第07讲函数的性质_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第7讲 函数的性质
知识梳理
1、函数的单调性
(1)单调函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间D⊆A：
如果对于D内的任意两个自变量的值x ，x 当x <x 时，都有f(x)<f(x )，那么就说f(x)
1 2 1 2 1 2
在区间D上是增函数．
如果对于D内的任意两个自变量的值x ，x ，当x <x 时，都有f(x)<f(x )，那么就说f(x)
1 2 1 2 1 2
在区间D上是减函数．
①属于定义域A内某个区间上；
②任意两个自变量x ，x 且x <x ；
1 2 1 2
③都有f(x)<f(x )或f(x)>f(x )；
1 2 1 2
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降
的．
(2)单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区
间D上具有单调性，D称为函数f(x)的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
(3)复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函数，内层
函数是增(减)函数，复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数，内层函数是减(增)函数，复
合函数是减函数.
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= 关于y轴对
偶函数
f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 称
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= 关于原点对
奇函数
-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 称
f(-x)
判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论：如果f(-x)-f(x)=0或 =1
f(x)
f(-x)
(f(x)≠0)，则函数f(x)为偶函数；如果f(-x)+f(x)=0或 =-1(f(x)≠0)，则函数
f(x)
f(x)为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一
个x，-x也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3、函数的对称性
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86 3427(1)若函数y=f(x+a)为偶函数，则函数y=f(x)关于x=a对称．
(2)若函数y=f(x+a)为奇函数，则函数y=f(x)关于点(a，0)对称．
(3)若f(x)=f(2a-x)，则函数f(x)关于x=a对称．
(4)若f(x)+f(2a-x)=2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
4、函数的周期性
(1)周期函数：
对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+
T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做f(x)的
最小正周期.
【解题方法总结】
1、单调性技巧
(1)证明函数单调性的步骤
①取值：设x ，x 是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x <x ；
1 2 1 2
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；
④得出结论．
(2)函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值-变形-判断符号-下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的
单调区间．
(3)记住几条常用的结论：
①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；
②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或
减)函数；
1
③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数 f(x)为增函数， 为减函数；
f(x)
1
④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数 f(x)为减函数， 为增函数．
f(x)
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数f(x)是偶函数⇔函数f(x)的图象关于y轴对称；
函数f(x)是奇函数⇔函数f(x)的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数y=f(x)在x=0处有意义，则有f(0)=0；
偶函数y=f(x)必满足f(x)=f(|x|).
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于
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87 3427原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和
1 1
的形式.记g(x)= [f(x)+f(-x)]，h(x)= [f(x)-f(-x)]，则f(x)=g(x)+h(x).
2 2
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算
所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x).
对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；
奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶.
(7)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
ax+1
奇函数：①函数f(x)=m
ax-1

ax-1
(x≠0)或函数f(x)=m
ax+1
 ．
②函数f(x)=±(ax-a-x)．
x+m 2m
③函数f(x)=log =log 1+
ax-m a x-m

x-m 2m
或函数f(x)=log =log 1-
ax+m a x+m

④函数f(x)=log ( x2+1+x)或函数f(x)=log ( x2+1-x)．
a a
2m 2m
注意：关于①式，可以写成函数f(x)=m+ (x≠0)或函数f(x)=m- (m∈R)．
ax-1 ax+1
偶函数：①函数f(x)=±(ax+a-x)．
mx
②函数f(x)=log (amx+1)- ．
a 2
③函数f(|x|)类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
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88 34274、函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-
a)；
(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，
且T=2(b-a)；
(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周
期函数，且T=4(b-a).
5、对称性技巧
(1)若函数y=f(x)关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)．
(2)若函数y=f(x)关于点(a，b)对称，则f(a+x)+f(a-x)=2b．
(3)函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴对称，函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于原
点对称．
必考题型全归纳
1 题型一：函数的单调性及其应用
156 已知函数fx  的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数x ，x ，总有 fx 2 1 2  -fx 1  x -x
2 1
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89 3427>0成立，则函数fx  一定是 ( )
A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数
【答案】C
【解析】对于任意两个不相等的实数x ，x ，总有 fx 2
1 2
 -fx 1  >0成立，
x -x
2 1
等价于对于任意两个不相等的实数x 1 <x 2 ，总有fx 1  <fx 2  .
所以函数fx  一定是增函数.
故选：C
f(a)-f(b)
157 若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有 >0成立，则
a-b
必有 ( )
A. f(x)在R上是增函数 B. f(x)在R上是减函数
C.函数f(x)先增后减 D.函数f(x)先减后增
【答案】A
f(a)-f(b)
【解析】由 >0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a
a-b
>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
158 下列函数中，满足“fx+y  =fx  fy  ”的单调递增函数是
A. fx  1 =x2 B. fx  =x3 C. fx  1 =
2
 x D. fx  =3x
【答案】D
【解析】由于ax⋅ar=ax+r，所以指数函数f(x)=ax满足f(x+y)=fx  +fy  ，且当a>
1时单调递增，0<x<1时单调递减，所以fx  =3x满足题意，故选D．
考点：幂函数、指数函数的单调性．
159 函数fx  =x2-3x+2  的单调递增区间是 ( )
3
A.   ,+∞
 2

3
B.  1,
 2
 和2,+∞ 
C. -∞,1 
3
和  ,2  2 
3
D. -∞, 2  和2,+∞ 
【答案】B
【解析】y=x2-3x+2 
x2-3x+2, x≤1

= -x2+3x-2, 1<x<2 


x2-3x+2, x≥2
如图所示：
3
函数的单调递增区间是 1,
 2
 和2,+∞  ．
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90 3427故选：B.
2x
160 (江苏省泰州市海陵区2024学年高三上学期期中数学试题)已知函数f(x)=- ,x∈
x+1
(0,+∞)．
(1)判断函数f(x)的单调性，并利用定义证明；
(2)若f2m-1  >f1-m  ，求实数m的取值范围．
【解析】(1)f(x)在(0,+∞)上递减，理由如下：
任取x,x ∈(0,+∞)，且x <x ，则
1 2 1 2
2x 2x
f(x )-f(x)=- 2 + 1
2 1 x +1 x +1
2 1
2x(x +1)-2x (x +1)
= 1 2 2 1
(x +1)(x +1)
2 1
2(x -x )
= 1 2 ，
(x +1)(x +1)
2 1
因为x,x ∈(0,+∞)，且x <x ，
1 2 1 2
所以x -x <0，(x +1)(x +1)>0，
1 2 2 1
所以f(x )-f(x)<0，即f(x )<f(x)，
2 1 2 1
所以f(x)在(0,+∞)上递减；
(2)由(1)可知f(x)在(0,+∞)上递减，
所以由f2m-1  >f1-m  ，得
2m-1>0
 1 2
1-m>0 ，解得 <m< ，
2 3
2m-1<1-m
1 2
所以实数m的取值范围为 ,
2 3
 .
161 (2024·全国·高三专题练习)设a>0，a≠1，证明：函数φx 
ax-1
= 是x的增函数
x
x>0  ．
x
【解析】证明：当x >x >0，在伯努利不等式定理3中取1+x=ax2，r= 1,0<r<1，
2 1 x
2
则有1+x  r≤1+rx，即ax2 
x1 x
x2≤1+ 1 ax2-1
x
2
 ，
x
则有ax1<1+ 1 ax2-1
x
2

a -1 a -1
，从 x2 > x1 ，
x x
2 1
即φx 2  >φx 1  .
所以当x>0时，φx  是x的增函数．
2x a
162 (2024·上海静安·高三校考期中)已知函数f(x)= - (a>0)，且f(0)=0.
a 2x
(1)求a的值，并指出函数f(x)的奇偶性；
(2)在(1)的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
1
【解析】(1)因为f(0)= -a=0，又a>0，所以a=1，
a
1
所以f(x)=2x- ，x∈(-∞,+∞)，
2x
1
此时f(-x)= -2x=-f(x)，所以f(x)为奇函数；
2x
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91 34271 1
(2)任取x <x ，则f(x)-f(x )=2x1- -2x2+
1 2 1 2 2x1 2x2
=(2x1-2x2)+
2x1-2x2
=(2x1-2x2)1+
1
2x1+x2 2x1+x2

