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第 19 讲 原函数与导函数混合还原
知识梳理
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
3、对于 ，构造 ，
4、对于 ，构造
5、对于 ，构造 ，
6、对于 ，构造
7、对于 ，构造 ，
8、对于 ，构造
9、对于 ，构造 ，
10、对于 ，构造
11、对于 ，构造 ，
12、对于 ，构造
13、对于 ，构造
14、对于 ，构造
15、 ； ；
；
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16、 ； ．
必考题型全归纳
题型一：利用 构造型
例1．（安徽省马鞍山第二中学2024学年高三上学期10月段考数学试题）已知 的定义
域为 ， 为 的导函数，且满足 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，构造函数 ， ，则 ，
所以函数 的图象在 上单调递减.
又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍）.
所以不等式 的解集是 .
故选：B.
例2．（河南省温县第一高级中学2024学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数
的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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【解析】令 ，则 ，即 在 上递增，
又 ，则 等价于 ，即
，
所以 ，解得 ，原不等式解集为 .
故选：C
例3．（黑龙江省大庆实验中学2024届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已
知函数 的定义域为 ， 为函数 的导函数，若 ，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得， ，
即 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，故 ，
，可得 ，
在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减，
所以 的极大值为 .简图如下：
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所以 ， ， .
故选：D.
变式1．（2024届高三第七次百校大联考数学试题（新高考））已知定义在 上的偶函数
的导函数为 ，当 时， ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，所以当 时， ，
令 ，则当 时， ，
故 在 上单调递增，
又因为 在 上为偶函数，所以 在 上为奇函数，
故 在 上单调递增，因为 ，所以 ，
当 时， 可变形为 ，即 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，解得 ，故 ；
当 时， 可变形为 ，即 ，
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因为 在 上单调递增，所以 ，解得 ，故无解.
综上不等式 的解集为 .
故选：C.
变式2．（四川省绵阳市盐亭中学2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知定义在
上的函数 满足 ， ，则关于 的不等式 的
解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，所以 在 单调递减，
不等式 可以转化为 ，即 ，所以 .
故选：D.
变式3．（河南省豫北重点高中2024学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题）已知
函数 的定义域为 ，其导函数是 ，且 ．若 ，则
不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，其中 ，
则 ，
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故函数 在 上为增函数，且 ，
因为 ，由 可得 ，即 ，解得 .
故选：B.
变式4．（广西15所名校大联考2024届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学试题）已
知 是定义在R上的偶函数，其导函数为 ，且 ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
则 在R上为奇函数，且 .
又 ，
当 时， ，所以 在 上为增函数，
因此 在R上为增函数.
又 ，当 时，不等式 化为 ，
即 ，
所以 ；
当 时，不等式 化为 ，即 ，
解得 ，故无解，
故不等式 的解集为 .
故选：C
【解题方法总结】
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1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
题型二：利用 构造型
例4．（河南省信阳市息县第一高级中学2024学年高三上学期9月月考数学试题）已知定
义在 的函数 满足： ，其中 为 的导函
数，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，
因为 ，
所以在 上 ，
所以 在 上单调递增，
由已知， 的定义域为 ，
所以 ，
所以 等价于 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
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所以原不等式的解集是 .
故选：A.
例5．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′
(x)>2f(x)，若g(x)＝ ，则不等式g(x)<g(1)的解集是（ ）
A．(－∞，1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
【答案】D
【解析】因为f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，所以f(－x)＝f(x).对任意正实数x满足
，
所以 ,
因为 ，所以g(x)也是偶函数.
