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第23讲 不等式恒成立
知识梳理
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离
参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考
虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：
(1)∀x∈D，m≤fx ⇔m≤fx ；
min
(2)∀x∈D，m≥fx ⇔m≥fx ；
max
(3)∃x∈D，m≤fx ⇔m≤fx ；
max
(4)∃x∈D，m≥fx ⇔m≥fx ．
min
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数y=fx ，x∈a,b ，y=gx ，x∈c,d ．
(1)若∀x 1 ∈a,b ，∀x 2 ∈c,d ，有fx 1 0，f(x)和g(x)在-∞,A 与A,+∞ 上可导，且g(x)≠0；
fx
(3)lim
x→∞
gx
=l，
fx
那么lim
x→∞
gx
fx
=lim
x→∞
gx
=l．
法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)limfx
x→a
=∞及limgx
x→a
=∞；
(2)在点a的去心邻域a-ε,a ∪a,a+ε 内，f(x)与g(x)可导且g(x)≠0；
fx
(3)lim
x→a
gx
=l，
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173 1043fx
那么lim
x→a
gx
fx
=lim
x→a
gx
=l．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
(1)将上面公式中的x→a，x→+∞,x→-∞，x→a+，x→a-洛必达法则也成立．
0 ∞
(2)洛必达法则可处理 ， ，0⋅∞，1∞，∞0，00，∞-∞型．
0 ∞
0 ∞
(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足 ， ，0⋅∞，1∞，∞0，00，∞-∞型定式，否
0 ∞
则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达
法则不适用，应从另外途径求极限．
(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
fx
lim
x→a
gx
fx
=lim
x→a
gx
fx
=lim
x→a
gx
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
必考题型全归纳
1 题型一：直接法
851 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数fx
1
= x2-aex a∈R
2
.
(1)已知函数fx 在 0,f0 处的切线与圆x2+y2-2x-2y-3=0相切，求实数a的
值.
(2)已知x≥0时，fx ≤-x2-ax-a恒成立，求实数a的取值范围.
852 (2024·山东·山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数fx =ex-a,gx =lnx+a ，
其中a∈R．
(1)讨论方程fx =x实数解的个数；
(2)当x≥1时，不等式fx ≥gx 恒成立，求a的取值范围．
853 (2024·全国·统考高考真题)已知函数fx
sinx π
=ax- ,x∈0,
cos2x 2
．
(1)当a=1时，讨论fx 的单调性；
(2)若fx +sinx<0，求a的取值范围．
854 (2024·河南·襄城高中校联考三模)已知函数fx =mlnx，gx =ex-1．
(1)若曲线y=fx 在1,0 处的切线与曲线y=gx 相交于不同的两点Ax 1 ,y 1 ，
Bx 2 ,y 2 ，曲线y=gx 在A，B点处的切线交于点Mx 0 ,y 0 ，求x +x -x 的值； 1 2 0
(2)当曲线y=fx 在1,0 处的切线与曲线y=gx 相切时，若∀x∈1,+∞ ，fx +
egx >a+1 e-aex恒成立，求a的取值范围．
2 题型二：端点恒成立
855 (2024·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设函数fx
1
= sinx-
2
π
xcosx0gx 恒成立,求实数a的取值范围.
858 (2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数fx
1
= ax3+x，函数gx
3
=ex-
2x+sinx.
(1)求函数gx 的单调区间；
(2)记Fx =gx -fx ，对任意的x≥0，Fx ≥0恒成立，求实数a的取值范围.
