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第 8 讲 幂函数与二次函数
知识梳理
1、幂函数的定义
一般地， ( 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为
常数的函数称为幂函数.
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
① 的系数为1； ② 的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在 上单调 在 和
在 上单 在 上单调递 在 上单调
单调性 递减，在 上单调递
调递增 增 递增
上单调递增 减
公共点
4、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： ；
（2）顶点式： ；其中， 为抛物线顶点坐标， 为
对称轴方程.
（3）零点式： ，其中， 是抛物线与 轴交点的横坐
标.
5、二次函数的图像
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二次函数 的图像是一条抛物线，对称轴方程为 ，顶
点坐标为 .
（1）单调性与最值
①当 时，如图所示，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上
递增，当 时， ；
②当 时，如图所示，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上
递减，当 时，
（2）与 轴相交的弦长
当 时，二次函数 的图像与 轴有两个交点
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和 ， .
6、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数 ，当 时， 在区间 上的最大值是 ，
最小值是 ，令 ：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 ；
（4）若 ，则 .
【解题方法总结】
1、幂函数 在第一象限内图象的画法如下：
①当 时，其图象可类似 画出；
②当 时，其图象可类似 画出；
③当 时，其图象可类似 画出．
2、实系数一元二次方程 的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
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（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3、一元二次方程 的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴 与区间端点的关系；（4）区间
端点函数值的正负.
设 为实系数方程 的两根，则一元二次
的根的分布与其限定条件如表所示.
根的分布 图像 限定条件
y
在区间
内 m n x
O
没有实根
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y
O m n x
y
O m n x
y
O m n x
y
m n
O x
y
n
在区间 O m x
内
有且只有一个
y
实根
m n
x
O
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y
在区间
内
有两个不等实
m
根 n x
O
4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题
——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区
间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：
①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与
区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及
区间端点函数值正负.
必考题型全归纳
题型一：幂函数的定义及其图像
【例1】（2024·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数
是幂函数，且在 上递减，则实数 （ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】A
【解析】因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
又因为 在 上单调递减，则 .
故选：A
【对点训练1】（2024·海南·统考模拟预测）已知 为幂函数，则
（ ）．
A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减
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C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递减
【答案】B
【解析】因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
所以 或 ，
对于 ，函数在 上单调递增，在 上单调递减；
对于 ，函数在 上单调递减，且为奇函数，故在 上单调递减；
故只有B选项“ 在 上单调递减”符合这两个函数的性质．
故选：B
【对点训练2】（2024·河北·高三学业考试）已知幂函数 的图象过点 ，则
的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】B
【解析】设幂函数为 ，图象过点 ，故 ，故 ，
， .
故选：B
【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）幂函数 中a的取值集合C是
的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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【解析】当 时， 定义域和值域均为 ，符合题意；
时， 定义域为 ，值域为 ，故不合题意；
时， 定义域为 ，值域为 ，符合题意；
时， 定义域与值域均为R，符合题意；
时， 定义域为R，值域为 ，不符合题意；
时， 定义域与值域均为R，符合题意.
故选：C
【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）已知幂函数 （ 且 互质）的
图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【解析】因为函数 的定义域为 ，且在 上单调递减，
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所以 0，
因为函数 的图象关于y轴对称，
所以函数 为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
【解题方法总结】
确定幂函数 的定义域，当 为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，
或为则被开方式非负.当 时，底数是非零的.
题型二：幂函数性质的综合应用
【例2】（2024·吉林长春·高三校考期中）已知幂函数 的图象关于
原点对称，则满足 成立的实数a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因函数 是幂函数，则 ，解得 或 ，
当 时， 是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知 的图象关于原点对称矛
盾，
当 时， 是奇函数，其图象关于原点对称，于是得 ，
不等式 化为： ，即 ，解得： ，
所以实数a的取值范围为 .
故答案为：
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【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②
图象是一条直线；③若函数 的定义域是 ，则它的值域是 ；④
若函数 的定义域是 ，则它的值域是 ；⑤若函数 的值域是
，则它的定义域一定是 ．其中不正确命题的序号是________．
【答案】②③④⑤
【解析】幂函数图象不过第四象限，①正确； 图象是直线 上去掉点 ，②错
误；函数 的定义域是 ，则它的值域是 ，③错误；函数 的
定义域是 ，则它的值域是 ，④错误；若函数 的值域是
，则它的定义域也可能是 ，⑤错误，
故答案为：②③④⑤．
【对点训练6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知 ， ，若对
， ， ，则实数 的取值范围是_________.
