第13讲函数模型及其应用_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第13讲 函数模型及其应用 知识梳理 1、几种常见的函数模型： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数且a≠0) 反比例函数模型 k f(x)= +b(k，b为常数且a≠0) x 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数且a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，a≠1) 对数函数模型 f(x)=blog x+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，a≠1) a 幂函数模型 f(x)=axn+b(a，b为常数，a≠0) 2、解函数应用问题的步骤： (1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立 相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 必考题型全归纳 1 题型一：二次函数模型，分段函数模型 385 (2024·全国·高三专题练习)汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离 才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在 一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还 是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m. 1 1 已知甲车的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系为S = v2- v，乙车的刹车距 甲 100 10 1 1 离sm与车速vkm/h之间的关系为s = v2- v.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现 乙 200 20 象 ( ) A.甲、乙两车均超速 B.甲车超速但乙车未超速 C.乙车超速但甲车未超速 D.甲、乙两车均未超速 【答案】C 1 1 【解析】对于甲车，令 v2- v≈6，即v2-10v-600≈0 100 10 解得v≈-20km/h(舍)或v≈30km/h，所以甲未超速； 1 1 对于甲车，令 v2- v≈10，即v2-10v-2000≈0 200 20 解得v≈-40km/h(舍)或v≈50km/h，所以乙超速； 故选:C. 386 (2024·全国·高三专题练习)如图为某小区七人足球场的平面示意图，AB为球门，在某次 第 页 共 页 215 3427小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时tan∠APB= 5 ，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点Q处射门，为获得最佳的射门角 31 度(即∠AQB最大)，则射门时甲离上方端线的距离为 ( ) A.5 5 B.5 6 C.10 2 D.10 3 【答案】B 【解析】设AB=x，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：PH=25，BH=10， BH 10 2 5 所以tan∠BPH= = = ，且tan∠APB= ， HP 25 5 31 所以tan∠APH=tan∠APB+∠BPH  5 2 + 31 5 3 = = ， 5 2 5 1- × 31 5 AH AB+BH x+10 x+10 3 又tan∠APH= = = ，所以 = ，解得x=5，即AB=5， PH PH 25 25 5 设QH=h，h∈0,25  ，则AQ= QH2+AH2= h2+152， BQ= QH2+BH2= h2+102，所以在△AQB中， AQ2+BQ2-AB2 h2+150 有cos∠AQB= = ， 2AQ×BQ h4+325h2+22500 令m=h2+150150≤m≤775  ，所以h2=m-150， m 所以cos∠AQB= m-150  2+325m-150  1 = ， +22500 3750 25 - + +1 m2 m 1 1 1 因为150≤m≤775，所以 ≤ ≤ ，则要使∠AQB最大， 775 m 150 1 3750 25 即cos∠AQB= 要取得最小值，即 - + +1取得最大值， 3750 25 m2 m - + +1 m2 m 3750 25 1 1 1 即- + +1在 ≤ ≤ 取得最大值， m2 m 775 m 150 1 1 1 令t= ∈  , m 775 150  ，ft  =-3750t2+25t+1， 所以ft  1 的对称轴为：t= ，所以ft 300  1 1 在  , 775 300  1 1 单调递增，在  , 300 150  单调 递减， 1 所以当t= 时，ft 300  1 1 取得最大值，即∠AQB最大，此时 = ，即m=300， m 300 第 页 共 页 216 3427所以h2=150，所以h=5 6，即为获得最佳的射门角度(即∠AQB最大)， 则射门时甲离上方端线的距离为：5 6. 故选：B. 387 (2024·云南·统考二模)下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格： 5-10 11-50 51-100 101-300 一次购买件数 300件以上 件 件 件 件 每件价格 37元 32元 30元 27元 25元 张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买 这种玩具 ( ) A.116件 B.110件 C.107件 D.106件 【答案】C 【解析】设购买的件数为x，花费为y元， 37x, 1≤x≤10  32x, 11≤x≤50  则y= 30x, 51≤x≤100 ，当x=107时，y=2889<2990，   27x, 101≤x≤300   25x, x>300 当x=108时，y=2916>2900，所以最多可购买这种产品107件， 故选：C. 388 (2024·全国·高三专题练习)某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一 智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ωx  万元.