第58讲两条直线的位置关系_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第58讲 两条直线的位置关系 知识梳理 知识点一：两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 l:Ax+By+C =0 AB -A B =0且 1 1 1 1 1 2 2 1 AA +BB =0 l :A x+B y+C =0 BC -B C ≠0 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 l:y=kx+b 1 1 1(斜率存在) l :y=k x+b k =k ,b ≠b 或 k ∙k =-1或k 与k 中有一个为0， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 l 1 :x=x 1,(斜率不存在) x=x 1 ,x=x 2 ,x 1 ≠x 2 另一个不存在． l :x=x 2 2 知识点二：三种距离 1、两点间的距离 平面上两点P(x,y),P(x ,y )的距离公式为|PP|= (x -x )2+(y -y )2． 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|= x2+y2. 2、点到直线的距离 |Ax +By +C| 点P(x ,y )到直线l:Ax+By+C=0的距离d= 0 0 0 0 0 A2+B2 特别地，若直线为l：x=m，则点P(x ,y )到l的距离d=|m-x |；若直线为l：y=n，则 0 0 0 0 点P(x ,y )到l的距离d=|n-y | 0 0 0 0 3、两条平行线间的距离 已知l,l 是两条平行线，求l,l 间距离的方法： 1 2 1 2 (1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． |C -C | (2)设l:Ax+By+C =0,l :Ax+By+C =0，则l 与l 之间的距离d= 1 2 1 1 2 2 1 2 A2+B2 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4、双根式 双根式f(x)= ax2+bx+c ± a x2+b x+c 型函数求解，首先想到两点间的距离，或 1 1 1 2 2 2 者利用单调性求解． 【解题方法总结】 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P(x ，y )关于点Q(x ，y )的对称点为P 1 1 0 0 x +x x 0 = 1 2 2 (x ，y )，则根据中点坐标公式，有 2 2 y +y y = 1 2 0 2 可得对称点P(x ，y )的坐标为(2x -x ，2y -y) 2 2 0 1 0 1 2、点关于直线对称 点P(x ，y )关于直线l:Ax+By+C=0对称的点为P(x ，y )，连接PP，交l于M点， 1 1 2 2 则 l 垂直平分 PP，所以 PP ⊥ l，且 M 为 PP 中点，又因为 M 在直线 l 上，故可得 第 页 共 页 1957 3427k⋅k =-1  l PP  x +x y +y ，解出(x ，y )即可． A 1 2 +B 1 2 +C=0 2 2 2 2 3、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再 由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称 求直线l:ax+by+c=0，关于直线l :dx+ey+f=0(两直线不平行)的对称直线l 1 2 3 第一步：联立l ，l 算出交点P(x ，y ) 1 2 0 0 第二步：在l 上任找一点(非交点)Q(x ，y )，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称 1 1 1 点Q(x ，y ) 2 2 第三步：利用两点式写出l 方程 3 5、常见的一些特殊的对称 点(x，y)关于x轴的对称点为(x，-y)，关于y轴的对称点为(-x，y)． 点(x，y)关于直线y=x的对称点为(y，x)，关于直线y=-x的对称点为(-y，-x)． 点(x，y)关于直线x=a的对称点为(2a-x，y)，关于直线y=b的对称点为(x，2b- y)． 点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y)． 点(x，y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y，k-x)，关于直线x-y=k的对称点为 (k+y，x-k)． 6、过定点直线系 过已知点P(x ，y )的直线系方程y-y =k(x-x )(k为参数)． 0 0 0 0 7、斜率为定值直线系 斜率为k的直线系方程y=kx+b(b是参数)． 8、平行直线系 与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+λ=0(λ为参数)． 9、垂直直线系 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx-Ay+λ=0(λ为参数)． 10、过两直线交点的直线系 过直线l:Ax+By+C =0与l :A x+B y+C =0的交点的直线系方程：Ax+By+C 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 +λ(A x+B y+C )=0(λ为参数)． 2 2 2 必考题型全归纳 1 题型一：两直线位置关系的判定 3037 (2024·高二课时练习)直线2x+y+2=0与ax+4y-2=0互相垂直，则这两条直线的 交点坐标为 ( ) A. 1,-4  B. 0,-2  C. -1,0  1 D. 0, 2  【答案】C 第 页 共 页 1958 3427【解析】易知直线2x+y+2=0的斜率为-2， a 1 由两直线垂直条件得直线ax+4y-2=0的斜率- = ，解得a=-2； 4 2 2x+y+2=0 x=-1 联立 ，解得 ；   -2x+4y-2=0 y=0 即交点为-1,0  故选：C. 3038 (2024·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试)已知过点A(-2,m)和点B(m,4) 1 1 的直线为l ，l :y=-2x+1,l :y=- x- .若l ⎳l ,l ⊥l ，则m+n的值为 ( ) 1 2 3 n n 1 2 2 3 A.-10 B.-2 C.0 D.8 【答案】A 4-m 1 【解析】因为l ⎳l ，所以k = =-2，解得m=-8，又l ⊥l ，所以- 1 2 AB m+2 2 3 n  ×-2  = -1， 解得n=-2.所以m+n=-10. 