第22讲双变量问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第22讲 双变量问题
知识梳理
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单
参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
必考题型全归纳
1 题型一：双变量单调问题
816 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1．
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在1,f(1)  处的切线方程；
(2)设a≤-2，证明：对任意x ，x ∈(0,+∞)，|f(x)-f(x )|≥4|x -x |．
1 2 1 2 1 2
817 (2024·安徽·校联考三模)设a∈R，函数fx  =aln-x  +a+1  x2+1.
(Ⅰ)讨论函数fx  在定义域上的单调性；
(Ⅱ)若函数fx  的图象在点 -1,f-1    处的切线与直线8x+y-2=0平行，且对任意
x 1 ,x 2 ∈-∞,0  ，x ≠x ，不等式 fx 1 1 2  -fx 2   x -x
1 2
 >m恒成立，求实数m的取值范围.
818 (2024·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末)已知函数f(x)=(a-1)lnx+ax2+
1.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)若a≥1时，任意的x >x >0，总有|f(x)-f(x )|>2|x -x |，求实数a
1 2 1 2 1 2
的取值范围.
819 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx 
m 1
=log x+ - ，m∈R，a>0且a≠1． a x 2
(1)当a=2时，讨论fx  的单调性；
(2)当a=e时，若对任意的x >x >0，不等式 x 2 fx 1
1 2
 -x 1 fx 2  1 < 恒成立，求实数m
x -x 2
1 2
的取值范围．
820 (2024·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)已知函数fx  =lnx+ax2+
2a+1  x．
(1)讨论fx  的单调性；
(2)当a<0时，证明fx 
3
≤- -2；
4a
(3)若对任意的不等正数x,x ，总有 fx 1
1 2
 -fx 2  >2，求实数a的取值范围．
x -x
1 2
2 题型二：双变量不等式:转化为单变量问题
1
821 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= -x+alnx．
x
(1)讨论f(x)的单调性；
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168 10435 f(x ) f(x)
(2)已知a< ，若f(x)存在两个极值点x,x ，且x <x ，求 2 + 1 的取值范围.
2 1 2 1 2 x x
1 2
822 (2024·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习)已知函数fx  =lnx+x2-
axa∈R 
(1)若a=1，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，讨论f(x)的单调性；
1
(3)设f(x)存在两个极值点x 1 ,x 2 且x 1 <x 2 ，若0<x 1 < 2 求证：fx 1  -fx 2 
3
> -ln2. 4
823 (2024·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试)已知函数f(x)=x2+ax+2lnx(a
为常数)
(1)讨论fx  的单调性
(2)若函数fx  存在两个极值点x 1 ，x 2x 1 <x 2 
8
，且x 2 -x 1 ≤ 3 ，求fx 1  -fx 2  的范围.
824 (2024·山东·山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数fx 
1
=lnx+ (a-x)2，其中a
2
∈R．
(1)当a=1时，求函数fx  在 1,f1    处的切线方程；
(2)讨论函数fx  的单调性；
(3)若fx  存在两个极值点x 1 ,x 2x 1 <x 2  , fx 2  -fx 1    的取值范围为
3 15
 -ln2, -2ln2
4 8
 ，求a的取值范围．
825 (2024·江苏苏州·高三统考阶段练习)已知函数fx 
-x2+a-2
=
 x+a-3
(x>0)
ex
(1)讨论函数fx  的单调性；
(2)若函数fx  存在两个极值点x 1 ,x 2 ，记h(x 1 ,x 2 )=fx 1  fx 2  ,求hx 1 ,x 2  的取值范围.
826 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
1
= x2+1
2
 +alnx-4x+1  ．
(1)讨论fx  的单调性；
(2)若fx  存在两个极值点x 1 ，x 2 ，且fx 1  +fx 2  ≥fx 1 x 2  -4a，求a的取值范围．
827 (2024·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中)设函数f(x)=ae2x+(1-x)ex+a(a∈
R)．
e-2
(1)当a= 时，求g(x)=f(x)e2-x的单调区间；
2
(2)若f(x)有两个极值点x 1 ,x 2x 1 <x 2  ，
①求a的取值范围；
②证明：x +2x >3．
1 2
3 题型三：双变量不等式:极值和差商积问题
828 (2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末)已知a∈R，函数f(x)=xln2x-x+
a
+2.
