第58讲两条直线的位置关系_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第58讲 两条直线的位置关系 知识梳理 知识点一：两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 l:Ax+By+C =0 AB -A B =0且 1 1 1 1 1 2 2 1 AA +BB =0 l :A x+B y+C =0 BC -B C ≠0 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 l:y=kx+b 1 1 1(斜率存在) l :y=k x+b k =k ,b ≠b 或 k ∙k =-1或k 与k 中有一个为0， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 l 1 :x=x 1,(斜率不存在) x=x 1 ,x=x 2 ,x 1 ≠x 2 另一个不存在． l :x=x 2 2 知识点二：三种距离 1、两点间的距离 平面上两点P(x,y),P(x ,y )的距离公式为|PP|= (x -x )2+(y -y )2． 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|= x2+y2. 2、点到直线的距离 |Ax +By +C| 点P(x ,y )到直线l:Ax+By+C=0的距离d= 0 0 0 0 0 A2+B2 特别地，若直线为l：x=m，则点P(x ,y )到l的距离d=|m-x |；若直线为l：y=n，则 0 0 0 0 点P(x ,y )到l的距离d=|n-y | 0 0 0 0 3、两条平行线间的距离 已知l,l 是两条平行线，求l,l 间距离的方法： 1 2 1 2 (1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． |C -C | (2)设l:Ax+By+C =0,l :Ax+By+C =0，则l 与l 之间的距离d= 1 2 1 1 2 2 1 2 A2+B2 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4、双根式 双根式f(x)= ax2+bx+c ± a x2+b x+c 型函数求解，首先想到两点间的距离，或 1 1 1 2 2 2 者利用单调性求解． 【解题方法总结】 1、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P(x ，y )关于点Q(x ，y )的对称点为P 1 1 0 0 x +x x 0 = 1 2 2 (x ，y )，则根据中点坐标公式，有 2 2 y +y y = 1 2 0 2 可得对称点P(x ，y )的坐标为(2x -x ，2y -y) 2 2 0 1 0 1 2、点关于直线对称 点P(x ，y )关于直线l:Ax+By+C=0对称的点为P(x ，y )，连接PP，交l于M点， 1 1 2 2 则 l 垂直平分 PP，所以 PP ⊥ l，且 M 为 PP 中点，又因为 M 在直线 l 上，故可得 第 页 共 页 592 1043k⋅k =-1  l PP  x +x y +y ，解出(x ，y )即可． A 1 2 +B 1 2 +C=0 2 2 2 2 3、直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再 由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称 求直线l:ax+by+c=0，关于直线l :dx+ey+f=0(两直线不平行)的对称直线l 1 2 3 第一步：联立l ，l 算出交点P(x ，y ) 1 2 0 0 第二步：在l 上任找一点(非交点)Q(x ，y )，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称 1 1 1 点Q(x ，y ) 2 2 第三步：利用两点式写出l 方程 3 5、常见的一些特殊的对称 点(x，y)关于x轴的对称点为(x，-y)，关于y轴的对称点为(-x，y)． 点(x，y)关于直线y=x的对称点为(y，x)，关于直线y=-x的对称点为(-y，-x)． 点(x，y)关于直线x=a的对称点为(2a-x，y)，关于直线y=b的对称点为(x，2b- y)． 点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y)． 点(x，y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y，k-x)，关于直线x-y=k的对称点为 (k+y，x-k)． 6、过定点直线系 过已知点P(x ，y )的直线系方程y-y =k(x-x )(k为参数)． 0 0 0 0 7、斜率为定值直线系 斜率为k的直线系方程y=kx+b(b是参数)． 8、平行直线系 与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+λ=0(λ为参数)． 9、垂直直线系 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx-Ay+λ=0(λ为参数)． 