故选：A. 3039 (2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试)设直线l:x+2ay-5=0，l : 1 2 3a-1  x-ay-2=0，则a=1是l ⊥l 的 ( ) 1 2 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当a=1时，直线l:x+2y-5=0，l :2x-y-2=0， 1 2 1 此时k =- ,k =2，则k ⋅k =-1，所以l ⊥l ，故充分性成立； 1 2 2 1 2 1 2 当l 1 ⊥l 2 时，1×3a-1  +2a×-a  1 =0，解得a=1或a= ，故必要性不成立； 2 所以“a=1”是“l ⊥l ”的充分不必要条件， 1 2 故选：C. 3040 (2024·广东东莞·高三校考阶段练习)直线l ：mx+2y+2=0与直线l ：x+(m-1)y= 1 2 0平行，则m= ( ) A.-1或2 B.2 C.-1 D.-2 【答案】A 【解析】因为直线l ：mx+2y+2=0与直线l ：x+(m-1)y=0平行， 1 2 所以mm-1  -2×1=0⇒m=2或m=-1， 当m=-1时，直线l ：x-2y-2=0，直线l ：x-2y=0， 1 2 此时直线l 与直线l 平行，满足题意， 1 2 当m=2时，直线l ：x+y+1=0，直线l ：x+y=0， 1 2 此时直线l 与直线l 平行，满足题意， 1 2 故选：A. 3041 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l 1 ：ax+2y+1=0，l 2 ：3-a  x-y+a=0， 则条件“a=1”是“l ⊥l ”的 ( ) 1 2 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 第 页 共 页 1959 3427C.必要不充分条件 D.既不必要也不充分条件 【答案】B 【解析】若l 1 ⊥l 2 ，则3-a  a ×- 2  =-1， 解得a=1或a=2. 故a=1是l ⊥l 的充分不必要条件. 1 2 故选：B 3042 (2024·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模)已知直线l:x+y=0,l :ax+by+1=0，若 1 2 l ⊥l ，则a+b= ( ) 1 2 A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】因为直线l:x+y=0,l :ax+by+1=0，且l ⊥l ，则1⋅a+1⋅b=0， 1 2 1 2 所以a+b=0. 故选：B 3043 (2024·全国·高三专题练习)已知A(-1，2)，B(1，3)，C(0，-2)，点D使AD⊥BC，AB ∥CD，则点D的坐标为 ( ) 9 4 A. - , 7 7  54 13 B.  , 7 7  38 13 C.  , 3 3  38 5 D.  , 7 7  【答案】D y-2 3-(-2) 【解析】设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴ · =-1，∴x+5y-9=0， x+1 1-0 38 x= ∵AB∥CD，∴ y+ x 2 = 1- 3- (- 2 1) ，∴x-2y-4=0，由得  x x + - 5 2 y y - - 9 4 = = 0 0 ，   5 7 ， y= 7 故选：D. 3044 (2024·甘肃陇南·高三统考期中)已知ΔABC的顶点B2,1  ，C-6,3  ，其垂心为 H-3,2  ，则其顶点A的坐标为 A. -19,-62  B. 19,-62  C. -19,62  D. 19,62  【答案】A 【解析】∵H为ΔABC的垂心 ∴AH⊥BC，BH⊥AC 3-1 1 2-1 1 又k = =- ，k = =- BC -6-2 4 BH -3-2 5 ∴直线AH,AC斜率存在且k =4，k =5 AH AC 设Ax,y  y-2 ，则   k AH = y x - + 3 3 =4 ，解得：  x y= = - - 6 19 2 ∴A-19,-62 k = =5 AC x+6  本题正确选项：A 3045 (2024·全国·高三专题练习)直线l 1 :x+1+a  y=1-aa∈R  1 ，直线l :y=- x，下列说 2 2 法正确的是 ( ) A.∃a∈R，使得l ∥l B.∃a∈R，使得l ⊥l 1 2 1 2 C.∀a∈R，l 与l 都相交 D.∃a∈R，使得原点到l 的距离为3 1 2 1 【答案】B 第 页 共 页 1960 34271 1 【解析】对A，要使l ∥l ，则k ∥k ，所以- =- ，解之得a=1，此时l 与l 重合，选 1 2 1 2 1+a 2 1 2 项A错误； 1 对B，要使l ⊥l ，k ⋅k =-1，- 1 2 1 2 1+a  1 ⋅- 2  3 =-1，解之得a=- ，所以B正确； 2 对C，l 1 :x+1+a  y=1-a过定点2,-1  ，该定点在l 上，但是当a=1时，l 与l 重合， 2 1 2 所以C错误； 对D，d= Ax 0 +By 0 +C  1-a = A2+B2  12+1+a  =3，化简得8a2-20a+17=0，此方程Δ< 2 0，a无实数解，所以D错误. 故选：B. 3046 (2024·全国·高三对口高考)设a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C所对边的边长，则直 线sinA⋅x+ay+c=0与直线bx-sinB⋅y+sinC=0的位置关系是 ( ) A.相交但不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合 【答案】B 【解析】由题意可知直线sinA⋅x+ay+c=0与直线bx-sinB⋅y+sinC=0的斜率均 存在且不为0， sinA 直线sinA⋅x+ay+c=0的斜率k =- ， 1 a b 直线bx-sinB⋅y+sinC=0的斜率k = ， 2 sinB sinA b ab 由正弦定理可得kk =- × =- =-1， 1 2 a sinB ab 所以两直线垂直， 故选：B 【解题方法总结】 判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般 地，设l:Ax+By+C =0(A,B 不全为0)，l :A x+B y+C =0(A ,B 不全为0)，则： 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 当AB -A B ≠0时，直线l,l 相交； 1 2 2 1 1 2 当AB =A B 时，l,l 直线平行或重合，代回检验； 1 2 2 1 1 2 当AA -BB =0时，l,l 直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆． 1 2 1 2 1 2 2 题型二：两直线的交点与距离问题 3047 (2024·全国·高三专题练习)若直线l:y=kx- 3与直线2x+3y-6=0的交点位于第 一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ( ) π π A.   ,  6 3  π π B.   ,  6 2  π π C.  , 3 2  π π D.  , 6 2  【答案】D 3 3+6 【解析】法一：联立两直线方程，得  y=kx- 3 ，解得   x= 2+3k ， 2x+3y-6=0 6k-2 3 y= 2+3k 3 3+6 6k-2 3 所以两直线的交点坐标为 , 2+3k 2+3k  . 