文档内容
第7讲 函数的性质
知识梳理
1、函数的单调性
(1)单调函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间D⊆A：
如果对于D内的任意两个自变量的值x ，x 当x f(x )；
1 2 1 2
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降
的．
(2)单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区
间D上具有单调性，D称为函数f(x)的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
(3)复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函数，内层
函数是增(减)函数，复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数，内层函数是减(增)函数，复
合函数是减函数.
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= 关于y轴对
偶函数
f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 称
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= 关于原点对
奇函数
-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 称
f(-x)
判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论：如果f(-x)-f(x)=0或 =1
f(x)
f(-x)
(f(x)≠0)，则函数f(x)为偶函数；如果f(-x)+f(x)=0或 =-1(f(x)≠0)，则函数
f(x)
f(x)为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一
个x，-x也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3、函数的对称性
第 页 共 页
86 3427(1)若函数y=f(x+a)为偶函数，则函数y=f(x)关于x=a对称．
(2)若函数y=f(x+a)为奇函数，则函数y=f(x)关于点(a，0)对称．
(3)若f(x)=f(2a-x)，则函数f(x)关于x=a对称．
(4)若f(x)+f(2a-x)=2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
4、函数的周期性
(1)周期函数：
对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+
T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做f(x)的
最小正周期.
【解题方法总结】
1、单调性技巧
(1)证明函数单调性的步骤
①取值：设x ，x 是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x 0且f(x)为增函数，则函数 f(x)为增函数， 为减函数；
f(x)
1
④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数 f(x)为减函数， 为增函数．
f(x)
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数f(x)是偶函数⇔函数f(x)的图象关于y轴对称；
函数f(x)是奇函数⇔函数f(x)的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数y=f(x)在x=0处有意义，则有f(0)=0；
偶函数y=f(x)必满足f(x)=f(|x|).
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于
第 页 共 页
87 3427原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和
1 1
的形式.记g(x)= [f(x)+f(-x)]，h(x)= [f(x)-f(-x)]，则f(x)=g(x)+h(x).
2 2
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算
所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x).
对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；
奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶.
(7)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
ax+1
奇函数：①函数f(x)=m
ax-1
ax-1
(x≠0)或函数f(x)=m
ax+1
．
②函数f(x)=±(ax-a-x)．
x+m 2m
③函数f(x)=log =log 1+
ax-m a x-m
x-m 2m
或函数f(x)=log =log 1-
ax+m a x+m
④函数f(x)=log ( x2+1+x)或函数f(x)=log ( x2+1-x)．
a a
2m 2m
注意：关于①式，可以写成函数f(x)=m+ (x≠0)或函数f(x)=m- (m∈R)．
ax-1 ax+1
偶函数：①函数f(x)=±(ax+a-x)．
mx
②函数f(x)=log (amx+1)- ．
a 2
③函数f(|x|)类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
第 页 共 页
88 34274、函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a0成立，则函数fx 一定是 ( )
A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数
【答案】C
【解析】对于任意两个不相等的实数x ，x ，总有 fx 2
1 2
-fx 1 >0成立，
x -x
2 1
等价于对于任意两个不相等的实数x 1 0成立，则
a-b
必有 ( )
A. f(x)在R上是增函数 B. f(x)在R上是减函数
C.函数f(x)先增后减 D.函数f(x)先减后增
【答案】A
f(a)-f(b)
【解析】由 >0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
158 下列函数中，满足“fx+y =fx fy ”的单调递增函数是
A. fx 1 =x2 B. fx =x3 C. fx 1 =
2
x D. fx =3x
【答案】D
【解析】由于ax⋅ar=ax+r，所以指数函数f(x)=ax满足f(x+y)=fx +fy ，且当a>
1时单调递增，0f1-m ，求实数m的取值范围．
【解析】(1)f(x)在(0,+∞)上递减，理由如下：
任取x,x ∈(0,+∞)，且x 0，
1 2 2 1
所以f(x )-f(x)<0，即f(x )f1-m ，得
2m-1>0
1 2
1-m>0 ，解得 0，a≠1，证明：函数φx
ax-1
= 是x的增函数
x
x>0 ．
x
【解析】证明：当x >x >0，在伯努利不等式定理3中取1+x=ax2，r= 1,0 x1 ，
x x
2 1
即φx 2 >φx 1 .
所以当x>0时，φx 是x的增函数．
2x a
162 (2024·上海静安·高三校考期中)已知函数f(x)= - (a>0)，且f(0)=0.
a 2x
(1)求a的值，并指出函数f(x)的奇偶性；
(2)在(1)的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
1
【解析】(1)因为f(0)= -a=0，又a>0，所以a=1，
a
1
所以f(x)=2x- ，x∈(-∞,+∞)，
2x
1
此时f(-x)= -2x=-f(x)，所以f(x)为奇函数；
2x
第 页 共 页
91 34271 1
(2)任取x 1,所以1-2x2-x1<0,2x11+
1 2 2x1+x2
>0
所以f(x)-f(x )<0即f(x)0，得00，解得，2kπ- 0)为偶函数，则
2x+1
函数fx 的值域为 .
1
【答案】0,
2
【解析】∵函数fx
ax
= (a>0)是偶函数，
2x+1
∴f-x =fx
2
a-x a
⇒ =
2-x+1
x
ax 2
= ⇒ =a⇒a= 2，
2x+1 2x+1 a
∴fx
( 2)x
= ，易得fx
2x+1
>0，
设t=( 2)x(t>0)，
t 1 1
则y= = ≤ ，
t2+1 1 2
t+
t
1
当且仅当t= 即t=1时，等号成立，
t
1
所以00且a≠1)，若曲线y=fx 在点 0,f0 处的切线与直线x+2y-1=0垂直，则
fx 在-1,2 上的最大值为 .
1
【答案】7+
e2
【解析】由题意得fx =axlna+3，所以f0 =lna+3，
1
因为切线与直线x+2y-1=0垂直，而x+2y-1=0的斜率为- ，
2
所以切线斜率为2，即lna+3=2，解得a=e-1，
所以fx =e-x+3x+1，且fx =-e-x+3，
显然fx 是增函数，
当x∈-1,2 时，fx ≥f-1 =3-e>0，
所以fx 在-1,2 上单调递增，故f(x) max =f2
1
=7+ . e2
1
故答案为：7+
e2
169 (新疆乌鲁木齐市第八中学2024届高三上学期第一次月考)若函数fx
2x+m
= 在区
x+1
间0,1 上的最大值为3，则实数m= .
