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第7讲 函数的性质
知识梳理
1、函数的单调性
(1)单调函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间D⊆A：
如果对于D内的任意两个自变量的值x ，x 当x f(x )；
1 2 1 2
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降
的．
(2)单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区
间D上具有单调性，D称为函数f(x)的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
(3)复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函数，内层
函数是增(减)函数，复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数，内层函数是减(增)函数，复
合函数是减函数.
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= 关于y轴对
偶函数
f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 称
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= 关于原点对
奇函数
-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 称
f(-x)
判断f(-x)与f(x)的关系时，也可以使用如下结论：如果f(-x)-f(x)=0或 =1
f(x)
f(-x)
(f(x)≠0)，则函数f(x)为偶函数；如果f(-x)+f(x)=0或 =-1(f(x)≠0)，则函数
f(x)
f(x)为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一
个x，-x也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3、函数的对称性
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51 1043(1)若函数y=f(x+a)为偶函数，则函数y=f(x)关于x=a对称．
(2)若函数y=f(x+a)为奇函数，则函数y=f(x)关于点(a，0)对称．
(3)若f(x)=f(2a-x)，则函数f(x)关于x=a对称．
(4)若f(x)+f(2a-x)=2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
4、函数的周期性
(1)周期函数：
对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+
T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做f(x)的
最小正周期.
【解题方法总结】
1、单调性技巧
(1)证明函数单调性的步骤
①取值：设x ，x 是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x 0且f(x)为增函数，则函数 f(x)为增函数， 为减函数；
f(x)
1
④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数 f(x)为减函数， 为增函数．
f(x)
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数f(x)是偶函数⇔函数f(x)的图象关于y轴对称；
函数f(x)是奇函数⇔函数f(x)的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数y=f(x)在x=0处有意义，则有f(0)=0；
偶函数y=f(x)必满足f(x)=f(|x|).
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于
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52 1043原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和
1 1
的形式.记g(x)= [f(x)+f(-x)]，h(x)= [f(x)-f(-x)]，则f(x)=g(x)+h(x).
2 2
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算
所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x).
对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；
奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶.
(7)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
ax+1
奇函数：①函数f(x)=m
ax-1
ax-1
(x≠0)或函数f(x)=m
ax+1
．
②函数f(x)=±(ax-a-x)．
x+m 2m
③函数f(x)=log =log 1+
ax-m a x-m
x-m 2m
或函数f(x)=log =log 1-
ax+m a x+m
④函数f(x)=log ( x2+1+x)或函数f(x)=log ( x2+1-x)．
a a
2m 2m
注意：关于①式，可以写成函数f(x)=m+ (x≠0)或函数f(x)=m- (m∈R)．
ax-1 ax+1
偶函数：①函数f(x)=±(ax+a-x)．
mx
②函数f(x)=log (amx+1)- ．
a 2
③函数f(|x|)类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
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53 10434、函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a0成立，则函数fx 一定是 ( )
A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数
f(a)-f(b)
157 若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有 >0成立，则
a-b
必有 ( )
A. f(x)在R上是增函数 B. f(x)在R上是减函数
C.函数f(x)先增后减 D.函数f(x)先减后增
158 下列函数中，满足“fx+y =fx fy ”的单调递增函数是
A. fx 1 =x2 B. fx =x3 C. fx 1 =
2
x D. fx =3x
159 函数fx =x2-3x+2 的单调递增区间是 ( )
3
A. ,+∞
2
3
B. 1,
2
和2,+∞
C. -∞,1
3
和 ,2 2
3
D. -∞, 2 和2,+∞
2x
160 (江苏省泰州市海陵区2024学年高三上学期期中数学试题)已知函数f(x)=- ,x∈
x+1
(0,+∞)．
(1)判断函数f(x)的单调性，并利用定义证明；
(2)若f2m-1 >f1-m ，求实数m的取值范围．
161 (2024·全国·高三专题练习)设a>0，a≠1，证明：函数φx
ax-1
= 是x的增函数
x
x>0 ．
2x a
162 (2024·上海静安·高三校考期中)已知函数f(x)= - (a>0)，且f(0)=0.