859 (2024·宁夏银川·校联考二模)已知函数fx
sinx
= ．
ex
(1)讨论fx 在0,π 上的单调性；
π
(2)若对于任意x∈ 0,
2
，若函数fx ≤kx恒成立，求实数k的取值范围．
860 (2024·四川泸州·统考三模)已知函数fx =x-1 ex+ax+2．
(1)若fx 单调递增，求a的取值范围；
(2)若x≥0，fx ≥sinx+cosx，求a的取值范围．
3 题型三：端点不成立
861 (2024·重庆·统考模拟预测)已知函数f(x)=alnx-x(a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的极值；
xa
(2)当x>0时，不等式 -2f(x)≥sin[f(x)]+1恒成立，求a的取值范围．
ex
862 (2024·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末)已知函数f(x)=lnx+lna+(a-1)x+
2(a>0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若不等式ex-2≥f(x)恒成立，求实数a的取值范围．
863 (2024·江西·校联考模拟预测)已知函数fx
lnx
= -x+1．
x
(1)求fx 的单调区间；
(2)若对于任意的x∈0,+∞ ，fx
1
+ +x≤aex恒成立，求实数a的最小值．
x
864 (2024·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)已知函数fx =ax-lnx，a∈R．
1
(1)若a= ，求函数fx
e
的最小值及取得最小值时的x值；
(2)若函数fx ≤xex-a+1 lnx对x∈0,+∞ 恒成立，求实数a的取值范围．
865 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =ex-1-alnx，其中a∈R．
(1)当a=1时，讨论fx 的单调性；
(2)当x∈0,π 时，2fx+1 -cosx≥1恒成立，求实数a的取值范围．
4 题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离
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175 1043866 (2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测)已知函数fx
2x 2
=ln +a-
a a
x-x2.
(1)若a<0,fx 的极大值为3，求实数a的值；
(2)若∀x∈0,+∞ ,fx
2
-1时，fx ≥-xex，求k的取值范围．
871 (2024·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测)已知f(x)=lnx-kx+1(k∈R)，g(x)=x(ex-
2).
(1)求f(x)的极值；
(2)若g(x)≥f(x)，求实数k的取值范围.
872 (2024·河北沧州·校考模拟预测)已知函数fx
lnx-1
=
.
x2
(1)求函数fx 的极值点个数；
(2)若不等式x+1 2fx+1
3m
>m- -1在1,+∞
x
上恒成立，求m可取的最大整数
值.
873 (2024·河南开封·校考模拟预测)已知函数fx =a+1 ex-axa∈R ．
(1)讨论fx 的单调性；
(2)若x<0,fx ≥-x2-x-1，求实数a的取值范围．
5 题型五：洛必达法则
1
874 已知函数f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在x= 处取得极
2
值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0垂直.
(1)求实数a,b的值；
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176 1043m
(2)若∀x∈[1,+∞) ，不等式 f(x)≤(m-2)x- 恒成
x
立，求实数m的取值范围.
x
875 设函数f(x)=1-e-x.当x≥0时，f(x)≤ ，求a的取值范围.
ax+1
sinx
876 设函数f(x)= ．如果对任何x≥0 ，都有f(x)≤
2+cosx
ax，求a的取值范围．
6 题型六：同构法
877 (2024·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)已知函数fx =ex,gx
1
= .
x
(1)若hx =fx -mgx m∈R ，判断hx 的零点个数；
(2)当x>0时，不等式exfx
a+1
≥
gx
+lnx+2恒成立，求实数a的取值范围.
878 (2024·湖南常德·常德市一中校考一模)已知函数fx =aeax+aa>0 ，gx =
1
2x+
x
lnx.
(1)若fx 在点 0，f0 处的切线与gx 在点 1,g1 处的切线互相平行，求实数a的
值；
(2)若对∀x>0，fx >gx 恒成立，求实数a的取值范围.
879 (2024·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习)已知e是自然对数的底数．若
∀x∈0,+∞ ，memx≥lnx成立，则实数m的最小值是 ．
880 (2024·广西柳州·统考三模)已知fx =x+e-x，gx =xa-alnx(a<0)，若fx ≥gx
在x∈1,+∞ 上恒成立，则实数a的最小值为 ( )
e
A.-2e B.-e C.- e D.-
2
881 (2024·广东佛山·统考模拟预测)已知函数fx =xa-e2x ，其中a∈R.
(1)讨论函数fx 极值点的个数；
(2)对任意的x>0，都有fx ≤-lnx-1，求实数a的取值范围.
882 (2024·海南·校考模拟预测)已知a>0，函数fx =xex-ax.
(1)当a=1时，求曲线y=fx 在x=1处的切线方程；
(2)若fx ≥lnx-x+1恒成立，求实数a的取值范围.
883 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx
ax+1
= ．
ex
(1)求fx 的单调区间；
3+2lnx
(2)若 ≤fx
ex
+2x，求a的取值范围．
884 (2024·广东佛山·校考模拟预测)已知函数fx =ex-alnax+1 -1，其中a>0，x≥0.