【答案】3
【解析】∵函数fx
2x+m m-2
= =2+ ，
x+1 x+1
由复合函数的单调性知，
当m>2时，fx
2x+m
= 在0,1
x+1
上单调递减，最大值为f0 =m=3；
当m<2时，fx
2x+m
= 在0,1
x+1
上单调递增，最大值为f1
2+m
= =3，
2
第 页 共 页
94 3427即m=4，显然m=4不合题意，
故实数m=3.
故答案为：3
【解题总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数y=f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y=
f(x)(x∈a，c)在x=b处有最大值f(b)．
2、如果函数y=f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y=
f(x)(x∈a，c)在x=b处有最小值f(b)．
3、若函数y=f(x)在[a，b]上是严格单调函数，则函数y=f(x)在[a，b]上一定有最大、
最小值．
4、若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单调递增函数，则y=f(x)的最大值是f(b)，最小值
是f(a)．
5、若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单调递减函数，则y=f(x)的最大值是f(a)，最小值
是f(b)．
4 题型四：利用函数单调性求参数的范围
170 已知函数fx
3a-1
=
x+4a (x<1)
a
x≥1
x
，满足对任意的实数x ，x 且x ≠x ，都有 1 2 1 2
f(x 1 )-f(x 2 ) (x -x )<0，则实数a的取值范围为 ( ) 1 2
1
A. ,1
7
1
B. 0,
3
1 1
C. ,
6 3
1
D. ,1
6
【答案】C
【解析】对任意的实数x 1 ≠x 2 ，都有f(x 1 )-f(x 2 ) (x -x )<0,即 fx 1 1 2 -fx 2 <0成 x -x
1 2
立，
可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；
3a-1<0
可得：a>0 ，
3a-1+4a≥a
1 1
解得a∈ ,
6 3
，
故选：C
171 (吉林省松原市2024学年高三上学期第一次月考)若函数fx =log x3-ax a (a>0且
1
a≠1)在区间- ,0
2
内单调递增，则a的取值范围是 ( )
1
A. ,1
4
3
B. ,1
4
9
C. ,+∞
4
9
D. 1,
4
【答案】B
1
【解析】函数f(x)=log (x3-ax)(a>0,a≠1)在区间 - ,0
a 2
内有意义，
1
则-
2
3 1 1
+ a≥0,∴a≥ ，
2 4
设t=x3-ax,则 y=log t，t=3x2-a
a
( 1 ) 当 a>1时， y=log t 是增函数，
a
第 页 共 页
95 34271
要使函数f(x)=log (x3-ax)(a>0,a≠1)在区间- ,0
a 2
内单调递增，
1
需使 t=x3-ax 在区间- ,0
2
内内单调递增，
1
则需使t′=3x2-a≥0，对任意x∈- 0
2
1
恒成立 , 即a≤3x2对任意x∈- ,0
2
恒成
立；
1
因为x∈- ,0
2
3 1
时，0<3x2< 所以a<0与a> 矛盾，此时不成立.
4 4
( 2 ) 当00,a≠1)在区间- ,0 2 内单调递增，
1
需使t=x3-ax在区间- ,0
2
内内单调递减，
1
则需使t′=3x2-a≤0 对任意x∈- ,0
2
恒成立，
1
即a≥3x2对任意x∈- ,0
2
恒成立，
1
因为x∈- ,0
2
3
时,0<3x2< ，
4
3
所以a≥ ，
4
3
又a<1，所以 ≤a<1.
4
3
综上，a的取值范围是 ≤a<1
4
故选：B
172 (四川省广安市2024学年高三上学期期末数学试题)已知函数fx =
-x2-ax-9, x≤1
a 在R上单调递增，则实数a的取值范围为 ( )
, x>1
x
A. -5,0 B.(-∞,-2) C. -5,-2 D.(-∞,0)
【答案】C
【解析】由题意，x∈R，
在fx
-x2-ax-9, x≤1
=a 中，函数单调递增，
, x>1
x
-a
-
2×-1
∴
≥1
a<0 ，解得：-5≤a≤-2，
-1-a-9≤ a
1
故选：C.
173 (江西省临川第一中学2024届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知函数fx =
log x2-ax+3 a 在0,1 上是减函数，则实数a的取值范围是 ( )
A. 0,1 B. 1,4 C. 0,1 ∪1,4 D. 2,4
【答案】D
【解析】函数fx =log x2-ax+3 a 在0,1 上是减函数，
a 当00恒成立，
4 4
第 页 共 页
96 3427而函数u=x2-ax+3在区间0,1 上不单调，因此01时，函数y=log u在(0,+∞)上单调递增，于是得函数u=x2-ax+3在区间
a
0,1 上单调递减，
a
因此 ≥1，并且12-a⋅1+3>0，解得2≤a<4，
2
所以实数a的取值范围是2,4 .
故选：D
174 (天津市复兴中学2024学年高三上学期期末数学试题)已知函数fx =x2+2kx-5在
-2,4 上具有单调性，则实数k的取值范围为( )．
A.k≤-4 B.k≥2
C.k≤-4或k≥2 D.k<-4或k>2
【答案】C
【解析】函数fx =x2+2kx-5的对称轴为x=-k，
因为函数fx =x2+2kx-5在-2,4 上具有单调性，
所以-k≥4或-k≤-2，即k≤-4或k≥2.
故选：C
【解题总结】
若已知函数的单调性，求参数a的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a
的不等式，利用下面的结论求解．
1、若a>f(x)在[m，n]上恒成立⇔a>f(x)在[m，n]上的最大值．
2、若a0成立．若a=flog 3 18
1 2
，b=
e2
fln
2
ln10
，c=fe 2 ，则a，b，c的大小关系是 ( )
A.b0成立． x -x
1 2
所以函数y=fx 在2,+∞ 上单调递增，
e2 ln10
而3=log 27>log 18>log 9=2，ln =lne2-ln 2=2-ln 2<2，e 2 =eln 10=
3 3 3 2
10>3，
ln10 e2
所以e 2 >log 18>2>ln ，
3 2
所以c>a，
因为函数y=fx 的对称轴为x=2，
第 页 共 页
97 3427e2
所以b=fln
2
e2
=f4-ln
2
=f2+ln 2 ，
而a=flog 3 18 =flog 3 9×2 =f2+log 3 2 ，
因为ln 2f(-1) C. f(-1)f5
【答案】BD
【解析】函数fx 在区间0,5 上是单调函数，又3>1，且f3 -1，故f0 >f-1 ，故B正确；
对于C，f-1 =f1 ，故C错误；
对于D，f-3 =f3 >f5 ，故D正确．
故选:BD.
