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第11讲 函数的图像
知识梳理
一、掌握基本初等函数的图像
(1)一次函数；(2)二次函数；(3)反比例函数；(4)指数函数；(5)对数函数；(6)三角函
数．
二、函数图像作法
1、直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性(或其他对称性)、单调性、周期性、凹
凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线(对称轴、渐近线等)．
2、图像的变换
(1)平移变换
①函数y=f(x+a)(a>0)的图像是把函数y=f(x)的图像沿x轴向左平移a个单位得
到的；
②函数y=f(x-a)(a>0)的图像是把函数y=f(x)的图像沿x轴向右平移a个单位得
到的；
③函数y=f(x)+a(a>0)的图像是把函数y=f(x)的图像沿y轴向上平移a个单位得
到的；
④函数y=f(x)+a(a>0)的图像是把函数y=f(x)的图像沿y轴向下平移a个单位得
到的；
(2)对称变换
①函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称；
函数y=f(x)与函数的图像关于x轴对称；
函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图像关于坐标原点(0,0)对称；
②若函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则对定义域内的任意x都有
f(a-x)=f(a+x)或f(x)=f(2a-x)(实质上是图像上关于直线x=a对称的两点连
(a-x)+(a+x)
线的中点横坐标为a，即 =a为常数)；
2
若函数f(x)的图像关于点(a,b)对称，则对定义域内的任意x都有f(x)=2b-f(2a-x)
或f(a-x)=2b-f(a+x)
③y=f(x) 的图像是将函数f(x)的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分
关于x轴对称翻折上来得到的(如图(a)和图(b))所示
④y=f x 的图像是将函数f(x)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像
关于y轴对称得到函数y=f x 左边的图像即函数y=f x 是一个偶函数(如图(c)所
示)．
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163 3427注：f(x) 的图像先保留f(x)原来在x轴上方的图像，做出x轴下方的图像关于x轴对
称图形，然后擦去x轴下方的图像得到；而f x 的图像是先保留f(x)在y轴右方的图像，擦
去y轴左方的图像，然后做出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折
变换．
⑤函数y=f-1(x)与y=f(x)的图像关于y=x对称．
(3)伸缩变换
①y=Af(x)(A>0)的图像，可将y=f(x)的图像上的每一点的纵坐标伸长(A>1)或
缩短(00)的图像，可将y=f(x)的图像上的每一点的横坐标伸长(0<ω<1)
1
或缩短(ω>1)到原来的 倍得到．
ω
【解题方法总结】
(1)若f(m+x)=f(m-x)恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=m对称．
(2)设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x-m)与y=f(m-x)(m>0)的图
象关于直线x=m对称．
a+b
(3)若f(a+x)=f(b-x)，对任意x∈R恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x=
2
对称．
a+b
(4)函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x= 对称．
2
(5)函数..y=f(x)..与函数y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称．
(6)函数y=f(x)与函数y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a，b)中心对称．
(7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
必考题型全归纳
1 题型一：由解析式选图(识图)
309 (2024·山东烟台·统考二模)函数y=x(sinx-sin2x)的部分图象大致为 ( )
A. B.
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164 3427C. D.
【答案】C
【解析】由y=fx =x(sinx-sin2x)，
得f-x =-x sin-x -sin-2x =-x-sinx+sin2x =fx ，
所以fx 为偶函数，故排除BD.
π π
当x= 时，y=f
2 2
π π
= sin -sinπ
2 2
π
= >0，排除A.
2
故选：C.
1
310 (2024·重庆·统考模拟预测)函数y= (x-2)2lnx2的图像是 ( )
2
A. B.
C. D.
【答案】B
1 1
【解析】因为y= (x-2)2lnx2，令y=0，则 (x-2)2lnx2=0，
2 2
即x-2 2=0，解得x=2，或lnx2=0，解得x=±1，
所以当x<0时，函数有1个零点，当x>0时，函数有2个零点，
所以排除AD；
1 1
当x>0时，y= (x-2)2lnx2= x-2
2 2
2×2lnx=x-2 2lnx，
则y=2x-2
x-2
lnx+
2
，当x>2时，y>0，
x
所以当x∈2,+∞ 时，y>0，函数单调递增，所以B正确；
故选：B.