(1)当a=1时，求函数fx 的零点；
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177 1043(2)若函数fx ≥0恒成立，求a的取值范围.
885 (2024·贵州毕节·统考模拟预测)已知函数fx
ex+1
= -lnx-lna.
a
1
(1)当a= 时，求曲线y=fx
e
在点 1,f1 处的切线方程；
(2)若fx +1≥0，求实数a的取值范围.
7 题型七：必要性探路
886 (2024·江西九江·统考三模)已知函数fx
e2x
= a∈R
ax-1
(1)讨论f(x)的单调性：
(2)当a=-2时，若x≥0，fx ≤ln1+2x -mx-1，求实数m的取值范围．
887 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =lnx+1 -axa>0 ．
(1)若函数gx =fx -a在0,e2-1 上有且仅有2个零点，求a的取值范围；
(2)若fx ≤a²ex-ax+1 恒成立，求a的取值范围．
ex
888 (2024·江西九江·统考三模)已知函数f(x)= (a<0))在x=1处的切线斜率为
ax-1
e
- .
4
(1)求a的值；
(2)若x≥1，f(x-1)≤lnx-m(x-1)-1，求实数m的取值范围.
889 (2024·福建厦门·统考模拟预测)已知函数fx =ex-1 2+cosx -3asinx．
(1)当a=1时，讨论fx 在区间0,+∞ 上的单调性；
3π
(2)若∀x∈ - ,+∞
4
,fx ≥0，求a的值．
890 (2024·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测)已知函数fx =e-ax+sinx-cosx．
π
(1)若a=-1，x≥- ，求证：Fx
4
=fx
1
- x-1有且仅有一个零点；
3
(2)若对任意x≤0，fx ≥0恒成立，求实数a的取值范围．
8 题型八：max，min函数问题
891 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =x-1
1
ex- x2+1，g(x)=sinx-ax，其中
2
a∈R.
(1)证明：当x≥0时，f(x)≥0；当x<0时，f(x)<0；
(2)用max{m,n}表示m,n中的最大值，记F(x)=max{f(x),g(x)}.是否存在实数a，对
任意的x∈R，F(x)≥0恒成立.若存在，求出a，若不存在，请说明理由.
1
892 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=(x-1)ex- x2+1，g(x)=sinx-ax，其中
2
a∈R.
(1)证明：当x≥0时，f(x)≥0；当x<0时，f(x)<0；
(2)用max{m,n}表示m，n中的最大值，记F(x)=max{f(x),g(x)}.是否存在实数a，对
任意的x∈R，F(x)≥0恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
1 1
893 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=(x-2)ex-1- x2+x+ ，g(x)=ax-
2 2
sinx-ln(x+1)，其中a∈R.
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178 1043(1)证明：当x≥1时，f(x)≥0；当x<1时，f(x)<0；
(2)用max{m,n}表示m，n中的最大值，记F(x)=max{f(x),g(x)}.是否存在实数a，对
任意的x∈R，F(x)≥0恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
894 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =x2-x-xlnx，gx =x3-3ax+e.
(1)证明fx ≥0恒成立；
(2)用maxm,n 表示m，n中的最大值.已知函数hx
fx
=
-x+2，记函数φx
x
=
max hx ,gx ，若函数φx 在0,+∞ 上恰有2个零点，求实数a的取值范围.
895 (2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习)已知e是自然对数的底数，函数fx =
ax2 1
，直线y= x为曲线y=fx
ex e
的切线，gx =x+1 lnx.
(1)求a的值；
(2)①判断Fx =fx -gx 的零点个数；
②定义minm,n
m,m≤n,
= 函数mx
n,m>n,
=min fx ,gx .hx =mx -tx2在
0,+∞ 上单调递增.求实数t的取值范围.
896 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx =x2e-x,gx =xlnx.
(1)若Fx =fx -gx ，证明：Fx 在0,+∞ 上存在唯一零点；
(2)设函数hx =min fx ,gx ，(mina,b 表示a,b中的较小值)，若hx ≤λ，求λ的
取值范围.
