文档内容
第 58 讲 两条直线的位置关系
知识梳理
知识点一：两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
两直线方程 平行 垂直
（ 斜 率 存
或
在） 或 中有一个
为0，另一个不存在．
（斜率不存在）
知识点二：三种距离
1、两点间的距离
平面上两点 的距离公式为 ．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2、点到直线的距离
点 到直线 的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点 到l的距离 ；若直线为l：y=n，
则点 到l的距离
3、两条平行线间的距离
已知 是两条平行线，求 间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设 ，则 与 之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．4、双根式
双根式 型函数求解，首先想到两点间的距离，
或者利用单调性求解．
【解题方法总结】
1、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点 关于点 的对称点为
，则根据中点坐标公式，有
可得对称点 的坐标为
2、点关于直线对称
点 关于直线 对称的点为 ，连接 ，交 于
点，则 垂直平分 ，所以 ，且 为 中点，又因为 在直线 上，故可得
，解出 即可．
3、直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，
再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4、直线关于直线对称
求直线 ，关于直线 （两直线不平行）的对称直线
第一步：联立 算出交点
第二步：在 上任找一点（非交点） ，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出 方程
5、常见的一些特殊的对称
点 关于 轴的对称点为 ，关于 轴的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为
．
点 关于点 的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为
．
6、过定点直线系
过已知点 的直线系方程 （ 为参数）．
7、斜率为定值直线系
斜率为 的直线系方程 （ 是参数）．
8、平行直线系
与已知直线 平行的直线系方程 （ 为参数）．
9、垂直直线系
与已知直线 垂直的直线系方程 （ 为参数）．
10、过两直线交点的直线系
过直线 与 的交点的直线系方程：
（ 为参数）．
必考题型全归纳
题型一：两直线位置关系的判定
例1．（2024·高二课时练习）直线 与 互相垂直，则这两条直线的
交点坐标为（ ）
A． B．
C． D．例2．（2024·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知过点 和点
的直线为l， . 若 ，则 的值为（ ）
1
A． B．
C．0 D．8
例3．（2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）设直线 ，
，则 是 的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）直线 ： 与直线 ：
平行， 则 （ ）
A． 或 B． C． D．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知直线 ： ， ： ，
则条件“ ”是“ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件
变式3．（2024·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知直线 ，
若 ，则 （ ）A． B．0 C．1 D．2
变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使
AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（2024·甘肃陇南·高三统考期中）已知 的顶点 ， ，其垂心为
，则其顶点 的坐标为
A． B． C． D．
变式6．（2024·全国·高三专题练习）直线 ，直线 ，
下列说法正确的是（ ）
A． ，使得 B． ，使得
C． ， 与 都相交 D． ，使得原点到 的距离为3
变式7．（2024·全国·高三对口高考）设 分别为 中 所对边的边长，
则直线 与直线 的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合
【解题方法总结】
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设 （ 不全为 0）， （ 不全为
0），则：
当 时，直线 相交；
当 时， 直线平行或重合，代回检验；
当 时， 直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
题型二：两直线的交点与距离问题
例4．（2024·全国·高三专题练习）若直线 与直线 的交点位于第
一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例5．（2024·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知三条直线 ，
， 将平面分为六个部分，则满足条件的 的值共有（ ）
A． 个 B．2个 C． 个 D．无数个
例6．（2024·全国·高三专题练习）若三条直线 不能
围成三角形，则实数 的取值最多有（ ）
A． 个 B． 个
C． 个 D． 个
变式8．（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）若点 在直线上，O是原点，则OP的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
变式9．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知点 在直线
上，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式10．（2024·高二课时练习）已知点 、 、 ，且 ，则
.
变式11．（2024·全国·高二专题练习）已知点 与点 间的距离为 ，则
．
变式12．（2024·全国·高二课堂例题）已知点 ， ， ，则 的面
积为 ．
变式13．（2024·江苏淮安·高二统考期中）已知平面上点 和直线 ，点P
到直线l的距离为d，则 .