1
=2x11+
2x1+x2
 (1-2x2-x1)，
1
因为x <x ,所以2x2-x1>1,所以1-2x2-x1<0,2x11+
1 2 2x1+x2
 >0
所以f(x)-f(x )<0即f(x)<f(x )，
1 2 1 2
所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
【解题总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值-变形-判断符号-下结论”进行判
断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它
们的单调区间．
2 题型二：复合函数单调性的判断
163 函数y= x2+3x的单调递减区间为 ( )
3
A. -∞,- 2 
3
B.  - ,+∞  2  C. 0,+∞  D. -∞,-3 
【答案】D
【解析】由题意，得x2+3x≥0，解得x≤-3或x≥0，
所以函数y= x2+3x的定义域为(-∞,-3]∪[0,+∞)，
3
令t=x2+3x，则t=x2+3x开口向上，对称轴为x=- ，
2
所以t=x2+3x在(-∞,-3]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增，
而y= t在[0,+∞)上单调递增，
所以函数y= x2+3x的单调递减区间为(-∞,-3].
故选：D.
164 (陕西省宝鸡市金台区2024学年高三下学期期末数学试题)函数y=log (2x-x2)的单
2
调递减区间为 ( )
A.(1,2) B. 1,2  C.(0,1) D. 0,1 
【答案】A
【解析】由2x-x2>0，得0<x<2，
令t=2x-x2，则y=log t，
2
t=2x-x2在(0,1)上递增，在(1,2)上递减，
因为y=log t在定义域内为增函数，
2
所以y=log (2x-x2)的单调递减区间为(1,2)，
2
故选：A
165 (陕西省榆林市2024学年高三下学期阶段性测试)函数y=lg2cosx- 3  的单调递增
区间为 ( )
A. 2kπ+π,2kπ+2π  k∈Z 
11
B. 2kπ+π，2kπ+ π
6
 k∈Z 
第 页 共 页
92 3427π
C. 2kπ- ,2kπ
6
 k∈Z 
π
D. 2kπ,2kπ+
6
 k∈Z 
【答案】C
π π
【解析】根据题意，2cosx- 3>0，解得，2kπ- <x<2kπ+ ,k∈Z
6 6
又函数y=lgx 在定义域内为单调增函数，
π
且函数y=2cosx- 3在 2kπ- ,2kπ
6
 ,k∈Z内为单调增函数
根据复合函数的单调性可知：
y=lg2cosx- 3 
π
的单调增区间为 2kπ- ,2kπ
6
 ,k∈Z
选项C正确，选项ABD错误.
故选：C.
【解题总结】
讨论复合函数y=f[g(x)]的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的
单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复
合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
1、若u=g(x)，y=f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y=f[g(x)]为增
函数；
2、若u=g(x)，y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y=f[g(x)
]为减函数．列表如下：
u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)]
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
3 题型三：利用函数单调性求函数最值
166 (河南省2024届高三下学期仿真模拟考试数学试题)已知函数fx  为定义在R上的单调
函数，且f fx   -2x-2x  =10，则fx  在-2,2  上的值域为 ．
7
【答案】 - ,10
 4

【解析】因为fx  为定义在R上的单调函数，
所以存在唯一的t∈R，使得ft  =10，
则fx  -2x-2x=t，ft  -2t-2t=t，即ft  =2t+3t=10，
因为函数y=2t+3t为增函数，且22+3×2=10，所以t=2，
fx  =2x+2x+2．
易知fx  在-2,2  上为增函数，且f-2 
7
=- ，f2
4
 =10，
则fx  在-2,2 
7
上的值域为 - ,10  4  ．
7
故答案为： - ,10
 4
 .
第 页 共 页
93 3427167 (上海市静安区2024届高三二模数学试题)已知函数fx 
ax
= (a>0)为偶函数，则
2x+1
函数fx  的值域为 .
1
【答案】0,
2

【解析】∵函数fx 
ax
= (a>0)是偶函数，
2x+1
∴f-x  =fx 
2

a-x a
⇒ =
2-x+1

x
ax 2
= ⇒ =a⇒a= 2，
2x+1 2x+1 a
∴fx 
( 2)x
= ，易得fx
2x+1
 >0，
设t=( 2)x(t>0)，
t 1 1
则y= = ≤ ，
t2+1 1 2
t+
t
1
当且仅当t= 即t=1时，等号成立，
t
1
所以0<t≤ ，
2
所以函数fx 
1
的值域为0,
2
 ．
1
故答案为：0,
2
 ．
168 (河南省部分学校大联考2024学年高三下学期3月质量检测)已知函数fx  =ax+3x+
1(a>0且a≠1)，若曲线y=fx  在点 0,f0    处的切线与直线x+2y-1=0垂直，则
fx  在-1,2  上的最大值为 .
1
【答案】7+
e2
【解析】由题意得fx  =axlna+3，所以f0  =lna+3，
1
因为切线与直线x+2y-1=0垂直，而x+2y-1=0的斜率为- ，
2
所以切线斜率为2，即lna+3=2，解得a=e-1，
所以fx  =e-x+3x+1，且fx  =-e-x+3，
显然fx  是增函数，
当x∈-1,2  时，fx  ≥f-1  =3-e>0，
所以fx  在-1,2  上单调递增，故f(x) max =f2 
1
=7+ . e2
1
故答案为：7+
e2
169 (新疆乌鲁木齐市第八中学2024届高三上学期第一次月考)若函数fx 
2x+m
= 在区
x+1
间0,1  上的最大值为3，则实数m= .
【答案】3
【解析】∵函数fx 
2x+m m-2
= =2+ ，
x+1 x+1
由复合函数的单调性知，
当m>2时，fx 
2x+m
= 在0,1
x+1
 上单调递减，最大值为f0  =m=3；
当m<2时，fx 
2x+m
= 在0,1
x+1
 上单调递增，最大值为f1 
2+m
= =3，
2
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94 3427即m=4，显然m=4不合题意，
故实数m=3.
故答案为：3
【解题总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数y=f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y=
f(x)(x∈a，c)在x=b处有最大值f(b)．
2、如果函数y=f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y=
f(x)(x∈a，c)在x=b处有最小值f(b)．
3、若函数y=f(x)在[a，b]上是严格单调函数，则函数y=f(x)在[a，b]上一定有最大、
最小值．
4、若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单调递增函数，则y=f(x)的最大值是f(b)，最小值
是f(a)．
5、若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单调递减函数，则y=f(x)的最大值是f(a)，最小值
是f(b)．
4 题型四：利用函数单调性求参数的范围
170 已知函数fx 
3a-1
=
 x+4a (x<1)
a
x≥1
x


 ，满足对任意的实数x ，x 且x ≠x ，都有 1 2 1 2
f(x 1 )-f(x 2 )  (x -x )<0，则实数a的取值范围为 ( ) 1 2
1
A.   ,1
 7

1
B.  0,
 3

1 1
C.   ,
 6 3

1
D.   ,1
 6

【答案】C
【解析】对任意的实数x 1 ≠x 2 ，都有f(x 1 )-f(x 2 )  (x -x )<0,即 fx 1 1 2  -fx 2  <0成 x -x
1 2
立，
可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；
3a-1<0

可得：a>0 ，
3a-1+4a≥a
1 1
解得a∈  ,
 6 3
 ，
故选：C
171 (吉林省松原市2024学年高三上学期第一次月考)若函数fx  =log x3-ax a  (a>0且
1
a≠1)在区间- ,0
2
 内单调递增，则a的取值范围是 ( )
1
A.   ,1
 4

3
B.   ,1
 4

9
C.  ,+∞
4

9
D. 1,
4

【答案】B
1
【解析】函数f(x)=log (x3-ax)(a>0,a≠1)在区间 - ,0
a 2
 内有意义，
1
则-
2

3 1 1
+ a≥0,∴a≥ ，
2 4
设t=x3-ax,则 y=log t，t=3x2-a
a
( 1 ) 当 a>1时， y=log t 是增函数，
a
第 页 共 页
95 34271
要使函数f(x)=log (x3-ax)(a>0,a≠1)在区间- ,0
a 2
 内单调递增，
1
需使 t=x3-ax 在区间- ,0
2
 内内单调递增，
1
则需使t′=3x2-a≥0，对任意x∈- 0
2

1
恒成立 , 即a≤3x2对任意x∈- ,0
2
 恒成
立；
1
因为x∈- ,0
2

3 1
时，0<3x2< 所以a<0与a> 矛盾，此时不成立.
4 4
( 2 ) 当0<a<1时，y=1og t是减函数，
a
要使函数 fx  =log x3-ax a 
1
(a>0,a≠1)在区间- ,0 2  内单调递增，
1
需使t=x3-ax在区间- ,0
2
 内内单调递减，
1
则需使t′=3x2-a≤0 对任意x∈- ,0
2
 恒成立，
1
即a≥3x2对任意x∈- ,0
2
 恒成立，
1
因为x∈- ,0
2

3
时,0<3x2< ，
4
3
所以a≥ ，
4
3
又a<1，所以 ≤a<1.
4
3
综上，a的取值范围是 ≤a<1
4
故选：B
172 (四川省广安市2024学年高三上学期期末数学试题)已知函数fx  =
-x2-ax-9, x≤1

a 在R上单调递增，则实数a的取值范围为 ( )
, x>1
x
A. -5,0  B.(-∞,-2) C. -5,-2  D.(-∞,0)
【答案】C
【解析】由题意，x∈R，
在fx 
-x2-ax-9, x≤1