311 (2024·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模)函数fx
1
= +sin2x的部分图象大致
4x2-1
是 ( )
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165 3427A. B.
C. D.
【答案】B
1
【解析】由解析式可得x≠± ，f0
2
=-1<0，排除A；
观察C、D选项，其图象关于纵轴对称，而f-x
1
= -sin2x≠fx
4x2-1
，
说明fx 不是偶函数，即其函数图象不关于纵轴对称，排除C、D；显然选项B符合题意.
故选：B
312 (2024·全国·模拟预测)函数fx
3x2cos2x
=
2x
的大致图像为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为fx
3x2cos2x
=
2x
，其定义域为R，所以f-x
3x2cos2x
=
2x
=fx ，
所以fx 为偶函数，排除选项A，D，
又因为f2
12cos4 3π
= =3cos4，因为4∈π,
4 2
，所以cos4<0，所以f2 <0，排除选
项C.
故选：B.
【解题方法总结】
利用函数的性质(如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等)排除错误选项，从
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166 3427而筛选出正确答案
2 题型二：由图象选表达式
313 (2024·四川遂宁·统考二模)数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说
并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应
的函数解析式可以为 ( )
1 1 1 1
A.y=sinx+ sin2x+ sin3x B.y=sinx- sin2x- sin3x
2 3 2 3
1 1 1 1
C.y=sinx+ cos2x+ cos3x D.y=cosx+ cos2x+ cos3x
2 3 2 3
【答案】A
【解析】对于A，函数y=fx
1 1
=sinx+ sin2x+ sin3x，
2 3
因为f-x
1 1
=-sinx- sin2x- sin3x=-fx
2 3
，所以函数为奇函数，
π
又f
4
2 1 2 1 2 2
= + + = + >0，故A正确；
2 2 6 2 3
对于B，函数y=fx
1 1
=sinx- sin2x- sin3x，
2 3
因为f-x
1 1
=-sinx+ sin2x+ sin3x=-fx
2 3
，所以函数为奇函数，
π
又f
4
2 1 2 2 1 1.5 1
= - - = - < - =0，故B错误；
2 2 6 3 2 3 2
对于C，函数y=fx
1 1
=sinx+ cos2x+ cos3x，
2 3
因为f0
1 1 5
= + = ≠0，故C错误；
2 3 6
1 1
对于D，函数y=f(x)=cosx+ cos2x+ cos3x，
2 3
f0
1 1 11
=1+ + = ≠0，故D错误，
2 3 6
故选：A．
314 (2024·全国·校联考模拟预测)已知函数f(x)在-2,2 上的图像如图所示，则f(x)的解析
式可能是 ( )
A. f(x)=2-e2-x B. f(x)=x2-|x|-2
C. f(x)=2x2-e|x| D. f(x)=lnx2-2|x|+2 -1
【答案】C
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167 3427【解析】由题图，知函数f(x)的图像关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，故排除A；
x2-x-2, x≥0 1
对于B，f(x)= ，虽然函数f(x)为偶函数且在0,
x2+x-2, x<0 2
上单调递减，在
1
,2
2
上单调递增，但f(2)=0，与图像不吻合，排除B；
对于D，因为f(x)=ln(|x|-1)2+1 -1=f(-x)，所以函数f(x)是偶函数，但f(2)=ln2
-1<0，与图像不吻合，排除D；
对于C，函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，下面只分析y轴右侧部分．当x∈(0,2)
时，f(x)=2x2-ex，f(x)=4x-ex，
令φ(x)=4x-ex，求导，得φ(x)=4-ex．当x∈(0,ln4)时，φ(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(ln4,2)时，φ(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)在x=ln4处取得最大值．
又因为f(0)<0，f(ln4)>0，f(2)>0，所以∃x 0 ∈(0,ln4)，使得fx 0 =0，
当x∈0,x 0 时，f(x)<0，f(x)单调递减，当x∈x 0 ,2 时，f(x)>0，f(x)单调递增，
f2 =8-e2>0与图像吻合.