当x∈(0，＋∞)时， ,
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)单调递减，
若g(x)<g(1)，则|x|<1(x≠0)，解得0<x<1或－1<x<0，
故g(x)<g(1)的解集是(－1,0)∪(0,1),
故选：D
例6．（江苏省苏州市2024届高三下学期3月模拟数学试题）已知函数 是定义在 上
的奇函数， ，当 时，有 成立，则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
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【解析】 成立设 ，
则 ，即 时 是增函数，
当 时， ，此时 ；
时， ，此时 ．
又 是奇函数，所以 时， ；
时
则不等式 等价为 或 ，
可得 或 ，
则不等式 的解集是 ，
故选： ．
变式5．（西藏昌都市第四高级中学2024届高三一模数学试题）已知函数 是定义在
的奇函数，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
当 时， ，
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当 时， ，
在 上单调递减；
又 为 的奇函数，
，即 为偶函数，
在 上单调递增；
又由不等式 得 ，
当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递减得 ，解得 ，故 ；
当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ，
由 在 上单调递增得 ，解得 ，故 ；
综上所述，不等式 的解集为： ．
故选：D．
【解题方法总结】
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
题型三：利用 构造型
例7．（河南省2024学年高三上学期第五次联考文科数学试题）已知定义在R上的函数
满足 ，且有 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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【解析】设 ，则 ，
∴ 在R上单调递增.
又 ，则 .
∵ 等价于 ，即 ，
∴ ，即所求不等式的解集为 .
故选：A.
例8．（河南省2024学年高三上学期第五次联考数学试题）已知定义在 上的函数 满
足 ，且有 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，又 ，所以 ．
又 等价于 ，即 ，所以 ，
即所求不等式的解集为 ．
故选：B
例9．（广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学2024届高三模拟仿真数学试题）已知
是函数 的导函数，对于任意的 都有 ，且 ，
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则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】法一：构造特殊函数.令 ，则 满足题目条件，
把 代入 得 解得 ，
故选： .
法二：构造辅助函数.令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以 ，所以 ，
故选：D.
变式6．（宁夏吴忠市2024届高三一轮联考数学试题）函数 的定义域是 ， ，
对任意 ， ，则不等式： 的解集为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】构造函数 ，则 ，
，则函数 在 上单调递增，
由 可得 ，可得 ，
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因此，不等式 的解集为 .
故选：A.
【解题方法总结】
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
题型四：用 构造型
例10．（安徽省六安市第一中学2024学年高二下学期期末数学试题）定义在 上的函
数 的导函数为 ，满足： ， ，且当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 可得
所以 是 上的奇函数，
，
当 时， ，所以 ，
是 上单调递增，
所以 是 上单调递增，
因为 ，
由 可得 即 ，
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由 是 上单调递增，可得 解得： ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：A.
例11．（广东省汕头市2024届高三三模数学试题）已知定义在R上的函数 的导函数为
，且满足 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，
所以不等式 等价转化为不等式 ，即
构造函数 ，则 ，
由题意， ，所以 为R上的增函数，
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以 ，
故选：D.
例12．（陕西省安康市2024届高三下学期4月三模数学试题）已知函数 的定义域为
，且对任意 ， 恒成立，则 的解集是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，该函数的定义域为 ，
则 ，所以 在 上单调递增．
由 可得 ，即 ，
又 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
所以原不等式的解集是 ，
故选：D．
变式7．（新疆克拉玛依市2024届高三三模数学试题）定义在R上的函数 的导函数为
， ，对于任意的实数 均有 成立，且 的图像
关于点（ ，1）对称，则不等式 的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（ 1，+∞） C．（ ∞， 1） D．（ ∞，1）
【答案】A
【解析】因为 的图像关于点（ ，1）对称，
所以 是奇函数，
因为对任意的实数 均有 成立，
所以对任意的实数 均有 成立，
令 ，
则 ，
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所以 在 上递增，
因为 ，
又 ，
所以 ，
故选：A
变式8．（浙江省绍兴市新昌中学2024届高三下学期5月适应性考试数学试题）若定义在
R上的函数 的导函数为 ，且满足 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可设 ，因为 ，
则 ，
所以函数 在R上单调递增，
又 ，不等式 可转化为 ，
∴ ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ．
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故选：A.
变式9．（吉林省长春市吉大附中实验学校2024学年高三上学期第四次摸底考试数学试
题）设 是函数 的导函数，且 ， （e为自然对数的
底数），则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以函数 在 上为增函数，
不等式 即不等式 ，
又 ， ，
所以不等式 即为 ，
即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：C.