=a 中，函数单调递增，
, x>1
x
-a
-
2×-1
∴

 ≥1
 
a<0 ，解得：-5≤a≤-2，

 -1-a-9≤ a
1
故选：C.
173 (江西省临川第一中学2024届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知函数fx  =
log x2-ax+3 a  在0,1  上是减函数，则实数a的取值范围是 ( )
A. 0,1  B. 1,4  C. 0,1  ∪1,4  D. 2,4 
【答案】D
【解析】函数fx  =log x2-ax+3 a  在0,1  上是减函数，
a 当0<a<1时，x2-ax+3=x-
2
 2 a2 a2 +3- ≥3- >0恒成立，
4 4
第 页 共 页
96 3427而函数u=x2-ax+3在区间0,1  上不单调，因此0<a<1，不符合题意，
当a>1时，函数y=log u在(0,+∞)上单调递增，于是得函数u=x2-ax+3在区间
a
0,1  上单调递减，
a
因此 ≥1，并且12-a⋅1+3>0，解得2≤a<4，
2
所以实数a的取值范围是2,4  .
故选：D
174 (天津市复兴中学2024学年高三上学期期末数学试题)已知函数fx  =x2+2kx-5在
-2,4  上具有单调性，则实数k的取值范围为( )．
A.k≤-4 B.k≥2
C.k≤-4或k≥2 D.k<-4或k>2
【答案】C
【解析】函数fx  =x2+2kx-5的对称轴为x=-k，
因为函数fx  =x2+2kx-5在-2,4  上具有单调性，
所以-k≥4或-k≤-2，即k≤-4或k≥2.
故选：C
【解题总结】
若已知函数的单调性，求参数a的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a
的不等式，利用下面的结论求解．
1、若a>f(x)在[m，n]上恒成立⇔a>f(x)在[m，n]上的最大值．
2、若a<f(x)在[m，n]上恒成立⇔a<f(x)在[m，n]上的最小值．
5 题型五：基本初等函数的单调性
175 (2024·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测)已知函数y=fx+2  是R上的偶函数，
对任意x 1 ，x 2 ∈2,+∞  ，且x ≠x 都有 fx 1 1 2  -fx 2  x -x >0成立．若a=flog 3 18
1 2
 ，b=
e2
fln
2

ln10
，c=fe 2  ，则a，b，c的大小关系是 ( )
A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a
【答案】A
【解析】因为函数y=fx+2  是R上的偶函数，
所以函数y=fx  的对称轴为x=2，
又因为对任意x 1 ，x 2 ∈2,+∞  ，且x ≠x 都有 fx 1 1 2  -fx 2  >0成立． x -x
1 2
所以函数y=fx  在2,+∞  上单调递增，
e2 ln10
而3=log 27>log 18>log 9=2，ln =lne2-ln 2=2-ln 2<2，e 2 =eln 10=
3 3 3 2
10>3，
ln10 e2
所以e 2 >log 18>2>ln ，
3 2
所以c>a，
因为函数y=fx  的对称轴为x=2，
第 页 共 页
97 3427e2
所以b=fln
2

e2
=f4-ln
2
 =f2+ln 2  ，
而a=flog 3 18  =flog 3 9×2  =f2+log 3 2  ，
因为ln 2<log 2，
3
e2
所以2<4-ln <log 18<3，
2 3
所以b<a，
所以b<a<c．
故选：A．
176 (多选题)(甘肃省庆阳市宁县第一中学2024学年高三上学期期中数学试题)已知函数
fx  在区间-5,5  上是偶函数，在区间0,5  上是单调函数，且f3  <f1  ，则 ( )
A. f(-1)<f(-3) B. f0  >f(-1) C. f(-1)<f1  D. f(-3)>f5 
【答案】BD
【解析】函数fx  在区间0,5  上是单调函数，又3>1，且f3  <f1  ，
故此函数在区间0,5  上是减函数．
由已知条件及偶函数性质，知函数fx  在区间-5,0  上是增函数．
对于A，-3<-1，故f(-3)<f(-1)，故A错误；
对于B，0>-1，故f0  >f-1  ，故B正确；
对于C，f-1  =f1  ，故C错误；
对于D，f-3  =f3  >f5  ，故D正确．
故选:BD.
177 (2024届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题)下列函数中，既是偶函数又在区
间(0,+∞)上单调递增的是 ( )
A.y=x3 B.y=-x2+1 C.y=log x D.y=2|x|
2
【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.函数y=x3是奇函
数，不符合；
函数y=-x2+1是偶函数，但是在(0,+∞)上单调递减，不符合；
函数y=log x不是偶函数，不符合；
2
函数y=2|x|既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增，符合.
故选：D
【解题总结】
1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.
2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复
合函数单调区间(同增异减).
3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确
定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义
域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.
6 题型六：函数的奇偶性的判断与证明
178 利用图象判断下列函数的奇偶性：
第 页 共 页
98 3427-x2+2x+1, x>0

(1)f(x)=
x2+2x-1, x<0
x2+x,x<0,
(2)f(x)=
x2-x，x>0
1 (3)y=
2
 x  ；
(4)y=log 2 (x+1)  ；
(5)y=x2-2x  -1.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，
-x2+2x+1，x>0
对于函数f(x)=
x2+2x-1，x<0
，
当x>0,f(x)=-x2+2x+1，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为x=1，
当x<0,f(x)=x2+2x-1，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=-1，
-x2+2x+1，x>0
画出函数f(x)=
x2+2x-1，x<0
的图象，如图所示，
函数图象关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数；
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，
x2+x，x<0
对于函数f(x)=
x2-x，x>0
，
1
当x<0,f(x)=x2+x，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=- ，
2
1
当x>0,f(x)=x2-x，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x= ，
2
x2+x，x<0
画出函数f(x)=
x2-x，x>0
的图象，如图所示，
函数图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数；
1
(3)先作出y=
2

x 1
的图象，保留y=
2

x
图象中x≥0的部分，
1
再作出y=
2

x
的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，
第 页 共 页
99 34271 即得y=
2
 x  的图象，如图实线部分．
1 由图知y=
2
 x  的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
(4)将函数y=log x的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上
2
去，
即可得到函数y=log 2 (x+1)  的图象，如图，
由图知y=log 2 (x+1)  的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
(5)函数y=f(x)=x2-2x 
x2-2x-1, x≥0

-1= ，
x2+2x-1, x<0
当x≥0,f(x)=x2-2x-1，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=1，
当x<0,f(x)=x2+2x-1，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=-1，
x2-2x-1，x≥0
画出函数f(x)=
x2+2x-1，x<0
的图象，如图，
由图知y=x2-2x  -1的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
179 (2024·北京·高三专题练习)下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞  上单调递增的是
( )
A.y=cosx B.y=ex 
1
C.y=lgx D.y=
x
【答案】B
【解析】对于A，函数y=cosx的定义域为R，且满足cos(-x)=cosx，所以其为偶函数，
在0,π  上单调递减，在π,2π  上单调递减，故A不符合题意；
第 页 共 页
100 3427对于B，设y=fx  =ex  ，函数fx  =ex 
ex, x≥0
= 1

