第15讲单调性问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第15讲 单调性问题 知识梳理 知识点一：单调性基础问题 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f(x)>0，则y=f(x)为增 函数；如果f(x)<0，则y=f(x)为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若f(x)在某个区间上单调递增，则在该区间上有f(x)≥0恒成立(但不恒等于0)；反之，要 满足f(x)>0，才能得出f(x)在某个区间上单调递增； ②若f(x)在某个区间上单调递减，则在该区间上有f(x)≤0恒成立(但不恒等于0)；反之，要 满足f(x)<0，才能得出f(x)在某个区间上单调递减． 知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 (1)求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； (2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒 正或恒负，无需单独讨论的部分)； (3)求根作图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图， 则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； (4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； (5)正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； (6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求 二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数 再求导． (7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区 间段） 第 页 共 页 113 1043类型二：含参数单调性讨论 (1)求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否 是一个连续的区间)； (2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒 正或恒负，无需单独讨论的部分)； (3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； (4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； (5)导数图像定区间； 【解题方法总结】 1、求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f(x)，令f(x)=0，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和f(x)=0的各实根按由小到大的 顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间； (4)确定f(x)在各小区间内的符号，根据f(x)的符号判断函数f(x)在每个相应小区间内的 增减性． 注：①使f(x)=0的离散点不影响函数的单调性，即当f(x)在某个区间内离散点处为零，在 其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的．例如，在(-∞, +∞)上，f(x)=x3，当x=0时，f(x)=0；当x≠0时，f(x)>0，而显然f(x)=x3在(-∞, +∞)上是单调递增函数． ②若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)≥0(f(x)不恒为0)，反之不成立．因为 f(x)≥0，即f(x)>0或f(x)=0，当f(x)>0时，函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增． 当f(x)=0时，f(x)在这个区间为常值函数；同理，若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递 减，则f(x)≤0(f(x)不恒为0)，反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这 个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： f(x)>0⇒f(x)单调递增；f(x)单调递增⇒f(x)≥0； f(x)<0⇒f(x)单调递减；f(x)单调递减⇒f(x)≤0． 第 页 共 页 114 10431 题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 460 (2024·全国·高三专题练习)设fx  是函数fx  的导函数，y=fx  的图象如图所示，则 y=fx  的图象最有可能的是 ( ) A. B. C. D. 461 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f'(x)，如 图是函数y=xf'(x)的图像，则下列说法正确的是 A.函数f(x)的增区间是(-2,0),(2,+∞) B.函数f(x)的增区间是-∞,-2  ,2,+∞  C.x=-2是函数的极小值点 D.x=2是函数的极小值点 462 (2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模)已知函数y=xfx  的图象如图所示(其中fx  是函 数fx  的导函数)，下面四个图象中可能是y=fx  必考题型全归纳 图象的是 ( ) 第 页 共 页 115 1043A. B. C. D. 463 (2024·陕西西安·校联考一模)已知定义在[-3,4]上的函数fx  的大致图像如图所示，f (x)是fx  的导函数，则不等式xfx  >0的解集为 ( ) 5 A.(-2,-1)∪1, 2  B.(-3,-2) 5 C.(-1,0)∪1, 2  D.(3,4) 2 题型二：求单调区间 x2+2 464 (2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)函数y= +lnx的单调递增 x 区间为 ( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,+∞) D.(1,+∞) 465 (2024·全国·高三专题练习)函数y=xlnx ( ) 1 A.严格增函数 B.在0, e  1 上是严格增函数，在 ,+∞ e  上是严格减函数 1 C.严格减函数 D.在0, e  1 上是严格减函数，在 ,+∞ e  上是严格增函数 466 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  =ln4x2-1  的单调递增区间 ( ) 第 页 共 页 116 10431 A.  ,+∞ 2  1 B. -∞,- 2  1 1 C. - , 2 2  D. 0,+∞  467 (2024·高三课时练习)函数fx  b =ax+ (a、b为正数)的严格减区间是( )． x b A. -∞,- a  b B. - ,0 a  b 与0, a  b C. - ,0 a  b 与0, a  b D. - ,0 a  b ∪0, a  3 题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围 x2 1 468 (2024·宁夏银川·银川一中校考三模)若函数f(x)= -lnx在区间m,m+ 2 3  上不单 调，则实数m的取值范围为 ( ) 2 2 2 A.01 3 3 3 469 (2024·陕西西安·统考三模)若函数fx  =x2-ax+lnx在区间1,e  上单调递增，则a的 取值范围是 ( ) A. 3,+∞  B. -∞,3  C. 3,e2+1  D. 3,e2-1  470 (2024·全国·高三专题练习)若函数fx  =log ax-x3 a  (a>0且a≠1)在区间0,1  内单 调递增，则a的取值范围是 ( ) A. 3,+∞  B. 1,3  1 C. 0, 3  1 D.   ,1  3  π π 471 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinx+acosx在区间 , 4 2  上是减函数，则 实数a的取值范围为 ( ) A.a> 2-1 B.a≥1 C.a>1- 2 D.a≥-1 472 (2024·全国·高三专题练习)三次函数f(x)=mx3-x在(-∞,+∞)上是减函数，则m的 取值范围是 ( ) A.m<0 B.m<1 C.m≤0 D.m≤1 473 (2024·青海西宁·高三校考开学考试)已知函数fx  a = +lnx.若对任意x ，x ∈ x+1 1 2 0,2  ，且x ≠x ，都有 fx 2 1 2  -fx 1  >-1，则实数a的取值范围是 ( ) x -x 2 1 27 A. -∞, 4  B. -∞,2  27 C. -∞, 2  D. -∞,8  474 (2024·全国·高三专题练习)若函数fx  1 =lnx+ax2-2在区间 ,2 2  内存在单调递增 区间，则实数a的取值范围是 ( ) A. -2,+∞  1 B. - ,+∞ 8  1 C.  -2，-  8  D. -2,+∞  475 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)=x2+x-lnx-2在其定义域的一个子区间(2k -1,2k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是 ( ) 3 3 A. - , 2 4  1 B.   ,3  2  3 C. - ,3 2  1 3 D.   ,  2 4  第 页 共 页 117 1043476 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =lnx+x-b  1 2(b∈R)在区间  ,2  2  上存在 单调递增区间，则实数b的取值范围是 3 A. -∞, 2  9 B. -∞, 4  C. -∞,3  D. -∞, 2  477 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  1 a = x3+ x2+x+1在-∞,0 3 2  ，3,+∞  上 单调递增，在1,2  上单调递减，则实数a的取值范围为 ( ) 10 5 A.  - ,-  3 2  B. -∞,-2  10 C. - ,-2 3  10 5 D. - ,- 3 2  478 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =mx3+3m-1  x2-m2+1m>0  的单调递 减区间是0,4  ，则m= ( ) 1 1 A.3 B. C.2 D. 3 2 4 题型四：不含参数单调性讨论 479 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  1+lnx+1 =  x>0 x  .试判断函数fx  在 0，+∞  上单调性并证明你的结论； 480 (2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习)已知fx  ex+a =lnx+ x 若a=1，讨论fx  的单调性； 481 (2024·贵州·校联考二模)已知函数fx  =xlnx-ex+1． (1)求曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程； (2)讨论fx  在0,+∞  上的单调性． 482 (2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)已知函数fx  =ex-axa∈R  ，gx  =ex π +cos x. 2 (1)若fx  ≥0，求a的取值范围； (2)求函数gx  在0,+∞  上的单调性； 483 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ln(ex-1)-lnx． 判断f(x)的单调性，并说明理由； 5 题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数 484 (2024·山东聊城·统考三模)已知函数f(x)=(m+1)x-mlnx-m． 讨论f(x)的单调性； 485 (2024·湖北黄冈·黄冈中学校考二模)已知函数fx  =lnx-2a2x2+3ax-1a≥0  . 讨论函数fx  的单调性； 486 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx  =lnx+1-a  x+1a∈R  . 讨论函数fx  的单调性； 487 (2024·福建泉州·泉州五中校考模拟预测)已知函数fx  =x-a  lnx． 第 页 共 页 118 1043讨论fx  的单调性； 488 (2024·云南师大附中高三阶段练习)已知函数fx  =xlnx-ax. 讨论fx  的单调性； 1 489 (2024·北京·统考模拟预测)已知函数f(x)=kex- x2. 2 (1)当k=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)设g(x)=f(x)，讨论函数g(x)的单调性； 490 (2024·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习)已知函数fx  =ex-ax- 1a∈R  . 讨论fx  的单调性； 491 (2024·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模)已知函数fx  =alnx+x2-a+2  xa>0  . 讨论函数fx  的单调性； 492 (2024·湖北咸宁·校考模拟预测)已知函数fx  1 1 = - x 2x2  x-a  1 -lnx- +b，其 2x 中a,b∈R. 讨论函数fx  的单调性； 493 (2024·北京海淀·高三专题练习)设函数fx  = ax2-4a+1   x+4a+3  ex． (1)若曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线与x轴平行，求a； (2)求fx  的单调区间． 494 (2024·广西玉林·统考模拟预测)已知函数fx  1 = x2-3ax+2a2lnx，a≠0. 2 讨论fx  的单调区间； 495 (2024·河南郑州·统考模拟预测)已知fx  2a2+8 4 =lnx+ - -2a≠0 a x x  . 讨论fx  的单调性； 496 (2024·河南驻马店·统考二模)已知函数fx  =ln1+x  1 - ax2，gx 2  1 =ax+ - x+1 sinx a≠0 ex  ． 讨论fx  的单调性； -x2-2ax+a 497 (2024·重庆·统考模拟预测)已知函数f(x)=lnx+ (a∈R)． 2x 讨论函数f(x)的单调性； 498 (2024·广东·统考模拟预测)已知函数fx  1+x2 = ，a∈R. eax 讨论fx  的单调性； 1 499 (2024·江苏·统考模拟预测)已知函数f(x)= x2+3ax+2lnx(a∈R). 2 讨论函数fx  的单调性； 500 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  a a =xex+lnx+ ，x∈0,+∞ x  ，其中a∈R. 讨论函数fx  的单调性； 第 页 共 页 119 1043501 (2024·河南郑州·统考模拟预测)已知fx  =x-a-1  1 ex- ax2+a2x-1．(a∈R) 2 讨论fx  的单调性； 502 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知fx  =x-1  a 2ex- x3+ 3 axx>0  a∈R  . 讨论函数fx  的单调性； 503 (2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测)已知函数fx  = ln2x-a+1   lnx+1  ⋅x,a ∈R， 讨论函数fx  的单调性； 6 题型六：分段分析法讨论 504 (2024·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))已知函数fx  =a-x+1+x2-2x+1+ x-1  lna(a>0，且a≠1) 求函数fx  的单调区间； 505 (2024·广东广州·统考模拟预测)设函数fx  x+1 = +ax2，其中a∈R. ex 讨论fx  的单调性； 506 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  ex =x-lnx- .判断函数fx x  的单调性. 507 (2024·全国·模拟预测)设m>1，函数fx  1 =e2mx-(2x+1)mx>- 2  ,gx  =e2mx-(x +1)2m(x>-1). 讨论fx  1 在- ,+∞ 2m  的单调性； 第 页 共 页 120 1043