变式10．（四川省绵阳市南山中学2024学年高三二诊热身考试数学试题）已知定义在
[在此处键入][在此处键入]
上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 ， ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 的图像关于直线 对称，所以
，
设 ，则 ，因为 ，所以 ,
所以 在 上为减函数，
又 ，因为 ，所以 ，所以 .
故选： .
变式11．（山东省烟台市2024届高三二模数学试题）已知函数 的定义域为R，其导
函数为 ，且满足 ， ，则不等式 的解集
为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ，即 ，
可设 ，
当 时，因 得 ，
[在此处键入][在此处键入]
所以 ，
可化为 ，
即 ，
设 ，
因 ，故 为偶函数
，
当 时，因 ， ，
故 ，所以 在区间 上单调递增，
因 ，
所以当 时 的解集为 ，
又因 为偶函数，故 的解集为 .
故选：C
变式12．（江西省九江十校2024届高三第二次联考数学试题）设函数 的定义域为 ，
其导函数为 ，且满足 ， ，则不等式
（其中 为自然对数的底数）的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
，即 ，
，
在 上单调递减，又 ，
[在此处键入][在此处键入]
不等式 ，
即 ， ，
原不等式的解集为 .
故选：D
【解题方法总结】
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
题型五：利用 、 与 构造型
例13．（江西省2024届高三教学质量监测数学试题）定义在区间 上的可导函数
关于 轴对称，当 时， 恒成立，则不等式
的解集为（ ）
AB
⊥¿¿
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，化简得 ，
构造函数 ，
即当 时， 单调递增，
[在此处键入][在此处键入]
所以由 ，
则 ，
即 .因为 为偶函数且在 上单调递增，
所以 ，解得 .
故选：C.
例14．（天津市南开中学2024届高三下学期统练二数学试题）已知可导函数 是定义
在 上的奇函数．当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，则
则函数 在 上单调递增，又可导函数 是定义在 上的奇函数
[在此处键入][在此处键入]
则 是 上的偶函数，且在 单调递减，
由 ，可得 ，则 ，
则 时，不等式
可化为
又由函数 在 上单调递增，且 ， ，
则有 ，解之得
故选：D
例15．函数 对任意的 满足 (其中 是
函数 的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
又由已知可得， ，所以 ，
所以 在 上单调递增
[在此处键入][在此处键入]
因为 ，所以 ，
故 ，D正确，
故选：D
变式13．已知可导函数 是定义在 上的奇函数．当 时，
，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，则
则函数 在 上单调递增，又可导函数 是定义在 上的奇函数
则 是 上的偶函数，且在 单调递减，
由 ，可得 ，则 ，
则 时，不等式
可化为
[在此处键入][在此处键入]
又由函数 在 上单调递增，且 ， ，
则有 ，解之得
故选：D
【解题方法总结】
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型六：利用 与 构造型
例16．（重庆市九龙坡区2024届高三二模数学试题）已知偶函数 的定义域为
，其导函数为 ，当 时，有 成立，则关于x
的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造函数 ，
，
所以函数 在 单调递增，
[在此处键入][在此处键入]
因为函数 为偶函数，所以函数 也为偶函数，
且函数 在 单调递增，所以函数 在 单调递减，
因为 ，所以 ，
关于x的不等式 可变为 ，也即 ，
所以 ，则 解得 或 ，
故选:C.
例17．已知偶函数 的定义域为 ，其导函数为 ，当 时，有
成立，则关于x的不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设 ，则 ，
当 时，因为 ，则有 ，
所以 在 上单调递减，
[在此处键入][在此处键入]
又因为 在 上是偶函数，可得 ，
所以 是偶函数，
由 ，可得 ，即 ，即
又由 为偶函数，且在 上为减函数，且定义域为 ，则有 ，
解得 或 ，
即不等式的解集为 ，
故选：B.
例18．设函数 在 上存在导数 ，对任意的 ，有 ，
且在 上有 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
∵ ，即 ，即 ，故 是
奇函数，
由于函数 在 上存在导函数 ，所以，函数 在 上连续，则函数 在
上连续.