2x
(1)当a=0时，求f(x)的单调区间和极值；
(2)若f(x)有两个不同的极值点x 1 ，x 2x 1 <x 2  .
(i)求实数a的取值范围；
e
(ii)证明：lnx +2lnx <- -3ln2(e=2.71828⋯⋯为自然对数的底数).
1 2 2
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169 1043829 (2024·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习)已知函数f(x)=ex-e-x-ax(a
∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x,x ，证明：2-a< fx 1
1 2
 -fx 2  <0．
x -x
1 2
830 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx  =xlnx+ax2-a．
(1)当a=-1时，求曲线y=fx  在x=1处的切线方程；
(2)若fx 
x +x
存在两个极值点x 、x ，求实数a的取值范围，并证明：f 1 2 1 2 2  >0．
831 (2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中)已知函数fx  =mex-1-lnx，m∈R.
(1)当m≥1时，讨论方程fx  -1=0解的个数；
(2)当m=e时，gx  =fx 
tx2+e
+lnx- 有两个极值点x ，x ，且x <x ，若e<t< 2 1 2 1 2
e2
，证明：
2
(i)2<x +x <3；
1 2
(ii)gx 1  +2gx 2  <0.
a
832 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=lnx+ x2-(a+1)x,a∈R
2
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)设x 1 ，x 20<x 1 <x 2  是函数g(x)=f(x)+x的两个极值点，证明：gx 1  -gx 2 
a
< 2
-lna恒成立．
833 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=lnx+mx,m∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
1
(2)若g(x)=f(x)+ 2 x2有两个极值点x 1 ,x 2 ，求证：gx 1  +gx 2  +3<0.
4 题型四：双变量不等式:中点型
834 (2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末)已知函数fx  =lnx-ax2+
2-a  x，a∈R．
(1)已知x=1为fx  的极值点，求曲线y=fx  在点 1,f1    处的切线方程；
(2)讨论函数gx  =fx  +ax的单调性；
1
(3)当a<- 2 时，若对于任意x 1 ,x 2 ∈1,+∞  x 1 <x 2  ，都存在x 0 ∈x 1 ,x 2  ，使得f′x 0  =
fx 2  -fx 1  x +x ，证明： 2 1 <x ．
x -x 2 0
2 1
835 (2024·湖北武汉·统考一模)已知函数fx 
1
= x2+1-a
2
 x-alnx.
(Ⅰ)讨论fx  的单调性；
(Ⅱ)设a>0，证明：当0<x<a时，fa+x  <fa-x  ；
(Ⅲ)设x 1 ,x 2 是fx 
x +x
的两个零点，证明f 1 2 2  >0.
836 (2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知函数f(x)=x2+(1-2a)x-alnx(a
∈R且a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a>2时，若函数y=f(x)的图象与x轴交于A，B两点，设线段AB中点的横坐标
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170 1043为x ，证明:f(x )>0.
0 0
837 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.
(1)讨论fx  的单调性；
(2)若函数y=fx  的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x ，证明： 0
fx 0  <0.
1
838 (2024·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习)已知函数f(x)=lnx+ ax2
2
+(a+1)x.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设函数f(x)图象上不重合的两点Ax 1 ,y 1 
x +x
,B(x ,y )(x >x ).证明：k >f' 1 2 2 2 1 2 AB 2  .