e


 x 的定义域为R，
, x<0
且满足f-x  =fx  ，所以函数fx  =ex  为偶函数，
当x∈(0,+∞)时，fx  =ex为单调递增函数，故B符合题意；
对于C，函数y=lgx的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，
所以函数y=lgx为非奇非偶函数，故C不符合题意；
1 1
对于D，设y=f(x)= ，函数f(x)= 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
x x
且满足f-x  =-fx 
1
，所以函数f(x)= 为奇函数，
x
又函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，故D不符合题意.
故选：B.
180 (多选题)(黑龙江省哈尔滨市第五中学校2024学年高三下学期开学检测数学试题)设函
数fx  ,gx  的定义域都为R，且fx  是奇函数，gx  是偶函数，则下列结论正确的是
( )
A. fx  ⋅gx  是偶函数 B. fx    ⋅gx  是奇函数
C. fx  ⋅ gx    是奇函数 D. fx  ⋅gx    是偶函数
【答案】CD
【解析】因为函数fx  ,gx  的定义域都为R，
所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，
因为fx  是奇函数，gx  是偶函数，
所以f-x  =-fx  ,g-x  =gx  ，
对于A，因为f-x  ⋅g-x  =-fx  gx  ，
所以函数fx  ⋅gx  是奇函数，故A错误；
对于B，因为 f-x    ⋅g-x  = -fx    ⋅gx  = fx    ⋅gx  ，
所以函数 fx    ⋅gx  是偶函数，故B错误；
对于C，因为f-x  ⋅ g-x    =-fx  ⋅ gx    ，
所以函数fx  ⋅ gx    是奇函数，故C正确；
对于D，因为 f-x  ⋅g-x    = -fx  ⋅gx    = fx  ⋅gx    ，
所以函数 fx  ⋅gx    是偶函数，故D正确.
故选：CD.
181 (北京市海淀区2024届高三二模数学试题)下列函数中，既是奇函数又在区间0,1  上单
调递增的是 ( )
2
A.y=lgx B.y= C.y=2|x| D.y=tanx
x
【答案】D
【解析】对于A, y=lgx的定义域为0,+∞  ，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶
函数，故A错误，
对于B，fx 
2
= 的定义域为-∞,0
x
 ∪0,+∞  ，定义域关于原点对称，又f-x  =-x
1
- =-fx
x
 ，所以fx  为奇函数，但在0,1  单调递减，故B错误，
对于C，fx  =2|x|的定义域为R,关于原点对称，又f-x  =2|-x|=2x  =fx  ，故fx 
第 页 共 页
101 3427为偶函数，故C错误，
对于D，fx  =tanx, 由正切函数的性质可知fx  =tanx为奇函数，且在0,1  单调递
增，故D正确，
故选：D
【解题总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对
称性.
7 题型七：已知函数的奇偶性求参数
182 (四川省成都市蓉城联盟2024学年高三下学期第二次联考)已知函数fx  =
ex+ae-x  sin2x是偶函数，则a= ．
【答案】-1
【解析】fx  =ex+ae-x  sin2x定义域为R，
由f-x  =fx  得：e-x+aex  sin-2x  =ex+ae-x  sin2x，
因为sin-2x  =-sin2x，所以-e-x+aex  =ex+ae-x，故a=-1.
故答案为：-1
183 (江西省部分学校2024届高三下学期一轮复习验收考试)若函数fx  =log 216x+1  -
ax是偶函数，则log 2= ．
a
【答案】1
【解析】∵fx  为偶函数，定义域为R，
∴对任意的实数x都有fx  =f-x  ，
即log 216x+1  -ax=log 216-x+1  +ax，
∴2ax=log 216x+1  -log 216-x+1  =log 16x=4x， 2
由题意得上式对任意的实数x恒成立，
∴2a=4，解得a=2,所以log 2=1
a
故答案为：1
184 (湖南省部分学校2024届高三下学期5月联数学试题)已知函数fx  =2x2+ax+2，若
fx+1  是偶函数，则a= ．
【答案】-4
【解析】因为fx+1  是偶函数，
所以f-x+1  =fx+1  ，
∴2-x+1  2+a-x+1  +2=2x+1  2+ax+1  +2，
即8x=-2ax，
解得a=-4.
故答案为：-4.
185 若函数fx  =2e2x+ae-2x+1为偶函数，则a= .
【答案】2
【解析】∵函数fx  =2e2x+ae-2x+1为偶函数
∴fx  =2e2x+ae-2x+1=f-x  =2e-2x+ae2x+1
即2-a  e2x=2-a  e-2x
又∵e2x>0,e-2x>0,e2x≠e-2x x≠0  ∴2-a=0
第 页 共 页
102 3427故答案为：a=0
【解题总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为f(-x)=±f(x)，建立方程，使问题得到解决，但是在解
决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.
8 题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
186 (2024年高三数学押题卷五)已知函数fx  是奇函数，函数gx  是偶函数．若fx  -
gx 
2023π
=xsinx，则f
2
 = ( )
2023π 2023π
A. B.- C.0 D.-1
2 2
【答案】C
【解析】由函数fx  是奇函数，函数gx  是偶函数，fx  -gx  =xsinx，
故f-x  -g-x  =-xsin(-x)，即-fx  -gx  =xsin(x)，
将该式和fx  -gx  =xsinx相减可得fx  =0，
2023π
则f
2
 =0，
故选：C
187 (广东省湛江市2024届高三二模数学试题)已知奇函数fx 
x2-3-x,x<0,
=
gx 

 则gx
+1,x>0,
 =
．
【答案】-x2+3x-1
【解析】当x>0时，-x<0，fx  =gx  +1=-f-x  =- -x  2-3--x    =-x2+3x，
则gx  =-x2+3x-1．
故答案为：-x2+3x-1.
188 已知函数fx  是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx  =-x2+4x-3，则函数fx 
的解析式为 ．
【答案】fx 
x2+4x+3, x<0

= 0, x=0 


-x2+4x-3, x>0
【解析】由于函数fx  是R上的奇函数，则f0  =0.
当x>0时，fx  =-x2+4x-3，
设x<0，则-x>0，则f-x  =-x2-4x-3=-fx  ，
所以fx  =x2+4x+3.
综上所述，fx 
x2+4x+3, x<0

= 0, x=0. 


-x2+4x-3, x>0
故答案为：fx 
x2+4x+3, x<0

= 0, x=0 


-x2+4x-3, x>0
189 设函数f(x)与g(x)的定义域是 x∈R   x≠±1

 ，函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇
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103 34271
函数，且f(x)-g(x)= ，则f(x)等于 ( )
x-1
1 2x2 2 2x
A. B. C. D.
x2-1 x2-1 x2-1 x2-1
【答案】A
【解析】由函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，
所以f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，
1
因为f(x)-g(x)= ①，
x-1
1
则f(x)+g(x)=f(-x)-g(-x)= ②，
-x-1
1 1 2
所以①+②得2f(x)= + = ，
x-1 -x-1 x2-1
1
所以f(x)= ．
x2-1
故选：A．
【解题总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方
程，从而可得f(x)的解析式.
9 题型九：已知f(x)=奇函数+M
190 (宁夏银川一中、昆明一中2024届高三联合二模考试数学试题)已知函数fx  =ax5+
bsinx+c，若f-1  +f1  =2，则c= ( )
2
A.-1 B.0 C.1 D.
3
【答案】C
【解析】因为f(-1)+f(1)=2，
所以-a-bsin1+c+a+bsin1+c=2，
所以c=1.
故选：C.
191 (河南省济洛平许2024届高三第四次质量检测数学试题)已知fx  +1在R上单调递
增，且为奇函数.若正实数a，b满足fa-4  +fb 
1 2
=-2，则 + 的最小值为 ( )
a b
3 2 3 3
A. + B. + 2 C.3+2 2 D. + 2
4 2 4 2
【答案】A
【解析】由于fx  +1为奇函数，所以fx  +1+f-x  +1=0⇒fx  +f-x  =-2，
由fa-4  +fb  =-2得a-4=-b⇒a+b=4 ，
1 2 1 1 2
由于a>0,b>0, 所以 + =  +
a b 4 a b
 a+b 
1 b a
= 3+ +
4 a b

1
≥ 3+2 2
4
 =
3 2
+ ，
4 2
1 2 3 2
当且仅当a=b时取等号，故 + 的最小值为 + ，
a b 4 2
故选：A
π
192 (重庆市巴蜀中学2024届高三高考适应性月考数学试题)已知函数f(x)= +cosx⋅
4
第 页 共 页
104 3427lnx+ 1+x2  在区间[-5,5]的最大值是M，最小值是m，则f(M+m)的值等于
( )
π π
A.0 B.10 C. D.
4 2
【答案】C
【解析】令g(x)=cosx⋅lnx+ 1+x2  ，则fx 
π
= +gx
4
 ，
∴f(x)和g(x)在[-5,5]上单调性相同，
∴设g(x)在[-5,5]上有最大值g(x) ，有最小值g(x) .
max min
∵g-x  =cosx⋅ln-x+ 1+x2  ，
∴gx  +g-x  =cosx⋅ln  1+x2+x   1+x2-x    =0，
∴g(x)在[-5,5]上为奇函数，∴g(x) +g(x) =0，
max min
π π π
∴M=g(x) + ,m=g(x) + ，∴M+m= ，
max 4 min 4 2
fM+m 
π
=f
2