a 2x
(1)求a的值，并指出函数f(x)的奇偶性；
(2)在(1)的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
2 题型二：复合函数单调性的判断
163 函数y= x2+3x的单调递减区间为 ( )
3
A. -∞,- 2
3
B. - ,+∞ 2 C. 0,+∞ D. -∞,-3
164 (陕西省宝鸡市金台区2024学年高三下学期期末数学试题)函数y=log (2x-x2)的单
2
调递减区间为 ( )
A.(1,2) B. 1,2 C.(0,1) D. 0,1
165 (陕西省榆林市2024学年高三下学期阶段性测试)函数y=lg2cosx- 3 的单调递增
区间为 ( )
A. 2kπ+π,2kπ+2π k∈Z
11
B. 2kπ+π，2kπ+ π
6
k∈Z
π
C. 2kπ- ,2kπ
6
k∈Z
π
D. 2kπ,2kπ+
6
k∈Z
3 题型三：利用函数单调性求函数最值
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55 1043166 (河南省2024届高三下学期仿真模拟考试数学试题)已知函数fx 为定义在R上的单调
函数，且f fx -2x-2x =10，则fx 在-2,2 上的值域为 ．
167 (上海市静安区2024届高三二模数学试题)已知函数fx
ax
= (a>0)为偶函数，则
2x+1
函数fx 的值域为 .
168 (河南省部分学校大联考2024学年高三下学期3月质量检测)已知函数fx =ax+3x+
1(a>0且a≠1)，若曲线y=fx 在点 0,f0 处的切线与直线x+2y-1=0垂直，则
fx 在-1,2 上的最大值为 .
169 (新疆乌鲁木齐市第八中学2024届高三上学期第一次月考)若函数fx
2x+m
= 在区
x+1
间0,1 上的最大值为3，则实数m= .
4 题型四：利用函数单调性求参数的范围
170 已知函数fx
3a-1
=
x+4a (x<1)
a
x≥1
x
，满足对任意的实数x ，x 且x ≠x ，都有 1 2 1 2
f(x 1 )-f(x 2 ) (x -x )<0，则实数a的取值范围为 ( ) 1 2
1
A. ,1
7
1
B. 0,
3
1 1
C. ,
6 3
1
D. ,1
6
171 (吉林省松原市2024学年高三上学期第一次月考)若函数fx =log x3-ax a (a>0且
1
a≠1)在区间- ,0
2
内单调递增，则a的取值范围是 ( )
1
A. ,1
4
3
B. ,1
4
9
C. ,+∞
4
9
D. 1,
4
172 (四川省广安市2024学年高三上学期期末数学试题)已知函数fx =
-x2-ax-9, x≤1
a 在R上单调递增，则实数a的取值范围为 ( )
, x>1
x
A. -5,0 B.(-∞,-2) C. -5,-2 D.(-∞,0)
173 (江西省临川第一中学2024届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知函数fx =
log x2-ax+3 a 在0,1 上是减函数，则实数a的取值范围是 ( )
A. 0,1 B. 1,4 C. 0,1 ∪1,4 D. 2,4
174 (天津市复兴中学2024学年高三上学期期末数学试题)已知函数fx =x2+2kx-5在
-2,4 上具有单调性，则实数k的取值范围为( )．
A.k≤-4 B.k≥2
C.k≤-4或k≥2 D.k<-4或k>2
5 题型五：基本初等函数的单调性
175 (2024·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测)已知函数y=fx+2 是R上的偶函数，
对任意x 1 ，x 2 ∈2,+∞ ，且x ≠x 都有 fx 1 1 2 -fx 2 x -x >0成立．若a=flog 3 18
1 2
，b=
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56 1043e2
fln
2
ln10
，c=fe 2 ，则a，b，c的大小关系是 ( )
A.bf(-1) C. f(-1)f5
177 (2024届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题)下列函数中，既是偶函数又在区
间(0,+∞)上单调递增的是 ( )
A.y=x3 B.y=-x2+1 C.y=log x D.y=2|x|
2
6 题型六：函数的奇偶性的判断与证明
178 利用图象判断下列函数的奇偶性：
-x2+2x+1, x>0
(1)f(x)=
x2+2x-1, x<0
x2+x,x<0,
(2)f(x)=
x2-x，x>0
1 (3)y=
2
x ；
(4)y=log 2 (x+1) ；
(5)y=x2-2x -1.