(k 是直线AB的斜率)
AB
839 (2024·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习)已知函数fx  =x2-2ax+
2lnx(a>0)．
(1)讨论函数fx  的单调性；
(2)设gx  =lnx-bx-cx2，若函数fx  的两个极值点x 1 ，x 2 (x 1 <x 2 )恰为函数gx  的
两个零点，且y=x 1 -x 2 
x +x
g 1 2 2  的取值范围是ln3-1,+∞  ，求实数a的取值范围．
5 题型五：双变量不等式:剪刀模型
840 (2024·天津和平·耀华中学校考模拟预测)已知函数fx  =x+b  ex-a  (b>0)在点
-1，f-1    处的切线方程为e-1  x+ey+e-1=0．
(1)求a、b；
(2)设曲线y=f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=h(x)，求
证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若关于x的方程fx  =m(m>0)有两个实数根x 、x ，且x <x ，证明：x -x ≤1+ 1 2 1 2 2 1
m1-2e 
．
1-e
841 (2024·辽宁沈阳·统考三模)已知函数fx  =x+b  e2x-a  b>0 
1 1
在点 - ,f-
2 2
  
处的切线方程为e-1 
e-1
x+ey+ =0．
2
(1)求a，b；
(2)函数fx  图像与x轴负半轴的交点为P，且在点P处的切线方程为y=hx  ，函数
Fx  =fx  -hx  ，x∈R，求Fx  的最小值；
(3)关于x的方程fx 
1+2m
=m有两个实数根x ，x ，且x <x ，证明：x -x ≤ - 1 2 1 2 2 1 2
me
．
1-e
842 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ax-ex+1，ln3是f(x)的极值点．
(1)求a的值；
(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线为直线l．求证：曲线
y=f(x)上的点都不在直线l的上方；
(3)若关于x的方程f(x)=m(m>0)有两个不等实根x ，x (x <x )，求证：x -x <2-
1 2 1 2 2 1
7m
．
10
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171 1043843 (2024·安徽·校联考二模)已知函数fx  =3x-ex+1，其中e=2.71828⋯是自然对数的
底数.
(1)设曲线y=fx  与x轴正半轴相交于点Px 0 ,0  ，曲线在点P处的切线为l，求证：曲线
y=fx  上的点都不在直线l的上方；
(2)若关于x的方程fx  =m(m为正实数)有两个不等实根x 1 ,x 2x 1 <x 2  ，求证：x -x 2 1
3
<2- m.
4
844 (2024·全国·高三专题练习)已知函数g(x)=x4，x∈R，在点1,g(1)  处的切线方程记为
y=m(x)，令f(x)=m(x)-g(x)+3．
(1)设函数f(x)的图象与x轴正半轴相交于P，f(x)在点P处的切线为l，证明：曲线y=
f(x)上的点都不在直线l的上方；
a
(2)关于x的方程f(x)=a(a为正实数)有两个实根x ，x ，求证：|x -x|<2- ．
1 2 2 1 3
6 题型六：双变量不等式:主元法
845 (2024·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试)已知函数fx  =xlnx．
(1)求函数fx  的单调区间和最小值；
1
(2)当b>0时，求证：bb≥
e

1
e(其中e为自然对数的底数)；
(3)若a>0，b>0求证：fa  +a+b  ln2≥fa+b  -fb  ．
846 (2024·河南信阳·高二校联考阶段练习)已知函数fx  =xlnx．
(1)求曲线y=fx  在点 e,fe    处的切线方程；
(2)求函数fx 
1
的最小值，并证明：当b>0时，bb≥
e

1
e．(其中e为自然对数的底数)
847 (2024·山西晋中·高二校考阶段练习)已知函数fx  =k x-1   ex-6  (其中e为自然对数
的底数)．
(1)若k=1，求函数fx  的单调区间；
(2)若1≤k≤2，求证：∀x∈0,k  ，fx  <x2．
ex
848 (2024·广东广州·高三广州大学附属中学校考阶段练习)已知函数f(x)=a +(lnx-x)
x
(其中a∈R且a为常数，e为自然对数的底数，e=2.71828⋯)．
(1)若函数f(x)的极值点只有一个，求实数a的取值范围；
(2)当a=0时，若f(x)≤kx+m(其中m>0)恒成立，求(k+1)m的最小值h(m)的最大
值．
849 (2024·全国·高三专题练习)设函数f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的极值；
(2)设g(x)=f(x+1)，若对任意的x≥0，都有g(x)≥mx成立，求实数m的取值范围；
a+b
(3)若0<a<b，证明：0<f(a)+f(b)-2f
2
 <(b-a)ln2.
850 (2024·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中)已知fx  =3x2-6x-5x∈R  函数.
(1)求不等式fx  >4的解集；
(2)设函数gx  =fx  -4x2+mx，若存在x∈R，使得gx  >0，求实数m的取值范围；
(3)若对任意的a∈1,2  ，关于x的不等式fx  ≤x2-2a+6  x+a+b在区间[1,3]上
恒成立，求实数b的取值范围.
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