177 (2024届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题)下列函数中，既是偶函数又在区
间(0,+∞)上单调递增的是 ( )
A.y=x3 B.y=-x2+1 C.y=log x D.y=2|x|
2
【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.函数y=x3是奇函
数，不符合；
函数y=-x2+1是偶函数，但是在(0,+∞)上单调递减，不符合；
函数y=log x不是偶函数，不符合；
2
函数y=2|x|既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增，符合.
故选：D
【解题总结】
1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.
2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复
合函数单调区间(同增异减).
3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确
定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义
域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.
6 题型六：函数的奇偶性的判断与证明
178 利用图象判断下列函数的奇偶性：
第 页 共 页
98 3427-x2+2x+1, x>0
(1)f(x)=
x2+2x-1, x<0
x2+x,x<0,
(2)f(x)=
x2-x，x>0
1 (3)y=
2
x ；
(4)y=log 2 (x+1) ；
(5)y=x2-2x -1.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，
-x2+2x+1，x>0
对于函数f(x)=
x2+2x-1，x<0
，
当x>0,f(x)=-x2+2x+1，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为x=1，
当x<0,f(x)=x2+2x-1，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=-1，
-x2+2x+1，x>0
画出函数f(x)=
x2+2x-1，x<0
的图象，如图所示，
函数图象关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数；
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，
x2+x，x<0
对于函数f(x)=
x2-x，x>0
，
1
当x<0,f(x)=x2+x，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=- ，
2
1
当x>0,f(x)=x2-x，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x= ，
2
x2+x，x<0
画出函数f(x)=
x2-x，x>0
的图象，如图所示，
函数图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数；
1
(3)先作出y=
2
x 1
的图象，保留y=
2
x
图象中x≥0的部分，
1
再作出y=
2
x
的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，
第 页 共 页
99 34271 即得y=
2
x 的图象，如图实线部分．
1 由图知y=
2
x 的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
(4)将函数y=log x的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上
2
去，
即可得到函数y=log 2 (x+1) 的图象，如图，
由图知y=log 2 (x+1) 的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
(5)函数y=f(x)=x2-2x
x2-2x-1, x≥0
-1= ，
x2+2x-1, x<0
当x≥0,f(x)=x2-2x-1，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=1，
当x<0,f(x)=x2+2x-1，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=-1，
x2-2x-1，x≥0
画出函数f(x)=
x2+2x-1，x<0
的图象，如图，
由图知y=x2-2x -1的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
179 (2024·北京·高三专题练习)下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞ 上单调递增的是
( )
A.y=cosx B.y=ex
1
C.y=lgx D.y=
x
【答案】B
【解析】对于A，函数y=cosx的定义域为R，且满足cos(-x)=cosx，所以其为偶函数，
在0,π 上单调递减，在π,2π 上单调递减，故A不符合题意；
第 页 共 页
100 3427对于B，设y=fx =ex ，函数fx =ex
ex, x≥0
= 1
e
x 的定义域为R，
, x<0
且满足f-x =fx ，所以函数fx =ex 为偶函数，
当x∈(0,+∞)时，fx =ex为单调递增函数，故B符合题意；
对于C，函数y=lgx的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，
所以函数y=lgx为非奇非偶函数，故C不符合题意；
1 1
对于D，设y=f(x)= ，函数f(x)= 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
x x
且满足f-x =-fx
1
，所以函数f(x)= 为奇函数，
x
又函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，故D不符合题意.
故选：B.
180 (多选题)(黑龙江省哈尔滨市第五中学校2024学年高三下学期开学检测数学试题)设函
数fx ,gx 的定义域都为R，且fx 是奇函数，gx 是偶函数，则下列结论正确的是
( )
A. fx ⋅gx 是偶函数 B. fx ⋅gx 是奇函数
C. fx ⋅ gx 是奇函数 D. fx ⋅gx 是偶函数
【答案】CD
【解析】因为函数fx ,gx 的定义域都为R，
所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，
因为fx 是奇函数，gx 是偶函数，
所以f-x =-fx ,g-x =gx ，
对于A，因为f-x ⋅g-x =-fx gx ，
所以函数fx ⋅gx 是奇函数，故A错误；
对于B，因为 f-x ⋅g-x = -fx ⋅gx = fx ⋅gx ，
所以函数 fx ⋅gx 是偶函数，故B错误；
对于C，因为f-x ⋅ g-x =-fx ⋅ gx ，
所以函数fx ⋅ gx 是奇函数，故C正确；
对于D，因为 f-x ⋅g-x = -fx ⋅gx = fx ⋅gx ，
所以函数 fx ⋅gx 是偶函数，故D正确.
故选：CD.
181 (北京市海淀区2024届高三二模数学试题)下列函数中，既是奇函数又在区间0,1 上单
调递增的是 ( )
2
A.y=lgx B.y= C.y=2|x| D.y=tanx
x
【答案】D
【解析】对于A, y=lgx的定义域为0,+∞ ，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶
函数，故A错误，
对于B，fx
2
= 的定义域为-∞,0
x
∪0,+∞ ，定义域关于原点对称，又f-x =-x
1
- =-fx
x
，所以fx 为奇函数，但在0,1 单调递减，故B错误，
对于C，fx =2|x|的定义域为R,关于原点对称，又f-x =2|-x|=2x =fx ，故fx
第 页 共 页
101 3427为偶函数，故C错误，
对于D，fx =tanx, 由正切函数的性质可知fx =tanx为奇函数，且在0,1 单调递
增，故D正确，
故选：D
【解题总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对
称性.
7 题型七：已知函数的奇偶性求参数
182 (四川省成都市蓉城联盟2024学年高三下学期第二次联考)已知函数fx =
ex+ae-x sin2x是偶函数，则a= ．
【答案】-1
【解析】fx =ex+ae-x sin2x定义域为R，
由f-x =fx 得：e-x+aex sin-2x =ex+ae-x sin2x，
因为sin-2x =-sin2x，所以-e-x+aex =ex+ae-x，故a=-1.
