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第8讲 幂函数与二次函数
知识梳理
1、幂函数的定义
一般地，y=xa(a∈R)(a为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的
函数称为幂函数.
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①xa的系数为1；②xa的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
函数 y=x y=x2 y=x3 y=x2 1 y=x-1
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在(-∞，0)上
在(-∞，0)和
在R上单调 单调递减，在 在R上单调 在[0，+∞)上
单调性 (0，+∞)上单
递增 (0，+∞)上单 递增 单调递增
调递减
调递增
公共点 (1，1)
4、二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)；其中，(m,n)为抛物线顶点坐标，x=m为对称轴方
程.
(3)零点式：f(x)=a(x-x)(x-x )(a≠0)，其中，x,x 是抛物线与x轴交点的横坐标.
1 2 1 2
5、二次函数的图像
b
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线，对称轴方程为x=- ，顶点坐标
2a
b 4ac-b2
为- ,
2a 4a
.
(1)单调性与最值
b
①当a>0时，如图所示，抛物线开口向上，函数在-∞,-
2a
b
上递减，在 - ,+∞
2a
上递
b 4ac-b2
增，当x=- 时，f(x) = ；
2a min 4a
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119 3427b
②当a<0时，如图所示，抛物线开口向下，函数在-∞,-
2a
b
上递增，在 - ,+∞
2a
上递
b 4ac-b2
减，当x=- 时，f(x) =
2a max 4a
(2)与x轴相交的弦长
当Δ=b2-4ac>0时，二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有两个交点M(x,
1 1
Δ
0)和M (x ,0)，|MM |=|x -x |= (x +x )2-4xx = .
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 |a|
6、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，当a>0时，f(x)在区间[p,q]上的最大值是M，最小
p+q
值是m，令x = ：
0 2
b
(1)若- ≤p，则m=f(p),M=f(q)；
2a
b b
(2)若p<- 1时，其图象可类似y=x2画出．
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120 34272、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根符号与系数之间的关系
Δ=b2-4ac>0
b
x +x =- >0
(1)方程有两个不等正根x 1 ,x 2 ⇔ 1 2 a
c
xx = >0
1 2 a
Δ=b2-4ac>0
b
x +x =- <0
(2)方程有两个不等负根x 1 ,x 2 ⇔ 1 2 a
c
xx = >0
1 2 a
c
(3)方程有一正根和一负根，设两根为x,x ⇔xx = <0
1 2 1 2 a
3、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
b
(1)开口方向；(2)判别式；(3)对称轴x=- 与区间端点的关系；(4)区间端点函数值的正
2a
负.
设x,x 为实系数方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根，则一元二次ax2+bx+c=0(a>0)的
1 2
根的分布与其限定条件如表所示.
根的分布 图像 限定条件
Δ>0
b
mm
1 2 2a
f(m)>0
x 0
b
- 0
x 0
b
- 0
b
- >n
2a
f(n)≥0
f(m)≤0
f(n)≤0
在区间(m,n)
内 f(m)>0
有且只有一个 f(n)<0
实根
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122 3427f(m)<0
f(n)>0
在区间(m,n)
Δ>0
内 m<- b 0
f(n)>0
根
4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
(1)要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题--动
轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一
轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间
的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部(部分题目还需讨论轴与区间中点的位置
关系)，从而对参数值的范围进行讨论.
(2)对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函
数值正负.
必考题型全归纳
1 题型一：幂函数的定义及其图像
217 (2024·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中)已知函数f(x)=m2-2m-2 ⋅xm-2是幂
函数，且在0，+∞ 上递减，则实数m= ( )
A.-1 B.-1或3 C.3 D.2
【答案】A
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123 3427【解析】因为f(x)=m2-2m-2
⋅xm-2是幂函数，所以m2-2m-2=1，解得m=3或
m=-1，又因为f(x)在0，+∞ 上单调递减，则m=-1.