179 (2024·北京·高三专题练习)下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞ 上单调递增的是
( )
A.y=cosx B.y=ex
1
C.y=lgx D.y=
x
180 (多选题)(黑龙江省哈尔滨市第五中学校2024学年高三下学期开学检测数学试题)设函
数fx ,gx 的定义域都为R，且fx 是奇函数，gx 是偶函数，则下列结论正确的是
( )
A. fx ⋅gx 是偶函数 B. fx ⋅gx 是奇函数
C. fx ⋅ gx 是奇函数 D. fx ⋅gx 是偶函数
181 (北京市海淀区2024届高三二模数学试题)下列函数中，既是奇函数又在区间0,1 上单
调递增的是 ( )
2
A.y=lgx B.y= C.y=2|x| D.y=tanx
x
7 题型七：已知函数的奇偶性求参数
182 (四川省成都市蓉城联盟2024学年高三下学期第二次联考)已知函数fx =
ex+ae-x sin2x是偶函数，则a= ．
183 (江西省部分学校2024届高三下学期一轮复习验收考试)若函数fx =log 216x+1 -
ax是偶函数，则log 2= ．
a
184 (湖南省部分学校2024届高三下学期5月联数学试题)已知函数fx =2x2+ax+2，若
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57 1043fx+1 是偶函数，则a= ．
185 若函数fx =2e2x+ae-2x+1为偶函数，则a= .
8 题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
186 (2024年高三数学押题卷五)已知函数fx 是奇函数，函数gx 是偶函数．若fx -
gx
2023π
=xsinx，则f
2
= ( )
2023π 2023π
A. B.- C.0 D.-1
2 2
187 (广东省湛江市2024届高三二模数学试题)已知奇函数fx
x2-3-x,x<0,
=
gx
则gx
+1,x>0,
=
．
188 已知函数fx 是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx =-x2+4x-3，则函数fx
的解析式为 ．
189 设函数f(x)与g(x)的定义域是 x∈R x≠±1
，函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇
1
函数，且f(x)-g(x)= ，则f(x)等于 ( )
x-1
1 2x2 2 2x
A. B. C. D.
x2-1 x2-1 x2-1 x2-1
9 题型九：已知f(x)=奇函数+M
190 (宁夏银川一中、昆明一中2024届高三联合二模考试数学试题)已知函数fx =ax5+
bsinx+c，若f-1 +f1 =2，则c= ( )
2
A.-1 B.0 C.1 D.
3
191 (河南省济洛平许2024届高三第四次质量检测数学试题)已知fx +1在R上单调递
增，且为奇函数.若正实数a，b满足fa-4 +fb
1 2
=-2，则 + 的最小值为 ( )
a b
3 2 3 3
A. + B. + 2 C.3+2 2 D. + 2
4 2 4 2
π
192 (重庆市巴蜀中学2024届高三高考适应性月考数学试题)已知函数f(x)= +cosx⋅
4
lnx+ 1+x2 在区间[-5,5]的最大值是M，最小值是m，则f(M+m)的值等于
( )
π π
A.0 B.10 C. D.
