文档内容
第 42 讲 等比数列及其前 n 项和
知识梳理
知识点一．等比数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为
零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 表示，
定义的表达式为 ．
（2）等比中项：如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．
即 是 与 的等比中项⇔ ， ， 成等比数列⇒ ．
知识点二．等比数列的有关公式
（1）等比数列的通项公式
设 等 比 数 列 的 首 项 为 ， 公 比 为 ， 则 它 的 通 项 公 式
．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列 的公比为 ，其前 项和为
注①等比数列的前 项和公式有两种形式，在求等比数列的前 项和时，首先要判断公
比 是否为1，再由 的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比 是否为1时，要分
与 两种情况讨论求解．
②已知 （项数），则利用 求解；已知 ，则利
用 求解．
③ ， 为关于 的指数型函数，
且系数与常数互为相反数．
知识点三．等比数列的性质（1）等比中项的推广．
若 时，则 ，特别地，当 时， ．
（2）①设 为等比数列，则 （ 为非零常数）， ， 仍为等比数列．
②设 与 为等比数列，则 也为等比数列．
（3）等比数列 的单调性（等比数列的单调性由首项 与公比 决定）．
当 或 时， 为递增数列；
当 或 时， 为递减数列．
（4）其他衍生等比数列．
若已知等比数列 ，公比为 ，前 项和为 ，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为 ．
②等长度截取
为等比数列，公比为 （当 时， 不为偶数）．
【解题方法总结】
（1）若 ，则 ．
（2）若 ， （项数相同）是等比数列，则 ， ， ，
， 仍是等比数列．
（3）在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即
为
等比数列，公比为 ．
（4）公比不为－1的等比数列 的前 项和为 ，则 ， ， 仍成
等比数列，其公比为 ．（5） 为等比数列，若 ，则 成等比数列．
（6）当 ， 时， 是 成等比数列的充要条件，此时
．
（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，
还等于中间
项的平方．
（8）若 为正项等比数列，则 为等差数列．
（9）若 为等差数列，则 为等比数列．
（10）若 既是等差数列又是等比数列 是非零常数列．
必考题型全归纳
题型一：等比数列的基本运算
例1．（2024·北京·高三汇文中学校考阶段练习）在等比数列 中， ，
，则 等于（ ）
A．9 B．72 C．9或70 D．9或
例2．（2024·全国·高三专题练习）已知递增的等比数列 中，前3项的和为7，前3项
的积为8，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
例3．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列 的前n项和为
，公比为q，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）在等比数列 中，若 ，，则公比q应为（ ）
A． B． C． D．－2
变式2．（2024·全国·高三专题练习）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若
， ，则 （ ）
A． B． C．15 D．40
变式3．（2024·全国·高三对口高考）已知数列 是等比数列， ，
则该数列的 以及 依次为（ ）
A．682， B． ， C．682， 或 D． ， 或
变式4．（2024·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{ }的前n项和为 ，若
，则 =（ ）
A．64 B．81 C．128 D．192
变式5．（2024·江西·校联考模拟预测）已知等比数列 的前4项和为 ， ，
则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【解题方法总结】
等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 ，
， ， ， ，
一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．
（2）等比数列的前 项和公式涉及对公比 的分类讨论：当 时， ；当 时， ．
题型二：等比数列的判定与证明
例4．（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种
溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这
称为一次调和．记 ， ，经 次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度
分别为 ， ．
(1)试用 ， 表示 ， ．
(2)证明：数列 是等比数列，并求出 ， 的通项．
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，其中 为
的前n项和．证明：
(1) 是等比数列．
(2) ．
例6．（2024·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，
第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第 （ ）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为 ，在丙手中的方法数为 .
(1)求证：数列 为等比数列，并求出 的通项；
(2)求证：当n为偶数时， .
变式6．（2024·广东东莞·校考三模）已知数列 和 ， ， ，
.
(1)求证数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
变式7．（2024·全国·高三专题练习）设数列 的首项 ，且 ，
记 .
(1)求 ；
(2)判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论；
(3)求 .变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 、 满足 ，
， ， ，且 ， .
(1)求证： 是等比数列；
(2)若 是递增数列，求实数 的取值范围.