故选：A
218 (2024·海南·统考模拟预测)已知fx =m2+m-5 xm为幂函数，则( )．
A. fx 在-∞,0 上单调递增 B. fx 在-∞,0 上单调递减
C. fx 在0,+∞ 上单调递增 D. fx 在0,+∞ 上单调递减
【答案】B
【解析】因为fx =m2+m-5 xm是幂函数，所以m2+m-5=1，解得m=2或m=
-3，
所以fx =x2或fx =x-3，
对于fx =x2，函数在0,+∞ 上单调递增，在-∞,0 上单调递减；
对于fx =x-3，函数在0,+∞ 上单调递减，且为奇函数，故在-∞,0 上单调递减；
故只有B选项“fx 在-∞,0 上单调递减”符合这两个函数的性质．
故选：B
219 (2024·河北·高三学业考试)已知幂函数y=fx 的图象过点8,2 2 ，则f9 的值为
( )
A.2 B.3 C.4 D.9
【答案】B
【解析】设幂函数为fx =xa，图象过点8,2 2 ，故f8
1
=8a=2 2，故a= ，
2
fx
1
=x2，f9 = 9=3.
故选：B
1
220 (2024·全国·高三专题练习)幂函数y=xa中a的取值集合C是-1,0, ,1,2,3
2
的子集，
当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为 ( )
1
A. -1,0,
2
1
B. ,1,2
2
1
C. -1, ,3
2
1
D. ,1,2,3
2
【答案】C
【解析】当a=-1时，y=x-1定义域和值域均为-∞,0 ∪0,+∞ ，符合题意；
a=0时，y=x0定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域为1 ，故不合题意；
1
a= 时，y= x定义域为0,+∞
2
，值域为0,+∞ ，符合题意；
a=1时，y=x定义域与值域均为R，符合题意；
a=2时，y=x2定义域为R，值域为0,+∞ ，不符合题意；
a=3时，y=x3定义域与值域均为R，符合题意.
故选：C
p
221 (2024·全国·高三专题练习)已知幂函数y=xq(p,q∈Z且p,q互质)的图象关于y轴对称，
如图所示，则 ( )
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124 3427p p
A. p，q均为奇数，且 >0 B.q为偶数，p为奇数，且 <0
q q
p p
C.q为奇数，p为偶数，且 >0 D.q为奇数，p为偶数，且 <0
q q
【答案】D
p
【解析】因为函数y=xq的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递减，
p
所以 <0，
q
p
因为函数y=xq的图象关于y轴对称，
p
所以函数y=xq为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
【解题方法总结】
确定幂函数y=xα的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为
则被开方式非负.当α≤0时，底数是非零的.
2 题型二：幂函数性质的综合应用
222 (2024·吉林长春·高三校考期中)已知幂函数fx =m2-3m+3 xm+1的图象关于原点对
称，则满足a+1 m>3-2a m成立的实数a的取值范围为 .
2
【答案】 ,4
3
【解析】因函数fx =m2-3m+3 xm+1是幂函数，则m2-3m+3=1，解得m=1或m
=2，
当m=1时，f(x)=x2是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知f(x)的图象关于原点对称
矛盾，
当m=2时，f(x)=x3是奇函数，其图象关于原点对称，于是得m=2，
不等式a+1 m>3-2a m化为：a+1 2>3-2a
2
2，即(3a-2)(a-4)<0，解得： <
3
a<4，
2
所以实数a的取值范围为 ,4
3
.
2
故答案为： ,4
3
223 (2024·全国·高三专题练习)下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②y=x0图象是一条
直线；③若函数y=2x的定义域是x|x≤0 ，则它的值域是y|y≤1
1
；④若函数y= 的
x
第 页 共 页
125 3427定义域是x|x>2
1
，则它的值域是yy< 2 ；⑤若函数y=x2的值域是y|0≤y≤4 ，则
它的定义域一定是x|-2≤x≤2 ．其中不正确命题的序号是 ．
【答案】②③④⑤
【解析】幂函数图象不过第四象限，①正确；y=x0图象是直线y=1上去掉点(0,1)，②错
误；函数y=2x的定义域是x|x≤0
1
，则它的值域是{y|02
1
，则它的值域是y01或00②；
1
∵a2= a<1，∴0≤a<1③．
1
综合①②③，求得实数a的取值范围为0,
2
．
1
故答案为：0,
2
﹒
3x, x≤a
226 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= ，若函数f(x)的值域为R，则实
x2, x>a
数a的取值范围为 ．
【答案】0,1
【解析】由函数y= 3x单调递增，
①当a<0时，若x≤a，有 3x≤ 3a<0，
而x2≥0，此时函数f(x)的值域不是R；
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126 3427②当a≥0时，若x≤a，有 3x≤ 3a，而x2>a2，
若函数f(x)的值域为R，必有a2≤ 3a，可得0≤a≤1．
则实数a的取值范围为0,1 ．
故答案为：0,1
227 (2024·全国·高三专题练习)不等式x2-1 1011+x2022+2x2-1≤0的解集为： ．
【答案】
-
2
,
2
2 2
【解析】不等式变形为x2-1
1011+x2-1+x2
1011+x2≤0，
所以x2 1011+x2≤1-x2 1011+1-x2 ，
令fx =x1011+x，则有fx2 ≤f1-x2 ，
因为函数y=x1011,y=x在R上单调递增，
所以f(x)在R上单调递增，
2 2
则x2≤1-x2，解得- ≤x≤ ，
2 2
故不等式的解集为 - 2 , 2
2 2
．
故答案为：
-
2
,
2
2 2
.