故答案为：-1
183 (江西省部分学校2024届高三下学期一轮复习验收考试)若函数fx =log 216x+1 -
ax是偶函数，则log 2= ．
a
【答案】1
【解析】∵fx 为偶函数，定义域为R，
∴对任意的实数x都有fx =f-x ，
即log 216x+1 -ax=log 216-x+1 +ax，
∴2ax=log 216x+1 -log 216-x+1 =log 16x=4x， 2
由题意得上式对任意的实数x恒成立，
∴2a=4，解得a=2,所以log 2=1
a
故答案为：1
184 (湖南省部分学校2024届高三下学期5月联数学试题)已知函数fx =2x2+ax+2，若
fx+1 是偶函数，则a= ．
【答案】-4
【解析】因为fx+1 是偶函数，
所以f-x+1 =fx+1 ，
∴2-x+1 2+a-x+1 +2=2x+1 2+ax+1 +2，
即8x=-2ax，
解得a=-4.
故答案为：-4.
185 若函数fx =2e2x+ae-2x+1为偶函数，则a= .
【答案】2
【解析】∵函数fx =2e2x+ae-2x+1为偶函数
∴fx =2e2x+ae-2x+1=f-x =2e-2x+ae2x+1
即2-a e2x=2-a e-2x
又∵e2x>0,e-2x>0,e2x≠e-2x x≠0 ∴2-a=0
第 页 共 页
102 3427故答案为：a=0
【解题总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为f(-x)=±f(x)，建立方程，使问题得到解决，但是在解
决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.
8 题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
186 (2024年高三数学押题卷五)已知函数fx 是奇函数，函数gx 是偶函数．若fx -
gx
2023π
=xsinx，则f
2
= ( )
2023π 2023π
A. B.- C.0 D.-1
2 2
【答案】C
【解析】由函数fx 是奇函数，函数gx 是偶函数，fx -gx =xsinx，
故f-x -g-x =-xsin(-x)，即-fx -gx =xsin(x)，
将该式和fx -gx =xsinx相减可得fx =0，
2023π
则f
2
=0，
故选：C
187 (广东省湛江市2024届高三二模数学试题)已知奇函数fx
x2-3-x,x<0,
=
gx
则gx
+1,x>0,
=
．
【答案】-x2+3x-1
【解析】当x>0时，-x<0，fx =gx +1=-f-x =- -x 2-3--x =-x2+3x，
则gx =-x2+3x-1．
故答案为：-x2+3x-1.
188 已知函数fx 是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx =-x2+4x-3，则函数fx
的解析式为 ．
【答案】fx
x2+4x+3, x<0
= 0, x=0
-x2+4x-3, x>0
【解析】由于函数fx 是R上的奇函数，则f0 =0.
当x>0时，fx =-x2+4x-3，
设x<0，则-x>0，则f-x =-x2-4x-3=-fx ，
所以fx =x2+4x+3.
综上所述，fx
x2+4x+3, x<0
= 0, x=0.
-x2+4x-3, x>0
故答案为：fx
x2+4x+3, x<0
= 0, x=0
-x2+4x-3, x>0
189 设函数f(x)与g(x)的定义域是 x∈R x≠±1
，函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇
第 页 共 页
103 34271
函数，且f(x)-g(x)= ，则f(x)等于 ( )
x-1
1 2x2 2 2x
A. B. C. D.
x2-1 x2-1 x2-1 x2-1
【答案】A
【解析】由函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，
所以f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，
1
因为f(x)-g(x)= ①，
x-1
1
则f(x)+g(x)=f(-x)-g(-x)= ②，
-x-1
1 1 2
所以①+②得2f(x)= + = ，
x-1 -x-1 x2-1
1
所以f(x)= ．
x2-1
故选：A．
【解题总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方
程，从而可得f(x)的解析式.
9 题型九：已知f(x)=奇函数+M
190 (宁夏银川一中、昆明一中2024届高三联合二模考试数学试题)已知函数fx =ax5+
bsinx+c，若f-1 +f1 =2，则c= ( )
2
A.-1 B.0 C.1 D.
3
【答案】C
【解析】因为f(-1)+f(1)=2，
所以-a-bsin1+c+a+bsin1+c=2，
所以c=1.
故选：C.
191 (河南省济洛平许2024届高三第四次质量检测数学试题)已知fx +1在R上单调递
增，且为奇函数.若正实数a，b满足fa-4 +fb
1 2
=-2，则 + 的最小值为 ( )
a b
3 2 3 3
A. + B. + 2 C.3+2 2 D. + 2
4 2 4 2
【答案】A
【解析】由于fx +1为奇函数，所以fx +1+f-x +1=0⇒fx +f-x =-2，
由fa-4 +fb =-2得a-4=-b⇒a+b=4 ，
1 2 1 1 2
由于a>0,b>0, 所以 + = +
a b 4 a b
a+b
1 b a
= 3+ +
4 a b
1
≥ 3+2 2
4
=
3 2
+ ，
4 2
1 2 3 2
当且仅当a=b时取等号，故 + 的最小值为 + ，
a b 4 2
故选：A
π
192 (重庆市巴蜀中学2024届高三高考适应性月考数学试题)已知函数f(x)= +cosx⋅
4
第 页 共 页
104 3427lnx+ 1+x2 在区间[-5,5]的最大值是M，最小值是m，则f(M+m)的值等于
( )
π π
A.0 B.10 C. D.
4 2
【答案】C
【解析】令g(x)=cosx⋅lnx+ 1+x2 ，则fx
π
= +gx
4
，
∴f(x)和g(x)在[-5,5]上单调性相同，
∴设g(x)在[-5,5]上有最大值g(x) ，有最小值g(x) .
max min
∵g-x =cosx⋅ln-x+ 1+x2 ，
∴gx +g-x =cosx⋅ln 1+x2+x 1+x2-x =0，
∴g(x)在[-5,5]上为奇函数，∴g(x) +g(x) =0，
max min
π π π
∴M=g(x) + ,m=g(x) + ，∴M+m= ，
max 4 min 4 2
fM+m
π
=f
2
π
= .
4
故选：C.
193 (福建省福州格致中学2024学年高三下学期期中考数学试题)已知函数fx =
alnx+ 1+x2 +bsinx+2，若f-3 =7，则f3 ( )
A.等于-7 B.等于-5 C.等于-3 D.无法确定
【答案】C
【解析】设g(x)=lnx+ 1+x2 ，显然定义域为R，
又g(x)+g(-x)=lnx+ 1+x2 +ln-x+ 1+x2 =ln 1+x2 2-x2 =ln1=0，
则g(-x)=-g(x)，所以g(x)=lnx+ 1+x2 是R上的奇函数；
又y=sinx也是R上的奇函数，所以f(x)-2也是R上的奇函数，
因此f(-3)-2=-f(3)-2 ，则f(3)=4-f(-3)=4-7=-3.
