第13讲函数模型及其应用_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第13讲 函数模型及其应用 知识梳理 1、几种常见的函数模型： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数且a≠0) 反比例函数模型 k f(x)= +b(k，b为常数且a≠0) x 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数且a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，a≠1) 对数函数模型 f(x)=blog x+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，a≠1) a 幂函数模型 f(x)=axn+b(a，b为常数，a≠0) 2、解函数应用问题的步骤： (1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立 相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 必考题型全归纳 1 题型一：二次函数模型，分段函数模型 385 (2024·全国·高三专题练习)汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离 才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在 一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还 是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m. 1 1 已知甲车的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系为S = v2- v，乙车的刹车距 甲 100 10 1 1 离sm与车速vkm/h之间的关系为s = v2- v.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现 乙 200 20 象 ( ) A.甲、乙两车均超速 B.甲车超速但乙车未超速 C.乙车超速但甲车未超速 D.甲、乙两车均未超速 386 (2024·全国·高三专题练习)如图为某小区七人足球场的平面示意图，AB为球门，在某次 小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时tan∠APB= 5 ，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点Q处射门，为获得最佳的射门角 31 度(即∠AQB最大)，则射门时甲离上方端线的距离为 ( ) 第 页 共 页 100 1043A.5 5 B.5 6 C.10 2 D.10 3 387 (2024·云南·统考二模)下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格： 5-10 11-50 51-100 101-300 一次购买件数 300件以上 件 件 件 件 每件价格 37元 32元 30元 27元 25元 张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买 这种玩具 ( ) A.116件 B.110件 C.107件 D.106件 388 (2024·全国·高三专题练习)某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一 智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ωx  万元.其中ωx  x2+10x, 040 x 完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为 ( ) A.720万元 B.800万元 C.875万元 D.900万元 2 题型二：对勾函数模型 389 (2024·全国·高三专题练习)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用 是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化， 以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更 新设备的年数为 ( ) A.8 B.10 C.12 D.13 390 (2024·全国·高三专题练习)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成 为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络 销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投 2 入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3- .已知网店每月固定的 t+1 各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货 第 页 共 页 101 1043价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润 是 万元. 391 (2024·全国·高三专题练习)迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔 成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某 3 间迷你KTV的横截面示意图，其中AB=AE= ，∠A=∠B=∠E=90°，曲线段CD是 2 S 圆心角为90°的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为S，周长为L，则 的最大值为 L ．(本题中取π=3进行计算) 392 (2024·全国·高三专题练习)砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕 精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇 形OAB所得部分．已知扇环周长=300cm，大扇形半径OD=100cm，设小扇形半径 OA=xcm，∠AOB=θ弧度，则 ①θ关于x的函数关系式θ(x)= ． ②若雕刻费用关于x的解析式为w(x)=10x+1700，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大 值为 ． 3 题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型 393 (2024·全国·高三专题练习)2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫 攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政 府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固 定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的 年平均增长率应为(参考值：31.82≈1.22,31.73≈1.2) ( ) A.10% B.20% C.22% D.32% 394 (2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)近年来，天然气表观消费量从2006年的不 到600×108m3激增到2021年的3726×108m3.从2000年开始统计，记k表示从2000年开 始的第几年，0≤k，k∈N.