第 页 共 页 1961 3427  3 3+6 >0 2+3k 3 因为两直线的交点在第一象限，所以 ，解得k> ，  6k-2 3 3  >0  2+3k 3 π π 设直线l的倾斜角为θ，则tanθ> ，又θ∈[0,π)，所以θ∈ , 3 6 2  . 法二：由题意，直线l过定点P(0,- 3)， 设直线2x+3y-6=0与x轴、y轴的交点分别为B(3,0),A(0,2). 如图，当直线l在阴影部分(不含边界)运动时，两直线的交点在第一象限，易知k = PB 3 ， 3 π π ∴l 的倾斜角为 ，l 的倾斜角为 . PB 6 PA 2 π π ∴直线l的倾斜角的取值范围是 , 6 2  . 故选：D 3048 (2024·上海浦东新·华师大二附中校考三模)已知三条直线l:x-2y+2=0，l :x-2= 1 2 0，l :x+ky=0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有 ( ) 3 A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 【答案】C 【解析】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分， x=2 联立l 1 :x-2y+2=0与l 2 :x-2=0，解得  y=2 ， x=2 则将  y=2 代入l 3 :x+ky=0中，2k+2=0，解得k=-1， 当l :x+ky=0与l:x-2y+2=0平行时，满足要求，此时k=-2， 3 1 当l :x+ky=0与l :x-2=0平行时，满足要求，此时k=0， 3 2 综上，满足条件的k的值共有3个. 故选：C 3049 (2024·全国·高三专题练习)若三条直线l:4x+y=3,l :mx+y=0,l :x-my=2不能围 1 2 3 成三角形，则实数m的取值最多有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.6个 【答案】C 【解析】∵三条直线不能构成三角形 ∴至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点. 1 若l ∥l ，则m=4；若l ∥l ，则-4m=1∴m=- ； 1 2 1 3 4 若l ∥l ，则-m2=1∴m的值不存在； 2 3 第 页 共 页 1962 3427若三条直线相交于同一点， 3 x= 直线l 1 和l 2 联立：  4 m x x + + y y = = 3 0 ∴   4 3 - m m ，∴直线l 1 和l 2 交点为P 4- 3 m , m 3 - m 4 y= m-4  ; 3m+2 x= 直线l 1 和l 3 联立：  4 x x - + m y y = = 3 2 ∴   1+ - 4 5 m ，∴直线l 1 和l 3 交点为Q 3 1 m +4 + m 2 , 1+ - 4 5 m y= 1+4m  ; 3 3m+2  = 4-m 1+4m 5 ∵三条直线相交于同一点∴P、Q两点重合∴ ∴m=1或- . 3m -5 3 = m-4 1+4m 故实数m的取值最多有4个. 故选:C 3050 (2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习)若点P(x,y)在直线2x+y- 5=0上，O是原点，则OP的最小值为 ( ) A.2 2 B.2 C. 5 D.4 【答案】C 【解析】由题意可知，OP的最小值即为原点O到直线2x+y-5=0的距离， -5 则d=  = 5. 22+12 故选：C 3051 (2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期中)已知点Px 0 ,y 0  在直线3x-4y-10=0 上，则 x2+y2的最小值为 ( ) 0 0 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 x 0 2+y 0 2就是Px 0 ,y 0  到原点距离， Px 0 ,y 0  -10 到原点距离的最小值为d=  =2 5 则 x2+y2的最小值为2， 0 0 故选：B. 3052 (2024·高二课时练习)已知点Pa,2  、A-2,-3  、B1,1  ，且PA  =PB  ，则a= . 9 【答案】- 2 【解析】已知点Pa,2  、A-2,-3  、B1,1  ，且PA  =PB  ， 则 a+2  2+2+3  2= a-1  2+2-1  9 2，解得a=- . 2 9 故答案为：- . 2 3053 (2024·全国·高二专题练习)已知点Mx,-4  与点N2,3  间的距离为7 2，则x= ． 【答案】9或-5 【解析】由MN  =7 2， 得MN  = (x-2)2+(-4-3)2=7 2， 第 页 共 页 1963 3427即x2-4x-45=0，解得x=9或-5． 故答案为：9或-5. 3054 (2024·全国·高二课堂例题)已知点A2,1  ，B3,4  ，C-2,-1  ，则△ABC的面积为 ． 【答案】5 【解析】设AB边上的高为h，则h就是点C到AB所在直线的距离． 易知AB  = 3-2  2+4-1  2= 10． y-1 x-2 由两点式可得AB边所在直线的方程为 = ，即3x-y-5=0． 4-1 3-2 点C-2,-1  3×-2 到直线3x-y-5=0的距离h=  --1   -5  32+-1  = 10， 2 1 所以△ABC的面积为S = ×AB △ABC 2  1 ×h= × 10× 10=5． 2 故答案为：5 3055 (2024·江苏淮安·高二统考期中)已知平面上点P3,3  和直线l:2y+3=0，点P到直线l 的距离为d，则d= . 9 【答案】 /4.5 2 3 【解析】依题意，直线l:y=- ，而点P3,3 2  ， 3 所以d=3-- 2  9 = . 2 9 故答案为： 2 3056 (2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中)点0,-1  到直线y=kx+2  的 距离的最大值是 ． 【答案】 5 【解析】因为直线y=kx+2  恒过点A-2,0  ， 记B0,-1  ，直线y=kx+2  为直线l， 则当AB⊥l时，此时点B0,-1  到直线y=kx+1  的距离最大， ∴点0,-1  到直线y=kx+1  距离的最大值为： AB  = 0+2  2+-1-0  2= 5. 故答案为： 5. 3057 (2024·高二课时练习)过直线l:x-2y+3=0与直线l :2x+3y-8=0的交点，且到点 1 2 P0,4  的距离为1的直线l的方程为 ． 【答案】3x+4y-11=0或x=1 第 页 共 页 1964 3427【解析】解析：由  x-2y+3=0 解得 x=1   2x+3y-8=0 y=2 所以l 1 ，l 2 的交点为1,2  . 显然，直线x=1满足条件； 当直线斜率存在时，设直线方程为y-2=kx-1  ， 即kx-y+2-k=0， -2-k 依题意有  3 =1，解得k=- . 1+k2 4 所以所求直线方程为3x+4y-11=0或x=1． 故答案为：3x+4y-11=0或x=1． 3058 (2024·江西新余·高二校考开学考试)若点P3,1  到直线l:3x+4y+a=0a>0  的距 离为3，则a= . 