第08讲幂函数与二次函数_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第8讲 幂函数与二次函数
知识梳理
1、幂函数的定义
一般地，y=xa(a∈R)(a为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的
函数称为幂函数.
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①xa的系数为1；②xa的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
函数 y=x y=x2 y=x3 y=x2 1 y=x-1
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在(-∞，0)上
在(-∞，0)和
在R上单调 单调递减，在 在R上单调 在[0，+∞)上
单调性 (0，+∞)上单
递增 (0，+∞)上单 递增 单调递增
调递减
调递增
公共点 (1，1)
4、二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)；其中，(m,n)为抛物线顶点坐标，x=m为对称轴方
程.
(3)零点式：f(x)=a(x-x)(x-x )(a≠0)，其中，x,x 是抛物线与x轴交点的横坐标.
1 2 1 2
5、二次函数的图像
b
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线，对称轴方程为x=- ，顶点坐标
2a
b 4ac-b2
为- ,
2a 4a
 .
(1)单调性与最值
b
①当a>0时，如图所示，抛物线开口向上，函数在-∞,-
2a

b
上递减，在 - ,+∞
 2a
 上递
b 4ac-b2
增，当x=- 时，f(x) = ；
2a min 4a
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63 1043b
②当a<0时，如图所示，抛物线开口向下，函数在-∞,-
2a

b
上递增，在 - ,+∞
 2a
 上递
b 4ac-b2
减，当x=- 时，f(x) =
2a max 4a
(2)与x轴相交的弦长
当Δ=b2-4ac>0时，二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有两个交点M(x,
1 1
Δ
0)和M (x ,0)，|MM |=|x -x |= (x +x )2-4xx = .
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 |a|
6、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，当a>0时，f(x)在区间[p,q]上的最大值是M，最小
p+q
值是m，令x = ：
0 2
b
(1)若- ≤p，则m=f(p),M=f(q)；
2a
b b
(2)若p<- <x ，则m=f-
2a 0 2a
 ,M=f(q)；
b b
(3)若x ≤- <q，则m=f-
0 2a 2a
 ,M=f(p)；
b
(4)若- ≥q，则m=f(q),M=f(p).
2a
【解题方法总结】
1、幂函数y=xa(a∈R)在第一象限内图象的画法如下：
①当a<0时，其图象可类似y=x-1画出；
1
②当0<a<1时，其图象可类似y=x2画出；
③当a>1时，其图象可类似y=x2画出．
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64 10432、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根符号与系数之间的关系
Δ=b2-4ac>0

 b
x +x =- >0
(1)方程有两个不等正根x 1 ,x 2 ⇔  1 2 a
 c
xx = >0
 1 2 a
Δ=b2-4ac>0

 b
x +x =- <0
(2)方程有两个不等负根x 1 ,x 2 ⇔  1 2 a
 c
xx = >0
 1 2 a
c
(3)方程有一正根和一负根，设两根为x,x ⇔xx = <0
1 2 1 2 a
3、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
b
(1)开口方向；(2)判别式；(3)对称轴x=- 与区间端点的关系；(4)区间端点函数值的正
2a
负.
设x,x 为实系数方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根，则一元二次ax2+bx+c=0(a>0)的
1 2
根的分布与其限定条件如表所示.
根的分布 图像 限定条件
Δ>0

b
m<x <x - >m
1 2  2a

f(m)>0
x <m<x f(m)<0
1 2
Δ>0

b
- <m
 2a

f(m)>0
x <x <m
1 2
在区间(m,n)
Δ<0
内
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65 1043Δ=0
x =x ≤m
1 2
或x =x ≥m
1 2
Δ>0

b
- <m
没有实根  2a

f(m)≥0
Δ>0

b
- >n
 2a

f(n)≥0
f(m)≤0

f(n)≤0
在区间(m,n)
内 f(m)>0

有且只有一个 f(n)<0
实根
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66 1043f(m)<0

f(n)>0
在区间(m,n)
Δ>0

内 m<- b <n
2a

有两个不等实 f(m)>0

f(n)>0
根
4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
(1)要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题--动
轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一
轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间
的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部(部分题目还需讨论轴与区间中点的位置
关系)，从而对参数值的范围进行讨论.
(2)对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函
数值正负.
必考题型全归纳
1 题型一：幂函数的定义及其图像
217 (2024·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中)已知函数f(x)=m2-2m-2  ⋅xm-2是幂
函数，且在0，+∞  上递减，则实数m= ( )
A.-1 B.-1或3 C.3 D.2
218 (2024·海南·统考模拟预测)已知fx  =m2+m-5  xm为幂函数，则( )．
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67 1043A. fx  在-∞,0  上单调递增 B. fx  在-∞,0  上单调递减
C. fx  在0,+∞  上单调递增 D. fx  在0,+∞  上单调递减
219 (2024·河北·高三学业考试)已知幂函数y=fx  的图象过点8,2 2  ，则f9  的值为
( )
A.2 B.3 C.4 D.9
1
220 (2024·全国·高三专题练习)幂函数y=xa中a的取值集合C是-1,0, ,1,2,3
 2
 的子集，
当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为 ( )
1
A. -1,0,
 2