经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符 合V k =V 01+r a  k，其中V是从2000年后第k年天然气消费量，V是2000年的天然气消 k 0 费量，r 是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为900×108m3，2018 a 第 页 共 页 102 1043年的天然气消费量为2880×108m3，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约 为 ( ) 2 2 2 (参考数据：2.883≈2.02，3.23≈2.17，43≈2.52 A.5817.6×108m3 B.6249.6×108m3 C.6928.2×108m3 D.7257.6×108m3 395 (2024·陕西咸阳·统考模拟预测)血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占 全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参 数.正常人体的血氧饱和度一般情况下不低于960 ，否则为供养不足.在环境模拟实验室 0 的某段时间内，可以用指数模型:S(t)=S ekt描述血氧饱和度S(t)(单位0 )随机给氧时 0 0 间t(单位:时)的变化规律，其中S 为初始血氧饱和度，k为参数.已知S =60，给氧1小 0 0 时后，血氧饱和度为70，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要( )小时. (参考数据:ln5=1.61,ln6=1.79,ln7=1.95,ln8=2.07) A.1.525 B.1.675 C.1.725 D.1.875 396 (2024·全国·高三专题练习)昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的 化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它 素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人 工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治 中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素 1 k 浓度y满足lny=- lnt- x2+a，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在 2 t 距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置， m 信息素浓度为 ，则b= ( ) 2 A.3 B.4 C.5 D.6 397 (2024·全国·高三专题练习)异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性 数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y= kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态 的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为 ( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 4 2 3 4 4 题型四：已知函数模型的实际问题 398 (2024·全国·高三专题练习)牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ= θ 1 -θ 0  e-kt+θ ，其中t为时间(单位：min)，θ 为环境温度，θ 为物体初始温度，θ为冷 0 0 1 却后温度)，假设在室内温度为20°C的情况下，一桶咖啡由100°C降低到60°C需要 20min.则k的值为 ． 399 (2024·四川宜宾·统考模拟预测)当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减， 大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡 时间之间的函数关系式kt  1 =k  0 2  t 5730，(其中k 为生物死亡之初体内的碳14含量，t为 0 1 死亡时间(单位：年)，通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为 k ，则该生物的死亡时 8 0 第 页 共 页 103 1043间大约是 年前． 400 (2024·全国·高三专题练习)某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量fx  (毫克/毫升)随时间 x(小时)变化的规律近似满足表达式fx  5x-20≤x≤1 = 3 1 ⋅ 5 3    x 《酒后驾车与醉酒驾车的标准 x>1 及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升此驾驶员至少要过小 时后才能开车 .(精确到1小时) 401 (2024·全国·高三专题练习)能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为 此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年 的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币.又根据建筑公司 的前期研究得到，该建筑物30年间的每年的能源消耗费用N(单位：万元)与隔热层厚度 h(单位：厘米)满足关系：Nh  m = 0≤h≤10 3h+4  ，经测算知道，如果不建隔热层，那 么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币.设Fh  为隔热层的建造费用与共30 年的能源消耗费用总和，那么使Fh  达到最小值时，隔热层厚度h= 厘米. 402 (2024·全国·高三专题练习)某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位，亿元)与 时间t(单位：年)之间的关系为Pt  =P 01+10%  t，其中P 为t=0时的P值.假定P = 0 0 2，那么在t=10时，GDP增长的速度大约是 .(单位：亿元/年，精确到0.01亿元/ 年)注：1.110≈2.59，当x取很小的正数时，ln1+x  ≈x 5 题型五：构造函数模型的实际问题 403 (2024·浙江·高三专题练习)绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面 为底角为120°的等腰梯形(如图)水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了 提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面 积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为( )(参考数据： 3≈1.732) A.0.58米 B.0.87米 C.1.17米 D.1.73米 404 (2024·北京·高三北京市八一中学校考开学考试)某纯净水制造厂在净化水的过程中，每 增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需 要过滤 ( ) (参考数据：lg2≈0.3010) A.2次 B.3次 C.4次 D.5次 405 (2024·全国·高三专题练习)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月 球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关 键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊 桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行．L 点是平衡点，位于地月连线的延长 2 2 线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R，L 点到月球的距离为r，根据牛 1 2 2 第 页 共 页 104 1043M M M r 顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： 1 + 2 =(R+r) 1.设α= ，由于 (R+r)2 r2 R3 R 3α3+3α4+α5 α的值很小，因此在近似计算中 ≈3α3，则r的近似值为 ( ) (1+α)2 M M 3 3M 3 M A. 2 R B. 2 R C. 2 R D. 2 R M 2M M 3M 1 1 1 1 第 页 共 页 105 1043