【答案】2 【解析】因为点P3,1  到直线l:3x+4y+a=0的距离为3， 3×3+4×1+a 可得  =3，即a+13 32+42  =15，解得a=2或a=-28， 又因为a>0，所以a=2. 故答案为：2. 3059 (2024·全国·高三专题练习)点0,0  ，3,4  到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足 条件的直线l的方程： . 【答案】x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(填其中一个即可) 【解析】设M0,0  ，N3,4  ，连接MN，则MN  =5. 以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，则两圆外切， 所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线l有3条. 当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为x=-1. b 当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为y=kx+b，则有  =1① 1+k2 3k+b-4     ，   =4②   1+k2 由①②得3k+b-4  =4b  ，所以3k-3b=4或3k+5b=4. 7 3 k= k=-  24  4 由①及3k-3b=4得 ，由①及3k+5b=4得 ， 25 5 b=- b= 24 4 第 页 共 页 1965 3427所以公切线方程为7x-24y-25=0或3x+4y-5=0. 综上，直线l的方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0. 故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0 3060 (2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试)若两条直线l:x+2y-6=0与l : 1 2 x+ay-5=0平行，则l 与l 间的距离是 . 1 2 5 1 【答案】 / 5 5 5 【解析】∵两条直线l:x+2y-6=0与l :x+ay-5=0平行, 1 2 ∴a-2×1=0解得a=2， 经检验a=2时，l :x+2y-5=0,两直线不重合； 2 所以a=2， -6+5 则l 与l 间的距离 1 2  5 = , 1+4 5 5 故答案为： . 5 3061 (2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习)平行直线l:3x-4y+6=0 1 与l :6x-8y+9=0之间的距离为 ． 2 3 【答案】 /0.3 10 9 【解析】由题意得l :6x-8y+9=0即l :3x-4y+ =0 2 2 2 9 6-  2 3 则平行直线l:3x-4y+6=0与l :6x-8y+9=0之间的距离为 = ， 1 2 32+(-4)2 10 3 故答案为： 10 3062 (2024·新疆·高二校联考期末)已知不过原点的直线l 与直线l :x-y+ 2=0平行，且 1 2 直线l 与l 的距离为1，则直线l 的一般式方程为 ． 1 2 1 【答案】x-y+2 2=0 【解析】∵直线l 1 不过原点且与l 2 平行，∴可设直线l 1 :x-y+a=0a≠0  ， a- 2 ∴l 与l 之间的距离d= 1 2  =1，解得：a=2 2或a=0(舍)， 2 ∴直线l 的一般式方程为：x-y+2 2=0. 1 故答案为：x-y+2 2=0. 【解题方法总结】 两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距 离公式的结构． 3 题型三：有关距离的最值问题 3063 (2024·北京·高三强基计划) (x-9)2+4+ x2+y2+ (y-3)2+9的最小值所属区间 为 ( ) A.[10,11] B.(11,12] C.(12,13] D.前三个答案都不对 【答案】C 【解析】如图，设P(x,0),Q(0,y),A(9,-2),B(-3,3)． 第 页 共 页 1966 3427根据题意，设题中代数式为M，则M=|AP|+|PQ|+|QB|≥|AB|= 122+52=13， 等号当P，Q分别为直线AB与x轴，y轴交点时取得． 因此所求最小值为13． 故选：C. 3064 (2024·全国·高三专题练习)已知实数x,x ,y,y ，满足x2+y2=4，x2+y2=9，xx + 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 y 1 y 2 =0，则x 1 +y 1 -9  +x 2 +y 2 -9  的最小值是 ． 【答案】18- 26/- 26+18 【解析】依题意，方程x2+y2=4、x2+y2=9分别表示以原点O为圆心，2、3为半径的 1 1 2 2 圆， 令B(x,y),A(x ,y )，即点B,A分别在x2+y2=4、x2+y2=9上，如图， 1 1 2 2       显然OB=(x,y),OA=(x ,y )，OB⋅OA=xx +yy =0，即有OB⊥OA， 1 1 2 2 1 2 1 2 1 13 |AB|= |OA|2+|OB|2= 13，取线段AB中点P，连接OP，则|OP|= |AB|= ， 2 2 13 因此点P在以原点为圆心， 为半径的圆上， 2 而x 1 +y 1 -9  +x 2 +y 2 -9  = 2 x 1 +y 1 -9  + x 2 +y 2 -9 2   2  ， 即x 1 +y 1 -9  +x 2 +y 2 -9  表示点A,B到直线l:x+y-9=0的距离和的 2倍， 过A,B分别作直线l的垂线，垂足分别为M,N，过P作PD垂直于直线l于点D， 于是AM⎳PD⎳BN，|AM|+|BN|=2|PD|， x 1 +y 1 -9  +x 2 +y 2 -9  = 2(|AM|+|BN|)=2 2|PD|，原点O到直线l的距离d= 第 页 共 页 1967 34279 ， 2 9 13 显然|PD|≥d-|OP|= - ，当且仅当点O,P,D共线，且点P在线段OD上时 2 2 取等号， 所以 x 1 +y 1 -9  +x 2 +y 2 -9    9 13 =2 2|PD| =2 2 - min min 2 2  =18- 26. 故答案为：18- 26 3065 (2024·全国·高三专题练习)如图，平面上两点P(0,1),Q(3,6)，在直线y=x上取两点M, N使MN  = 2，且使PM  +MN  +NQ  的值取最小，则N的坐标为 ． 9 9 【答案】 , 4 4  【解析】P关于直线y=x的对称点为P1,0  ，则有PM  +MN  +NQ  =PM  +MN  +NQ  .过Q3,6  作平行于y=x的直线为y=x+b，由6=3+b得b=3，即此时直线 为y=x+3.过M作MQ⎳NQ，则MQ  =NQ  ,QQ  =MN  = 2，则PM  +MN  +NQ  =PM  +MN  +MQ  .由于MN  是常数，要使PM  +MN  +NQ  的值取最 小，则PM  +MQ  的值取最小，即P,M,Q三点共线时最小.