其中ωx  x2+10x, 040 x 完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为 ( ) A.720万元 B.800万元 C.875万元 D.900万元 【答案】C 第 页 共 页 217 3427【解析】该企业每年利润为fx  70x-x2+10x+25 =  , 040 当040时，fx  10000 =920-x+ x  10000 ≤920-2 x⋅ =720 x (当且仅当x=100时等号成立)，即在x=100时，fx  取得最大值720； 由875>720，可得该企业每年利润的最大值为875. 故选：C 【解题方法总结】 1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将 各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． 2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏． 2 题型二：对勾函数模型 389 (2024·全国·高三专题练习)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用 是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化， 以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更 新设备的年数为 ( ) A.8 B.10 C.12 D.13 【答案】B 【解析】设该企业需要更新设备的年数为xx∈N∗  ，设备年平均费用为y万元， x2+2x 则x年后的设备维护费用为2+4+6+⋯+2x=  =xx+1 2  ， 100+0.5x+xx+1 所以x年的平均费用为y=  100 3 100 3 =x+ + ≥2 x⋅ + = x x 2 x 2 43 (万元)， 2 当且仅当x=10时，等号成立， 因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10. 故选：B. 390 (2024·全国·高三专题练习)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成 为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络 销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投 2 入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3- .已知网店每月固定的 t+1 各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货 价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润 是 万元. 【答案】37.5 2 【解析】根据题意，得到t= -1,(10，所以b=4． 故选：B． 397 (2024·全国·高三专题练习)异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性 数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y= kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态 的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为 ( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 4 2 3 4 【答案】D 【解析】设初始状态为(x,y)，则x =16x ，y =8y ， 1 1 2 1 2 1 又y 1 =kxα 1 ，y 2 =kxα 2 ，即8y 1 =k16x 1  α=k⋅16αxα， 1 8y k⋅16αxα 3 1 = 1，16α=8，24α=23，4α=3，α= ． y kxα 4 1 1 故选：D． 【解题方法总结】 1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函 数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型． 2、在解决指数型函数、对数型函数、幂函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函 数解析式，再借助函数图像求解最值问题． 4 题型四：已知函数模型的实际问题 398 (2024·全国·高三专题练习)牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ= θ 1 -θ 0  e-kt+θ ，其中t为时间(单位：min)，θ 为环境温度，θ 为物体初始温度，θ为冷 0 0 1 却后温度)，假设在室内温度为20°C的情况下，一桶咖啡由100°C降低到60°C需要 20min.则k的值为 ． ln2 【答案】 20 【解析】由题意，把θ 0 =20，θ 1 =100，θ=60，t=20代入θ=θ 1 -θ 0  e-kt+θ 中， 0 1 得80e-20k+20=60，所以e-20k= ， 2 ln2 所以-20k=-ln2，解得k= . 20 ln2 故答案为： . 20 第 页 共 页 222 3427399 (2024·四川宜宾·统考模拟预测)当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减， 大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡 时间之间的函数关系式kt  1 =k  0 2  t 5730，(其中k 为生物死亡之初体内的碳14含量，t为 0 1 死亡时间(单位：年)，通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为 k ，则该生物的死亡时 8 0 间大约是 年前． 【答案】17190 【解析】由题意，生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式kt  1 =k  0 2  t 5730 ， 1 因为测定发现某古生物遗体中碳14含量为 k ， 8 0 1 令k  0 2  t 1 1 5730= k ，可得 8 0 2  t 1 t 5730= ，所以 =3，解得t=17190年. 8 5730 故答案为：17190年. 400 (2024·全国·高三专题练习)某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量fx  (毫克/毫升)随时间 x(小时)变化的规律近似满足表达式fx  5x-20≤x≤1 = 3 1 ⋅ 5 3    x 《酒后驾车与醉酒驾车的标准 x>1 及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升此驾驶员至少要过小 时后才能开车 .