故选：C.
【解题总结】
已知f(x)=奇函数+M，x∈[-a,a]，则
(1)f(-x)+f(x)=2M
(2)f(x) +f(x) =2M
max min
10 题型十：函数的对称性与周期性
194 (多选题)(2024·山东烟台·统考二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(4+x)=0，
f(2+2x)是偶函数，f(1)=1，则 ( )
A. fx 是奇函数 B. f2023 =-1
C. fx
100
的图象关于直线x=1对称 D.kf(2k-1)=-100
k=1
【答案】ABD
【解析】对于选项A，∵f(2+2x)是偶函数，∴f(2-2x)=f(2+2x)，
∴函数f(x)关于直线x=2对称，∴f-x =f4+x ，
∵f(x)+f(4+x)=0，∴f-x =-fx ，∴fx 是奇函数，则A正确；
第 页 共 页
105 3427对于选项B，∵f(4+x)=-f(x)，∴f(8+x)=-f(4+x)，∴f(8+x)=f(x),
∴fx 的周期为8，∴f2023 =f253×8-1 =f-1 =-f1 =-1，则B正确；
对于选项C，若fx 的图象关于直线x=1对称，则f3 =f-1 ，
但是f-1 =-f1 =-1，f3 =f1 =1，即f3 ≠f-1 ，这与假设条件矛盾，则选项
C错误；
1
对于选项D，将x= 代入f(2-2x)=f(2+2x)，得f3
2
=f1 =1，
将x=1，代入f(x)+f(4+x)=0，得f5 =-f1 =-1，
同理可知f7 =-f3 =-1，
又∵fx 的周期为8，∴fx 正奇数项的周期为4，
100
∴kf(2k-1)=f1
k=1
+2f3 +3f5 +⋅⋅⋅+100f199
= f1 +2f3 +3f5 +4f7 + 5f9 +6f11 +7f13 +8f15 ⋅⋅⋅
+ 97f193 +98f195 +99f197 +100f199 =25×-4 =-100，则D正确.
故选：ABD.
195 (多选题)(2024·湖南·高三校联考阶段练习)已知定义在R上的函数fx 和gx 的导函
数分别是fx 和gx ，若fx +gx-2 =1，fx+2 =g2-x ，且gx+2 是奇函
数，则下列结论正确的是 ( )
A. f4 =1 B. gx 的图像关于点1,0 对称
2024
C. ∑fk
k=1
2024
=0 D. ∑fk
k=1
gk+1 =0
【答案】ABD
【解析】因为gx+2 是奇函数，所以g2 =0．因为fx +gx-2 =1，所以f4 +
g2 =1，所以f4 =1，则A正确；
因为fx +gx-2 =1，所以fx +gx-2 =0，所以fx+2 +gx =0，
因为fx+2 =g2-x ，所以g2-x +gx =0，则gx 的图像关于点1,0 对称，
则B正确；
因为fx+2 =g2-x ，所以fx+2 -g2-x =0，
所以fx+2 +g2-x =c(c为常数)，所以fx +g4-x =c(c为常数)．
因为fx +gx-2 =1，所以gx-2 -g4-x =1-c．
令x=3，得g1 -g1 =1-c=0，所以c=1，则gx-2 =g4-x ．
因为gx+2 是奇函数，所以gx+2 =-g-x+2 ，所以gx-2 =-g-x+6 ，
所以g4-x =-g-x+6 ，所以gx =-gx+2 ，所以gx =gx+4 ，
即gx 是周期为4的周期函数．
因为fx +gx-2 =1，所以fx =1-gx-2 ，所以fx+4 =1-gx+2 ，
所以fx =fx+4 ，即fx 是周期为4的周期函数．
因为g2 =0，所以g4 =0，g1 =-g3 ，所以f2 =f4 =1，f1 =1-g3 =1+
g1 ，f3 =1-g1 ，则
f1 +f2 +f3 +f4 =4，f1 g2 +f2 g3 +f3 g4 +f4 g5 =0，
2024
故∑fk
k=1
2024
=2024，∑fk
k=1
gk+1 =0，即C错误，D正确.
故选：ABD.
第 页 共 页
106 3427196 (多选题)(2024·河北·统考模拟预测)已知函数fx ，gx 的定义域均为R，导函数分别
为fx ，gx ，若f3-x =gx -2，fx =gx+1 ，且g2+x +g-x =0，则
( )
A.4为函数gx 的一个周期 B.函数fx 的图象关于点2,-2 对称
2024
C. gn
n=1
2024
=0 D. fn
n=1
=4048
【答案】ABC
【解析】由g2+x +g-x =0得g2-x =-gx ，
由f3-x =gx -2求导得-f3-x =gx ，
又fx =gx+1 得f3-x =g4-x ，所以-gx =g4-x ，
所以gx =g4-x +c，所以g2 =g2 +c⇒c=0,gx =g4-x ，
所以g4-x =-g2-x ⇒gx+2 =-gx ⇒gx+4 =-gx+2 =gx ，
所以4为函数gx 的一个周期，A正确；
f3-x =gx -2⇒gx =f3-x +2，故g2-x =f 3-2-x +2=f1+x +2，
因此f3-x +2+f1+x +2=0⇒f3-x +f1+x =-4，
故函数fx 的图象关于点2,-2 对称，B正确，
在g2+x +g-x =0中，令x=-1,∴g1 =0
由fx =gx+1 得fx =gx+1 +c, c为常数，故f-x+4 =g-x+5 +c，
由函数fx 的图象关于点2,-2 对称，
fx +f-x+4 =gx+1 +c+g-x+5 +c=-4，
因此gx+1 +g-x+5 +2c=-4⇒gx+1 -gx-3 +2c=-4⇒c=-2，
所以fx =gx+1 -2,由于gx 的周期为4，所以fx 的周期也为4，
由于g4-x =f3-x +2=gx ，所以g3 =g1 =0，g4 +g2 =g0 +g2 =0
，
2024
所以 gn
n=1
=506 g1 +g2 +g3 +g4 =0，故C正确，
由于fx =gx+1 -2,
2024
fn
n=1
2024
= gn+1
n=1
-2
2024
= gn+1
n=1
-2×2024=506 g2 +g3 +g4 +g5 -2×2024=0-4048
=-4048,故D错误，
故选:ABC
197 (多选题)(2024·山东滨州·统考二模)函数y=fx 在区间-∞,+∞ 上的图象是一条连
续不断的曲线，且满足f3+x -f3-x +6x=0，函数f1-2x 的图象关于点0,1 对
称，则 ( )
A. fx 的图象关于点1,1 对称 B.8是fx 的一个周期
C. fx 一定存在零点 D. f101 =-299
【答案】ACD
【解析】对于A,由于f1-2x 的图象关于点0,1 对称，所以f1-2x +f1+2x =2，