10、过两直线交点的直线系 过直线l:Ax+By+C =0与l :A x+B y+C =0的交点的直线系方程：Ax+By+C 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 +λ(A x+B y+C )=0(λ为参数)． 2 2 2 必考题型全归纳 1 题型一：两直线位置关系的判定 3037 (2024·高二课时练习)直线2x+y+2=0与ax+4y-2=0互相垂直，则这两条直线的 交点坐标为 ( ) A. 1,-4  B. 0,-2  C. -1,0  1 D. 0, 2  第 页 共 页 593 10433038 (2024·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试)已知过点A(-2,m)和点B(m,4) 1 1 的直线为l ，l :y=-2x+1,l :y=- x- .若l ⎳l ,l ⊥l ，则m+n的值为 ( ) 1 2 3 n n 1 2 2 3 A.-10 B.-2 C.0 D.8 3039 (2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试)设直线l:x+2ay-5=0，l : 1 2 3a-1  x-ay-2=0，则a=1是l ⊥l 的 ( ) 1 2 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3040 (2024·广东东莞·高三校考阶段练习)直线l ：mx+2y+2=0与直线l ：x+(m-1)y= 1 2 0平行，则m= ( ) A.-1或2 B.2 C.-1 D.-2 3041 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l 1 ：ax+2y+1=0，l 2 ：3-a  x-y+a=0， 则条件“a=1”是“l ⊥l ”的 ( ) 1 2 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不必要也不充分条件 3042 (2024·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模)已知直线l:x+y=0,l :ax+by+1=0，若 1 2 l ⊥l ，则a+b= ( ) 1 2 A.-1 B.0 C.1 D.2 3043 (2024·全国·高三专题练习)已知A(-1，2)，B(1，3)，C(0，-2)，点D使AD⊥BC，AB ∥CD，则点D的坐标为 ( ) 9 4 A. - , 7 7  54 13 B.  , 7 7  38 13 C.  , 3 3  38 5 D.  , 7 7  3044 (2024·甘肃陇南·高三统考期中)已知ΔABC的顶点B2,1  ，C-6,3  ，其垂心为 H-3,2  ，则其顶点A的坐标为 A. -19,-62  B. 19,-62  C. -19,62  D. 19,62  3045 (2024·全国·高三专题练习)直线l 1 :x+1+a  y=1-aa∈R  1 ，直线l :y=- x，下列说 2 2 法正确的是 ( ) A.∃a∈R，使得l ∥l B.∃a∈R，使得l ⊥l 1 2 1 2 C.∀a∈R，l 与l 都相交 D.∃a∈R，使得原点到l 的距离为3 1 2 1 3046 (2024·全国·高三对口高考)设a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C所对边的边长，则直 线sinA⋅x+ay+c=0与直线bx-sinB⋅y+sinC=0的位置关系是 ( ) A.相交但不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合 2 题型二：两直线的交点与距离问题 3047 (2024·全国·高三专题练习)若直线l:y=kx- 3与直线2x+3y-6=0的交点位于第 一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ( ) π π A.   ,  6 3  π π B.   ,  6 2  π π C.  , 3 2  π π D.  , 6 2  第 页 共 页 594 10433048 (2024·上海浦东新·华师大二附中校考三模)已知三条直线l:x-2y+2=0，l :x-2= 1 2 0，l :x+ky=0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有 ( ) 3 A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 3049 (2024·全国·高三专题练习)若三条直线l:4x+y=3,l :mx+y=0,l :x-my=2不能围 1 2 3 成三角形，则实数m的取值最多有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.6个 3050 (2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习)若点P(x,y)在直线2x+y- 5=0上，O是原点，则OP的最小值为 ( ) A.2 2 B.2 C. 5 D.4 3051 (2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期中)已知点Px 0 ,y 0  在直线3x-4y-10=0 上，则 x2+y2的最小值为 ( ) 0 0 A.1 B.2 C.3 D.4 3052 (2024·高二课时练习)已知点Pa,2  、A-2,-3  、B1,1  ，且PA  =PB  ，则a= . 