变式9．（2024·全国·高三专题练习）数列 的前 和 满足 ，
(1)求 的值及 与 的关系；
(2)求证： 是等比数列，并求出 的通项公式.
变式10．（2024·云南·校联考三模）已知数列 有递推关系 ，
，记 ，若数列 的递推式形如 （ 且
），也即分子中不再含有常数项.
(1)求实数 的值；
(2)证明： 为等比数列，并求其首项和公比.变式11．（2024·福建厦门·统考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)证明 是等比数列；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
变式12．（2024·山东潍坊·三模）已知数列 和 满足
．
(1)证明： 和 都是等比数列；
(2)求 的前 项和 ．
【解题方法总结】
等比数列的判定方法
定义法
若 （ 为非零常数， 或 （ 为非零常数且 ， ），则是等比数列
中项公式法
若数列 中， 且 ，则 是等比数列
通项公式法 若数列 的通项公式可写成 （ 均为非零常数， ），则 是
等比数列
n
前 项和公式法
若数列 的前 项和 （ 为非零常数， ），则 是等比数列
题型三：等比数列项的性质应用
例7．（2024·全国·高三对口高考）已知等比数列 的前n项和为 ，则
__________.
例8．（2024·山东泰安·统考二模）若m，n是函数 的两个不
同零点，且m，n， 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
则 __________.
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，且
、 是函数 的两个零点，则 ___________.
变式13．（2024·高三课时练习）已知等比数列 的公比 ，该数列前9项的乘积
为1，则 ______．
变式14．（2024·江西·校联考二模）在正项等比数列 中， 与 是方程
的两个根，则 _________ .
变式15．（2024·全国·高三专题练习）等比数列 中， ， ，则公比q的值为_____________.
变式16．（2024·全国·高三专题练习）在 和 之间插入三个数，使这五个数组成正项等比
数列，则中间三个数的积等于_____________.
变式17．（2024·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若数列 是等比
数列，且 ，则 __________．
变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知正项数列 是公比不等于1的等比数列，且
，若 ，则 __________.
变式19．（2024·四川成都·统考二模）已知等比数列 的首项为 ，且
，则 __________.
变式20．（2024·重庆·高三阶段练习）在等比数列 中， ，则
______________．
【解题方法总结】
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质
“若 ，则 ．”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．
此外，解题时注意设而不求思想的运用．
题型四：等比数列前n项和的性质
例10．（2024·全国·高三对口高考）已知数列 为等比数列， 为其前n项和.若
， ，则 的值为__________.
例11．（2024·河北沧州·统考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，，则 ______.
例12．（2024·高三课时练习）已知 是正项等比数列 的前n项和， ，则
的最小值为______．
变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 是等比数列， 是其前 项和，且
， ，则 ______.
变式22．（2024·全国·高三专题练习）设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，
则 的值为______.
变式23．（2024·全国·高三专题练习）设正项等比数列 的前 项和为 ，且
，则公比 __________.
变式24．（2024·重庆·高三统考阶段练习）已知等比数列 的前 项和为 ， ，
，则 ___________.
变式25．（2024·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，
，则 ， 的等差中项为__________.
变式26．（2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，
若 ， ，则 的值为_______
【解题方法总结】
（1）等比数列 中，所有奇数项之和 与所有偶数项之和 具有的性质，设公比
为 ．①若共有 项，则 ；②若共有 项， ．
（ 2 ） 等 比 数 列 中 ， 表 示 它 的 前 项 和 ． 当 时 ， 有
也成等比数列，公比为 ．
题型五：求数列的通项
例13．（2024·广西玉林·统考三模）记数列 的前n项和为 ，已知向量 ，
，若 ，且 ，则 通项为________．
例14．（2024·内蒙古包头·高三统考期末）已知数列 和 满足 ， ，
， .则数列 的通项 ______.
例15．（2024·上海浦东新·高三校考开学考试）设幂函数 ，数列 满足：
，且 （ ），则数列 的通项 __．
变式27．（2024·江苏·高三专题练习）写出一个满足前5项的和为31，且递减的等比数列
的通项 ___________．
变式28．（2024·山西太原·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 且满足
，则数列 的通项 _______．
变式29．（2024·上海·高三专题练习）数列 的前 项和为 ，则数列
的通项 ___________．
变式30．（2024·内蒙古包头·高三统考期中）已知数列{ }的通项 与前n项和 之间
满足关系 则 =__________变式31．（2024·上海·高三专题练习）数列 的通项 的通项 ，由
与 中公共项，并按原顺序组成一个新的数列 ，求 的前 项和.