[在此处键入][在此处键入]
∵在 上有 ，∴ ，
故 在 单调递增，
又∵ 是奇函数，且 在 上连续，∴ 在 上单调递增，
∵ ，
∴ ，
即 ，∴ ，故 ，
故选：B．
【解题方法总结】
1、对于 ，构造 ，
2、对于 ，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型七：复杂型： 与 等构造型
例19．（广西柳州市2024届高三11月第一次模拟考试数学试题）已知可导函数 的导
函数为 ，若对任意的 ，都有 ．且 为奇函数，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，构造 ，则 ，
且 ，故 在 上单调递减；
[在此处键入][在此处键入]
又 为 上的奇函数，故可得 ，
即 ，则 .
则不等式 等价于 ，
又因为 是 上的单调减函数，故解得 .
故选：A.
例20．（河南省多校联盟2024届高考终极押题（C卷）数学试题）已知函数 的导函
数为 ，若对任意的 ，都有 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设函数 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递减，因为 ，
所以 ，因为 ，整理得 ，
所以 ，因为 在 上单调递减，所以 .
故选：C.
例21．（2024届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题）已知函数 与 定义域都
为 ，满足 ，且有 ， ，则不等式
[在此处键入][在此处键入]
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得
.
而 ，∴ ，∴ 在 上单调递减，
又 ，则 ，
所以 ，则 ，
故不等式 的解集为 ．
故选：D．
变式14．（陕西省渭南市华州区咸林中学2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题）
已知定义在 上的函数 满足 为 的导函数，
当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，所以 ，因为 ，所以
，化简得 ，
所以 是 上的奇函数；
[在此处键入][在此处键入]
，
因为当 时， ，
所以当 时， ，从而 在 上单调递增，又 是 上的奇函
数，所以 在 上单调递增；
考虑到 ，由 ，
得 ，即 ，
由 在 上单调递增，得 解得 ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：B.
变式15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2024学年高三上学期期中考试数学试题）设函数
在 上的导函数为 ，若 ， ， ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，所以函数 为 上的单调递增函数，
由不等式 ，可得 ，
[在此处键入][在此处键入]
所以 ，即
因为 ，令 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，所以
所以不等式等价于 ，
由函数 为 上的单调递增函数，所以 ，即不等式的解集为 .
故选：A.
变式16．（新疆新源县第二中学2024学年高二下学期期末考试数学试题）定义在R上的
函数 满足： ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将 左右两边同乘 得： ，
令 ，则 ，所以 在R上单调递增，且
；不等式 等价于 ，即 ，所以
故选：A
变式17．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2024届高三下学期第十二次适应性考试
数学试题）定义在 上的函数 满足 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】B
【解析】构造函数 ，则
，
所以，函数 为 上的增函数， ，
由 可得 ，所以， .
故选：B.
【解题方法总结】
对于 ，构造
题型八：复杂型： 与 型
例22．（专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用—备战2022年高考数学二轮复习常
考点专题突破）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，有
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，设 ，则 ，则有 ，
，即有 ，故函数 的图象关于 对称，则有
，
当 时， ， ，又由当 时，
，即当 时， ，即函数 在区间 为增函数，由
[在此处键入][在此处键入]
可得 ，即 ， ，
函数 的图象关于 对称， 函数 在区间 为增函数，且 在
上恒成立，由 可得 ，即 ，此时 不存在.
综上：不等式解集为 .
故选：A
例23．（辽宁省实验中学2024届高三第四次模拟考试数学试卷）已知函数 是定义在
上的可导函数，其导函数为 ，若对任意 有 ， ，
且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 恒成立，故函数 在 上单调递增.
，则 ，即 ，故 .
，即 ，即 ，故 ，解得 .
故选：B.
例24．（山东省泰安肥城市2024届高三下学期5月高考适应性训练数学试题（三））定义
在 上的函数 的导函数为 ，且 对任意
恒成立.若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
[在此处键入][在此处键入]
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，即 ，
即 ，即 对 恒成立，
令 ，则 在 上单调递增，
∵ ，∴ ，
由 即 ，即 ，
因为 在 上单调递增，∴
故选：B.