3053 (2024·全国·高二专题练习)已知点Mx,-4  与点N2,3  间的距离为7 2，则x= ． 3054 (2024·全国·高二课堂例题)已知点A2,1  ，B3,4  ，C-2,-1  ，则△ABC的面积为 ． 3055 (2024·江苏淮安·高二统考期中)已知平面上点P3,3  和直线l:2y+3=0，点P到直线l 的距离为d，则d= . 3056 (2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中)点0,-1  到直线y=kx+2  的 距离的最大值是 ． 3057 (2024·高二课时练习)过直线l:x-2y+3=0与直线l :2x+3y-8=0的交点，且到点 1 2 P0,4  的距离为1的直线l的方程为 ． 3058 (2024·江西新余·高二校考开学考试)若点P3,1  到直线l:3x+4y+a=0a>0  的距 离为3，则a= . 3059 (2024·全国·高三专题练习)点0,0  ，3,4  到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足 条件的直线l的方程： . 3060 (2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试)若两条直线l:x+2y-6=0与l : 1 2 x+ay-5=0平行，则l 与l 间的距离是 . 1 2 3061 (2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习)平行直线l:3x-4y+6=0 1 与l :6x-8y+9=0之间的距离为 ． 2 3062 (2024·新疆·高二校联考期末)已知不过原点的直线l 与直线l :x-y+ 2=0平行，且 1 2 直线l 与l 的距离为1，则直线l 的一般式方程为 ． 1 2 1 3 题型三：有关距离的最值问题 第 页 共 页 595 10433063 (2024·北京·高三强基计划) (x-9)2+4+ x2+y2+ (y-3)2+9的最小值所属区间 为 ( ) A.[10,11] B.(11,12] C.(12,13] D.前三个答案都不对 3064 (2024·全国·高三专题练习)已知实数x,x ,y,y ，满足x2+y2=4，x2+y2=9，xx + 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 y 1 y 2 =0，则x 1 +y 1 -9  +x 2 +y 2 -9  的最小值是 ． 3065 (2024·全国·高三专题练习)如图，平面上两点P(0,1),Q(3,6)，在直线y=x上取两点M, N使MN  = 2，且使PM  +MN  +NQ  的值取最小，则N的坐标为 ． 3066 (2024·全国·高二专题练习)已知点P,Q分别在直线l:x+y+2=0与直线l :x+y-1 1 2 =0上，且PQ⊥l 1 ，点A-3,-3  ，B3,0  ，则AP  +PQ  +QB  的最小值为 . 3067 (2024·全国·高二课堂例题)已知直线l:kx+y+2-k=0过定点M，点Px,y  在直线 2x-y+1=0上，则MP  的最小值是 ( ) 3 5 5 A.5 B. 5 C. D. 5 5 3068 (2024·全国·高三专题练习)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事 休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： x-a  2+y-b  2可以 转化为点x,y  到点a,b  的距离，则 x2+1+ x2-4x+8的最小值为( )． A.3 B.2 2+1 C.2 3 D. 13 3069 (2024·贵州·校联考模拟预测)已知x,y∈R+，满足2x+y=2，则x+ x2+y2的最小值 为 ( ) 4 8 1+ 2 A. B. C.1 D. 5 5 3 3070 (2024·江西·高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,-2  ，点 B1,0  ,P为直线2x-4y+3=0上一动点，则PA  +PB  的最小值是 ( ) A. 5 B.4 C.5 D.6 3071 (2024·高二课时练习)已知点A1,3  ,B5,-2  ，点P在x轴上使AP  -BP  最大，求点 P的坐标． 3072 (2024·天津和平·高二天津市汇文中学校考阶段练习)在直线l:3x-y-1=0上求一点 P，使得： (1)P到A4,1  和B0,4  的距离之差最大； (2)P到A4,1  和C3,4  的距离之和最小. 