1
228 (2024·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测)已知幂函数f(x)=
x
1
10，若fa-1 <
f8-2a ，则a的取值范围是 .
【答案】(3,4)
1
【解析】由幂函数f(x)=
x
1 1 -1
10= =x 10，可得函数fx
10x
的定义域为(0,+∞)，且是递
减函数，
因为fa-1 8-2a
，可得a-1>0 ，解得30
即实数a的取值范围为(3,4).
故答案为：(3,4).
1 1
229 (2024·全国·高三专题练习)已知α∈-2,-1,- , ,1,2,3 2 2 ，若幂函数fx =xα奇函数，
且在0,+∞ 上为严格减函数，则α= .
【答案】-1
【解析】因为幂函数fx =xα在0,+∞ 上为严格减函数，
所以α<0，
1
所以α∈-2,-1,-
2
，
又因为幂函数fx
1
=xα奇函数，且α∈-2,-1,- 2 ，
所以α=-1，
故答案为：-1
【解题方法总结】
紧扣幂函数y=xα的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注
意α为奇数时，xα为奇函数，α为偶数时，xα为偶函数.
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127 34273 题型三：二次方程ax2+bx+c=0a≠0 的实根分布及条件
230 (2024·全国·高三专题练习)关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根α，
β，且α2+β2=12，那么m的值为 ( )
A.-1 B.-4 C.-4或1 D.-1或4
【答案】A
【解析】∵关于x的方程x2+2m-1
x+m2-m=0有两个实数根，
∴Δ= 2m-1 2-4×1×m2-m =-4m+4≥0，
解得：m≤1，
∵关于x的方程x2+2m-1
x+m2-m=0有两个实数根α，β，
∴α+β=-2(m-1)，α⋅β=m2-m，
∴α2+β2=α+β 2-2α⋅β= -2m-1 2-2m2-m =12，即m2-3m-4=0，
解得：m=-1或m=4(舍去).
故选：A.
231 (2024·全国·高三专题练习)设a为实数，若方程x2-2ax+a=0在区间(-1,1)上有两个
不相等的实数解，则a的取值范围是( ).
A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-1,0)
1
C. - ,0
3
1
D. - ,0
3
∪(1,+∞)
【答案】C
【解析】令g(x)=x2-2ax+a，
由方程x2-2ax+a=0在区间(-1,1)上有两个不相等的实数解可得
Δ=4a2-4a>0
a<0
a>1
-10 a>- a>-
3 3
g(1)>0
a<1 a<1
1
解得- 0 4+2(m-2)+5-m>0
只需f(3)<0，即9+3(m-2)+5-m<0 ，
f(4)>0 16+4(m-2)+5-m>0
13 13
解不等式组可得- C.a<- D.- 0，
1 1
当0 时，则不等式的解集为 ,2
2 a
；
(2)若a=0，则c=0，f(x)=2bx，
当-2≤x≤2时，
fx
则
=4b max
2
= 3
fx =-4b
min
无解，
1
=-
2
所以a≠0；
若a≠0时，由a+c=0，得f(x)=ax2+2bx-4a，
第 页 共 页
129 3427b b
对称轴为x=- ，假设 ∈(-∞，-2)∪(2，+∞)，
a a
区间[-2，2]在对称轴的左外侧或右外侧，所以f(x)在[-2，2]上是单调函数，
则f(x)的最值必在x=2，x=-2处取到，
f2 =4b，f(-2)=-4b，f2
2 1
+f(-2)=0≠ +-
3 2
1
= ，
6
b
所以假设错误，则
a
≤2，
b
综上，得到
a
≤2.