故f1-x +f1+x =2，所以fx 的图象关于点1,1 对称，故A正确，
由f3+x -f3-x +6x=0得f3+x +3x=f3-x -3x，令gx =f3+x +3x,
∴g-x =f3-x +3x,所以gx =g-x ，故gx 为偶函数，又fx 的图象关于点
第 页 共 页
107 34271,1 对称，所以fx +f-x+2 =2，又fx =gx-3 -3x-3 ，从而gx-3 -
3x-3 +g-x+2-3 -3-x+2-3 =2⇒gx-3 +g-x-1 =-10，
所以gx 的图象关于-2,-5 对称，
对于C,在f1-x +f1+x =2中,令x=0,f1 =1>0，所以g-2 =f1 -6=-5，
∴g2 =-5=f5 +6⇒f5 =-11<0，由于y=fx 在区间-∞,+∞ 上的图象是一
条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得fx 在1,5 有零点，故C正确
对于D,由于gx 的图象关于-2,-5 对称以及gx =g-x 得gx +g-x-4 =
-10⇒gx +gx+4 =-10，又gx+8 +gx+4 =-10，所以gx =gx+8 ，所以
gx 是周期为8的周期函数，f101 =g98 -3×98=g2 -294=-5-294=-299，
故D正确，
对于B，f1 =1，f9 =g6 -18=g-2 -18=g2 -18=-5-18=-23≠f1 ，所
以8不是fx 的周期，
故选：ACD
【解题总结】
(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a0，解得n< ，
n 2n n+1 n 2n+1 2n+1 2
11-2n 11
令 <0，解得n> ，考虑到n∈N*，故有当n≤5时，{c }单调递增，
2n+1 2 n
3 3
当n≥6时，有{c }单调递减，故数列{c }的最大值为c = = ，
n n 6 26 64
3
所以k≥ .
64
故选：C.
200 (2024·全国·高三专题练习)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈[0,2]
1 3
时，f(x)=x2-2x，若x∈[-4,-2]时，f(x)≥ -t
18 t
恒成立，则实数t的取值范围是
( )
A. -∞,-1 ∪0,3 B. -∞,- 3 ∪0, 3
C. -1,0 ∪3,+∞ D. - 3,0 ∪ 3,+∞
【答案】C
【解析】因为x∈-4,-2 ，所以x+4∈0,2 ，
因为x∈0,2 时，fx =x2-2x，
所以fx+4 =x+4 2-2x+4 =x2+6x+8,
因为函数fx 满足 fx+2 =3fx ，
所以fx+4 =3fx+2 =9fx ，
所以fx
1
= fx+4
9
1
= x2+6x+8
9
，x∈-4,-2 ，
第 页 共 页
109 3427又因为x∈-4,-2 ，fx
1 3
≥ -t
18 t
恒成立，
1 3
故 -t
18 t
≤fx
1
=- ，
min 9
解不等式可得t≥3或-1≤t<0.
4-4x-8
201 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=
, 1≤x≤3
1 x
f
2 3
，则下列说
, x>3
法正确的是 ( )
1 1
A.若函数y=f(x)-kx有4个零点，则实数k的取值范围为 ,
18 3
1
B.关于x的方程f(x)- =0n∈N*
2n-3
有2n-1个不同的解
C.对于实数x∈[1,+∞)，不等式xf(x)-8≤0恒成立
D.当x∈3n-1,3n n∈N* 3 时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为4×
2
n-1
【答案】ABD
1 x
【解析】∵f(x)= f
2 3
,x>3，则f(x)在3n,3n+1 n∈N* 的图象是将
3n-1,3n n∈N* 的图象沿x轴方向伸长为原来的3倍、沿y轴方向缩短为原来的一半
∴fx =23-n 1-31-nx-2 ,x∈3n-1,3n n∈N*
则f(x)在3n-1,2⋅3n-1 n∈N* 上单调递增，在2⋅3n-1,3n n∈N* 上单调递减
∴f(x)在3n-1,3n
n∈N*
1
上的最大值为f(2⋅3n-1)= ，最小值为f(3n-1)=0，即f(x)
2n-3
在3n-1,3n n∈N* 上的值域为 0, 1
2n-3
n∈N*
对于A，令f(x)-kx=0，即f(x)=kx，则y=f(x)与y=kx有四个交点
作出n=1,2,3时fx 的图象，如图1：6,2 ,18,1 分别与0,0
1 1
连线的斜率为 ,
3 18
1 1
结合图象可得：实数k的取值范围为 ,
18 3
，A正确；
1
对于B，令f(x)- =0n∈N*
2n-3
1
，则f(x)= n∈N*
2n-3
1
∴方程的根的个数即为y=f(x)与y= n∈N*
2n-3
的交点个数
当n=1时，y=f(x)的最大值为f2 =4
∴y=f(x)与y=4有且仅有一个交点，
当n≥2n∈N* 时，则有：
①当k ，则y=
2k-3 2n-3
1
f(x)与y= 在3k-1,3k
2n-3
内有两个交点
第 页 共 页
110 3427∴当x∈1,3n
1
，y=f(x)与y= 有2n-1
2n-3
交点
②当k=n，则f(x)在3n-1,3n
1
上的最大值为f(2⋅3n-1)=
2n-3
1
∴y=f(x)与y= 有且仅有一个交点
2n-3
③当k>nk∈N* 时，f(x)在3k-1,3k
1 1
上的最大值为f(2⋅3k-1)= < ，则y=
2k-3 2n-3
1
f(x)与y= 在3k-1,3k
2n-3
内没有交点
∴当x∈3n+1,+∞
1
，y=f(x)与y= 没有交点
2n-3
∴当x∈1,+∞
1
，y=f(x)与y= 的交点个数为1+2n-1
2n-3
=2n-1
当n=1时，也成立
1
∴关于x的方程f(x)- =0n∈N*
2n-3
有2n-1个不同的解，B正确
对于C，因为图象过点6,2 ，令x=6，则6f(6)-8=4>0，C错误
对于D，由题意可得：当x∈3n-1,3n n∈N* 时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形为
1
三角形，其底边长为3n-3n-1=2⋅3n-1，高为f(2⋅3n-1)=
2n-3
∴当x∈3n-1,3n n∈N*
1
时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为 ×2⋅3n-1
2
1 3
× =4×
2n-3 2
n-1
故选：ABD.