4 2
193 (福建省福州格致中学2024学年高三下学期期中考数学试题)已知函数fx =
alnx+ 1+x2 +bsinx+2，若f-3 =7，则f3 ( )
A.等于-7 B.等于-5 C.等于-3 D.无法确定
10 题型十：函数的对称性与周期性
194 (多选题)(2024·山东烟台·统考二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(4+x)=0，
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58 1043f(2+2x)是偶函数，f(1)=1，则 ( )
A. fx 是奇函数 B. f2023 =-1
C. fx
100
的图象关于直线x=1对称 D.kf(2k-1)=-100
k=1
195 (多选题)(2024·湖南·高三校联考阶段练习)已知定义在R上的函数fx 和gx 的导函
数分别是fx 和gx ，若fx +gx-2 =1，fx+2 =g2-x ，且gx+2 是奇函
数，则下列结论正确的是 ( )
A. f4 =1 B. gx 的图像关于点1,0 对称
2024
C. ∑fk
k=1
2024
=0 D. ∑fk
k=1
gk+1 =0
196 (多选题)(2024·河北·统考模拟预测)已知函数fx ，gx 的定义域均为R，导函数分别
为fx ，gx ，若f3-x =gx -2，fx =gx+1 ，且g2+x +g-x =0，则
( )
A.4为函数gx 的一个周期 B.函数fx 的图象关于点2,-2 对称
2024
C. gn
n=1
2024
=0 D. fn
n=1
=4048
197 (多选题)(2024·山东滨州·统考二模)函数y=fx 在区间-∞,+∞ 上的图象是一条连
续不断的曲线，且满足f3+x -f3-x +6x=0，函数f1-2x 的图象关于点0,1 对
称，则 ( )
A. fx 的图象关于点1,1 对称 B.8是fx 的一个周期
C. fx 一定存在零点 D. f101 =-299
11 题型十一：类周期函数
198 (2024·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)定义域为R的函数fx
满足fx+2 =2fx ，fx
x2-x,x∈(0,1)
= 1 -
2
x-2 ,x∈1,2
t 1
，若x∈(-2,0]时，f(x)≥ - 恒 2 t
成立，则实数t的取值范围是 ( )
A.[-2,0)∪(0,1) B.[-2,0)∪[1,+∞)
C.[-2,1] D.(-∞,-2]∪(0,1]
199 (2024·江西南昌·高三校考期中)已知定义在0,+∞
1
上的函数f(x)满足f(x)= f(x+
2
2)，且当x∈0,2 时，f(x)=-x2+2x.设f(x)在2n-2,2n 上的最大值为a (n∈N*)，且 n
数列a n 的前n项的和为S n .若对于任意正整数n不等式kS n +1 ≥2n-9恒成立，则
实数k的取值范围为 ( )
A. 0,+∞
1
B. ,+∞
32
3
C. ,+∞
64
7
D. ,+∞
64
200 (2024·全国·高三专题练习)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈[0,2]
1 3
时，f(x)=x2-2x，若x∈[-4,-2]时，f(x)≥ -t
18 t
恒成立，则实数t的取值范围是
( )
A. -∞,-1 ∪0,3 B. -∞,- 3 ∪0, 3
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59 1043C. -1,0 ∪3,+∞ D. - 3,0 ∪ 3,+∞
4-4x-8
201 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=
, 1≤x≤3
1 x
f
2 3
，则下列说
, x>3
法正确的是 ( )
1 1
A.若函数y=f(x)-kx有4个零点，则实数k的取值范围为 ,
18 3
1
B.关于x的方程f(x)- =0n∈N*
2n-3
有2n-1个不同的解
C.对于实数x∈[1,+∞)，不等式xf(x)-8≤0恒成立
D.当x∈3n-1,3n n∈N* 3 时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为4×
2
n-1
12 题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
202 (安徽省蚌埠市2024学年高三上学期期末数学试题)已知定义在R上的函数fx ，gx
满足：①f0 =1；②gx 为奇函数；③∀x∈0,+∞ ，g(x)>0；④任意的x，y∈R，
fx-y =fx fy -gx gy .
(1)判断并证明函数fx 的奇偶性；
(2)判断并证明函数fx 在0,+∞ 上的单调性.