设Qa,a+3  a<3  ，由 QQ  =MN  = 2得 a-3  2+6-a-3  2= 2，即2a-3  2=2，解得a=2(a=4舍 去.)，即Q2,5  .设Mx,x  x-0 5-0 5 5 5 ，则 = =5，解得x= ，即M , x-1 2-1 4 4 4  ，设Nb,b  ， 5 b> .由MN 4  5 = 2得 b- 4  2 5 +b- 4  2 5 = 2，得2b- 4  2 9 =2，解得b= 或b= 4 1 9 9 (舍去)，故N , 4 4 4  . 9 9 故答案为： , 4 4  . 3066 (2024·全国·高二专题练习)已知点P,Q分别在直线l:x+y+2=0与直线l :x+y-1 1 2 第 页 共 页 1968 3427=0上，且PQ⊥l 1 ，点A-3,-3  ，B3,0  ，则AP  +PQ  +QB  的最小值为 . 3 10+3 2 【答案】 2 【解析】易知l ⎳l ，作出图象如下，过B点作直线l⊥l ，则PQ⎳l， 1 2 1 直线l:y=x-3，过P作直线PC⎳QB，与直线l交于点C，易知四边形PCBQ为平行四 边形， 故PC=QB，且B到直线l 的距离等于C到l 的距离， 2 1 t+t-3+2 设C(t,t-3)，则  3+0-1 = 2  3 1 3 3 ，解得t= 或t=- (舍)，所以C ,- 2 2 2 2 2  ， 而AP  +PQ  +QB  =AP  +PQ  +PC  ，且PQ  2-(-1) =  3 3 2 = = (定 2 2 2 值)， 故只需求出|AP|+|PC|的最小值即可，显然AP  +PC  ≥AC  = 3 -3- 2  2 3 +-3+ 2  2 3 10 = ， 2 故AP  +PQ  +QB  3 10+3 2 的最小值为 ． 2 3 10+3 2 故答案为： ． 2 3067 (2024·全国·高二课堂例题)已知直线l:kx+y+2-k=0过定点M，点Px,y  在直线 2x-y+1=0上，则MP  的最小值是 ( ) 3 5 5 A.5 B. 5 C. D. 5 5 【答案】B 【解析】由kx+y+2-k=0得y+2=k1-x  ，所以直线l过定点M1,-2  ， 依题意可知MP  的最小值就是点M到直线2x-y+1=0的距离， 由点到直线的距离公式可得MP  2+2+1 = min  = 5． 4+1 故选:B. 3068 (2024·全国·高三专题练习)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事 休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： x-a  2+y-b  2可以 转化为点x,y  到点a,b  的距离，则 x2+1+ x2-4x+8的最小值为( )． A.3 B.2 2+1 C.2 3 D. 13 【答案】D 【解析】 x2+1+ x2-4x+8= x-0  2+0-1  2+ x-2  2+0-2  2, 可以看作点Px,0  到点A0,1  ,B2,2  的距离之和， 第 页 共 页 1969 3427作点A关于x轴的对称点A0,-1  ，显然当B,P,A三点共线时，取到最小值， 最小值为B,A间的距离 22+32= 13. 故选：D. 3069 (2024·贵州·校联考模拟预测)已知x,y∈R+，满足2x+y=2，则x+ x2+y2的最小值 为 ( ) 4 8 1+ 2 A. B. C.1 D. 5 5 3 【答案】B 【解析】 如图，过点O作点O关于线段2x+y=2的对称点C，则PO  =PC  . 设Cx 0 ,y 0  y 0 ×-2 x ，则有 0   8  =-1  x 0 = 5 8 4  x y ，解得 4 ，所以C 5 , 5  2× 2 0 + 2 0 =2 y 0 = 5  . 设Px,y  ，则PO  = x2+y2，所以 x2+y2=PO  =PC  ， 又x,y∈R+，所以点P到y轴的距离为x， 所以，x+ x2+y2可视为线段2x+y=2上的点Px,y  8 4 到y轴的距离和到C , 5 5  的 距离之和. 过P作PD⊥x轴，显然有PD  +PC  ≥CD  ，当且仅当C,P,D三点共线时，和有最小 值. 过点C作CH⊥x轴，则CH  即为最小值，CH与线段AB的交点P，即为最小值时P的 1 位置. 因为CH  8 8 = ，所以x+ x2+y2的最小值为 . 5 5 故选：B． 3070 (2024·江西·高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,-2  ，点 B1,0  ,P为直线2x-4y+3=0上一动点，则PA  +PB  的最小值是 ( ) A. 5 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】设点A0,-2  关于直线2x-4y+3=0的对称点为Ax,y  ，  x y-2 11 2× 2 -4× 2 +3=0  x=- 5 则 y+2 1 ，解得 12 ，  × =-1 y=  x 2 5 11 12 所以A- , 5 5  ， 第 页 共 页 1970 3427所以PA  +PB  =PA  +PB  ≥AB  256 144 = + =4， 25 25 当且仅当点P为线段AB与直线2x-4y+3=0的交点时等号成立， 所以PA  +PB  的最小值是4， 故选：B. 3071 (2024·高二课时练习)已知点A1,3  ,B5,-2  ，点P在x轴上使AP  -BP  最大，求点 P的坐标． 【解析】点A1,3  关于x轴的对称点为A1,-3  ,如图所示，若P点不在直线AB上则 AP  -BP  <AB  , 连接AB并延长交x轴于点P，AP  -BP  =AP  -BP  =AB  即为AP  -BP  最 大值． -2+3 直线AB的方程是y+3= x-1 5-1  ， 1 13 即y= x- . 4 4 令y=0，得x=13． 则点P的坐标是13,0  . 3072 (2024·天津和平·高二天津市汇文中学校考阶段练习)在直线l:3x-y-1=0上求一点 P，使得： (1)P到A4,1  和B0,4  的距离之差最大； (2)P到A4,1  和C3,4  的距离之和最小. 【解析】(1)画出直线l:3x-y-1=0和点A4,1  和B0,4  ，如图：A,B在l:3x-y-1= 0两侧， 第 页 共 页 1971 3427作B关于直线l:3x-y-1=0的对称点B，连接AB, 则直线AB和直线l的交点即为P， 设D为l上异于P的一点，则|DB|=|DB|,|PB|=|PB| , 故 DA  -DB    = DA   -  DB ≤  AB=  PA   -  PB =  PA  -PB    , 故||PA|-|PB||最大，即此时P到A4,1  和B0,4  的距离之差最大， b-4 1  =- a 3 设B(a,b)，则 ，解得a=3,b=3 ， a b+4 3× - -1=0 2 2 3x-y-1=0 x=2 故直线AB方程为2x+y-9=0，联立  ，解得  ， 2x+y-9=0 y=5 即P(2,5)； (2)如图：A,C在l:3x-y-1=0同侧， 作C关于直线l:3x-y-1=0的对称点C，连接AC, 则直线AC和直线l的交点即为P， 设E为l上异于P的一点，则|EC|=|EC|,|PC|=|PC| , 故EC  +EA  =EC  + EC≥  AC =AP   +   PC  =AP  +PC  , 故|PA|+|PC|最小，即此时P到A4,1  和C3,4  的距离之和最小.