【解题总结】
1、类周期函数
若y=f(x)满足：f(x+m)=kf(x)或f(x)=kf(x-m)，则y=f(x)横坐标每增加m个
单位，则函数值扩大k倍．此函数称为周期为m的类周期函数．
类周期函数图象倍增函数图象
2、倍增函数
第 页 共 页
111 3427x
若函数y=f(x)满足f(mx)=kf(x)或f(x)=kf
m
，则y=f(x)横坐标每扩大m倍，则
函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．
注意当m=k时，构成一系列平行的分段函数，f(x)=
g(x)， x∈[1，m)
g(x-m+1)， x∈[m，m2)
g(x-m2+1)， x∈[m2，m3) ．
⋯
g(x-mn-1+1)， x∈[mn-1，mn)
12 题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
202 (安徽省蚌埠市2024学年高三上学期期末数学试题)已知定义在R上的函数fx ，gx
满足：①f0 =1；②gx 为奇函数；③∀x∈0,+∞ ，g(x)>0；④任意的x，y∈R，
fx-y =fx fy -gx gy .
(1)判断并证明函数fx 的奇偶性；
(2)判断并证明函数fx 在0,+∞ 上的单调性.
【解析】(1)依题意，f2 x -g2 x =fx fx -gx gx =fx-x =f0 =1.
∴1=f2 0 -g2 0 ⇒g0 =0
∴f-x =f0-x =f0 fx -g0 gx =fx ，
又因为fx 的定义域为R，所以函数fx 为偶函数.
(2)由④知，fx+y =fx f-y -gx g-y =fx fy +gx gy
∀x 1 ,x 2 ∈0,+∞ ，x 0，x 0
1 2 1 2 2 2
∴fx 2 -fx 1
x +x
=2g 2 1 2
x -x
g 2 1 2 >0
即fx 在0,+∞ 上单调递增.
203 (2024·河北石家庄·统考模拟预测)设函数f(x)定义域为R，f(x-1)为奇函数，f(x+1)
为偶函数，当x∈(-1,1)时，f(x)=-x2+1，则下列结论错误的是 ( )
7
A. f
2
3
=- B. f(x+7)为奇函数
4
C. f(x)在(6,8)上是减函数 D.方程f(x)+lgx=0仅有6个实数解
【答案】C
【解析】由题设f(-x-1)=-f(x-1)，则f(x)关于(-1,0)对称，即f(x)=-f(-x-2)，
f(x+1)=f(-x+1)，则f(x)关于x=1对称，即f(x)=f(2-x)，
所以f(2-x)=-f(-x-2)，则f(2+x)=-f(x-2)，故f(x)=-f(x-4)，
所以f(x-4)=-f(x-8)，即f(x)=f(x-8)，故f(x)=f(x+8)，
所以f(x)的周期为8，
7
f
2
7
=f2-
2
3
=f-
2
3
=-f -2
2
1
=-f-
2
3
=- ，A正确；
4
第 页 共 页
112 3427由周期性知：f(x-1)=f(x+7)，故f(x+7)为奇函数，B正确；
由题意，f(x)在(6,8)与(-2,0)上单调性相同，而x∈(-1,0)上f(x)=-x2+1递增，
f(x)关于(-1,0)对称知：x∈(-2,-1)上f(x)递增，故(-2,0)上f(x)递增，
所以f(x)在(6,8)上是增函数，C错误；
f(x)+lgx=0的根等价于f(x)与y=-lgx交点横坐标，
根据f(x)、对数函数性质得：f(x)∈[-1,1]，-lg12<-1<-lg6，
所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D正确.
故选：C
204 (2024·湖北·统考模拟预测)已知函数fx 是定义在R上的偶函数，对任意x,x ∈[0, 1 2
+∞)，且x ≠x ，有 fx 1 1 2 -fx 2 >0，若f1 x -x
1 2
=0，则不等式x-1 fx >0的解集是
( )
A. -1,1 ∪1,+∞ B. -1,1
C. -∞,-1 ∪1,+∞ D. -∞,-1 ∪0,1
【答案】A
【解析】已知fx 是定义在R上的偶函数，则fx =f-x ，
又对任意x,x ∈[0,+∞)，且x ≠x ，都有 fx 1
1 2 1 2
-fx 2 >0，
x -x
1 2
所以函数fx 在[0,+∞)上单调递增，则函数fx 在-∞,0 上单调递减，又f1 =0，
所以f-1 =f1 =0，
根据函数fx 的单调性可知：x-1 fx
x-1>0
>0等价为
fx
x-1<0
或
>0 fx
，
<0
即
x>1 或
x<1 ，解得x>1或-11或x<-1 -10，则下列结论正确的是( )． x -x
1 2
A. fx 是偶函数 B. fx 的周期T=4
C. f2022 =0 D. fx 在-4,-2 单调递减
【答案】ABC
【解析】由y=fx-1 的图象关于直线x=1对称，则f(1+x-1)=f(1-x-1)，
即f(-x)=f(x)，故f(x)是偶函数，A正确；
由fx+4 -fx =2f2 ，令x=-2，可得f(2)=0，则f(x+4)=f(x)，
则f(x)的周期T=4，B正确；
f2022 =f(4×505+2)=f(2)=0，故C正确；
又f(x)在(0,2)递增，则(-2,0)递减，由周期T=4，则fx 在-4,-2 单调递增，
故D错误.
故答案为：ABC
【解题总结】
抽象函数的模特函数通常如下：
(1)若f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)=xf(1)(正比例函数)
(2)若f(x+y)=f(x)f(y)，则f(x)=[f(1)]x(指数函数)
(3)若f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)=logx(对数函数)
b
(4)若f(xy)=f(x)f(y)，则f(x)=xa(幂函数)
(5)若f(x+y)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=xf(1)-m(一次函数)
(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适
第 页 共 页
114 3427当变形.