变式14．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）点 到直线
的距离的最大值是 ．
变式15．（2024·高二课时练习）过直线 与直线 的交点，且到点 的距离为1的直线l的方程为 ．
变式16．（2024·江西新余·高二校考开学考试）若点 到直线 的
距离为3，则 .
变式17．（2024·全国·高三专题练习）点 ， 到直线l的距离分别为1和4，写出
一个满足条件的直线l的方程： .
变式18．（2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）若两条直线
与 平行，则 与 间的距离是 .
变式19．（2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）平行直线
与 之间的距离为 ．
变式20．（2024·新疆·高二校联考期末）已知不过原点的直线 与直线 平
行，且直线 与 的距离为 ，则直线 的一般式方程为 ．
【解题方法总结】
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线
距离公式的结构．
题型三：有关距离的最值问题
例7．（2024·北京·高三强基计划） 的最小值所属区
间为（ ）
A． B．C． D．前三个答案都不对
例8．（2024·全国·高三专题练习）已知实数 ，满足 ， ，
，则 的最小值是 ．
例9．（2024·全国·高三专题练习）如图，平面上两点 ，在直线 上取两
点 使 ，且使 的值取最小，则 的坐标为 ．
变式21．（2024·全国·高二专题练习）已知点 分别在直线 与直线
上，且 ，点 ， ，则 的最小值为
.
变式22．（2024·全国·高二课堂例题）已知直线 过定点M，点 在
直线 上，则 的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．变式23．（2024·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割
裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：
可以转化为点 到点 的距离，则 的最小值
为（ ）．
A．3 B． C． D．
变式24．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知 ，满足 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
变式25．（2024·江西·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知点 ，
点 为直线 上一动点，则 的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．6
变式26．（2024·高二课时练习）已知点 ，点P在x轴上使 最大，
求点P的坐标．
变式27．（2024·天津和平·高二天津市汇文中学校考阶段练习）在直线 上求
一点P，使得：(1)P到 和 的距离之差最大；
(2)P到 和 的距离之和最小.
变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的图象恒过定
点A，圆 上的两点 ， 满足 ，则
的最小值为( )
A． B．
C． D．
变式29．（2024·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离
之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点
所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则
的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．变式31．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设 ，过定点 的动直线
和过定点 的动直线 交于点 ，则 的最大值是
（ ）
A． B． C．5 D．10
变式32．（2024·全国·高二专题练习）过定点A的动直线 和过定点B的动直线
交于点M，则 的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
【解题方法总结】
数学结合，利用距离的几何意义进行转化．
题型四：点点对称
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，点 是线段 的中点，
则 .
例11．（2024·江苏南通·高二统考期中）已知点 在 轴上，点 在 轴上，线段 的中
点 的坐标为 ，则线段 的长度为 .