π
= .
4
故选：C.
193 (福建省福州格致中学2024学年高三下学期期中考数学试题)已知函数fx  =
alnx+ 1+x2  +bsinx+2，若f-3  =7，则f3  ( )
A.等于-7 B.等于-5 C.等于-3 D.无法确定
【答案】C
【解析】设g(x)=lnx+ 1+x2  ，显然定义域为R，
又g(x)+g(-x)=lnx+ 1+x2  +ln-x+ 1+x2  =ln  1+x2   2-x2  =ln1=0，
则g(-x)=-g(x)，所以g(x)=lnx+ 1+x2  是R上的奇函数；
又y=sinx也是R上的奇函数，所以f(x)-2也是R上的奇函数，
因此f(-3)-2=-f(3)-2  ，则f(3)=4-f(-3)=4-7=-3.
故选：C.
【解题总结】
已知f(x)=奇函数+M，x∈[-a,a]，则
(1)f(-x)+f(x)=2M
(2)f(x) +f(x) =2M
max min
10 题型十：函数的对称性与周期性
194 (多选题)(2024·山东烟台·统考二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(4+x)=0，
f(2+2x)是偶函数，f(1)=1，则 ( )
A. fx  是奇函数 B. f2023  =-1
C. fx 
100
的图象关于直线x=1对称 D.kf(2k-1)=-100
k=1
【答案】ABD
【解析】对于选项A，∵f(2+2x)是偶函数，∴f(2-2x)=f(2+2x)，
∴函数f(x)关于直线x=2对称，∴f-x  =f4+x  ，
∵f(x)+f(4+x)=0，∴f-x  =-fx  ，∴fx  是奇函数，则A正确；
第 页 共 页
105 3427对于选项B，∵f(4+x)=-f(x)，∴f(8+x)=-f(4+x)，∴f(8+x)=f(x),
∴fx  的周期为8，∴f2023  =f253×8-1  =f-1  =-f1  =-1，则B正确；
对于选项C，若fx  的图象关于直线x=1对称，则f3  =f-1  ，
但是f-1  =-f1  =-1，f3  =f1  =1，即f3  ≠f-1  ，这与假设条件矛盾，则选项
C错误；
1
对于选项D，将x= 代入f(2-2x)=f(2+2x)，得f3
2
 =f1  =1，
将x=1，代入f(x)+f(4+x)=0，得f5  =-f1  =-1，
同理可知f7  =-f3  =-1，
又∵fx  的周期为8，∴fx  正奇数项的周期为4，
100
∴kf(2k-1)=f1
k=1
 +2f3  +3f5  +⋅⋅⋅+100f199 
= f1  +2f3  +3f5  +4f7    + 5f9  +6f11  +7f13  +8f15    ⋅⋅⋅
+ 97f193  +98f195  +99f197  +100f199    =25×-4  =-100，则D正确.
故选：ABD.
195 (多选题)(2024·湖南·高三校联考阶段练习)已知定义在R上的函数fx  和gx  的导函
数分别是fx  和gx  ，若fx  +gx-2  =1，fx+2  =g2-x  ，且gx+2  是奇函
数，则下列结论正确的是 ( )
A. f4  =1 B. gx  的图像关于点1,0  对称
2024
C. ∑fk
k=1

2024
=0 D. ∑fk
k=1
 gk+1  =0
【答案】ABD
【解析】因为gx+2  是奇函数，所以g2  =0．因为fx  +gx-2  =1，所以f4  +
g2  =1，所以f4  =1，则A正确；
因为fx  +gx-2  =1，所以fx  +gx-2  =0，所以fx+2  +gx  =0，
因为fx+2  =g2-x  ，所以g2-x  +gx  =0，则gx  的图像关于点1,0  对称，
则B正确；
因为fx+2  =g2-x  ，所以fx+2  -g2-x  =0，
所以fx+2  +g2-x  =c(c为常数)，所以fx  +g4-x  =c(c为常数)．
因为fx  +gx-2  =1，所以gx-2  -g4-x  =1-c．
令x=3，得g1  -g1  =1-c=0，所以c=1，则gx-2  =g4-x  ．
因为gx+2  是奇函数，所以gx+2  =-g-x+2  ，所以gx-2  =-g-x+6  ，
所以g4-x  =-g-x+6  ，所以gx  =-gx+2  ，所以gx  =gx+4  ，
即gx  是周期为4的周期函数．
因为fx  +gx-2  =1，所以fx  =1-gx-2  ，所以fx+4  =1-gx+2  ，
所以fx  =fx+4  ，即fx  是周期为4的周期函数．
因为g2  =0，所以g4  =0，g1  =-g3  ，所以f2  =f4  =1，f1  =1-g3  =1+
g1  ，f3  =1-g1  ，则
f1  +f2  +f3  +f4  =4，f1  g2  +f2  g3  +f3  g4  +f4  g5  =0，
2024
故∑fk
k=1

2024
=2024，∑fk
k=1
 gk+1  =0，即C错误，D正确.
故选：ABD.
第 页 共 页
106 3427196 (多选题)(2024·河北·统考模拟预测)已知函数fx  ，gx  的定义域均为R，导函数分别
为fx  ，gx  ，若f3-x  =gx  -2，fx  =gx+1  ，且g2+x  +g-x  =0，则
( )
A.4为函数gx  的一个周期 B.函数fx  的图象关于点2,-2  对称
2024
C. gn
n=1

2024
 =0 D. fn
n=1
  =4048
【答案】ABC
【解析】由g2+x  +g-x  =0得g2-x  =-gx  ，
由f3-x  =gx  -2求导得-f3-x  =gx  ，
又fx  =gx+1  得f3-x  =g4-x  ，所以-gx  =g4-x  ，
所以gx  =g4-x  +c，所以g2  =g2  +c⇒c=0,gx  =g4-x  ，
所以g4-x  =-g2-x  ⇒gx+2  =-gx  ⇒gx+4  =-gx+2  =gx  ，
所以4为函数gx  的一个周期，A正确；
f3-x  =gx  -2⇒gx  =f3-x  +2，故g2-x  =f 3-2-x    +2=f1+x  +2，
因此f3-x  +2+f1+x  +2=0⇒f3-x  +f1+x  =-4，
故函数fx  的图象关于点2,-2  对称，B正确，
在g2+x  +g-x  =0中，令x=-1,∴g1  =0
由fx  =gx+1  得fx  =gx+1  +c, c为常数，故f-x+4  =g-x+5  +c，
由函数fx  的图象关于点2,-2  对称，
fx  +f-x+4  =gx+1  +c+g-x+5  +c=-4，
因此gx+1  +g-x+5  +2c=-4⇒gx+1  -gx-3  +2c=-4⇒c=-2，
所以fx  =gx+1  -2,由于gx  的周期为4，所以fx  的周期也为4，
由于g4-x  =f3-x  +2=gx  ，所以g3  =g1  =0，g4  +g2  =g0  +g2  =0
，
2024
所以 gn
n=1
 =506 g1  +g2  +g3  +g4     =0，故C正确，
由于fx  =gx+1  -2,
2024
fn
n=1

2024
= gn+1
n=1
  -2 
2024
= gn+1
n=1
   -2×2024=506 g2  +g3  +g4  +g5     -2×2024=0-4048
=-4048,故D错误，
故选:ABC
197 (多选题)(2024·山东滨州·统考二模)函数y=fx  在区间-∞,+∞  上的图象是一条连
续不断的曲线，且满足f3+x  -f3-x  +6x=0，函数f1-2x  的图象关于点0,1  对
称，则 ( )
A. fx  的图象关于点1,1  对称 B.8是fx  的一个周期
C. fx  一定存在零点 D. f101  =-299
【答案】ACD
【解析】对于A,由于f1-2x  的图象关于点0,1  对称，所以f1-2x  +f1+2x  =2，
故f1-x  +f1+x  =2，所以fx  的图象关于点1,1  对称，故A正确，
由f3+x  -f3-x  +6x=0得f3+x  +3x=f3-x  -3x，令gx  =f3+x  +3x,
∴g-x  =f3-x  +3x,所以gx  =g-x  ，故gx  为偶函数，又fx  的图象关于点
第 页 共 页
107 34271,1  对称，所以fx  +f-x+2  =2，又fx  =gx-3  -3x-3  ，从而gx-3  -
3x-3  +g-x+2-3  -3-x+2-3  =2⇒gx-3  +g-x-1  =-10，
所以gx  的图象关于-2,-5  对称，
对于C,在f1-x  +f1+x  =2中,令x=0,f1  =1>0，所以g-2  =f1  -6=-5，
∴g2  =-5=f5  +6⇒f5  =-11<0，由于y=fx  在区间-∞,+∞  上的图象是一
条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得fx  在1,5  有零点，故C正确
对于D,由于gx  的图象关于-2,-5  对称以及gx  =g-x  得gx  +g-x-4  =
-10⇒gx  +gx+4  =-10，又gx+8  +gx+4  =-10，所以gx  =gx+8  ，所以
gx  是周期为8的周期函数，f101  =g98  -3×98=g2  -294=-5-294=-299，
故D正确，
对于B，f1  =1，f9  =g6  -18=g-2  -18=g2  -18=-5-18=-23≠f1  ，所
以8不是fx  的周期，
故选：ACD
【解题总结】
(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2
(b-a)；
(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函
数，且T=2(b-a)；
(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是
周期函数，且T=4(b-a).
11 题型十一：类周期函数
198 (2024·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)定义域为R的函数fx 
满足fx+2  =2fx  ，fx 
x2-x,x∈(0,1)
= 1 -
2
 x-2  ,x∈1,2 
 t 1
 ，若x∈(-2,0]时，f(x)≥ - 恒 2 t
成立，则实数t的取值范围是 ( )
A.[-2,0)∪(0,1) B.[-2,0)∪[1,+∞)
C.[-2,1] D.(-∞,-2]∪(0,1]
【答案】D
【解析】若-2≤x≤0，则0≤x+2≤2
∵fx+2  =2fx  ，∴fx 
1
= fx+2 2 
x+2
==
 2-x+2  ,x∈-2，-1 
1 -
2
 x  ,x∈-1,0 