【解题方法总结】
（1）等比数列的通项公式
设 等 比 数 列 的 首 项 为 ， 公 比 为 ， 则 它 的 通 项 公 式
．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列 的公比为 ，其前 项和为
题型六：奇偶项求和问题的讨论
例16．（2024·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知数列 满足 ，且
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求使得不等式 成立的n的最小值．例17．（2024·河北·模拟预测）已知数列 满足 ，
(1)记 ，证明：数列 为等比数列；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
例18．（2024·山东济宁·统考二模）已知数列 的前 项和为
，且 ．
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
变式32．（2024·天津南开·统考二模）设 为等比数列， 为公差不为零的等差数列，
且 ， ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 的前 项和为 ， 的前 项和为 ，证明： ；(3)记 ，求 .
变式33．（2024·湖南邵阳·统考三模）记 为等差数列{ }的前n项和，已知
，数列{ }满足 .
(1)求数列{ }与数列{ }的通项公式；
(2)数列{ }满足 ，n为偶数，求{ }前2n项和 .
变式34．（2024·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等比数列 满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， ，求数列 的前2n项和 .变式35．（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知数列 满足： ，且对
任意的 ，
(1)求 ， 的值，并证明数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
变式36．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，
，记 ，求数列 的通项公式．
【解题方法总结】
求解等比数列的前 项和 ，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注
意其项数 的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从 为奇数、偶数进
行分类．
题型七：等差数列与等比数列的综合应用
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 为等差数列， ， ，前
项和为 ，数列 满足 ，求证：(1)数列 为等差数列；
(2)数列 中任意三项均不能构成等比数列.
例20．（2024·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）在等差数列 中，
．
(1)求等差数列 的通项公式；
(2)设数列 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列 的前 项和 ．
例21．（2024·全国·高三专题练习）已知 为等差数列 的前 项和，且 ，
___________.在① ， ， 成等比数列，② ，③数列 为等差数列，
这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答：
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
变式37．（2024·四川资阳·统考一模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，（其中 ）成等差数列．问： ， ， 是否成等差数列？并说明理由．
变式38．（2024·江苏·高考真题）已知 是等差数列， 是公比为q的等比数列，
， ，记 为数列 的前n项和.
(1)若 （m，k是大于2正整数），求证： ；
(2)若 （i是某一正整数），求证：q是整数，且数列 中每一项都是数列 中的
项；
(3)是否存在这样的正数q，使等比数列 中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的
值，并加以说明；若不存在，请说明理由.
变式39．（2024·河南开封·高三校考阶段练习）公差不为0的等差数列 中，
，且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 为等差数列 的前 项和，求使 成立的 的最大值.
变式40．（2024·全国·高三专题练习）已知 是递增的等比数列，且 ，
．
(1)求数列 的通项公式；(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在 项 （其中 成等差数列）成等比数列.若存在，求出这样的 项；
若不存在，请说明理由．
变式41．（2024·全国·高三专题练习）设数列 的前n项和为 ， ， ，
.
(1)证明： 为等差数列；
(2)设 ，在 和 之间插入n个数，使这 个数构成公差为 的等差数列，求
的前n项和.