13 题型十三：函数性质的综合
208 (广西2024届高三毕业班高考模拟测试数学试题)已知定义在R上的函数fx 在
-∞,2 上单调递减，且fx+2 为偶函数，则不等式fx-1 >f2x 的解集为 ( )
5
A. -∞,-
3
∪6,+∞ B. -∞,-1
5
∪ ,+∞
3
5
C. - ,1
3
5
D. -1,
3
【答案】D
【解析】∵函数fx+2 为偶函数，∴f-x+2 =fx+2 ，即f2-x =f2+x ，
∴函数fx 的图象关于直线x=2对称，
又∵函数fx 定义域为R，在区间-∞,2 上单调递减，
∴函数fx 在区间2,+∞ 上单调递增，
∴由fx-1 >f2x 得，x-1 -2 >2x-2
5
，解得x∈-1,
3
.
故选：D.
209 (北京市西城区第五十六中学2024届高三数学一模试题)已知函数fx
1
=log 2 x +1
1
+ +3，则不等式flgx
x2
>3的解集为 ( )
1
A. ,10
10
1
B. -∞,
10
∪10,+∞
C. 1,10
1
D. ,1
10
∪1,10
【答案】D
x
【解析】由
≠0
x2≠0
得x≠0，即函数fx 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ．
因为f-x
1
=log 2 -x +1
1 1
+ +3=log (-x)2 2 x +1
1
+ +3=fx x2 ，
所以fx 为-∞,0 ∪0,+∞ 上的偶函数，
当x>0时，fx
1
=log +1 2 x
1
+ +3， x2
1
因为函数y= +1在0,+∞ x
1
上单调递减,所以y=log +1 2 x 在0,+∞ 上单调递
减，
1
又y= +3都是在0,+∞
x2
上单调递减，
根据单调性的性质，可知函数fx 在0,+∞ 上单调递减，
又因为函数fx 为偶函数，所以函数fx 在(-∞,0)上单调递增，
又f1 =3，所以flgx >3=f1 ，可得lgx <1 =1，
1
所以-13的解集为 ,1
10
∪1,10 .
故选：D
210 (2024·广东广州·统考二模)已知偶函数fx 与其导函数fx 的定义域均为R，且fx
第 页 共 页
115 3427+e-x+x也是偶函数，若f2a-1 0时，fx >f0 =0，所以，函数fx 在0,+∞ 上为增函数，
由f2a-1 0，
当x>0时，由fx >0=f3 ，得x>3，
当x<0时，由fx <0=f-3 ，得x<-3，
所以原不等式的解集为-∞,-3 ∪3,+∞ .
故选：A.
212 (2024·安徽黄山·统考二模)已知函数fx =lg x -1 +2023x+2023-x，则使不等式
f3x 1 ，关于原点对称，
由fx =lg x -1 +2023x+2023-x得f-x =lg -x -1 +2023-x+2023x=fx ，
故fx 为偶函数，
当x>1时，fx =lgx-1 +2023x+2023-x，由于函数t=2023x，y=lgx-1 均为
1,+∞
1
单调递增函数，y=t+ 在t>1单调递增，因此fx
t
为1,+∞ 上的单调递增
函数，所以不等式f3x 1 3 2
故选：C
第 页 共 页
116 3427213 (2024·四川成都·校考三模)已知函数fx =ex-2+e2-x+2x2-8x+7,则不等式
f2x+3 >fx+2 的解集为 ( )
1
A. -1，-
3
1
B.(-∞,-1)∪- ,+∞
3
1
C. - ，1
3
1
D. -∞,-
3
∪(1,+∞)
【答案】B
【解析】由函数fx =ex-2+e2-x+2x2-8x+7=ex-2+e2-x+2(x-2)2-1，
所以fx+2 =ex+e-x+2x2-1，令gx =fx+2 =ex+e-x+2x2-1，
可得gx =ex-e-x+4x
令hx =gx =ex-e-x+4x且h0 =0，
可得hx =ex+e-x+4>0在0，+∞ 上恒成立，所以hx >h0 =0,x>0 ，
所以gx 在0，+∞ 上单调递增，
又由g-x =e-x+ex+2(-x)2-1=ex+e-x+2x2-1=gx ，
所以函数gx 为偶函数，则在-∞，0 上单调递减，
又由f2x+3 >fx+2 ，即g2x+1 >gx ，即2x+1 >x ，
1
整理得3x2+4x+1>0，解得x>- 或x<-1，
3
即不等式f2x+3 >fx+2
1
的解集为(-∞,-1)∪- ,+∞
3
.
故选：B.
214 (2024·宁夏银川·校联考二模)已知函数f(x)=ex-e-x-2sinx，则关于x的不等式f(x2
-2x)+f(x-2)<0的解集为 ( )
A.(-1,2) B.(-2,1)
C.(2,+∞)∪(-∞,-1) D.(1,+∞)∪(-∞,-2)
【答案】A
【解析】函数fx =ex-e-x-2sinx的定义域为R，定义域关于原点对称，
f-x =e-x-ex-2sin-x =e-x-ex+2sinx=-fx ，
所以函数fx =ex-e-x-2sinx为奇函数，
因为fx =ex+e-x-2cosx≥2 ex⋅e-x-2cosx≥0，
当且仅当ex=e-x，即x=0时，等号成立，
所以函数fx =ex-e-x-2sinx在R上单调递增，
所以f(x2-2x)+f(x-2)<0可化为f(x2-2x)<-f(x-2)，即f(x2-2x)4，则实数a范围是 ( )
A. -∞,-3 B. -∞,-3 ∪1,+∞
C. -3,1 D. 1,+∞
【答案】C
【解析】根据题意，令gx =fx+1 -2=sin2x+e-x-ex，则gx =2cos2x-
第 页 共 页
117 3427e-x+ex ，
又由e-x+ex≥2 e-x⋅ex=2≥2cos2x，当且仅当e-x=ex，即x=0时，等号成立，
所以e-x+ex≥2cos2x，则gx ≤0，则gx 在R上单调递减，
又由g-x =sin-2x +ex-e-x=-sin2x+e-x-ex =-gx ，故函数gx 为奇函数，
由fa2+1 +f2a-2 >4可化为fa2+1 -2>- f2a-2 -2 ，故ga2 >
-g2a-3 ，即ga2 >g3-2a ，
又gx 在R上单调递减，则a2<3-2a，解得-3