(精确到1小时) 【答案】4 【解析】当0≤x≤1时，由fx  ≤0.02得5x-2≤0.02， 解得x≤2+log 0.02=log 0.5<0，舍去； 5 5 当x>1时，由fx  3 1 ≤0.02得 ⋅ 5 3  x ≤0.02，即31-x≤0.1， 解得x≥1-log 0.1=1+log 10， 3 3 因为3<1+log 10<4，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车. 3 故答案为：4 401 (2024·全国·高三专题练习)能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为 此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年 的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币.又根据建筑公司 的前期研究得到，该建筑物30年间的每年的能源消耗费用N(单位：万元)与隔热层厚度 h(单位：厘米)满足关系：Nh  m = 0≤h≤10 3h+4  ，经测算知道，如果不建隔热层，那 么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币.设Fh  为隔热层的建造费用与共30 年的能源消耗费用总和，那么使Fh  达到最小值时，隔热层厚度h= 厘米. 16 【答案】 3 m 【解析】由题意得，当h=0时，N(h)= =10，解得m=40， 4 40 又F(h)=9h+30×N(h)=9h+30× (0≤h≤10)， 3h+4 1200 1200 1200 所以F(h)=9h+ =3(3h+4)+ -12≥2 3(3h+4)× -12=108， 3h+4 3h+4 3h+4 1200 16 当且仅当3(3h+4)= ，即h= 时，等号成立. 3h+4 3 16 故答案为： . 3 第 页 共 页 223 3427402 (2024·全国·高三专题练习)某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位，亿元)与 时间t(单位：年)之间的关系为Pt  =P 01+10%  t，其中P 为t=0时的P值.假定P = 0 0 2，那么在t=10时，GDP增长的速度大约是 .(单位：亿元/年，精确到0.01亿元/ 年)注：1.110≈2.59，当x取很小的正数时，ln1+x  ≈x 【答案】0.52 【解析】由题可知Pt  =21+10%  t=2×1.1t， 所以Pt  =2×1.1tln1.1， 所以P10  =2×1.110ln1.1≈2×2.59×0.1=0.518≈0.52, 即GDP增长的速度大约是0.52. 故答案为：0.52. 【解题方法总结】 求解已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 5 题型五：构造函数模型的实际问题 403 (2024·浙江·高三专题练习)绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面 为底角为120°的等腰梯形(如图)水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了 提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面 积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为( )(参考数据： 3≈1.732) A.0.58米 B.0.87米 C.1.17米 D.1.73米 【答案】B 【解析】如图设横截面为等腰梯形ABCD，BE⊥CD于E，∠BAD=∠ABC=120°， 要使水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完， 则100×AB+BC+AD  ×100=30000，解得AB+BC+AD=3米， 3 1 3 设BC=x，则AB=3-2x,BE= x,CE= x，故CD=3-x，且0lg2+1，解得：n> ≈4.3， lg2 故至少需要过滤5次. 故选：D 405 (2024·全国·高三专题练习)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月 球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关 键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊 桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行．L 点是平衡点，位于地月连线的延长 2 2 线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R，L 点到月球的距离为r，根据牛 1 2 2 M M M r 顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： 1 + 2 =(R+r) 1.设α= ，由于 (R+r)2 r2 R3 R 3α3+3α4+α5 α的值很小，因此在近似计算中 ≈3α3，则r的近似值为 ( ) (1+α)2 M M 3 3M 3 M A. 2 R B. 2 R C. 2 R D. 2 R M 2M M 3M 1 1 1 1 【答案】D r 【解析】由α= ，得r=αR R M M M 因为 1 + 2 =(R+r) 1， (R+r)2 r2 R3 M M M 所以 1 + 2 =(1+α) 1， R2(1+α)2 α2R2 R2 即 M M 2 =α2   (1+α)- (1+ 1 α)2 1  α5+3α4+3α3 = ≈3α3， (1+α)2 M 解得α=3 2 ， 3M 1 M 所以r=αR=3 2 R. 3M 1 【解题方法总结】 第 页 共 页 225 3427构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型； (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解； (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问 题中去，得到实际问题的解 第 页 共 页 226 3427