235 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 是定义在[-2,2]上的奇函数，且x∈0,2 时，
fx =2x-1，gx =x2-2x+m.
(1)求fx 在区间-2,0 上的解析式；
(2)若对∀x 1 ∈-2,2 ，则∃x 2 ∈-2,2 ，使得fx 1 =gx 2 成立，求m的取值范围.
【解析】(1)设x∈-2,0 ，则-x∈0,2 ，fx =-f-x =-2-x-1 1 =-
2
x +1，
即当x∈-2,0 时，fx
1
=-
2
x
+1.
(2)当x∈0,2 时，fx =2x-1∈0,3 ；当x∈-2,0 时，fx 1 =-
2
x +1∈-3,0 ；
又因为f0 =0，所以，函数fx 在-2,2 上的值域为-3,3 ，
∵gx =x2-2x+m在-2,1 上单调递减，在1,2 上单调递增，
当x∈-2,2 时，gx =g1 min =m-1，gx =max g-2 max ,g2 =g-2 =m+
8，
因为∀x 1 ∈-2,2 ，则∃x 2 ∈-2,2 ，使得fx 1 =gx 2
m-1≤-3
成立，则 ，解得-5 m+8≥3
≤m≤-2.
236 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =3x-3-x．
(1)利用函数单调性的定义证明fx 是单调递增函数；
(2)若对任意x∈-1,1 ，fx 2+mfx ≥-4恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)由已知可得fx 的定义域为R，
任取x,x ∈R，且x 0，1+ >0，1-3x2-x1<0，
3x1+x2
所以fx 1 -fx 2 <0，即fx 1 0)．
(1)当a=3时，解关于x的不等式-55
所以-10
∴ ，
Δ=4-4(a-1)(3-a)≤0
得a-2 2≤0，
所以a=2，又a+c=1，
所以c=-1，
∴fx =2x2-1；
(2)由题意可得：hx =2x2-2ax ，x∈0,1 ，
若a≤0，则hx =2x2-2ax，则hx 在[0,1]上单调递增，
所以Ta =h1 =2-2a；
a
若a>0，当 ≥1，即a≥2时，hx
2
在[0,1]上单调递增，Ta =h1 =2a-2
a a
当 <1，只须比较h
2 2
a2
= 与h1
2
=2-2a的大小，
a2
由 -2-2a
2
>0，得：2 2-21时，函数f(x)=(x-2)(x-1)=x2-3x+2，
3
此时，函数f(x)在 ,+∞
2
上单调递增，
当x≤1时，函数f(x)=(x-2)(1-x)=-x2+3x-2，
此时，函数f(x)在-∞,1 上单调递增，
所以函数f(x)单调递增区间为-∞,1
3
和 ,+∞ 2 ；
因为函数f(x)单调递增区间为-∞,1
3
和 ,+∞ 2 ，
所以函数f(x)在区间-4,1
3
上单调递增，在区间1, 2
3 7
上单调递减，在区间 , 2 4 上
单调递增，
3
所以f(x) =min f(-4),f min 2
7
，f(x) =max f(1),f max 4 ，
3
因为f(-4)=(-4-2)(1+4)=-30，f
2
3
= -2
2
3
-1
2
1
=- ，
4
7
f(1)=(1-2)(1-1)=0，f
4
7
= -2
4
7
-1
4
3
=- ，
16
7
所以函数f(x)在区间 -4, 4 的值域为-30,0 ；
(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a, x≥a
(2)由已知可得，f(x)= ，
-(x-2)(x+a)=-x2+(2-a)x+2a, x0，
因为当x∈2,3
2-a
时，f(x)=x2+(a-2)x-2a，对称轴为x= ≤2，
2
所以函数f(x)在区间2,3 上单调递增，所以g(a)=f(3)=a+3，
2-a
当2<-a<3，即-3
