-φ)+ =2x+ + +2kπ(k∈Z)，
3 2 6
π
解得φ=-kπ- (k∈Z)，当k=-1时，φ取得最小正值，
6
π 5π
φ=π- = .
6 6
故选：C.
4π
1286 (2024·全国·高三专题练习)为了得到函数y=sin2x+
3
的图象，只需将函数y=
π
sin2x+
6
的图象 ( )
7π 7π
A.向左平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度
12 6
7π 7π
C.向右平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
12 6
【答案】A
4π
【解析】由题意，由于函数y=sin2x+
3
π 7π
=sin2x+ +
6 6
7π
=sin 2x+
12
π
+
6
，
π
观察发现可由函数y=sin2x+
6
7π
向左平移 个单位长度，得到函数y=
12
4π
sin2x+
3
的图象，
故选：A.
π
1287 (2024·青海西宁·统考二模)为了得到函数y=sin4x+
6
图象，只要将y=sinx的图象
( )
π 1
A.向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不
6 4
变
π
B.向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不
3
变
π 1
C.向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不
3 4
变
π
D.向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
6
【答案】A
第 页 共 页
773 3427π π
【解析】只要将y=sinx的图象向左平移 个单位长度，得到函数y=sinx+
6 6
的图
象，
1 π
再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数y=sin4x+
4 6
的图象，即A正确；
π
将y=sinx的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来
3
1 π
的4倍，纵坐标不变，得到的是函数y=sin x+
4 3
的图象，故B错误；
π
将y=sinx的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来
3
1 π
的 ，纵坐标不变，得到的是函数y=sin4x+
4 3
的图象，故C错误；
π
将y=sinx的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来
6
1 π
的4倍，纵坐标不变，得到的是函数y=sin x+
4 6
的图象，故D错误；
故选：A
1288 (2024·全国·高三专题练习)若要得到函数fx
π
=sin2x+
6
的图象，只需将函数gx
π
=cos2x+
3
的图象 ( )
π π
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
6 6
π π
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
3 3
【答案】D
π
【解析】因为sin2x+
6
π π
=cos2x+ -
6 2
π
=cos2x-
3
，
故将已知转化为要得到函数fx
π
=cos2x-
3
的图象，
π
又cos2x-
3
π
=cos 2x-
3
π
+
3
，
所以将gx
π
的图象向右平移 个单位长度即可得到fx
3
的图象.
故选：D
1289 (2024·陕西·统考模拟预测)已知函数fx =Asinωx+φ A>0,ω>0,-π<φ<0 的部
分图象如图所示，则下列说法正确的是 ( )
第 页 共 页
774 3427A.将函数y=fx
π
的图象向左平移 个单位长度得到函数gx
3
=Acosωx的图象
B.将函数y=fx
π
的图象向右平移 个单位长度得到函数gx
3
=Acosωx的图象
C.将函数y=fx
π
的图象向左平移 个单位长度得到函数gx
6
=Acosωx的图象
D.将函数y=fx
π
的图象向右平移 个单位长度得到函数gx
6
=Acosωx的图象
【答案】A
【解析】由图象可知，函数fx
π π
的最小正周期为T=2 +
3 6
2π
=π，则ω= =2，A=
π
2，
π
f
3
2π
=2sin +φ
3
2π π
=2，则 +φ= +2kπk∈Z
3 2
π
，可得φ=2kπ- k∈Z
6
，
π
∵-π<φ<0，所以，φ=- ，
6
所以，fx
π
=2sin2x-
6
π π
=2cos2x- -
6 2
2π
=2cos2x-
3
，
因此，将函数y=fx
π
的图象向左平移 个单位长度得到函数gx
3
=2cos2x的图象.
故选：A.
π
1290 (2024·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知曲线C:y=sin +2x
1 2
,C :y=
2
5π
-cos -3x
6
，则下面结论正确的是 ( )
3 π
A.把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
1 2 6
个单位长度，得到曲线C
2
3 π
B.把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
1 2 18
个单位长度，得到曲线C
2
2 π
C.把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个
1 3 18
单位长度C
2
2 π
D.把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个
1 3 6
单位长度，得到曲线C
2
【答案】C
π
【解析】曲线C:y=sin +2x
1 2
=cos2x，
第 页 共 页
775 34272
把C:y=cos2x上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，可得y=cos3x的图象；
1 3
π π
再把得到的曲线向左平移 个单位长度，可以得到曲线C :y=cos +3x
18 2 6
=
5π
-cos -3x
6
的图象.
故选：C.