例12．（2024·高二课时练习）设点A在x轴上，点B在y轴上， 的中点是 ，
则 等于
变式33．（2024·高一课时练习）已知直线l与直线 及直线 分别交于点P，Q．若PQ的中点为点 ，则直线l的斜率为 ．
【解题方法总结】
求点 关于点 中心对称的点 ，由中点坐标公式得
题型五：点线对称
例13．（2024·湖南长沙·高一周南中学校考开学考试）如下图，一次函数 的图象
与 轴， 轴分别交于点 ， ，点 是 轴上一点，点 ， 分别为直线
和 轴上的两个动点，当 周长最小时，点 ， 的坐标分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
例14．（2024·全国·高二专题练习）若直线 和直线 关于直线 对称，
则直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．例15．（2024·全国·高二假期作业）抛物线 的焦点关于直线 的对称点
的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式34．（2024·江西·高二校联考开学考试）如图，一束光线从 出发，经过坐标轴
反射两次经过点 ，则总路径长即 总长为（ ）
A． B．6 C． D．
变式35．（2024·四川遂宁·高二统考期末）已知点A与点 关于直线 对称，
则点A的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
变式36．（2024·湖北·高二校联考阶段练习）在等腰直角三角形 中， ，
点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，经 反射后又回到点 ，如图，
若光线 经过 的重心，则 （ ）A． B． C．1 D．2
【解题方法总结】
求点 关于直线 对称的点
方法一：（一中一垂），即线段 的中点M在对称轴 上，若直线 的斜率存在，
则直线 的斜率与对称轴 的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点
方法二：先求经过点 且垂直于对称轴 的直线（法线） ，然后由
得线段 的中点 ，从而得
题型六：线点对称
例16．（2024·高二课时练习）直线 关于点 对称的直线 的方程
为 ．
例17．（2024·全国·高二专题练习）直线 关于点 的对称直线方程是
．
例18．（2024·河北廊坊·高三校考阶段练习）与直线 关于点 对称的直
线的方程为 .变式37．（2024·全国·高三专题练习）直线 恒过定点 ，则直线
关于 点对称的直线方程为 ．
变式38．（2024·辽宁营口·高三统考期末）若直线 ： 与直线 关于点 对
称，则当 经过点 时，点 到直线 的距离为 .
变式39．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平
移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l.再将直线l 沿x轴正方向平
1 1
移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l 关于
1
点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
【解题方法总结】
求直线l关于点 中心对称的直线
求解方法是：在已知直线l上取一点 关于点 中心对称得 ，
再利用 ，由点斜式方程求得直线 的方程（或者由 ，且点 到直线l及
的距离相等来求解）．
题型七：线线对称
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知直线 ，直线 ，若直线
关于直线l的对称直线为 ，则直线 的方程为 ．
例20．（2024·全国·高三专题练习）若动点A，B分别在直线l：x＋y－7＝0和l：x＋y－5
1 2
＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3 B．2 C．3 D．4例21．（2024·全国·高三专题练习）直线 关于直线 对称的直线方程是
（ ）
A． B．
C． D．
变式40．（2024·全国·高三专题练习）设直线 与 关于直线
对称，则直线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式41．（2024·全国·高三专题练习）直线 关于直线 对称的直线为
（ ）
A． B． C． D．
变式42．（2024·全国·高三专题练习）如果直线 与直线 关于直线
对称，那么（ ）
A． B． C． D．
变式43．（2024·全国·高三专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直
线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0变式44．（2024·全国·高三专题练习）若两条平行直线 ： 与 ：
之间的距离是 ，则直线 关于直线 对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式45．（2024·全国·高三专题练习）两直线方程为 ， ，则
关于 对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
求直线l关于直线 对称的直线
若直线 ，则 ，且对称轴 与直线l及 之间的距离相等．
此时 分别为 ，由
，求得 ，从而得 ．
若直线l与 不平行，则 ．在直线l上取异于Q的一点 ，然后求得
关于直线 对称的点 ，再由 两点确定直线 （其中 ）．
题型八：直线系方程例22．（2024·全国·高三专题练习）已知两直线 和 的交点为
，则过 两点的直线方程为 .
例23．（2024·全国·高三专题练习）经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，
且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为 ．
例24．（2024·全国·高三专题练习）已知坐标原点为O，过点 作直线
n不同时为零 的垂线，垂足为M，则 的取值范围是
．
变式46．（2024·高二课时练习）经过点 和两直线 ；
交点的直线方程为 .
变式47．（2024·全国·高二课堂例题）若直线l经过两直线 和 的
交点，且斜率为 ，则直线l的方程为 ．
变式48．（2024·全国·高一专题练习）设直线 经过 和 的交点，
且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线 的方程为 .
变式49．（2024·高二课时练习）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴
上的截距相等的直线方程为 .
【解题方法总结】
利用直线系方程求解．