第 页 共 页 596 10433073 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =alnx+1  +1a∈R  的图象恒过定点A， 圆O:x2+y2=4上的两点Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2    满足PA=λAQλ∈R  ，则2x 1 +y 1 +7  + 2x 2 +y 2 +7  的最小值为 ( ) A.2 5 B.7+ 5 C.15- 5 D.30-2 5 3074 (2024·江西·高三校联考开学考试)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最 小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所 在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则F(x,y) = (x-2 3)2+y2+ (x+1- 3)2+(y-1+ 3)2+ x2+(y-2)2的最小值为 ( ) A.4 B.2+2 3 C.3+2 3 D.4+2 3 3075 (2024·全国·高三专题练习)已知x+y=0，则 x2+y2-2x-2y+2+ x-2  2+y2的最 小值为 ( ) A. 5 B.2 2 C. 10 D.2 5 3076 (2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末)设m∈R，过定点A的动直线x+my =0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点Px,y  ，则PA  ⋅PB  的最大值是 ( ) A. 5 B. 10 C.5 D.10 3077 (2024·全国·高二专题练习)过定点A的动直线x+ky=0和过定点B的动直线kx-y -2k+1=0交于点M，则MA  +MB  的最大值是 ( ) A.2 2 B.3 C. 10 D. 15 4 题型四：点点对称 3078 (2024·全国·高三专题练习)已知Aa,6  ，B-2,b  ，点P2,3  是线段AB的中点，则a+ b= . 3079 (2024·江苏南通·高二统考期中)已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M 的坐标为2,-1  ，则线段AB的长度为 . 3080 (2024·高二课时练习)设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，-1)，则AB  等于 3081 (2024·高一课时练习)已知直线l与直线l:y=1及直线l :x+y-7=0分别交于点P， 1 2 Q．若PQ的中点为点M1,-1  ，则直线l的斜率为 ． 5 题型五：点线对称 3082 (2024·湖南长沙·高一周南中学校考开学考试)如下图，一次函数y=x+4的图象与x 轴，y轴分别交于点A，B，点C(-2,0)是x轴上一点，点E，F分别为直线y=x+4和y 轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为 ( ) 第 页 共 页 597 10435 3 A.E- , 2 2  ，F(0,2) B.E(-2,2)，F(0,2) 5 3 C.E- , 2 2  2 ，F0, 3  2 D.E(-2,2)，F0, 3  3083 (2024·全国·高二专题练习)若直线l 1 :y-2=k-1  x和直线l 关于直线y=x+1对称， 2 则直线l 恒过定点 ( ) 2 A. 2,0  B. 1,-1  C. 1,1  D. -2,0  1 3084 (2024·全国·高二假期作业)抛物线y= x2的焦点关于直线x-y-1=0的对称点的坐 4 标是 ( ) 1 1 A.(2,-1) B.(1,-1) C.  ,- 4 4  1 1 D.  ,- 16 16  3085 (2024·江西·高二校联考开学考试)如图，一束光线从A3,4  出发，经过坐标轴反射两次 经过点D6,2  ，则总路径长即AB  +BC  +CD  总长为 ( ) A.3 5 B.6 C.3 13 D. 85 3086 (2024·四川遂宁·高二统考期末)已知点A与点B(2,1)关于直线x+y+2=0对称，则 点A的坐标为 ( ) A.(-1,4) B.(4,5) C.(-3,-4) D.(-4,-3) 3087 (2024·湖北·高二校联考阶段练习)在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=3，点P是 边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA反射后又回到点P，如图，若光 线QR经过△ABC的重心，则AP= ( ) 3 3 A. B. C.1 D.2 2 4 第 页 共 页 598 10436 题型六：线点对称 3088 (2024·高二课时练习)直线l:2x-3y+1=0关于点A-1,-2  对称的直线l的方程为 ． 3089 (2024·全国·高二专题练习)直线2x-y+3=0关于点A5,3  的对称直线方程是 ． 3090 (2024·河北廊坊·高三校考阶段练习)与直线l:2x-3y+1=0关于点4,5  对称的直线 的方程为 . 