【解题方法总结】
写出 与 的加、减、乘、除各种形式
题型九：复杂型：与 结合型
例25．（2024届高三数学临考冲刺原创卷（四））已知函数 的定义域为 ，导
函数为 ，且满足 ，则不等式 的解集
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据 ， 得 ．
设 （ ），则 ，
[在此处键入][在此处键入]
则函数 在 上单调递增，且 ，
则不等式 ，可化为 ，
则 ，解得 .
故选：C．
例26．（华大新高考联盟2024届高三3月教学质量测评文科数学试题）已知函数 的
定义域为 ，图象关于原点对称，其导函数为 ，若当 时 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造函数 ，其中 ，
则 ，
所以，函数 在 上单调递减，
易知 ，当 时， ， ，此时 ，
当 时， ， ，此时 ，
因为函数 的定义域为 ，图象关于原点对称，即函数 为奇函数，
若 或 时， ，且 ，
由 可得 ，
[在此处键入][在此处键入]
当 时，即 ，可得 或 ，此时 ，可得 ；
当 时，即 ，可得 ，此时 ，可得 .
因此，不等式 的解集为 .
故选：C.
例27．（2024届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知 是定义在 上的奇函
数， 是 的导函数， ，且 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 的定义域为
且 ，所以 在 上单调递减.
因为 ，所以当 时， ；
当 时， .
又当 时， ，当 时， ，
所以当 时，恒有 .
[在此处键入][在此处键入]
因为 是 上的奇函数，所以当 时， ，
所以 等价于 或
解得 或 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：D.
变式18．（广东省梅州市2024届高三二模数学试题）已知 是定义在 上的奇函数，
是 的导函数，当 时， ，且 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，
则 ，
所以函数 在 上递增，
又因 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
[在此处键入][在此处键入]
又因当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，当 时， ，
又因为 ，所以当 时， ，
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，当 时， ，
由不等式 ，
得 或 ，
解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：B.
变式19．定义在 上的函数 满足 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
则 ，由于 ,
故 ,故 在 单调递增，
而 ，
[在此处键入][在此处键入]
由 ，得 ，
∴ ，即 ,
∴不等式 的解集为 ,
故选：D．
【解题方法总结】
1、对于 ，构造
2、写出 与 的加、减、乘、除各种结果
题型十：复杂型：基础型添加因式型
例28．（辽宁省名校联盟2024届高考模拟调研卷数学（三））已知函数f（x）为定义在R
上的偶函数，当 时， ， ，则不等式 的
解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
构造函数 ，当 时， ，
所以函数 在区间 内单调递增，且 ，
又 是定义在R上的偶函数，所以 是定义在R上的偶函数，
所以 在区间 内单调递减，且 ．
不等式 整理可得： ，
即 ，当 时， ，则 ，解得 ；当
时， ，则 ，
[在此处键入][在此处键入]
解得 ，又 ，所以 ．
综上，不等式 的解集为 ．
故选：A．
例29．定义在 上的函数 满足 （ 为自然对数的底数），其中
为 的导函数，若 ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，所以 等价于 ，
由 ，可得
则 ，
所以 在 上单调递增，所以由 ，得 ．
故选：D
例30．定义在 上的函数 满足 ，且 ，则满足不等式
的 的取值有（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】构造函数 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 单调递减，
又 ，所以 ，
[在此处键入][在此处键入]
不等式 变形为 ，即 ，
由函数单调性可得：
故选：D
变式20．已知在定义在 上的函数 满足 ，且 时，
恒成立，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，当 时， 恒成立，即 恒成立，
又由 ，可得 ，
令 ，可得 ，则函数 为偶函数，
且当 时， 单调递增，
结合偶函数的对称性可得 在 上单调递减，
由 ，
化简得到 ，
即 ，所以 ，解得 ，
即不等式的解集为 .
[在此处键入][在此处键入]
故选：B.
【解题方法总结】
在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度
题型十一：复杂型：二次构造
例31．（福建省福州第一中学2024学年高二下学期期中考试数学试题）函数 满足：
， ，则当 时， （ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，则 ，且 ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，解得： ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
[在此处键入][在此处键入]
所以当 时， 取得最大值 ，
则 ，故 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，
则当 时， 既无极大值，也无极小值.