故选：C．
315 (2024·河北·统考模拟预测)已知函数fx 的部分图象如图所示，则fx 的解析式可能为
( )
A. fx =xcosπx+1 B. fx =x-1 cosπx
C. fx =x-1 sinπx D. fx =x3-2x2+x-1
【答案】B
【解析】对于A选项，f0 =0，A选项错误；
对于C选项，f0 =0，C选项错误；
对于D选项，fx =3x2-4x+1，fx =0有两个不等的实根，故fx 有两个极值点，
D选项错误．
对于B选项，fx =x-1 cosπx，f0 <0；
1 1
当x∈- ,
2 2
,k∈Z时，cosπx>0，x-1<0，此时fx <0，
1
当x∈ ,1
2
,k∈Z时，cosπx<0，x-1<0，此时fx >0，
3
当x∈1,
2
,k∈Z时，cosπx<0，x-1>0，此时fx <0，
依次类推可知fx 函数值有正有负；
显然fx 不单调；
1
因为当x= +k,k∈Z时fx
2
=0，所以fx 有多个零点；
因为f2 =1,f-2 =-3，所以f2 ≠f-2 ,f2 ≠-f-2 ，所以fx 既不是奇函数也
不是偶函数，以上均符合，故B正确.
故选：B．
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168 3427316 (2024·贵州遵义·校考模拟预测)已知函数fx 在-4,4 上的大致图象如下所示，则
fx 的解析式可能为 ( )
A. fx
3x
=
πx
⋅1+cos 4
B. fx
2
x
=
⋅16-x2
10
C. fx =x ⋅ 4-x D. fx =x
πx
⋅sin
4
【答案】B
【解析】函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足f(-x)=
-x
-πx
sin
4
=-x
πx
sin =-f(x)，为奇函数，排除D；
4
又选项C中函数满足f(2)=4，与图象不符，排除C；
2×π
3×2×1+cos
4
选项A中函数满足f(2)=
=3，与图象不符，排除A，
2
只有B可选．
故选：B．
【解题方法总结】
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断对称性；
3、从周期性判断循环往复；
4、从单调性判断变化趋势；
5、从特征点排除错误选项．
3 题型三：表达式含参数的图象问题
317 (2024·全国·高三专题练习)在同一直角坐标系中，函数y=log a-x
a-1
，y= a>0
x
，
且a≠1的图象可能是 ( )
A. B.
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169 3427C. D.
【答案】C
【解析】因为函数y=log a-x 的图象与函数y=log x的图象关于y轴对称， a
所以函数y=log a-x 的图象恒过定点-1,0 ，故选项A、B错误；
当a>1时，函数y=log a x在0,+∞ 上单调递增，所以函数y=log a-x 在-∞,0 上
单调递减，
a-1
又y= a>1
x
在-∞,0 和0,+∞ 上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
318 (2024·山东滨州·统考二模)函数fx
3+cosx
= 的图象如图所示，则 ( )
ax2-bx+c
A.a>0，b=0，c<0 B.a<0，b=0，c<0
C.a<0，b<0，c=0 D.a>0，b=0，c>0
【答案】A
【解析】由图象观察可得函数图象关于y轴对称，即函数为偶函数，
所以f-x
3+cosx
= =fx
ax2+bx+c
得：b=0，故C错误；
由图象可知f0
4
= <0⇒c<0，故D错误；
c
因为定义域不连续，所以ax2-bx+c=0有两个根可得Δ=b2-4ac>0，即a、c异号，
a>0，即B错误，A正确.