即fx 
x+2
=
 2-x+2  ,
x∈-2,-1
2

1 - 2  1+x  ,x∈-1,0 



 
t 1 t 1
∵x∈(-2,0]时，f(x)≥ - 恒成立，∴只需f(x) ≥ - .
2 t min 2 t
当x∈-2,-1  时，y=x+2  2-x+2 
1 3
最小值为- (当x=- 时)；
8 2
当x∈-1,0  1 时，y=-
2
 1+x  1 最小值为- (当x=0时)，
2
1
∴f(x) =-
min 2
第 页 共 页
108 3427t 1 1
所以只需 - ≤- ，解得：t≤-2或0<t≤1
2 t 2
∴实数t的取值范围是(-∞,-2]∪(0,1]
故选：D
199 (2024·江西南昌·高三校考期中)已知定义在0,+∞ 
1
上的函数f(x)满足f(x)= f(x+
2
2)，且当x∈0,2  时，f(x)=-x2+2x.设f(x)在2n-2,2n  上的最大值为a (n∈N*)，且 n
数列a n  的前n项的和为S n .若对于任意正整数n不等式kS n +1  ≥2n-9恒成立，则
实数k的取值范围为 ( )
A. 0,+∞ 
1
B.   ,+∞
32

3
C.   ,+∞
64

7
D.   ,+∞
64

【答案】C
【解析】由已知先求出f(x) =2n-1，即a =2n-1，进一步可得S =2n-1，再将所求问题
max n n
2n-9 2n-9
转化为k≥ 对于任意正整数n恒成立，设c = ，只需找到数列{c }的最大
2n n 2n n
值即可.当2n-2≤x<2n时，则0≤x+2-2n<2，f(x+2-2n)=-(x+2-2n)(x-
2n)，
所以，f(x)=2n-1f[x-2(n-1)]=-2n-1(x+2-2n)(x-2n)，显然当x=2n-1时，
1×(1-2n)
f(x) =2n-1，故a =2n-1，S = =2n-1，若对于任意正整数n不等式
max n n 1-2
kS n +1 
2n-9
≥2n-9恒成立，即k2n≥2n-9对于任意正整数n恒成立，即k≥ 对于 2n
任
2n-9 11-2n 11-2n 11
意正整数n恒成立，设c = ，c -c = ，令 >0，解得n< ，
n 2n n+1 n 2n+1 2n+1 2
11-2n 11
令 <0，解得n> ，考虑到n∈N*，故有当n≤5时，{c }单调递增，
2n+1 2 n
3 3
当n≥6时，有{c }单调递减，故数列{c }的最大值为c = = ，
n n 6 26 64
3
所以k≥ .
64
故选：C.
200 (2024·全国·高三专题练习)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈[0,2]
1 3
时，f(x)=x2-2x，若x∈[-4,-2]时，f(x)≥  -t
18 t
 恒成立，则实数t的取值范围是
( )
A. -∞,-1  ∪0,3  B. -∞,- 3  ∪0, 3 
C. -1,0  ∪3,+∞  D. - 3,0  ∪ 3,+∞ 
【答案】C
【解析】因为x∈-4,-2  ，所以x+4∈0,2  ，
因为x∈0,2  时，fx  =x2-2x，
所以fx+4  =x+4  2-2x+4  =x2+6x+8,
因为函数fx  满足 fx+2  =3fx  ，
所以fx+4  =3fx+2  =9fx  ，
所以fx 
1
= fx+4
9

1
= x2+6x+8
9
 ，x∈-4,-2  ，
第 页 共 页
109 3427又因为x∈-4,-2  ，fx 
1 3
≥  -t
18 t
 恒成立，
1 3
故  -t
18 t
 ≤fx 
1
=- ，
min 9
解不等式可得t≥3或-1≤t<0.
4-4x-8
201 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=
 , 1≤x≤3
1 x
f
2 3


 ，则下列说
, x>3
法正确的是 ( )
1 1
A.若函数y=f(x)-kx有4个零点，则实数k的取值范围为 ,
18 3

1
B.关于x的方程f(x)- =0n∈N*
2n-3
 有2n-1个不同的解
C.对于实数x∈[1,+∞)，不等式xf(x)-8≤0恒成立
D.当x∈3n-1,3n  n∈N*  3 时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为4×
2
 n-1
【答案】ABD
1 x
【解析】∵f(x)= f
2 3
 ,x>3，则f(x)在3n,3n+1  n∈N*  的图象是将
3n-1,3n  n∈N*  的图象沿x轴方向伸长为原来的3倍、沿y轴方向缩短为原来的一半
∴fx  =23-n 1-31-nx-2    ,x∈3n-1,3n  n∈N* 
则f(x)在3n-1,2⋅3n-1  n∈N*  上单调递增，在2⋅3n-1,3n  n∈N*  上单调递减
∴f(x)在3n-1,3n

n∈N*

1
上的最大值为f(2⋅3n-1)= ，最小值为f(3n-1)=0，即f(x)
2n-3
在3n-1,3n  n∈N*  上的值域为 0, 1
 2n-3
 n∈N* 
对于A，令f(x)-kx=0，即f(x)=kx，则y=f(x)与y=kx有四个交点
作出n=1,2,3时fx  的图象，如图1：6,2  ,18,1  分别与0,0 
1 1
连线的斜率为 ,
3 18
1 1
结合图象可得：实数k的取值范围为 ,
18 3
 ，A正确；
1
对于B，令f(x)- =0n∈N*
2n-3

1
，则f(x)= n∈N*
2n-3

1
∴方程的根的个数即为y=f(x)与y= n∈N*
2n-3
 的交点个数
当n=1时，y=f(x)的最大值为f2  =4
∴y=f(x)与y=4有且仅有一个交点，
当n≥2n∈N*  时，则有：
①当k<nk∈N*  时，f(x)在3k-1,3k 
1 1
上的最大值为f(2⋅3k-1)= > ，则y=
2k-3 2n-3
1
f(x)与y= 在3k-1,3k
2n-3
 内有两个交点
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110 3427∴当x∈1,3n 
1
，y=f(x)与y= 有2n-1
2n-3
 交点
②当k=n，则f(x)在3n-1,3n

1
上的最大值为f(2⋅3n-1)=
2n-3
1
∴y=f(x)与y= 有且仅有一个交点
2n-3
③当k>nk∈N*  时，f(x)在3k-1,3k 
1 1
上的最大值为f(2⋅3k-1)= < ，则y=
2k-3 2n-3
1
f(x)与y= 在3k-1,3k
2n-3
 内没有交点
∴当x∈3n+1,+∞ 
1
，y=f(x)与y= 没有交点
2n-3
∴当x∈1,+∞ 
1
，y=f(x)与y= 的交点个数为1+2n-1
2n-3
 =2n-1
当n=1时，也成立
1
∴关于x的方程f(x)- =0n∈N*
2n-3
 有2n-1个不同的解，B正确
对于C，因为图象过点6,2  ，令x=6，则6f(6)-8=4>0，C错误
对于D，由题意可得：当x∈3n-1,3n  n∈N*  时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形为
1
三角形，其底边长为3n-3n-1=2⋅3n-1，高为f(2⋅3n-1)=
2n-3
∴当x∈3n-1,3n  n∈N* 
1
时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为 ×2⋅3n-1
2

