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第 13 讲 函数模型及其应用
知识梳理
1、几种常见的函数模型：
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数且a≠0)
反比例函数模型 k
f(x)= +b(k， 为常数且
x b a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2 +bx+c(a，b， 为常数且a≠0)
c
指数函数模型 f(x)=bax +c(a，b，
c
为常数，b≠0，
，
对数函数模型 f(x)=blog
a
x+c(a，b，c为常数，b≠0，
，
幂函数模型 f(x)=axn +b(a，b为常数，a≠0)
2、解函数应用问题的步骤：
（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识
建立相应的数学模型；
（3）解模：求解数学模型，得出结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
必考题型全归纳
题型一：二次函数模型，分段函数模型
【例1】（2024·全国·高三专题练习）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行
一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要
依据.在一个限速为 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹
车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过 ，乙车的刹车距离略超
过 .已知甲车的刹车距离 与车速 之间的关系为 ，乙车的刹
车距离 与车速 之间的关系为 .请判断甲、乙两车哪辆车有超速
现象（ ）
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A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速
C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速
【对点训练1】（2024·全国·高三专题练习）如图为某小区七人足球场的平面示意图，
为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线 米的 点处接球，此时
，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点 处射门，为获得最佳
的射门角度（即 最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练2】（2024·云南·统考二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件
5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
数
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这
种玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机
遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产 万件该产品，需另
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投入成本 万元.其中 ，若该公司一年内生产该产品全
部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（ ）
A．720万元 B．800万元
C．875万元 D．900万元
【解题方法总结】
1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，
将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点
值．
2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏．
题型二：对勾函数模型
【例2】（2024·全国·高三专题练习）某企业投入 万元购入一套设备，该设备每年的运
转费用是 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 万元，由于设备
老化，以后每年的维护费都比上一年增加 万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需
要更新设备的年数为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来
一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月
起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x
万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式 已知网店每月固
定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为
“进货价的 ”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最
大月利润是___________万元.
【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常
是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的
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欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中 ， ，
曲线段 是圆心角为 的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为 ，周长为 ，则 的最
大值为___________．（本题中取 进行计算）
【对点训练6】（2024·全国·高三专题练习）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形
式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形
截去同心扇形 所得部分．已知扇环周长 ，大扇形半径 ，设小扇
形半径 ， 弧度，则
① 关于x的函数关系式 _________．
②若雕刻费用关于x的解析式为 ，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为
________．
【解题方法总结】
1、解决此类问题一定要注意函数定义域；
b
f (x)=ax+
x
2、利用模型 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型
【例3】（2024·全国·高三专题练习）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘
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帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企
业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增
长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，
资金的年平均增长率应为（参考值： ）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【对点训练7】（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）近年来，天然气表观消费量
从2006年的不到 m3激增到2021年的 m3. 从2000年开始统计，记k表示
从2000年开始的第几年， ， .经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间
的变化情况符合 ，其中 是从2000年后第k年天然气消费量， 是2000年
的天然气消费量， 是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为
m3，2018年的天然气消费量为 m3，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气
消费量约为（ ）
（参考数据： ，
A． m3 B． m3
C． m3 D． m3
【对点训练8】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红
蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环
的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般情况下不低于 ，否则为供养不足.在环境
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模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型: 描述血氧饱和度 （单位 ）随
机给氧时间 （单位:时）的变化规律，其中 为初始血氧饱和度， 为参数.已知 ，
给氧1小时后，血氧饱和度为 ，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要
（ ）小时.（参考数据: ）
A． B． C． D．
【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、
警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语
言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、
性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害
的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测
得的信息素浓度y满足 ，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1
秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米
的位置，信息素浓度为 ，则b＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属
性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率 与其体
重 满足 ，其中 和 为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增
长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则 为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的
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一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型．
2、在解决指数型函数、对数型函数、幂函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确
定函数解析式，再借助函数图像求解最值问题．
题型四：已知函数模型的实际问题
【例4】（2024·全国·高三专题练习）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：
，其中 为时间（单位： ）， 为环境温度， 为物体初始温度，
为冷却后温度），假设在室内温度为 的情况下，一桶咖啡由 降低到 需要
.则 的值为_________．
【对点训练11】（2024·四川宜宾·统考模拟预测）当生物死亡后，它机体内碳14会按照确
定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳
14含量与死亡时间之间的函数关系式 ，（其中 为生物死亡之初体内的碳
14含量， 为死亡时间（单位：年），通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为 ，则
该生物的死亡时间大约是______年前．
【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量 （毫
克/毫升）随时间 （小时）变化的规律近似满足表达式 《酒后驾
车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过 毫克/毫升此
驾驶员至少要过小时后才能开车___________.（精确到 小时）
【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）能源是国家的命脉， 降低能源消耗费用是重
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要抓手之一， 为此， 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建
造可以使用30年的隔热层， 据当年的物价， 每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币.
又根据建筑公司的前期研究得到， 该建筑物30 年间的每年的能源消耗费用 （单位：万
元）与隔热层厚度 （单位： 厘米） 满足关系： ， 经测算知道，
如果不建隔热层， 那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币. 设 为隔热
层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使 达到最小值时， 隔热层厚度
__________厘米.
【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）某地在20年间经济高质量增长，GDP的值
（单位，亿元）与时间 （单位：年）之间的关系为 ，其中 为 时
的 值.假定 ，那么在 时，GDP增长的速度大约是___________.（单位：亿
元/年，精确到0.01亿元/年）注： ，当 取很小的正数时，
【解题方法总结】
求解已知函数模型解决实际问题的关键
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
题型五：构造函数模型的实际问题
【例5】（2024·浙江·高三专题练习）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水
横断面为底角为120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，
为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断
面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为（ ）（参考数据： ）
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A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米
【对点训练15】（2024·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）某纯净水制造厂在净化
水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%
以下，则至少需要过滤（ ）
（参考数据： ）
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人
类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需
要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四
号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是平衡点，位于地
月连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R， 点到月球的距
１ ２
离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中
，则r的近似值为（ ）
A． B．
C． D．
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【解题方法总结】
构建函数模型解决实际问题的步骤
（1）建模：抽象出实际问题的数学模型；
（2）推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
（3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际
问题中去，得到实际问题的解
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