故选：A
319 (2024·全国·高三专题练习)已知函数y=log ax+b (a，b为常数，其中a>0且a≠1)的
图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )
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170 3427A.a=0.5，b=2 B.a=2，b=2
C.a=0.5，b=0.5 D.a=2，b=0.5
【答案】D
【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，
所以a>1，排除A，C；
又因为函数过点(0.5,0),
所以b+0.5=1，解得b=0.5．
故选：D
320 (2024·全国·高三专题练习)若函数fx
2
= 的部分图象如图所示，则f5
ax2+bx+c
=
( )
1 2 1 1
A.- B.- C.- D.-
3 3 6 12
【答案】A
【解析】由图象知，ax2+bx+c=0的两根为2，4，且过点(3,1)，
2
=1
9a+3b+c
c
所以 2×4= ，解得a=-2,b=12,c=-16，
a
b
2+4=-
a
所以fx
2 1
= = ，
-2x2+12x-16 -x2+6x-8
1 1
所以f(5)= =- ，
-25+30-8 3
故选：A
1 1
321 (2024·全国·高三专题练习)在同一直角坐标系中，函数y= ,y=log x+
ax a 2
(a>0且
a≠1)的图象可能是
A. B.
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171 3427C. D.
【答案】D
【解析】本题通过讨论a的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结
合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
1
当01时，函数y=
1
ax过定点(0,1)且单调递增，则函数y= 过定点(0,1)且单调递减，函数y=
ax
1
log x+
a 2
1
过定点 ,0
2
且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
322 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)函数fx
ax+lnx
=
a≤0
sinx
在[-2π,2π]上的
大致图像可能为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
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172 3427【解析】①当a=0时，fx
lnx
=
，f-x
sinx
lnx
=-
=-fx
sinx
，函数fx 为奇函数，由x
→0时f(x)→∞，x=±1时f(x)=0等性质可知A选项符合题意；
②当a<0时，令g(x)=ln|x|,h(x)=-ax，作出两函数的大致图象，
由图象可知在(-1,0)内必有一交点，记横坐标为x ，此时f(x )=0，故排除D选项；
0 0
当-2π0，x |PA|，则f(x)>0，排除C；
π
在区间 ，π
2
上，P在边BC上，|PB|<|PA|，则f(x)<0，排除B，
π
又由当x +x =π时，有f(x)=-f(x )，f(x)的图象关于点 ，0
1 2 1 2 2
对称，排除D，
故选：A
328 (2024·全国·高三专题练习)匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高
度h关于注水时间t的函数图象大致是 ( )
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176 3427A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点O，水面半
径AO=x，此时水面高度PO=h，如图：
x h r 1
由垂直于圆锥轴的截面性质知， = ，即x= ⋅h，则注入水的体积为V= πx2h=
r H H 3
1 r π ⋅h
3 H
2 ⋅h= πr2 ⋅h3，
3H2
令水匀速注入的速度为v，则注水时间为t时的水的体积为V=vt，
πr2 3H2vt 3 3H2v
于是得 ⋅h3=vt⇒h3= ⇒h= ⋅ 3t，
3H2 πr2 πr2
3 3H2v
而r,H,v都是常数，即 是常数，
πr2
3 3H2v πr2H
所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是h= ⋅ 3t，0≤t≤ ，h=
πr2 3v
3 3H2v 1 -2
⋅ t 3>0，函数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减
πr2 3
小，即图象是先陡再缓，
A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.
故选：A
【解题方法总结】
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
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177 34275 题型五：函数图象的变换
329 (2024·广西玉林·统考模拟预测)已知图1对应的函数为y=fx ，则图2对应的函数是
( )
A.y=f(-|x|) B.y=f-x C.y=f|x| D.y=-f-x
【答案】A
【解析】根据函数图象知，当x≤0时，所求函数图象与已知函数相同，
当x>0时，所求函数图象与x<0时图象关于y轴对称，
即所求函数为偶函数且x≤0时与y=fx 相同，故BD不符合要求，
当x≤0时，y=f(-|x|)=f(x)，y=f|x| =f(-x)，故A正确，C错误.
故选：A.
