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第 15 讲 单调性问题
知识梳理
知识点一：单调性基础问题
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ，则
为增函数；如果 ，则 为减函数．
2、已知函数的单调性问题
①若 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于
0）；反之，要满足 ，才能得出 在某个区间上单调递增；
②若 在某个区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于
0）；反之，要满足 ，才能得出 在某个区间上单调递减．
知识点二：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续
的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部
分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置
关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正
负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零
点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对
新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函
数正负区间段）；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要
注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部
分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
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（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小
关系）；
（5）导数图像定区间；
【解题方法总结】
1、求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数 的定义域；
（2）求 ，令 ，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数 的间断点（即 的无定义点）的横坐标和 的各实根按由
小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 的定义域分成若干个小区间；
（4）确定 在各小区间内的符号，根据 的符号判断函数 在每个相应小
区间内的增减性．
注：①使 的离散点不影响函数的单调性，即当 在某个区间内离散点处为
零，在其余点处均为正（或负）时， 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例
如，在 上， ，当 时， ；当 时， ，而显然
在 上是单调递增函数．
②若函数 在区间 上单调递增，则 （ 不恒为0），反之不成
立．因为 ，即 或 ，当 时，函数 在区间 上
单调递增．当 时， 在这个区间为常值函数；同理，若函数 在区间
上单调递减，则 （ 不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函
数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：
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单调递增； 单调递增 ；
单调递减； 单调递减 ．
必考题型全归纳
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
【例1】（2024·全国·高三专题练习）设 是函数 的导函数， 的图象如
图所示，则 的图象最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练1】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 且导函
数为 ，如图是函数 的图像，则下列说法正确的是
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A．函数 的增区间是
B．函数 的增区间是
C． 是函数的极小值点
D． 是函数的极小值点
【对点训练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数 的图象如图所示
（其中 是函数 的导函数），下面四个图象中可能是 图象的是（ ）
A． B．
C． D．
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【对点训练3】（2024·陕西西安·校联考一模）已知定义在 上的函数 的大致图
像如图所示， 是 的导函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数 单调递增 导函数
（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足 ）；原函数单调递减
导函数 （导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足 ）．
题型二：求单调区间
【例2】（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数 的单调
递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）函数 （ ）
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A．严格增函数
B．在 上是严格增函数，在 上是严格减函数
C．严格减函数
D．在 上是严格减函数，在 上是严格增函数
【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间（ ）
A． B． C． D．
【对点训练6】（2024·高三课时练习）函数 （a、b为正数）的严格减区间是
（ ）．
A． B． 与
C． 与 D．
【解题方法总结】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求 的定义域
（2）求出 ．
（3）令 ，求出其全部根，把全部的根在 轴上标出，穿针引线．
（4）在定义域内，令 ，解出 的取值范围，得函数的单调递增区间；令
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，解出 的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区
间不只一个，则这些单调区间不能用“ ”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开．
题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
【例3】（2024·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数 在区间 上不
单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1
【对点训练7】（2024·陕西西安·统考三模）若函数 在区间 上单调
递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）若函数 且 在区
间 内单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上是
减函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）三次函数 在 上是减函
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数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练11】（2024·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数 .若对任
意 ， ，且 ，都有 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）若函数 在区间 内存
在单调递增区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）若函数 在其定义域的一
个子区间 内不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）在区
间 上存在单调递增区间，则实数 的取值范围是
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A． B． C． D．
【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 ，
上单调递增，在 上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数
的单调递减区间是 ，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．
【解题方法总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于
零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线
最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等．
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法
求解参变量范围．
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小
于零有解．
题型四：不含参数单调性讨论
【例5】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .试判断函数
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在 上单调性并证明你的结论；
【对点训练16】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知
若 ，讨论 的单调性；
【对点训练17】（2024·贵州·校联考二模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 在 上的单调性．
【对点训练18】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数
， .
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)求函数 在 上的单调性；
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【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．
判断 的单调性，并说明理由；
【解题方法总结】
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏
掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
题型五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
【例6】（2024·山东聊城·统考三模）已知函数 ．
讨论 的单调性；
【对点训练20】（2024·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知函数
.
讨论函数 的单调性；
【对点训练21】（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
讨论函数 的单调性；
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【对点训练22】（2024·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数 ．
讨论 的单调性；
情形二：函数为准一次函数
【对点训练23】（2024·云南师大附中高三阶段练习）已知函数 .
讨论 的单调性；
【对点训练24】（2024·北京·统考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 的单调性；
【对点训练25】（2024·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数
.
讨论 的单调性；
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情形三：函数为二次函数型
方向1、可因式分解
【对点训练26】（2024·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数
.
讨论函数 的单调性；
【对点训练27】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知函数
，其中 .
讨论函数 的单调性；
【对点训练28】（2024·北京海淀·高三专题练习）设函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；
(2)求 的单调区间．
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【对点训练29】（2024·广西玉林·统考模拟预测）已知函数 ，
.
讨论 的单调区间；
【对点训练30】（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知 .
讨论 的单调性；
方向2、不可因式分解型
【对点训练31】（2024·河南驻马店·统考二模）已知函数 ，
．
讨论 的单调性；
【对点训练32】（2024·重庆·统考模拟预测）已知函数 ．
讨论函数 的单调性；
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【对点训练33】（2024·广东·统考模拟预测）已知函数 ， .
讨论 的单调性；
【对点训练34】（2024·江苏·统考模拟预测）已知函数 .
讨论函数 的单调性；
【解题方法总结】
1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数
零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义
域的间断情况）．
2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一
阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3、利用草稿图像辅助说明．
情形四：函数为准二次函数型
【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，
其中 .
讨论函数 的单调性；
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【对点训练36】（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知 ．
（ ）
讨论 的单调性；
【对点训练37】（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知
.
讨论函数 的单调性；
【对点训练38】（2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数
，
讨论函数 的单调性；
题型六：分段分析法讨论
【例7】（2024·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数
（ ，且 ）
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求函数 的单调区间；
【对点训练39】（2024·广东广州·统考模拟预测）设函数 ，其中 .
讨论 的单调性；
【对点训练40】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .判断函数
的单调性.
【对点训练41】（2024·全国·模拟预测）设 ，函数
.
讨论 在 的单调性；
【解题方法总结】
1、二次型结构 ，当且仅当 时，变号函数为一次函数．此种情况是最
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特殊的，故应最先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢
解漏解．
2、对于不可以因式分解的二次型结构 ，我们优先考虑参数取值能不能引
起恒正恒负．
3、注意定义域以及根的大小关系
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