3091 (2024·全国·高三专题练习)直线ax+y+3a-1=0恒过定点M，则直线2x+3y-6= 0关于M点对称的直线方程为 ． 3092 (2024·辽宁营口·高三统考期末)若直线l 1 ：y=kx+4与直线l 2 关于点M1,2  对称，则 当l 2 经过点N0,-1  时，点M到直线l 的距离为 . 2 3093 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个 单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l.再将直线l 沿x轴正方向平移1 1 1 个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l 关于点 1 (2，3)对称，则直线l的方程是 . 7 题型七：线线对称 3094 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l:x-y+3=0，直线l:x-y-1=0，若直线l 关于 1 1 直线l的对称直线为l ，则直线l 的方程为 ． 2 2 3095 (2024·全国·高三专题练习)若动点A，B分别在直线l ：x+y-7=0和l ：x+y-5= 1 2 0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为 ( ) A.3 2 B.2 2 C.3 3 D.4 2 3096 (2024·全国·高三专题练习)直线x-2y-1=0关于直线y-x=0对称的直线方程是 ( ) A.2x-y+1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y+1=0 D.x+2y+1=0 3097 (2024·全国·高三专题练习)设直线l:x-2y-2=0与l 关于直线l:2x-y-4=0对称， 1 2 则直线l 的方程是 ( ) 2 A.11x+2y-22=0 B.11x+y+22=0 C.5x+y-11=0 D.10x+y-22=0 3098 (2024·全国·高三专题练习)直线ax+by+c=0关于直线x-y=0对称的直线为 ( ) A.ax-by+c=0 B.bx-ay+c=0 C.bx+ay+c=0 D.bx+ay-c=0 3099 (2024·全国·高三专题练习)如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称， 那么 ( ) 1 1 A.a= ,b=6 B.a= ,b=-6 C.a=3,b=-2 D.a=3,b=6 3 3 第 页 共 页 599 10433100 (2024·全国·高三专题练习)求直线x+2y-1=0关于直线x+2y+1=0对称的直线方 程 ( ) A.x+2y-3=0 B.x+2y+3=0 C.x+2y-2=0 D.x+2y+2=0 3101 (2024·全国·高三专题练习)若两条平行直线l 1 ：x-2y+m=0m>0  与l ：2x+ny- 2 6=0之间的距离是2 5，则直线l 关于直线l 对称的直线方程为 ( ) 1 2 A.x-2y-13=0 B.x-2y+2=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-6=0 3102 (2024·全国·高三专题练习)两直线方程为l:3x-2y-6=0，l :x-y-2=0，则l 关于 1 2 1 l 对称的直线方程为 ( ) 2 A.3x-2y-4=0 B.2x+3y-6=0 C.2x-3y-4=0 D.3x-2y-6=0 8 题型八：直线系方程 3103 (2024·全国·高三专题练习)已知两直线ax+by-1=0和a x+b y-1=0的交点为P 1 1 2 2 (1,2)，则过Q(a,b),Q (a ,b )两点的直线方程为 . 1 1 1 2 2 2 3104 (2024·全国·高三专题练习)经过直线3x-2y+1=0和直线x+3y+4=0的交点，且平 行于直线x-y+4=0的直线方程为 ． 3105 (2024·全国·高三专题练习)已知坐标原点为O，过点P2,6  作直线2mx-4m+n  y+ 2n=0(m,n不同时为零)的垂线，垂足为M，则OM  的取值范围是 ． 3106 (2024·高二课时练习)经过点P(1,0)和两直线l:x+2y-2=0；l :3x-2y+2=0交点 1 2 的直线方程为 . 3107 (2024·全国·高二课堂例题)若直线l经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交 点，且斜率为-3，则直线l的方程为 ． 3108 (2024·全国·高一专题练习)设直线l经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点，且 与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为 . 3109 (2024·高二课时练习)经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标 轴上的截距相等的直线方程为 . 第 页 共 页 600 1043