330 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数
图象所对应的函数解析式 ( )
4x-1
A.y=f(2x-1) B.y=f
2
1-4x
C.y=f(1-2x) D.y=f
2
【答案】C
【解析】
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178 3427①x→-x ②x→x-1 ③x→2x
y=f(x) → y=f(-x) → y=f(1-x) → y=f(1-2x)
①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
故选：C.
331 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx
-2x-1≤x≤0
=
,
x00.
当x≤0时，由单调性得，方程ex=-ax有且仅有一解.
因此当x>0时，方程ex=ax也恰有一解.
即y=ax为函数y=ex的切线，
y=ex，
令y=a得x=lna，
故当x=lna时，ex=ax，
得elna=alna，即a=alna
从而a=e.
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181 3427故答案为：e
334 (2024·天津和平·统考三模)已知函数fx
x+a
=
x-a
x≠a ，若关于x的方程f fx =2
恰有三个不相等的实数解，则实数a的取值集合为 .
1
【答案】 ,3
3
【解析】fx
x+a 2a
= =1+ x≠a
x-a x-a
，
当a=0时，fx =1x≠0 ，
此时f fx =2无解，不满足题意；
当a<0时，设t=f(x)，
则y=f(t)与y=2的图象大致如下，
则f(t)=2对应的2个根为t 0时，设m=f(x)，则y=f(m)与y=2的图象大致如下，
则则f(m)=2对应的2个根为0a矛盾，不合题意；
2 2
③当a>1时，y=m 与函数f(x)的图象共有2个交点，如图所示，
2
所以y=m 与函数f(x)的图象只有1个交点，
1
1+a
则m =1，所以
1 1-a
=2，解得a=3；
1
综上，a的取值集合为 ,3
3
，
1
故答案为: ,3
3
.
335 (2024·河南·校联考模拟预测)定义在R上的函数fx 满足fx+1 =2fx ，且当x∈
0,1 时，fx =1-2x-1 ．若对任意x∈-∞,t ，都有fx ≤2，则t的取值范围是
．
9
【答案】t≤
4
【解析】因为当x∈0,1 时，fx =1-2x-1
1
2x,x∈ 0,
2
，所以f(x)=
1
2-2x,x∈ ,1
2
，
因为fx+1 =2fx ，当x∈1,2 时，即x-1∈0,1 时，
由fx
3
4x-4,x∈ 1,
2
=2f(x-1)，所以f(x)=
3
8-4x,x∈ ,2
2
，
5
8x-16,x∈ 2,
2
同理可得f(x)=
5
24-8x,x∈ ,3
2
依此类推，作出函数f(x)的图象，如图所示：
5
由图象知：当2≤x≤ 时，令fx
2
9
=2，则8x-16=2⇒x= ，
4
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183 3427对任意x∈-∞,t ，都有fx
9
≤2，则t≤
4
9
故t的取值范围为t≤ ，
4
9
故答案为：t≤
4
2+lnx, x>0
336 (2024·四川绵阳·统考二模)若函数f(x)= ，gx
x, x≤0
=fx +f-x ，则函数
gx 的零点个数为 ．
【答案】5
【解析】令gx =0，则有fx +f-x =0，
所以fx =-f-x ，
当x>0时，则有2+lnx=-(-x)=x，
即lnx=x-2,
在同一坐标系中作出y=lnx与y=x-2的图象，如图所示：
由图可得此时两函数的图象有两个交点，
即当x>0时，gx 有2个零点；
当x<0时，则有x=-[2+ln(-x)]=-ln(-x)-2，
即ln(-x)=-x-2，
在同一坐标系中作出y=ln(-x)与y=-x-2的图象，如图所示：
由图可得此时两函数的图象有两个交点，
即当x<0时，gx 有2个零点；
当x=0时，fx =f-x =0，
此时gx =fx +f-x =0，有1个零点为x=0，
综上所述，gx 共有5个零点.
故答案为：5
【解题方法总结】
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184 34271、利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直
观性得到方程解的个数．
2、利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所研究对象的图像，求出
它们的交点，根据题意结合图像写出答案
3、利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从
图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想
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