1 3
× =4×
2n-3 2

n-1
故选：ABD.
【解题总结】
1、类周期函数
若y=f(x)满足：f(x+m)=kf(x)或f(x)=kf(x-m)，则y=f(x)横坐标每增加m个
单位，则函数值扩大k倍．此函数称为周期为m的类周期函数．
类周期函数图象倍增函数图象
2、倍增函数
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111 3427x
若函数y=f(x)满足f(mx)=kf(x)或f(x)=kf
m
 ，则y=f(x)横坐标每扩大m倍，则
函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．
注意当m=k时，构成一系列平行的分段函数，f(x)=
g(x)， x∈[1，m)

g(x-m+1)， x∈[m，m2)

g(x-m2+1)， x∈[m2，m3) ．
⋯
  g(x-mn-1+1)， x∈[mn-1，mn)
12 题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
202 (安徽省蚌埠市2024学年高三上学期期末数学试题)已知定义在R上的函数fx  ，gx 
满足：①f0  =1；②gx  为奇函数；③∀x∈0,+∞  ，g(x)>0；④任意的x，y∈R，
fx-y  =fx  fy  -gx  gy  .
(1)判断并证明函数fx  的奇偶性；
(2)判断并证明函数fx  在0,+∞  上的单调性.
【解析】(1)依题意，f2 x  -g2 x  =fx  fx  -gx  gx  =fx-x  =f0  =1.
∴1=f2 0  -g2 0  ⇒g0  =0
∴f-x  =f0-x  =f0  fx  -g0  gx  =fx  ，
又因为fx  的定义域为R，所以函数fx  为偶函数.
(2)由④知，fx+y  =fx  f-y  -gx  g-y  =fx  fy  +gx  gy 
∀x 1 ,x 2 ∈0,+∞  ，x <x 1 2
fx 2  -fx 1 
x +x x -x
=f 2 1 + 2 1 2 2 
x +x x -x
-f 2 1 - 2 1 2 2 
x +x
=f 2 1
2

x -x
f 2 1
2

x +x
+g 2 1
2

x -x
g 2 1
2

x +x
-f 2 1
2

x -x
f 2 1
2
 +
x +x
g 2 1
2

x -x
g 2 1
2

x +x
=2g 2 1
2

x -x
g 2 1
2

x +x x -x
∵x ，x >0，x <x ，∴ 2 1， 2 1 >0
1 2 1 2 2 2
∴fx 2  -fx 1 
x +x
=2g 2 1 2 
x -x
g 2 1 2  >0
即fx  在0,+∞  上单调递增.
203 (2024·河北石家庄·统考模拟预测)设函数f(x)定义域为R，f(x-1)为奇函数，f(x+1)
为偶函数，当x∈(-1,1)时，f(x)=-x2+1，则下列结论错误的是 ( )
7
A. f
2

3
=- B. f(x+7)为奇函数
4
C. f(x)在(6,8)上是减函数 D.方程f(x)+lgx=0仅有6个实数解
【答案】C
【解析】由题设f(-x-1)=-f(x-1)，则f(x)关于(-1,0)对称，即f(x)=-f(-x-2)，
f(x+1)=f(-x+1)，则f(x)关于x=1对称，即f(x)=f(2-x)，
所以f(2-x)=-f(-x-2)，则f(2+x)=-f(x-2)，故f(x)=-f(x-4)，
所以f(x-4)=-f(x-8)，即f(x)=f(x-8)，故f(x)=f(x+8)，
所以f(x)的周期为8，
7
f
2

7
=f2-
2

3
=f-
2

3
=-f -2
2

1
=-f-
2

3
=- ，A正确；
4
第 页 共 页
112 3427由周期性知：f(x-1)=f(x+7)，故f(x+7)为奇函数，B正确；
由题意，f(x)在(6,8)与(-2,0)上单调性相同，而x∈(-1,0)上f(x)=-x2+1递增，
f(x)关于(-1,0)对称知：x∈(-2,-1)上f(x)递增，故(-2,0)上f(x)递增，
所以f(x)在(6,8)上是增函数，C错误；
f(x)+lgx=0的根等价于f(x)与y=-lgx交点横坐标，
根据f(x)、对数函数性质得：f(x)∈[-1,1]，-lg12<-1<-lg6，
所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D正确.
故选：C
204 (2024·湖北·统考模拟预测)已知函数fx  是定义在R上的偶函数，对任意x,x ∈[0, 1 2
+∞)，且x ≠x ，有 fx 1 1 2  -fx 2  >0，若f1 x -x
1 2
 =0，则不等式x-1  fx  >0的解集是
( )
A. -1,1  ∪1,+∞  B. -1,1 
C. -∞,-1  ∪1,+∞  D. -∞,-1  ∪0,1 
【答案】A
【解析】已知fx  是定义在R上的偶函数，则fx  =f-x  ，
又对任意x,x ∈[0,+∞)，且x ≠x ，都有 fx 1
1 2 1 2
 -fx 2  >0，
x -x
1 2
所以函数fx  在[0,+∞)上单调递增，则函数fx  在-∞,0  上单调递减，又f1  =0，
所以f-1  =f1  =0，
根据函数fx  的单调性可知：x-1  fx 
x-1>0
>0等价为
fx 
x-1<0

或 
>0 fx 

， 
<0
即

x>1 或

x<1 ，解得x>1或-1<x<1，
x>1或x<-1 -1<x<1
即不等式的解集为-1,1  ∪1,+∞  .
故选：A.
205 (四川省遂宁市2024学年高三上学期期末数学试题)定义在R上的函数f(x)，对任意x,
1
x ∈R，满足下列条件：①f(x +x )=f(x)+f(x )-2 ②f(2)=4
2 1 2 1 2
(1)是否存在一次函数f(x)满足条件①②，若存在，求出f(x)的解析式；若不存在，说明理
由.
(2)证明：g(x)=f(x)-2为奇函数；
【解析】解析：假设存在一次函数fx  ，设fx  =kx+bk≠0 
则fx 1 +x 2  =kx 1 +x 2  +b，
fx 1  +fx 2  -2=kx 1 +x 2  +2b-2，所以b=2b-2，b=2.
f2  =2k+b=4,k=1，故满足条件的一次函数为：fx  =x+2
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113 3427(2)定义在R上的函数fx  对任意的x,x ∈R， 1 2
都有fx 1 +x 2  =fx 1  +fx 2  -2成立，
令x 1 =x 2 =0，则f0+0  =f0  +f0  -2，得f0  =2
令x 1 =x,x 2 =-x，则fx-x  =fx  +f-x  -2
所以f(x)-2  +f(-x)-2  =0，即gx  +g-x  =0，于是g-x  =-gx 
∴gx  =fx  -2为奇函数.
206 (安徽省蚌埠市2024学年高三上学期期末数学试题)已知定义在R上的函数fx  ，gx 
满足：
①f0  =1；
②任意的x，y∈R，fx-y  =fx  fy  -gx  gy  .
(1)求f2 x  -g2 x  的值；
(2)判断并证明函数fx  的奇偶性.
【解析】(1)依题意，f2 x  -g2 x  =fx  fx  -gx  gx  =fx-x  =f0  =1.
(2)由(1)知f2 0  -g2 0  =1，
∴g2 0  =f2 0  -1=0，即g0  =0，
∴f-x  =f0-x  =f0  fx  -g0  gx  =fx  ，
又因为fx  的定义域为R，
所以函数fx  为偶函数.
207 (多选题)(2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试)已知函数fx  对任意x∈R都
有fx+4  -fx  =2f2  ，若y=fx-1  的图象关于直线x=1对称，且对任意的x ，x 1 2
∈0,2  ，且x ≠x ，都有 fx 1 1 2  -fx 2  >0，则下列结论正确的是( )． x -x
1 2
A. fx  是偶函数 B. fx  的周期T=4
C. f2022  =0 D. fx  在-4,-2  单调递减
【答案】ABC
【解析】由y=fx-1  的图象关于直线x=1对称，则f(1+x-1)=f(1-x-1)，
即f(-x)=f(x)，故f(x)是偶函数，A正确；
由fx+4  -fx  =2f2  ，令x=-2，可得f(2)=0，则f(x+4)=f(x)，
则f(x)的周期T=4，B正确；
f2022  =f(4×505+2)=f(2)=0，故C正确；
又f(x)在(0,2)递增，则(-2,0)递减，由周期T=4，则fx  在-4,-2  单调递增，
故D错误.
故答案为：ABC
【解题总结】
抽象函数的模特函数通常如下：
(1)若f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)=xf(1)(正比例函数)
(2)若f(x+y)=f(x)f(y)，则f(x)=[f(1)]x(指数函数)
(3)若f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)=logx(对数函数)
b
(4)若f(xy)=f(x)f(y)，则f(x)=xa(幂函数)
(5)若f(x+y)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=xf(1)-m(一次函数)
(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适
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114 3427当变形.
13 题型十三：函数性质的综合
208 (广西2024届高三毕业班高考模拟测试数学试题)已知定义在R上的函数fx  在
-∞,2  上单调递减，且fx+2  为偶函数，则不等式fx-1  >f2x  的解集为 ( )
5
A. -∞,-
3
 ∪6,+∞  B. -∞,-1 
5
∪ ,+∞
3

5
C. - ,1
3

5
D. -1,
3

【答案】D
【解析】∵函数fx+2  为偶函数，∴f-x+2  =fx+2  ，即f2-x  =f2+x  ，
∴函数fx  的图象关于直线x=2对称，
又∵函数fx  定义域为R，在区间-∞,2  上单调递减，
∴函数fx  在区间2,+∞  上单调递增，
∴由fx-1  >f2x  得，x-1   -2  >2x-2 
5
，解得x∈-1,
3
 .
故选：D.
209 (北京市西城区第五十六中学2024届高三数学一模试题)已知函数fx 
1
=log 2 x   +1 
1
+ +3，则不等式flgx
x2
 >3的解集为 ( )
1
A.  ,10
10