故选：D
例32．（江西省百所名校2024学年高三第四次联考数学试题）已知函数 的定义域为
，其导函数为 ， 对 恒成立，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据已知条件构造一个函数 ，再利用 的单调性求解不等式即可.
由 ，可得 ，
即 ，令 ，
则 .
令 ， ，
[在此处键入][在此处键入]
所以 在 上是单调递减函数.
不等式 ，
等价于 ，
即 ， ，
所求不等式即 ，
由于 在 上是单调递减函数，
所以 ，解得 ，
且 ，即 ，
故不等式 的解集为 .
故选：D
例33．（河南省濮阳市2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数 为
定义域在R上的偶函数，且当 时，函数 满足 ， ，
则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，当 时， ．令 ，则 ，
[在此处键入][在此处键入]
，令 ，
，
令 ，解得 ．可知函数 在 上单调递减﹐在 上单调递增．
又 ，所以 ， ，所以函数 在 上单调
递减，
，可化为 ，又函数 关于 对称，
故 或 ，
所以不等式的解集为 ．
故选：A
变式21．（宁夏平罗中学2024届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在 上的连
续偶函数 的导函数为 ，当 时， ，且 ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，∴ ，
[在此处键入][在此处键入]
令 ，∴ 在 上单调递减，
又 是定义在 上的连续偶函数，∴ 是 上的奇函数，即 在 上单调递
减，
∵ ，∴ ，
当 ，即 时， ，∴
；
当 ，即 时， ，∴
，则 .
故不等式 的解集为 .
故选：A.
变式22．（江西省九江市2024届高三三模数学（理）试题）已知 是定义在 上
的可导函数， 是 的导函数，若 ， ，则 在
上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值
【答案】A
【解析】构造函数 ，则 ，
[在此处键入][在此处键入]
所以， ，则 ，
设 ，则 ， ，
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增.
所以， ， 对任意的 恒成立，
因此，函数 在 上单调递增.
故选：A.
变式23．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024学年高二下学期期中
理科数学试题）定义在 上的函数 满足 ，且
，则 （ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为 ，且 ，
所以 ，①
令 ，则 ，
又 ，记 ，
[在此处键入][在此处键入]
所以 .
当 时， ， 递减；当 时， ， 递增.
结合①当 时， ，所以 的最小值为0，即 ，
因为 ，则 ，（当且仅当 时，取等号），所以既没有最大值，也没有
最小值.
故选：D.
变式24．（福建省泉州市2024学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学（理）试题）
设函数 满足： ， ，则 时， （ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
【答案】B
【解析】 ，
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
即 ，
当 时， ， 单调递增，而 ，
所以当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增；
[在此处键入][在此处键入]
故 有极小值 ，无极大值，故选B.
变式25．（辽宁省大连市中山区第二十四中学2024学年高三上学期11月月考数学试题）
函数 满足： ， ．则 时，
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ,
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
则当 时， ，当 时，
即函数 在 为增函数，在 为减函数，
所以 ，
即 ，即函数 在 为减函数，
即 时， 既无极大值，也无极小值，
故选D.
变式26．设函数 的导数为 ，且 ， ， ，则
[在此处键入][在此处键入]
当 时，
A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设 ，所以 ，
，所以存在 使得 ，又
，所以 在 上单调递增.
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调
递增.
因此，当 时， 取极小值，但无极大值，故选B.
【解题方法总结】
二次构造： ，其中 等
题型十二：综合构造
例34．（福建省泉州市泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校2024学年高二下学期
期中联考数学试题）已知函数 在 上可导，其导函数为 ，若 满足
， 关于直线 对称，则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
[在此处键入][在此处键入]
【答案】C
【解析】令 ，
，
，
当 时， ，则 ，
在 上单增；
当 时， ，则 ，
在 上单减；
，
不等式 即为不等式 ，
关于直线 对称，
，
解得 或 ，
故选： ．
例35．（贵州省铜仁市2024届高三适应性考试数学试题（—））已知定义在 上的函数
， 为其导函数，满足① ，②当 时， .若
不等式 有实数解，则其解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
[在此处键入][在此处键入]
【解析】构造函数 ，
当 时， 递增，
由于 ，
所以 ，即 ，
所以 是偶函数，所以当 时， 递减.