1
B.  ,1,2
 2

1
C. -1, ,3
 2

1
D.  ,1,2,3
 2

p
221 (2024·全国·高三专题练习)已知幂函数y=xq(p,q∈Z且p,q互质)的图象关于y轴对称，
如图所示，则 ( )
p p
A. p，q均为奇数，且 >0 B.q为偶数，p为奇数，且 <0
q q
p p
C.q为奇数，p为偶数，且 >0 D.q为奇数，p为偶数，且 <0
q q
2 题型二：幂函数性质的综合应用
222 (2024·吉林长春·高三校考期中)已知幂函数fx  =m2-3m+3  xm+1的图象关于原点对
称，则满足a+1  m>3-2a  m成立的实数a的取值范围为 .
223 (2024·全国·高三专题练习)下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②y=x0图象是一条
直线；③若函数y=2x的定义域是x|x≤0  ，则它的值域是y|y≤1 
1
；④若函数y= 的
x
定义域是x|x>2 
1
，则它的值域是yy<  2  ；⑤若函数y=x2的值域是y|0≤y≤4  ，则
它的定义域一定是x|-2≤x≤2  ．其中不正确命题的序号是 ．
1 224 (2024·河南·校联考模拟预测)已知f(x)=x2，g(x)=
2
 x -m，若对∀x ∈[-1,3]，∃x
1 2
∈[0,2]，f(x)≥g(x )，则实数m的取值范围是 .
1 2
1
225 (2024·福建三明·高三校考期中)已知
2

a 1 1
<1，a2<1，log <1，则实数a的取值范围
a2
是
3x, x≤a

226 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= ，若函数f(x)的值域为R，则实
x2, x>a
数a的取值范围为 ．
227 (2024·全国·高三专题练习)不等式x2-1  1011+x2022+2x2-1≤0的解集为： ．
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68 10431
228 (2024·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测)已知幂函数f(x)=
x

1
10，若fa-1  <
f8-2a  ，则a的取值范围是 .
1 1
229 (2024·全国·高三专题练习)已知α∈-2,-1,- , ,1,2,3  2 2  ，若幂函数fx  =xα奇函数，
且在0,+∞  上为严格减函数，则α= .
3 题型三：二次方程ax2+bx+c=0a≠0  的实根分布及条件
230 (2024·全国·高三专题练习)关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根α，
β，且α2+β2=12，那么m的值为 ( )
A.-1 B.-4 C.-4或1 D.-1或4
231 (2024·全国·高三专题练习)设a为实数，若方程x2-2ax+a=0在区间(-1,1)上有两个
不相等的实数解，则a的取值范围是( ).
A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-1,0)
1
C. - ,0
3

1
D. - ,0
3
 ∪(1,+∞)
232 (2024·全国·高三专题练习)方程x2+(m-2)x+5-m=0的一根在区间(2,3)内，另一
根在区间(3,4)内，则m的取值范围是 ( )
13
A.(-5,-4) B. - ,-2
3

13
C. - ,-4
3
 D.(-5,-2)
233 (2024·全国·高三专题练习)关于x的方程ax2+a+2  x+9a=0有两个不相等的实数
根x,x ，且x <1<x ，那么a的取值范围是 ( )
1 2 1 2
2 2 2 2 2
A.- <a< B.a> C.a<- D.- <a<0
7 5 5 7 11
4 题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
234 (2024·上海·高三专题练习)已知fx  =ax2+2bx+4ca,b,c∈R  .
(1)若f0  =-1，a+2b=0，解关于x的不等式fx  <a+1  x-3；
(2)若a+c=0，fx  在-2,2 
2 1 b
上的最大值为 ，最小值为- ，求证：
3 2 a
 ≤2.
235 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  是定义在[-2,2]上的奇函数，且x∈0,2  时，
fx  =2x-1，gx  =x2-2x+m.
(1)求fx  在区间-2,0  上的解析式；
(2)若对∀x 1 ∈-2,2  ，则∃x 2 ∈-2,2  ，使得fx 1  =gx 2  成立，求m的取值范围.
236 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =3x-3-x．
(1)利用函数单调性的定义证明fx  是单调递增函数；
(2)若对任意x∈-1,1  ，fx    2+mfx  ≥-4恒成立，求实数m的取值范围．
237 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2-2ax(a>0)．
(1)当a=3时，解关于x的不等式-5<f(x)<7；
(2)函数y=f(x)在[t,t+2]上的最大值为0，最小值是-4，求实数a和t的值．
238 (2024·全国·高三专题练习)已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(
-1-x)，且方程f(x)=0的两个实根x 1 ,x 2 满足x 1 -x 2  =2．
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69 1043(1)求f(x)的表达式；
(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-2,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(-2)，求实数k的
取值范围．
239 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =lne2x+1  +ax(a∈R)为偶函数.
(1)求a的值；
(2)设函数gx  =efx  +x+mex，是否存在实数m，使得函数gx  在区间1,2  上的最小值
为1-4e2？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
5 题型五：二次函数最大值的最小值问题
240 (2024·湖南衡阳·高一统考期末)二次函数fx  为偶函数，f1  =1，且fx  ≤3x2+2x恒
成立．
(1)求fx  的解析式；
(2)a∈R，记函数hx  = fx   -2ax+1  在0,1  上的最大值为Ta  ，求Ta  的最小值．
241 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
1
=x+ -ax-b
x
 a,b∈R 
1
，当x∈  ,2
 2
 时，
设fx  的最大值为Ma,b  ，求Ma,b  的最小值．
242 (2024·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考期中)已知函数f(x)=(x-2)|x+a|(a∈
R)，
7
(1)当a=-1时，①求函数f(x)单调递增区间；②求函数f(x)在区间 -4,
 4
 的值域；
(2)当x∈[-3,3]时，记函数f(x)的最大值为g(a)，求g(a)的最小值．
243 (2024·浙江·高一校联考阶段练习)已知函数fx  =-xx-a  +1．
(1)当a=2时，解方程fx  =0；
(2)当a∈0,5  时，记函数y=fx  在x∈1,4  上的最大值为ga  ，求ga  的最小值．
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70 1043