1
B. -∞,
10
 ∪10,+∞ 
C. 1,10 
1
D.  ,1
10
 ∪1,10 
【答案】D
x
【解析】由
 ≠0 

x2≠0
得x≠0，即函数fx  的定义域为-∞,0  ∪0,+∞  ．
因为f-x 
1
=log 2 -x   +1 
1 1
+ +3=log (-x)2 2 x   +1 
1
+ +3=fx x2  ，
所以fx  为-∞,0  ∪0,+∞  上的偶函数，
当x>0时，fx 
1
=log  +1 2 x 
1
+ +3， x2
1
因为函数y= +1在0,+∞ x 
1
上单调递减,所以y=log  +1 2 x  在0,+∞  上单调递
减，
1
又y= +3都是在0,+∞
x2
 上单调递减，
根据单调性的性质，可知函数fx  在0,+∞  上单调递减，
又因为函数fx  为偶函数，所以函数fx  在(-∞,0)上单调递增，
又f1  =3，所以flgx  >3=f1  ，可得lgx  <1  =1，
1
所以-1<lgx<1，且lgx≠0，解得 <x<1或1<x<10，
10
所以不等式flgx 
1
>3的解集为 ,1
10
 ∪1,10  .
故选：D
210 (2024·广东广州·统考二模)已知偶函数fx  与其导函数fx  的定义域均为R，且fx 
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115 3427+e-x+x也是偶函数，若f2a-1  <fa+1  ，则实数a的取值范围是 ( )
A. -∞,2  B. 0,2  C. 2,+∞  D. -∞,0  ∪2,+∞ 
【答案】B
【解析】因为fx  为偶函数，则fx  =f-x  ，等式两边求导可得fx  =-f-x  ，①
因为函数fx  +e-x+x为偶函数，则fx  +e-x+x=f-x  +ex-x，②
联立①②可得fx 
ex-e-x
= -x，
2
令gx  =fx  ，则gx 
ex+e-x
= -1≥ ex⋅e-x-1=0，且gx
2
 不恒为零，
所以，函数gx  在R上为增函数，即函数fx  在R上为增函数，
故当x>0时，fx  >f0  =0，所以，函数fx  在0,+∞  上为增函数，
由f2a-1  <fa+1  可得f 2a-1    <f a+1    ，
所以，2a-1  <a+1  ，整理可得a2-2a<0，解得0<a<2.
故选：B.
211 (2024·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测)已知fx  是定义在R上的奇函数，
f3  =0，且fx  在0,+∞ 
fx
上单调递增，则不等式
 +2f-x 
<0的解集为 ( )
x
A. -∞,-3  ∪3,+∞  B. -3,0  ∪0,3 
C. -3,0  ∪3,+∞  D. -∞,-3  ∪0,3 
【答案】A
【解析】因为fx  是定义在R上的奇函数，f3  =0，且fx  在0,+∞  上单调递增，
所以f-3  =0,fx  在-∞,0  上单调递增，
fx
由
 +2f-x 
<0，得xfx
x
 >0，
当x>0时，由fx  >0=f3  ，得x>3，
当x<0时，由fx  <0=f-3  ，得x<-3，
所以原不等式的解集为-∞,-3  ∪3,+∞  .
故选：A.
212 (2024·安徽黄山·统考二模)已知函数fx  =lg x   -1  +2023x+2023-x，则使不等式
f3x  <fx+1  成立的x的取值范围是 ( )
A. -∞,-1  ∪1,+∞ 
1 1
B. - ,
4 2

1 1
C.  ,
3 2

1 1
D. - ,-
3 4

1 1
∪ ,
3 2

【答案】C
【解析】由题意可知：fx  的定义域为xx<-1 或x>1  ，关于原点对称，
由fx  =lg x   -1  +2023x+2023-x得f-x  =lg -x   -1  +2023-x+2023x=fx  ，
故fx  为偶函数，
当x>1时，fx  =lgx-1  +2023x+2023-x，由于函数t=2023x，y=lgx-1  均为
1,+∞ 
1
单调递增函数，y=t+ 在t>1单调递增，因此fx
t
 为1,+∞  上的单调递增
函数，所以不等式f3x  <fx+1 
3x
等价于
 <x+1 
3x 
 1 1
 ，解得 <x< ,
>1 3 2
故选：C
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116 3427213 (2024·四川成都·校考三模)已知函数fx  =ex-2+e2-x+2x2-8x+7,则不等式
f2x+3  >fx+2  的解集为 ( )
1
A. -1，-
3

1
B.(-∞,-1)∪- ,+∞
3

1
C. - ，1
3

1
D. -∞,-
3
 ∪(1,+∞)
【答案】B
【解析】由函数fx  =ex-2+e2-x+2x2-8x+7=ex-2+e2-x+2(x-2)2-1，
所以fx+2  =ex+e-x+2x2-1，令gx  =fx+2  =ex+e-x+2x2-1，
可得gx  =ex-e-x+4x
令hx  =gx  =ex-e-x+4x且h0  =0，
可得hx  =ex+e-x+4>0在0，+∞  上恒成立，所以hx  >h0  =0,x>0  ，
所以gx  在0，+∞  上单调递增，
又由g-x  =e-x+ex+2(-x)2-1=ex+e-x+2x2-1=gx  ，
所以函数gx  为偶函数，则在-∞，0  上单调递减，
又由f2x+3  >fx+2  ，即g2x+1  >gx  ，即2x+1  >x  ，
1
整理得3x2+4x+1>0，解得x>- 或x<-1，
3
即不等式f2x+3  >fx+2 
1
的解集为(-∞,-1)∪- ,+∞
3
 .
故选：B.
214 (2024·宁夏银川·校联考二模)已知函数f(x)=ex-e-x-2sinx，则关于x的不等式f(x2
-2x)+f(x-2)<0的解集为 ( )
A.(-1,2) B.(-2,1)
C.(2,+∞)∪(-∞,-1) D.(1,+∞)∪(-∞,-2)
【答案】A
【解析】函数fx  =ex-e-x-2sinx的定义域为R，定义域关于原点对称，
f-x  =e-x-ex-2sin-x  =e-x-ex+2sinx=-fx  ，
所以函数fx  =ex-e-x-2sinx为奇函数，
因为fx  =ex+e-x-2cosx≥2 ex⋅e-x-2cosx≥0，
当且仅当ex=e-x，即x=0时，等号成立，
所以函数fx  =ex-e-x-2sinx在R上单调递增，
所以f(x2-2x)+f(x-2)<0可化为f(x2-2x)<-f(x-2)，即f(x2-2x)<f(2-x)，
所以x2-2x<2-x，
即x2-x-2<0，解得-1<x<2，
所以不等式f(x2-2x)+f(x-2)<0的解集为-1,2  .
故选：A
215 (2024·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测)已知函数fx  =sin2x-2  +e1-x-ex-1+
2，若fa2+1  +f2a-2  >4，则实数a范围是 ( )
A. -∞,-3  B. -∞,-3  ∪1,+∞ 
C. -3,1  D. 1,+∞ 
【答案】C
【解析】根据题意，令gx  =fx+1  -2=sin2x+e-x-ex，则gx  =2cos2x-
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117 3427e-x+ex  ，
又由e-x+ex≥2 e-x⋅ex=2≥2cos2x，当且仅当e-x=ex，即x=0时，等号成立，
所以e-x+ex≥2cos2x，则gx  ≤0，则gx  在R上单调递减，
又由g-x  =sin-2x  +ex-e-x=-sin2x+e-x-ex  =-gx  ，故函数gx  为奇函数，
由fa2+1  +f2a-2  >4可化为fa2+1  -2>- f2a-2   -2  ，故ga2  >
-g2a-3  ，即ga2  >g3-2a  ，
又gx  在R上单调递减，则a2<3-2a，解得-3<a<1，即a∈-3，1  .
故选：C．
216 (2024·全国·高三专题练习)设fx  是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，fx  =x2，若
对任意x∈a，a+2  ，不等式fx+a  ≥2fx  恒成立，则实数a的取值范围是 ( )
A.  2，+∞  B.  2，+∞  C. -∞，1  D. 1，2 
【答案】A
【解析】∵当x≥0时，f(x)=x2，
∴此时函数f(x)单调递增，
∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴函数f(x)在R上单调递增，
当当x<0时，f(x)=-x2，
若对任意x∈[a，a+2]，不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立，
∵2f(x)=f( 2x)，
∴f(x+a)≥f( 2x)恒成立，
则x+a≥ 2x恒成立，
即a≥-x+ 2x= 2-1  x恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴  2-1   x  max= 2-1  (a+2)，
即a≥ 2-1  (a+2)，
解得a≥ 2，
即实数a的取值范围是故答案为 2，+∞  ．
故选：A
【解题总结】
(1)奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数(或轴对称函数)与单调性综合解
不等式和比较大小.
(2)奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两
条对称轴(或对称中心)之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.
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