【解题方法总结】
（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，
正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．
（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列
为非零常数数列．
题型八：等比数列的范围与最值问题
例22．（2024·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知数列 为等比数列，首项，公比 ，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列 的最大项为 B．数列 的最小项为
C．数列 为严格递增数列 D．数列 为严格递增数列
例23．（2024·全国·高三专题练习）设 是公比为 的等比数列，其前 项的积为 ，并
且满足条件： ， ， ．给出下列结论：① ；② ；
③ ；④使 成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④
例24．（2024·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列 满足 ，则
取最大值时 的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
变式42．（2024·陕西西安·统考三模）已知数列 是无穷等比数列，若 ，则数
列 的前n项和 （ ）．
A．无最大值，有最小值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，无最小值 D．无最大值，无最小值
变式43．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则数列
是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定
变式44．（2024·全国·高三专题练习）已知 是递增的等比数列，且 ，则其公比
满足（ ）
A． B．C． D．
变式45．（2024·贵州铜仁·高三统考期末）已知等比数列 的各项均为正数且公比大于
1，前n项积为 ，且 ，则使得 的n的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
变式46．（2024·全国·高三专题练习）设无穷等比数列 的前 项和为 ，若
，则（ ）
A． 为递减数列 B． 为递增数列
C．数列 有最大项 D．数列 有最小项
变式47．（2024·全国·高三专题练习）设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，并
且满足条件 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D． 的最大值为
变式48．（2024·全国·高三专题练习）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前
项积为 ，并满足条件 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是数列 中的最大值
C． D．数列 无最大值
变式49．（2024·江西赣州·高三校联考阶段练习）设公比为 的等比数列 的前 项和为
，前 项积为 ，且 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）A． B．
C． 是数列 中的最大值 D．数列 无最大值
变式50．（2024·黑龙江哈尔滨·高三尚志市尚志中学校考期中）设等比数列 的公比为
，其前 项和为 ，前 项积为 ，且满足条件 ， ，
，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大项 D．
变式51．（2024·全国·高三专题练习）设等比数列 的公比为 ，其前 项之积为 ，并
且满足条件： ， ， ，给出下列结论：① ；②
；③ 是数列 中的最大项；④使 成立的最大自然数等于4039；
其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
变式52．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ， ，
.
(1)求 ；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，若 ，都有 成立，求
实数 的范围.
变式53．（2024·上海·高三专题练习）已知数列 是首项与公比都为 的等比数列，其中 ，且 ，且 是递增数列，求 的范围.
变式54．（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知正数数列 满足
，且 对 恒成立，则 的范围为______.
变式55．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知等比数列 的各项均为正数，公比为
q，前n项和 ，若对于任意正整数n有 ，则q的范围为____________.
变式56．（2024·北京东城·北京市第五中学校考模拟预测）若三角形三边成等比数列，则
公比q的范围是_____.
题型九：等比数列的实际应用
例25．（2024·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）某牧场今年初牛的存栏数为
1200，预计以后每年存栏数的增长率为 ，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每
年年初的计划存栏数依次为数列 ，且满足递推公式： 为
数列 的前 项和，则 __________（ 答案精确到1）.
例26．（2024·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》
中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过
其关.” 则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.
例27．（2024·辽宁大连·育明高中校考一模）某高中图书馆为毕业生提供网上阅读服务，
其中电子阅览系统的登录码由学生的届别+班级+学号+特别码构成.这个特别码与如图数表
有关，数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个
相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以此类推特别码是学生届别数对应表中相应行的
自左向右第一个数的个位数字，如：1997届3班21号学生的登陆码为1997321*.（*为表中
第1997行第一个数的个位数字）.若已知某毕业生的登录码为201*2138，则可以推断该毕业生是______届2班13号学生.
变式57．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知在扇形OAB中，半径
， ，圆 内切于扇形OAB（圆 和 ， ，弧AB均相切），
作圆 与圆 ， ， 相切，再作圆 与圆 ， ， 相切，以此类推.设圆 ，
圆 …的面积依次为 ， …，那么 __________．
变式58．（2024·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）“一尺之棰，日取其半，万世不
竭”出自《庄子·天下》，其中蕴含着数列的相关知识，已知长度为4的线段 ，取 的
中点C，以 为直径作圆（如图①），该圆的面积为 ，在图①中取 的中点D，以
为直径作圆（如图②），图②中所有圆的面积之和为 ，以此类推，则 ________．
变式59．（2024·全国·高三专题练习） 是无理数 的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图， 是顶角为 ，
底 的第一个黄金三角形， 是顶角为 的第二个黄金三角形， 是顶角
为 的第三个黄金三角形， 是顶角为 的第四个黄金三角形，则第 个黄金三角
形的腰长为________（写出关于 表达式即可）.
变式60．（2024·全国·校联考三模）88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等
比数列．若中音A（左起第49个键）的频率为 ，钢琴上最低音的频率为 ，则
左起第61个键的音的频率为___________