【答案】
【解析】因为对 ， ， ，
所以只需 即可，
因为 ， ，
所以 ， ，
由 ，
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解得
故答案为： .
【对点训练7】（2024·福建三明·高三校考期中）已知 ，则实数
的取值范围是___________
【答案】
【解析】 已知 ， 或 ①；
， ②；
， ③．
综合①②③，求得实数 的取值范围为 ．
故答案为： ﹒
【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 的值域
为 ，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由函数 单调递增，
①当 时，若 ，有 ，
而 ，此时函数 的值域不是 ；
②当 时，若 ，有 ，而 ，
若函数 的值域为 ，必有 ，可得 ．
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则实数 的取值范围为 ．
故答案为：
【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）不等式 的解集为：
_________．
【答案】
【解析】不等式变形为 ，
所以 ，
令 ，则有 ，
因为函数 在R上单调递增，
所以 在R上单调递增，
则 ，解得 ，
故不等式的解集为 ．
故答案为： .
【对点训练10】（2024·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数 ，
若 ，则a的取值范围是__________.
【答案】
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【解析】由幂函数 ，可得函数 的定义域为 ，且是递减函
数，
因为 ，可得 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知 ，若幂函数
奇函数，且在 上为严格减函数，则 __________.
【答案】-1
【解析】因为幂函数 在 上为严格减函数，
所以 ，
所以 ，
又因为幂函数 奇函数，且 ，
所以 ，
故答案为：-1
【解题方法总结】
紧扣幂函数 的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这
里注意 为奇数时， 为奇函数， 为偶数时， 为偶函数.
题型三：二次方程 的实根分布及条件
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【例3】（2024·全国·高三专题练习）关于x的方程 有两个实数根
， ，且 ，那么m的值为（ ）
A． B． C． 或1 D． 或4
【答案】A
【解析】 关于x的方程 有两个实数根，
，
解得： ，
关于x的方程 有两个实数根 ， ，
， ，
，即 ，
解得： 或 舍去
故选：A.
【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）设a为实数，若方程 在区间
上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令 ，
由方程 在区间 上有两个不相等的实数解可得
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，即 或 ，
解得 ，
故选：C
【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）方程 的一根在区间
内，另一根在区间 内，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间 内，
另一根在区间（3，4）内，
只需 ，即 ，
解不等式组可得 ，即 的取值范围为 ，
故选：C.
【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）关于 的方程 有两个不
相等的实数根 ，且 ，那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
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【解析】当 时， 即为 ，不符合题意；
故 ， 即为 ，
令 ，
由于关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，且 ，
则 与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故 时， ，即 ，解得 ，故 ，
故选：D
【解题方法总结】
结合二次函数 的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于
参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【例4】（2024·上海·高三专题练习）已知 .
(1)若 ， ，解关于 的不等式 ；
(2)若 ， 在 上的最大值为 ，最小值为 ，求证： .
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
又因 ，所以 ，
所以 ，
则不等式 即为 ，
即 ，
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若 ，则不等式的解集为 ；
若 ，则不等式的解集为 ；
若 ，
当 时，则不等式的解集为 ；
当 时，则不等式的解集为 ；
当 时，则不等式的解集为 ；
（2）若 ，则 ， ，
当 时，
则 无解，
所以 ；
若 时，由 ，得 ，
对称轴为 ，假设 ， ， ，
区间 ， 在对称轴的左外侧或右外侧，所以 在 ， 上是单调函数，
则 的最值必在 ， 处取到，
， ， ，
所以假设错误，则 ，
综上，得到 .
【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，
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且 时， ， .
(1)求 在区间 上的解析式；
(2)若对 ，则 ，使得 成立，求 的取值范围.
【解析】(1)设 ，则 ， ，
即当 时， .
(2)当 时， ；当 时， ；
又因为 ，所以，函数 在 上的值域为 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ， ，
因为 ，则 ，使得 成立，则 ，解得
.