203 (2024·河北石家庄·统考模拟预测)设函数f(x)定义域为R，f(x-1)为奇函数，f(x+1)
为偶函数，当x∈(-1,1)时，f(x)=-x2+1，则下列结论错误的是 ( )
7
A. f
2
3
=- B. f(x+7)为奇函数
4
C. f(x)在(6,8)上是减函数 D.方程f(x)+lgx=0仅有6个实数解
204 (2024·湖北·统考模拟预测)已知函数fx 是定义在R上的偶函数，对任意x,x ∈[0, 1 2
+∞)，且x ≠x ，有 fx 1 1 2 -fx 2 >0，若f1 x -x
1 2
=0，则不等式x-1 fx >0的解集是
( )
A. -1,1 ∪1,+∞ B. -1,1
C. -∞,-1 ∪1,+∞ D. -∞,-1 ∪0,1
205 (四川省遂宁市2024学年高三上学期期末数学试题)定义在R上的函数f(x)，对任意x,
1
x ∈R，满足下列条件：①f(x +x )=f(x)+f(x )-2 ②f(2)=4
2 1 2 1 2
(1)是否存在一次函数f(x)满足条件①②，若存在，求出f(x)的解析式；若不存在，说明理
由.
(2)证明：g(x)=f(x)-2为奇函数；
206 (安徽省蚌埠市2024学年高三上学期期末数学试题)已知定义在R上的函数fx ，gx
满足：
①f0 =1；
②任意的x，y∈R，fx-y =fx fy -gx gy .
(1)求f2 x -g2 x 的值；
(2)判断并证明函数fx 的奇偶性.
207 (多选题)(2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试)已知函数fx 对任意x∈R都
有fx+4 -fx =2f2 ，若y=fx-1 的图象关于直线x=1对称，且对任意的x ，x 1 2
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60 1043∈0,2 ，且x ≠x ，都有 fx 1 1 2 -fx 2 >0，则下列结论正确的是( )． x -x
1 2
A. fx 是偶函数 B. fx 的周期T=4
C. f2022 =0 D. fx 在-4,-2 单调递减
13 题型十三：函数性质的综合
208 (广西2024届高三毕业班高考模拟测试数学试题)已知定义在R上的函数fx 在
-∞,2 上单调递减，且fx+2 为偶函数，则不等式fx-1 >f2x 的解集为 ( )
5
A. -∞,-
3
∪6,+∞ B. -∞,-1
5
∪ ,+∞
3
5
C. - ,1
3
5
D. -1,
3
209 (北京市西城区第五十六中学2024届高三数学一模试题)已知函数fx
1
=log 2 x +1
1
+ +3，则不等式flgx
x2
>3的解集为 ( )
1
A. ,10
10
1
B. -∞,
10
∪10,+∞
C. 1,10
1
D. ,1
10
∪1,10
210 (2024·广东广州·统考二模)已知偶函数fx 与其导函数fx 的定义域均为R，且fx
+e-x+x也是偶函数，若f2a-1 fx+2 的解集为 ( )
1
A. -1，-
3
1
B.(-∞,-1)∪- ,+∞
3
1
C. - ，1
3
1
D. -∞,-
3
∪(1,+∞)
214 (2024·宁夏银川·校联考二模)已知函数f(x)=ex-e-x-2sinx，则关于x的不等式f(x2
-2x)+f(x-2)<0的解集为 ( )
A.(-1,2) B.(-2,1)
C.(2,+∞)∪(-∞,-1) D.(1,+∞)∪(-∞,-2)
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61 1043215 (2024·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测)已知函数fx =sin2x-2 +e1-x-ex-1+
2，若fa2+1 +f2a-2 >4，则实数a范围是 ( )
A. -∞,-3 B. -∞,-3 ∪1,+∞
C. -3,1 D. 1,+∞
216 (2024·全国·高三专题练习)设fx 是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，fx =x2，若
对任意x∈a，a+2 ，不等式fx+a ≥2fx 恒成立，则实数a的取值范围是 ( )
A. 2，+∞ B. 2，+∞ C. -∞，1 D. 1，2
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