不等式 等价于：
，
即 ，所以 ，
两边平方并化简得 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D
例36．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2024学年高三第一次模拟数学（文科）试题）已知
是定义在R上的偶函数， 是 的导函数，当 时， ，且
，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，
[在此处键入][在此处键入]
因为 是定义在R上的偶函数，
所以 ，
则 ，
所以函数 也是偶函数，
，
因为当 时， ，
所以当 时， ，
所以函数 在 上递增，
不等式 即为不等式 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 的解集是 .
故选：B.
变式27．（贵州省绥阳县育才中学2024届高三信息压轴卷数学试题）已知函数 的定
义域为R，其导函数为 ，若 ，且当 时， ，
则 的解集为（ ）
[在此处键入][在此处键入]
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知可推得， .
令 ，则 ，
所以 ，
所以， 为偶函数.
又 ，
因为当 时， ，
所以， ，所以 在 上单调递增.
又 为偶函数，所以 在 上单调递减.
由 可得，
.
因为 ，
所以， .
[在此处键入][在此处键入]
因为 在 上单调递减， 为偶函数，
所以有 ，
平方整理可得， ，
解得 .
故选：C.
变式28．（安徽省淮南市2024届二模数学试题）定义在 上的函数 满足
，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
令 ，则
，
∴ 在 上为奇函数，
又∵当 时， ，
∴当 时， ，
∴ 在 上单调递增，
又∵ 在 上为奇函数，
∴ 在 上单调递增，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 在 上单调递增，
[在此处键入][在此处键入]
∴ ，解得： .
故选：A.
变式29．（安徽省蚌埠市2024届高三上学期第一次质量检查数学试题）已知函数 的
定义域是 ，若对于任意的 都有 ，则当 时，不等
式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 在 上是减函数.
，
所以
得 ，又 ，所以 .
故选：A.
【解题方法总结】
结合式子，寻找各种综合构造规律，如 ，或者 （ 为
常见函数）
题型十三：找出原函数
[在此处键入][在此处键入]
例37．（甘肃省武威市第六中学2024届高三上学期第二次阶段性过关考试数学（文）试
题）已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足 且 ，其
中 为自然对数的底数,则不等式 的解集是
A．(0,e) B．(0, ) C．( ,e) D．(e,+∞)
【答案】A
【解析】令 ，则有 ，
,
,又 ,得
，,再令 ,则 ,故
函数 在 上递减,
不等式 等价于 ,所以 ,故选A
例38．设函数 是定义在 上的连续函数，且在 处存在导数，若函数 及
其导函数 满足 ，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值
[在此处键入][在此处键入]
【答案】C
【解析】本题首先可以根据 构造函数 ，然后
利用函数 在 处存在导数即可求出 的值并求出函数 的解析式，然后通过求导
即可判断出函数 的极值．由题意可知， ，即
，
所以 ，
令 ，则 ，
因为函数 在 处存在导数，所以 为定值， ， ，
所以 ，
令 ，当 时， ，
构建函数 ，则有 ，
所以函数 在 上单调递增，
当 ， ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ， ，
所以当 时函数 必有一解，
令这一解为 ， ，则当 时 ，
[在此处键入][在此处键入]
当 时 ，
综上所述， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递增，
所以 有极小值，无极大值．
例39．设函数 是定义在 上的连续函数，且在 处存在导数，若函数 及
其导函数 满足 ，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】因为 ， ，
所以 ，所以 ，
因为函数 是连续函数，所以由 ，可得 ，
代入 ，可得 ，
所以 ，
当 时， ，
令 ，所以 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
所以当 时， 取得极小值即最小值 ，
[在此处键入][在此处键入]
所以 ，所以函数 在 上单调递增，
所以 既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【解题方法总结】
熟悉常见导数的原函数
[在此处键入]