【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)利用函数单调性的定义证明 是单调递增函数；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由已知可得 的定义域为 ，
任取 ，且 ，
则 ，
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因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 在 上是单调递增函数．
（2） ，
令 ，则当 时， ，
所以 ．
令 ， ，
则只需 ．
当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，与 矛盾，舍去；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递
增，
所以 ，解得 ；
当 即 时， 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，与 矛盾，舍去．
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综上，实数 的取值范围是 ．
【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，解关于x的不等式 ；
(2)函数 在 上的最大值为0，最小值是 ，求实数a和t的值．
【解析】（1）当 时，不等式 ，
即为 ，
即 ，所以 ，
所以 或 ，
所以原不等式的解集为 ．
（2） ，
由题意 或 ，这时 解得 ，
若 ，则 ，所以 ；
若 ，即 ，
所以 ，则 ，
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综上， 或 ．
【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知值域为 的二次函数 满足
，且方程 的两个实根 满足 ．
(1)求 的表达式；
(2)函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，求实数 的取
值范围．
【解析】（1）由 ，可得 的图象关于直线 对称，
函数 的值域为 ，所以二次函数的顶点坐标为 ，
所以设 ，
根据根与系数的关系，可得 ， ，
因为方程 的两个实根 满足
则 ，
解得： ，所以 .
（2）由于函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，
则函数 在区间 上单调递增，
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又 ，即 ，
所以 的对称轴方程为 ，则 ，即 ，
故 的取值范围为 .
【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 为偶函
数.
（1）求 的值；
（2）设函数 ，是否存在实数 ，使得函数 在区间 上的最小值
为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意知函数 的定义域为 ，
因为 为偶函数，所以 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
所以 ，解得 .
（2）由（1）知 所以 ，
令 ，则 ，其对称轴为 ，
①当 ，即 时， 在 上单调递减，
所以 ，
由 ，
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解得 ，此时不满足 ，此时不存在符合题意的 值；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递
增，
所以 ，
由 ，解得 或 ，又 ，所以 ；
③当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，
由 ，解得 ，不满足 ，此时不存在符合题意的 值.
综上所述，存在 ，使得函数 在区间 上的最小值为 .
【解题方法总结】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区
间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
题型五：二次函数最大值的最小值问题
【例5】（2024·湖南衡阳·高一统考期末）二次函数 为偶函数， ，且
恒成立．
(1)求 的解析式；
(2) ，记函数 在 上的最大值为 ，求 的最小值．
【解析】（1）依题设 ，
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由 ，得 ，
，得 恒成立，
∴ ，
得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
∴ ；
（2）由题意可得： ， ，
若 ，则 ，则 在[0,1]上单调递增，
所以 ；
若 ，当 ，即 时， 在[0,1]上单调递增，
当 ，只须比较 与 的大小，
由 ，得： ，此时 ，
时， ，此时 ，
综上， ，
时， ，
时， ，
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时， ，
综上可知： 的最小值为 ．
【对点训练20】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，当
时，设 的最大值为 ，求 的最小值．
【解析】令 ，分别取 ，1，2，可得 ，
， ．
由 ，利用绝对值三角不等式可得
，因此
当 ， 时， ，当且仅当 时取等号，而 ，
得 在 上的最大值为 ，说明等号能成立．
故 的最小值为 ．
【对点训练21】（2024·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考期中）已知函数
，
(1)当 时，①求函数 单调递增区间；②求函数 在区间 的值域；
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(2)当 时，记函数 的最大值为 ，求 的最小值．
【解析】（1）当 时，函数 ，
当 时，函数 ，
此时，函数 在 上单调递增，
当 时，函数 ，
此时，函数 在 上单调递增，
所以函数 单调递增区间为 和 ；
因为函数 单调递增区间为 和 ，
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递
增，
所以 ， ，
因为 ， ，
， ，
所以函数 在区间 的值域为 ；
（2）由已知可得， ，
当 时，即 时， ，对称轴为 ，
当 时，即 时，函数 在区间 上单调递增，
所以 ，
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当 时，即 时，
函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 ，
当 时，即 时，若 ， ，若 ， ，
因为当 时， ，对称轴为 ，
所以函数 在区间 上单调递增，所以 ，
当 ，即 时，此时 ，
当 ，即 时，
函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上
单调递增，
所以 ，
当 ，即 时，
函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上
单调递增，
所以
若 ，即 时， ，
若 ，即 时， ，
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综上所述， ，
函数 在区间 上单调递减，
函数 在区间 上单调递减，
函数 在区间 上单调递增，
所以 .
【对点训练22】（2024·浙江·高一校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，解方程 ；
(2)当 时，记函数 在 上的最大值为 ，求 的最小值．
【解析】（1）当 时，令 ．
当 时， ，解得：
当 时， ，解得：
故方程的解为： 和1；
（2） ，其中 ，
因为 对称轴为 ，开口向下； 对称轴为 ，
开口向上，于是最大值在 中取得．
当 ，即 时， 在 上单调递减． ；
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当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
；
当 ，即 时， 在 上单调递减， 上单调递增，在 上单
调递减，
；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
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