， n-4 1  =- m-3 3 3 24 设C(m,n)，则 ，解得m= ,n= ， m+3 n+4 5 5 3× - -1=0 2 2 11 x= 故直线AC方程为19x+17y-93=0，联立  3 19 x x - + y 1 - 7y 1= -9 0 3=0 ，解得   2 7 6 ， y= 7 11 26 即即P , 7 7  ； 3073 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =alnx+1  +1a∈R  的图象恒过定点A， 圆O:x2+y2=4上的两点Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2    满足PA=λAQλ∈R  ，则2x 1 +y 1 +7  + 2x 2 +y 2 +7  的最小值为 ( ) A.2 5 B.7+ 5 C.15- 5 D.30-2 5 第 页 共 页 1972 3427【答案】C 【解析】由题可知A为(0，1)，且P、A、Q三点共线， 设弦PQ的中点为E(x，y)，连接OE，则OE⊥PQ，即OE⊥AE，   1 ∴OE⋅AE=0，由此可得E的轨迹方程为x2+y- 2  2 1 = ， 4 1 即E的轨迹是以0， 2  1 为圆心， 为半径的圆， 2 设直线l为2x+y+7=0， 1 +7 2 1 15 1 则E到l的最小距离为 - = - ． 5 2 2 5 2 过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N， 则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点，则ER是直角梯形的中位线， ∴MP  +NQ  =2ER  ， 即 2x 1 +y 1 +7  + 2x 2 +y 2 +7 5  =2ER 5  ， 即2x 1 +y 1 +7  +2x 2 +y 2 +7  =2 5ER  15 1 ≥2 5⋅ - 2 5 2  =15- 5． 故选：C． 3074 (2024·江西·高三校联考开学考试)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最 小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所 在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则F(x,y) = (x-2 3)2+y2+ (x+1- 3)2+(y-1+ 3)2+ x2+(y-2)2的最小值为 ( ) A.4 B.2+2 3 C.3+2 3 D.4+2 3 【答案】B 【解析】由题意得：F(x,y)的几何意义为点E到点A2 3,0  ,B 3-1,1- 3  ,C0,2  的距离之和的最小值， 因为AB  =  3+1  2+ 3-1  2=2 2，CB  =  3-1  2+- 3-1  2=2 2， AC  = 4+12=4， 所以AB  2+CB  2=AC  2，故三角形ABC为等腰直角三角形，， 1 取AC的中点D，连接BD，与AO交于点E，连接CE，故BD= AC=2，AE=CE， 2 CO 2 3 因为 = = ，所以∠CAO=30°，故∠AEC=120°，则∠BEC=∠AEB= AO 2 3 3 120°， 故点E到三角形三个顶点距离之和最小，即F(x,y)取得最小值， 1 AD 4 3 4 3 因为AD=CD= AC=2，所以AE= = ，同理得：CE= ，DE= 2 cos30° 3 3 第 页 共 页 1973 34272 3 ， 3 2 3 BE=BD-DE=2- ， 3 4 3 4 3 2 3 故F(x,y)的最小值为AE+CE+BE= + +2- =2+2 3. 3 3 3 故选：B 3075 (2024·全国·高三专题练习)已知x+y=0，则 x2+y2-2x-2y+2+ x-2  2+y2的最 小值为 ( ) A. 5 B.2 2 C. 10 D.2 5 【答案】C 【解析】设点P(x,y)为直线x+y=0上的动点， 由 x2+y2-2x-2y+2+ x-2  2+y2= x-1  2+y-1  2+ x-2  2+y2可看作P (x,y)与1,1  的距离和P(x,y)与2,0  的距离之和， 设点M1,1  ，N2,0  ，则点M-1,-1  为点M(1，1)关于直线x+y=0的对称点， 故PM  =PM  ，且MN  = (2+1)2+(0+1)2= 10， 所以PM  +PN  = x-1  2+y-1  2+ x-2  2+y2=PM  +PN  ≥MN  = 10， 当且仅当P,M,N三点共线时，取等号， 所以 x2+y2-2x-2y+2+ x-2  2+y2的最小值为 10. 故选：C 3076 (2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末)设m∈R，过定点A的动直线x+my =0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点Px,y  ，则PA  ⋅PB  的最大值是 ( ) A. 5 B. 10 C.5 D.10 【答案】C 【解析】 第 页 共 页 1974 3427显然x+my=0过定点A(0,0)，直线mx-y-m+3=0可化成y=m(x-1)+3，则经 过定点B(1,3)， 根据两条直线垂直的一般式方程的条件，1×m+m×(-1)=0， 于是直线x+my=0和直线mx-y-m+3=0垂直，又P为两条直线的交点，则PA ⊥PB， 又AB  = (1-0)2+(3-0)2= 10，由勾股定理和基本不等式， PA  2+PB  2=AB  2=10≥2PA  ⋅PB  ，则PA  ⋅PB  ≤5， 当PA  =PB  = 5时，PA  ⋅PB  的最大值是5. 故选：C 3077 (2024·全国·高二专题练习)过定点A的动直线x+ky=0和过定点B的动直线kx-y -2k+1=0交于点M，则MA  +MB  的最大值是 ( ) A.2 2 B.3 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】由题意知x+ky=0过定点A(0,0), 动直线kx-y-2k+1=0即k(x-2)-y+1=0过定点B(2,1)， 对于直线x+ky=0和动直线kx-y-2k+1=0满足1×k+k×(-1)=0， 故两直线垂直， 因此点M在以AB为直径的圆上，|AB|= 22+12= 5， 则MA  2+MB  2=5， 所以 MA  +MB    2=MA  2+MB  2+2MA  MB  ≤2 MA  2+MB  2   =10， 当且仅当MA  =MB  10 = 时等号成立， 2 故MA  +MB  的最大值为 10， 故选：C 【解题方法总结】 数学结合，利用距离的几何意义进行转化． 第 页 共 页 1975 34274 题型四：点点对称 3078 (2024·全国·高三专题练习)已知Aa,6  ，B-2,b  ，点P2,3  是线段AB的中点，则a+ b= . 