1291 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx
π
=cos2x-
3
，gx =sin2x，将函数fx 的
图象经过下列哪种可以与gx 的图象重合 ( )
π π
A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位
12 6
π π
C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位
12 6
【答案】C
【解析】fx
π
=cos2x-
3
π π
=sin2x- +
3 2
π
=sin2x+
6
π
=sin 2x+
12
，
将函数fx
π π
的图象向右平移 个单位：fx-
12 12
=sin2x=gx ；
故选：C
【解题方法总结】
由函数y=sinx的图像变换为函数y=Asin(wx+ϕ)+b(A,w>0)的图像．
方法：(x→x+ϕ→wx+ϕ)先相位变换，后周期变换，再振幅变换．
向左平移Φ个单位(Φ>0)
y=sinx的图像
向左平移Φ
→y=sin(x+ϕ)的图像
个单位(Φ<0)
Φ
向左平移 个单位(Φ>0)
ϖ
Φ
向左平移
ϖ
→
个单位(Φ<0)
所有点的纵坐标变为原来的A倍
y=sin(wx+ϕ)的图像 →
横坐标不变
向上平移b个单位(b>0)
y=Asin(wx+ϕ)的图像
向下平移b
→y=Asin(wx+ϕ)+b
个单位(b<0)
10 题型十：三角函数模型
1292 (2024·江西赣州·高三校联考阶段练习)如图，摩天轮的半径为50m，其中心O点距离地
面的高度为60m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20min转一圈，若摩天轮上点P的起
始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是 ( )
A.转动10min后点P距离地面8m
1
B.若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
2
C.第17min和第42min点P距离地面的高度相同
20
D.摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于85m的时间长为 min
3
第 页 共 页
776 3427【答案】D
【解析】设转动过程中，点P离地面距离的函数为：
ft =Asinωt+φ +h，
2π π
由题意得：A=50,h=60,T=20,ω= = ，
20 10
f0
π
=50sinφ+60=110，则 φ= ，
2
所以 ft
π π
=50sin t+
10 2
+60，
选项A，转到10min后，点P距离地面的高度为：
f10
π π
=50sin ×10+
10 2
+60=10，故A不正确；
选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，
故B不正确；
选项C，因为 f17
π π
=50sin ×17+
10 2
+60
7π 3π
=-50cos +60=50cos +60 ，
10 10
f42
π π
=50sin ×42+
10 2
π
+60=50cos +60，
5
所以 f17 ≠f42 ，
即第17min和第42min点P距离地面的高度不相同，故C不正确；
选项D，令ft
π π
=50sin t+
10 2
+60≥85，
π 1 π π π
则 cos t≥ ，由- +2kπ≤ t≤2kπ+ ,k∈Z，
10 2 3 10 3
10 10
解得 - +20k≤t≤20k+ ,k∈Z，
3 3
10 10
所以 --
3 3
20
= ，
3
20
即摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于85m的时间为 min，
3
故D正确；
故选：D.
1293 (2024·全国·高三专题练习)2019年长春市新地标--“长春眼”在摩天活力城Mall购物
中心落成，其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m，
摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知
在时刻t(min)时P距离地面的高度ft =Asinωt+φ +h ω>0,φ <π ，当距离地面
的高度在60+20 3 m以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个
城市全貌的时间约为 ( )
A.2.0min B.2.5min C.2.8min D.3.0min
第 页 共 页
777 3427【答案】B
【解析】由题意可知摩天轮运动一周距离底面的最高点为(60+40)米与最低点(60-
40)米，相差80米，
80 100+20 2π 2π
∴A= =40,h= =60；运动一周15分钟，即 =15,∴ω= ；
2 2 ω 15
由f0
π
=20，可得φ=- ，故ft
2
2π π
=40sin t-
15 2
+60.
要看到全景需ft
35 25
≥60+20 3，解之得： ≥t≥ ，故时间长为2.5min.
4 4
故选：B
1294 (2024·重庆·高三统考阶段练习)某钟表的秒针端点A到表盘中心O的距离为5cm，秒
针绕点O匀速旋转，当时间t=0时，点A与表盘上标“12”处的点B重合．在秒针正常旋
转过程中，A，B两点的距离d(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式为 ( )
π
A.d=10sin t(t≥0)
60
π
B.d=10cos t(t≥0)
60
π
10sin t,120k≤t≤60+120k,k∈N
60
C.d=
π
-10sin t,60+120k0,φ
π
<
2
，则ft 的表达式为 ( )
第 页 共 页
778 3427π π
A.y=sin t+
4 3
π π
B.y=sin t-
4 3
π π
C.y=2sin t+
4 3
π π
D.y=2sin t-
4 3
【答案】D
【解析】因点A1,- 3 在水车上，所以R= 12+- 3 2=2.
由题可知ft
2π
的最小正周期为8，则
ω
π
=8，又ω>0，则ω= .
4
因f0 =- 3，则2sinφ=- 3，又φ
π π
< ，故φ=- .
2 3
综上：ft
π π
=2sin t-
4 3
.
故选：D
1296 (2024·全国·高三专题练习)一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转
一周.它的最低点P 离地面2m，风车翼片的一个端点P从P 开始按逆时针方向旋转，点
0 0
P离地面距离hm 与时间tmin 之间的函数关系式是 ( )
A.ht
π
=-8sin t+10 B.ht
6
π
=8sin t+2
6
C.ht
π
=-8cos t+10 D.ht
6
π
=8cos t+10
6
【答案】C
【解析】以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为y轴，该直线与地面的交点为原
点，建立坐标系，如图，
第 页 共 页
779 3427依题意，设函数解析式为h(t)=Asin(ωx+φ)+B,(A>0,ω>0)，
h(t) -h(t) h(t) +h(t)
显然h(t) =2,h(t) =18，则A= max min =8，A= max min =10，
min max 2 2
2π π
函数f(x)的周期T=12，则ω= = ，因当t=0时，f(t) =2，即有sinφ=-1，则φ
T 6 min
π
=2kπ- ,k∈Z，
2
π π
于是得h(t)=8sin t+2kπ-
6 2
π
+10=-8cos t+10,k∈Z，
6
所以点P离地面距离hm 与时间tmin 之间的函数关系式是ht
π
=-8cos t+10.
6
故选：C
【解题方法总结】
(1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合
思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问
题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题
第 页 共 页
780 3427
