第08讲幂函数与二次函数_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第8讲 幂函数与二次函数 知识梳理 1、幂函数的定义 一般地，y=xa(a∈R)(a为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的 函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①xa的系数为1；②xa的底数是自变量；③指数为常数. (3)幂函数的图象和性质 3、常见的幂函数图像及性质： 函数 y=x y=x2 y=x3 y=x2 1 y=x-1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 在(-∞，0)上 在(-∞，0)和 在R上单调 单调递减，在 在R上单调 在[0，+∞)上 单调性 (0，+∞)上单 递增 (0，+∞)上单 递增 单调递增 调递减 调递增 公共点 (1，1) 4、二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)；其中，(m,n)为抛物线顶点坐标，x=m为对称轴方 程. (3)零点式：f(x)=a(x-x)(x-x )(a≠0)，其中，x,x 是抛物线与x轴交点的横坐标. 1 2 1 2 5、二次函数的图像 b 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线，对称轴方程为x=- ，顶点坐标 2a b 4ac-b2 为- , 2a 4a  . (1)单调性与最值 b ①当a>0时，如图所示，抛物线开口向上，函数在-∞,- 2a  b 上递减，在 - ,+∞  2a  上递 b 4ac-b2 增，当x=- 时，f(x) = ； 2a min 4a 第 页 共 页 63 1043b ②当a<0时，如图所示，抛物线开口向下，函数在-∞,- 2a  b 上递增，在 - ,+∞  2a  上递 b 4ac-b2 减，当x=- 时，f(x) = 2a max 4a (2)与x轴相交的弦长 当Δ=b2-4ac>0时，二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有两个交点M(x, 1 1 Δ 0)和M (x ,0)，|MM |=|x -x |= (x +x )2-4xx = . 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 |a| 6、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，当a>0时，f(x)在区间[p,q]上的最大值是M，最小 p+q 值是m，令x = ： 0 2 b (1)若- ≤p，则m=f(p),M=f(q)； 2a b b (2)若p<- 1时，其图象可类似y=x2画出． 第 页 共 页 64 10432、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根符号与系数之间的关系 Δ=b2-4ac>0   b x +x =- >0 (1)方程有两个不等正根x 1 ,x 2 ⇔  1 2 a  c xx = >0  1 2 a Δ=b2-4ac>0   b x +x =- <0 (2)方程有两个不等负根x 1 ,x 2 ⇔  1 2 a  c xx = >0  1 2 a c (3)方程有一正根和一负根，设两根为x,x ⇔xx = <0 1 2 1 2 a 3、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： b (1)开口方向；(2)判别式；(3)对称轴x=- 与区间端点的关系；(4)区间端点函数值的正 2a 负. 设x,x 为实系数方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根，则一元二次ax2+bx+c=0(a>0)的 1 2 根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 Δ>0  b mm 1 2  2a  f(m)>0 x 0  b - 0 x 0  b - 0  b - >n  2a  f(n)≥0 f(m)≤0  f(n)≤0 在区间(m,n) 内 f(m)>0  有且只有一个 f(n)<0 实根 第 页 共 页 66 1043f(m)<0  f(n)>0 在区间(m,n) Δ>0  内 m<- b 0  f(n)>0 根 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像. (1)要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题--动 轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一 轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间 的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部(部分题目还需讨论轴与区间中点的位置 关系)，从而对参数值的范围进行讨论. (2)对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函 数值正负. 必考题型全归纳 1 题型一：幂函数的定义及其图像 217 (2024·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中)已知函数f(x)=m2-2m-2  ⋅xm-2是幂 函数，且在0，+∞  上递减，则实数m= ( ) A.-1 B.-1或3 C.3 D.2 218 (2024·海南·统考模拟预测)已知fx  =m2+m-5  xm为幂函数，则( )． 第 页 共 页 67 1043A. fx  在-∞,0  上单调递增 B. fx  在-∞,0  上单调递减 C. fx  在0,+∞  上单调递增 D. fx  在0,+∞  上单调递减 219 (2024·河北·高三学业考试)已知幂函数y=fx  的图象过点8,2 2  ，则f9  的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.9 1 220 (2024·全国·高三专题练习)幂函数y=xa中a的取值集合C是-1,0, ,1,2,3  2  的子集， 当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为 ( ) 1 A. -1,0,  2  1 B.  ,1,2  2  1 C. -1, ,3  2  1 D.  ,1,2,3  2  p 221 (2024·全国·高三专题练习)已知幂函数y=xq(p,q∈Z且p,q互质)的图象关于y轴对称， 如图所示，则 ( ) p p A. p，q均为奇数，且 >0 B.q为偶数，p为奇数，且 <0 q q p p C.q为奇数，p为偶数，且 >0 D.q为奇数，p为偶数，且 <0 q q 2 题型二：幂函数性质的综合应用 222 (2024·吉林长春·高三校考期中)已知幂函数fx  =m2-3m+3  xm+1的图象关于原点对 称，则满足a+1  m>3-2a  m成立的实数a的取值范围为 . 223 (2024·全国·高三专题练习)下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②y=x0图象是一条 直线；③若函数y=2x的定义域是x|x≤0  ，则它的值域是y|y≤1  1 ；④若函数y= 的 x 定义域是x|x>2  1 ，则它的值域是yy<  2  ；⑤若函数y=x2的值域是y|0≤y≤4  ，则 它的定义域一定是x|-2≤x≤2  ．其中不正确命题的序号是 ． 1 224 (2024·河南·校联考模拟预测)已知f(x)=x2，g(x)= 2  x -m，若对∀x ∈[-1,3]，∃x 1 2 ∈[0,2]，f(x)≥g(x )，则实数m的取值范围是 . 1 2 1 225 (2024·福建三明·高三校考期中)已知 2  a 1 1 <1，a2<1，log <1，则实数a的取值范围 a2 是 3x, x≤a  226 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= ，若函数f(x)的值域为R，则实 x2, x>a 数a的取值范围为 ． 227 (2024·全国·高三专题练习)不等式x2-1  1011+x2022+2x2-1≤0的解集为： ． 第 页 共 页 68 10431 228 (2024·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测)已知幂函数f(x)= x  1 10，若fa-1  < f8-2a  ，则a的取值范围是 . 1 1 229 (2024·全国·高三专题练习)已知α∈-2,-1,- , ,1,2,3  2 2  ，若幂函数fx  =xα奇函数， 且在0,+∞  上为严格减函数，则α= . 3 题型三：二次方程ax2+bx+c=0a≠0  的实根分布及条件 230 (2024·全国·高三专题练习)关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根α， β，且α2+β2=12，那么m的值为 ( ) A.-1 B.-4 C.-4或1 D.-1或4 231 (2024·全国·高三专题练习)设a为实数，若方程x2-2ax+a=0在区间(-1,1)上有两个 不相等的实数解，则a的取值范围是( ). A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-1,0) 1 C. - ,0 3  1 D. - ,0 3  ∪(1,+∞) 232 (2024·全国·高三专题练习)方程x2+(m-2)x+5-m=0的一根在区间(2,3)内，另一 根在区间(3,4)内，则m的取值范围是 ( ) 13 A.(-5,-4) B. - ,-2 3  13 C. - ,-4 3  D.(-5,-2) 233 (2024·全国·高三专题练习)关于x的方程ax2+a+2  x+9a=0有两个不相等的实数 根x,x ，且x <1 C.a<- D.- 0)． (1)当a=3时，解关于x的不等式-5