9 题型九：构造函数技巧
897 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =mxlnx-1，m≠0．
(1)讨论函数fx 的单调性；
(2)若gx
2
=x2- x，且关于x的不等式fx
e
≤gx 在0,+∞ 上恒成立，其中e是自
然对数的底数，求实数m的取值范围．
898 (2024·江苏·统考高考真题)已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,b∈
R)在区间D上恒有f(x)≥h(x)≥g(x)．
(1)若fx =x2+2x，gx =-x2+2x，D=(-∞，+∞)，求h(x)的表达式；
(2)若f(x)=x2-x+1，g(x)=klnx，h(x)=kx-k,D=(0，+∞)，求k的取值范围；
(3)若fx =x4-2x2，gx =4x2-8，hx =4t3-t x-3t4+2t2 0<t ≤ 2 ，D=
m,n ⊆- 2, 2 ，求证：n-m≤ 7．
899 (2024·湖北·统考模拟预测)已知函数fx =xex-lnx-1.
(1)求函数fx 在x=1处的切线方程；
(2)若不等式fx ≥axa∈R 恒成立，求实数a的取值范围.
900 (2024·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末)已知函数fx =ex-ea a+lnx .
(1)当a=1时，求fx 的单调递增区间；
(2)若fx ≥0恒成立，求a的取值范围.
901 (2024·福建泉州·统考模拟预测)已知函数fx =axex-lnx+1 ．
(1)判断fx 的导函数fx 的零点个数；
(2)若fx ≥2lna-3ln2-3，求a的取值范围．
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179 1043902 (2024·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测)已知函数fx =lnx+2ax+1，gx =
xex+1 (e为自然对数的底数)．
(1)若函数fx 的最大值为0，求a的值；
(2)若对于任意正数x，fx ≤gx 恒成立，求实数a的取值范围．
ax+1
903 (2024·重庆万州·统考模拟预测)已知函数f(x)= (a∈R)．
ex
(1)讨论fx 的极值；
1
(2)当a=1时，关于x的不等式 ≥1+mx-ln(x+1)在0,+∞
f(x)
上恒成立，求实数
m的取值范围．
904 (2024·四川·校联考模拟预测)已知函数fx
1
= x2-aex+2x-1(a>0)的导函数为
2
fx .
(1)当a=1时，求函数fx 的极值点的个数；
(2)若fx
a
0，都有f(x)≤g(x)恒成立，求 的最小值．
a
908 (2024·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习)已知函数f(x)=x3,x>0，g(x)=ax+b，
其中a,b∈R.
(1)若a+b=0，且f(x)的图象与g(x)的图象相切，求a的值；
(2)若f(x)≥g(x)对任意的x>0恒成立，求a+b的最大值.
a
909 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ex+(1+x)a+ -a-2,g(x)=bx2+x，
1+x
其中a∈R, b∈R.(e=2.718281828⋯为自然对数的底数)
(1)求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
b+12
(2)若a≥4时，f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立.当b取得最大值时，求M= 的最
a
小值.
910 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=aex-x，
(1)求f(x)的单调区间，
b
(2)若关于x不等式aex≥x+b对任意x∈R和正数b恒成立，求 的最小值.
a
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180 1043911 (2024·江苏常州·高二常州高级中学校考期中)给定实数m>0，函数fx =lnx+mx-
m，g(x)=ax2+b-1(其中a>0，b∈R)．
(1)求经过点P(1,0)的曲线y=f(x)的切线的条数；
(2)若对x∈(0,+∞)，有f(x)≤g(x)恒成立，求a+b的最小值．
912 (2024·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试)设函数h(x)=ax2+(2a-1)x(a∈R)，
g(x)=lnx.
(1)若fx =hx -gx ，讨论fx 的单调性；
(2)若gx ≤k+1 x+m(其中m>0)恒成立，求k+1 m的最小值tm ，并求出tm
的最大值.
913 (2024·高二单元测试)若对于任意正实数x，都有lnx-aex-b+1≤0(e为自然对数的
底数)成立，则a+b的最小值是 .
914 (2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测)设k,b∈R，若关于x的不等式lnx-1
-b≤xk-1 在1,+∞
b-2k+1
上恒成立，则 的最小值是 .
k-1
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181 1043