【答案】6 a-2 b+6 【解析】由中点坐标公式知：2= ，3= ，解得：a=6，b=0，∴a+b=6. 2 2 故答案为：6. 3079 (2024·江苏南通·高二统考期中)已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M 的坐标为2,-1  ，则线段AB的长度为 . 【答案】2 5 【解析】在平面直角坐标系中，AO⊥BO， 则△ABO为直角三角形，且AB为斜边， 故AB  =2OM  =2 22+-1  2=2 5. 故答案为：2 5 3080 (2024·高二课时练习)设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，-1)，则AB  等于 【答案】2 5 【解析】根据点A在x轴上，点B在y轴上，且AB的中点是P(2，-1)，利用中点坐标公式 得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解.因为点A在x轴上，点B在y轴上，且 AB的中点是P(2，-1)， 所以A(4，0),B(0，-2)， 所以AB  = 4-0  2+ 0--2    2=2 5， 故答案为：2 5 3081 (2024·高一课时练习)已知直线l与直线l:y=1及直线l :x+y-7=0分别交于点P， 1 2 Q．若PQ的中点为点M1,-1  ，则直线l的斜率为 ． 2 【答案】- 3 【解析】设Pa,1  ，则Q2-a,-3  ．由点Q在直线l 上，得2-a+3-7=0，a=-2． 2 故P-2,1  ． 1--1 所以直线l的斜率为k=  2 ，所以k=- -2-1 3 2 故答案为- 3 【解题方法总结】 x =2x -x 求点P(x 1 ,y 1 )关于点M(x 0 ,y 0 )中心对称的点P'(x 2 ,y 2 )，由中点坐标公式得  y 2 =2y 0 -y 1 2 0 1 5 题型五：点线对称 3082 (2024·湖南长沙·高一周南中学校考开学考试)如下图，一次函数y=x+4的图象与x 轴，y轴分别交于点A，B，点C(-2,0)是x轴上一点，点E，F分别为直线y=x+4和y 轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为 ( ) 第 页 共 页 1976 34275 3 A.E- , 2 2  ，F(0,2) B.E(-2,2)，F(0,2) 5 3 C.E- , 2 2  2 ，F0, 3  2 D.E(-2,2)，F0, 3  【答案】C 【解析】作C(-2,0)关于y轴的对称点G(2,0)， 作C(-2,0)关于y=x+4的对称点D(a,b)， 连接DG交y轴于F，交AB于E，所以FG=FC,EC=ED， 此时△CEF周长最小，即EC+FC+EF=ED+FG+EF=DG， b 由C(-2,0)，直线AB方程为y=x+4，所以   a b +2 a = - - 2 1 ，解得  a b= =- 2 4 ， = +4 2 2 y-0 x-2 1 2 所以D(-4,2)，可得直线DG方程为 = ，即y=- x+ ， 2-0 -4-2 3 3 5 y=x+4 x=-   2 5 3 由 1 2 ，解得 ，所以E- , y=- x+ 3 2 2 3 3 y= 2  ， 2 2 令x=0可y= ，所以F0, 3 3  . 故选：C. 3083 (2024·全国·高二专题练习)若直线l 1 :y-2=k-1  x和直线l 关于直线y=x+1对称， 2 则直线l 恒过定点 ( ) 2 A. 2,0  B. 1,-1  C. 1,1  D. -2,0  【答案】C 【解析】因为直线l 1 :y-2=k-1  x过定点0，2  ， 点0，2  关于直线y=x+1对称的点为1，1  ， 故直线l 2 恒过定点1,1  . 故选：C 1 3084 (2024·全国·高二假期作业)抛物线y= x2的焦点关于直线x-y-1=0的对称点的坐 4 第 页 共 页 1977 3427标是 ( ) 1 1 A.(2,-1) B.(1,-1) C.  ,- 4 4  1 1 D.  ,- 16 16  【答案】A 1 【解析】抛物线y= x2即x2=4y，其焦点坐标为F(0,1)， 4 设F(0,1)关于直线x-y-1=0的对称点的坐标是F(m,n)， n-1 则   m 0+ - m 0 ×1 1 = + - n 1 ，解得  m n= = - 2 1 ，则F(2,-1)， - -1=0 2 2 故选：A． 3085 (2024·江西·高二校联考开学考试)如图，一束光线从A3,4  出发，经过坐标轴反射两次 经过点D6,2  ，则总路径长即AB  +BC  +CD  总长为 ( ) A.3 5 B.6 C.3 13 D. 85 【答案】C 【解析】设点A关于y轴的对称点为点M，点D关于x轴的对称点为点N， 由光线反射知识可得M,B,C三点共线，N,C,B三点共线， 故M,B,C,N四点共线， 因为点A的坐标为3,4  ，点D的坐标为6,2  ， 所以点M的坐标为-3,4  ，点N的坐标为6,-2  ， 由对称的性质可得AB  =MB  ,DC  =NC  ， 所以AB  +BC  +CD  =MB  +BC  +CN  =MN  ， 又MN  = 92+62=3 13， 所以AB  +BC  +CD  =3 13. 故选：C. 3086 (2024·四川遂宁·高二统考期末)已知点A与点B(2,1)关于直线x+y+2=0对称，则 点A的坐标为 ( ) A.(-1,4) B.(4,5) C.(-3,-4) D.(-4,-3) 【答案】C 【解析】设Ax,y  ，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线x+y+2=0上且直 第 页 共 页 1978 3427线AB与直线x+y+2=0垂直， x+2 y+1 则   y- 2 1 + 2 +2=0 ⇒   x y= = - - 4 3 ，  =1 x-2 即点A坐标为(-3,-4). 故选：C 3087 (2024·湖北·高二校联考阶段练习)在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=3，点P是 边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA反射后又回到点P，如图，若光 线QR经过△ABC的重心，则AP= ( ) 3 3 A. B. C.1 D.2 2 4 【答案】C 【解析】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得B(3,0)，C(0,3)， 故直线BC的方程为x+y=3， 又由A(0,0)，B(3,0)，C(0,3)，则△ABC 的重心为(1,1)， 设P(a,0)，其中00  与l ：2x+ny- 2 6=0之间的距离是2 5，则直线l 关于直线l 对称的直线方程为 ( ) 1 2 A.x-2y-13=0 B.x-2y+2=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-6=0 【答案】A 【解析】因为直线l 1 ：x-2y+m=0m>0  与l ：2x+ny-6=0， 2 所以n=-2×2=-4， 又两条平行直线l 1 ：x-2y+m=0m>0  与l ：2x+ny-6=0之间的距离是2 5， 2 |2m+6| 所以 =2 5,解得m=7 4+16 即直线l ：x-2y+7=0，l ：x-2y-3=0， 1 2 设直线l 关于直线l 对称的直线方程为x-2y+c=0， 1 2 |-3-7| |-3-c| 则 = ，解得c=-13， 5 5 故所求直线方程为x-2y-13=0， 故选：A 3102 (2024·全国·高三专题练习)两直线方程为l:3x-2y-6=0，l :x-y-2=0，则l 关于 1 2 1 l 对称的直线方程为 ( ) 2 A.3x-2y-4=0 B.2x+3y-6=0 C.2x-3y-4=0 D.3x-2y-6=0 【答案】C 【解析】设所求直线上任一点M(x,y)，M关于直线x-y-2=0的对称点M(x ，y)， 1 1 y-y 则   x x - +x x 1 1 =- y 1 +y ，解出  x y 1 = = x y+ - 2 2 (*)  1 - 1 -2=0 1  2 2 ∵点M在直线3x-2y-6=0上，∴将(*)式代入，得3(y+2)-2(x-2)-6=0， 化简得2x-3y-4=0，即为l 关于l 对称的直线方程． 1 2 故选：C 【解题方法总结】 求直线l关于直线l 对称的直线l' 0 若直线l⎳l ，则l⎳l'，且对称轴l 与直线l及l'之间的距离相等． 0 0 此时l,l ,l'分别为Ax+By+C=0,Ax+By+C =0,Ax+By+C'=0(A2+B2≠0)， 0 0 |C-C | |C'-C | 由 0 = 0 ，求得C'，从而得l'． A2+B2 A2+B2 若直线l与l 不平行，则l∩l =Q．在直线l上取异于Q的一点P(x,y)，然后求得P(x, 0 0 1 1 1 第 页 共 页 1984 3427y)关于直线l 对称的点P'(x ,y )，再由Q,P'两点确定直线l'(其中l∩l ∩l'=Q)． 1 0 2 2 0 8 题型八：直线系方程 3103 (2024·全国·高三专题练习)已知两直线ax+by-1=0和a x+b y-1=0的交点为P 1 1 2 2 (1,2)，则过Q(a,b),Q (a ,b )两点的直线方程为 . 1 1 1 2 2 2 【答案】x+2y-1=0 【解析】依题意两直线ax+by-1=0和a x+b y-1=0的交点为P(1,2)， 1 1 2 2 所以a +2b -1=0,a +2b -1=0，Q,Q 在直线x+2y-1=0上， 1 1 2 2 1 2 所以过Q(a,b),Q (a ,b )两点所在直线方程为x+2y-1=0. 1 1 1 2 2 2 故答案为：x+2y-1=0 3104 (2024·全国·高三专题练习)经过直线3x-2y+1=0和直线x+3y+4=0的交点，且平 行于直线x-y+4=0的直线方程为 ． 【答案】x-y=0. 【解析】设直线方程为3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0，再求出λ的值即得解.过两直线交 点的直线方程可设为3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0， 即(3+λ)x+(3λ-2)y+4λ+1=0， 因为它与直线x-y+4=0平行， 所以3+λ+3λ-2=0， 1 即λ=- ， 4 故所求直线为x-y=0. 故答案为：x-y=0. 3105 (2024·全国·高三专题练习)已知坐标原点为O，过点P2,6  作直线2mx-4m+n  y+ 2n=0(m,n不同时为零)的垂线，垂足为M，则OM  的取值范围是 ． 【答案】5- 5,5+ 5  【解析】根据题意，直线2mx-4m+n  y+2n=0，即m2x-4y  -ny-2  =0， 2x-4y=0 x=4 则有  ，解可得  ，则直线l恒过点4,2 y=2 y=2  ． 设Q4,2  ，又由MP与直线垂直，且M为垂足， 则点M的轨迹是以PQ为直径的圆，其方程为x-3  2+y-4  2=5， 所以5- 5≤OM  ≤5+ 5；即OM  的取值范围是5- 5,5+ 5  ； 故答案为5- 5,5+ 5  ． 3106 (2024·高二课时练习)经过点P(1,0)和两直线l:x+2y-2=0；l :3x-2y+2=0交点 1 2 的直线方程为 . 【答案】x+y-1=0 【解析】设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0， 点P(1,0)在直线上， ∴1-2+λ(3+2)=0， 1 解得λ= ， 5 1 ∴所求直线方程为x+2y-2+ ×(3x-2y+2)=0，即x+y-1=0． 5 故答案为：x+y-1=0. 第 页 共 页 1985 34273107 (2024·全国·高二课堂例题)若直线l经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交 点，且斜率为-3，则直线l的方程为 ． 【答案】15x+5y+16=0 【解析】设直线l的方程为2x-3y-3+λx+y+2  =0(其中λ为常数)，即λ+2  x+ λ-3  y+2λ-3=0 ①． λ+2 11 又直线l的斜率为-3，则 =-3，解得λ= ． 3-λ 2 11 将λ= 代入①式并整理，得15x+5y+16=0，此即所求直线l的方程． 2 故答案为：15x+5y+16=0. 3108 (2024·全国·高一专题练习)设直线l经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点，且 与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为 . 【答案】x-y-4=0或x+y-24=0 2x-3y+2=0 x=14 【解析】方法一：由 ，得 ，   3x-4y-2=0 y=10 所以两条直线的交点坐标为(14，10), 由题意可得直线l的斜率为1或-1， 所以直线l的方程为y-10=x-14或y-10=-x-14  ， 即x-y-4=0或x+y-24=0. 方法二：设直线l的方程为2x-3y+2  +λ3x-4y-2  =0，整理得2+3λ  x- 4λ+3  y-2λ+2=0， 2+3λ 5 由题意，得 =±1，解得λ=-1或λ=- ， 3+4λ 7 所以直线l的方程为x-y-4=0或x+y-24=0. 故答案为：x-y-4=0或x+y-24=0. 3109 (2024·高二课时练习)经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标 轴上的截距相等的直线方程为 . 【答案】x+y+1=0或3x+4y=0 【解析】由题意可设所求直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0，即(3+2λ)x+(2 +5λ)y+6-7λ=0 7λ-6 令x=0，得y= 2+5λ 7λ-6 令y=0，得x= 3+2λ ∵所求直线方程在两坐标轴上的截距相等 7λ-6 7λ-6 1 6 ∴ = ，即λ= 或λ= 3+2λ 2+5λ 3 7 ∴所求直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0 故答案为x+y+1=0或3x+4y=0 【解题方法总结】 利用直线系方程求解． 【解题方法总结】 第 页 共 页 1986 3427