第22讲双变量问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第22讲 双变量问题 知识梳理 破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单 参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果. 必考题型全归纳 1 题型一：双变量单调问题 816 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1． (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在1,f(1)  处的切线方程； (2)设a≤-2，证明：对任意x ，x ∈(0,+∞)，|f(x)-f(x )|≥4|x -x |． 1 2 1 2 1 2 817 (2024·安徽·校联考三模)设a∈R，函数fx  =aln-x  +a+1  x2+1. (Ⅰ)讨论函数fx  在定义域上的单调性； (Ⅱ)若函数fx  的图象在点 -1,f-1    处的切线与直线8x+y-2=0平行，且对任意 x 1 ,x 2 ∈-∞,0  ，x ≠x ，不等式 fx 1 1 2  -fx 2   x -x 1 2  >m恒成立，求实数m的取值范围. 818 (2024·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末)已知函数f(x)=(a-1)lnx+ax2+ 1. (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)若a≥1时，任意的x >x >0，总有|f(x)-f(x )|>2|x -x |，求实数a 1 2 1 2 1 2 的取值范围. 819 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx  m 1 =log x+ - ，m∈R，a>0且a≠1． a x 2 (1)当a=2时，讨论fx  的单调性； (2)当a=e时，若对任意的x >x >0，不等式 x 2 fx 1 1 2  -x 1 fx 2  1 < 恒成立，求实数m x -x 2 1 2 的取值范围． 820 (2024·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)已知函数fx  =lnx+ax2+ 2a+1  x． (1)讨论fx  的单调性； (2)当a<0时，证明fx  3 ≤- -2； 4a (3)若对任意的不等正数x,x ，总有 fx 1 1 2  -fx 2  >2，求实数a的取值范围． x -x 1 2 2 题型二：双变量不等式:转化为单变量问题 1 821 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= -x+alnx． x (1)讨论f(x)的单调性； 第 页 共 页 168 10435 f(x ) f(x) (2)已知a< ，若f(x)存在两个极值点x,x ，且x 0时，讨论f(x)的单调性； 1 (3)设f(x)存在两个极值点x 1 ,x 2 且x 1 -ln2. 4 823 (2024·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试)已知函数f(x)=x2+ax+2lnx(a 为常数) (1)讨论fx  的单调性 (2)若函数fx  存在两个极值点x 1 ，x 2x 1 0) ex (1)讨论函数fx  的单调性； (2)若函数fx  存在两个极值点x 1 ,x 2 ，记h(x 1 ,x 2 )=fx 1  fx 2  ,求hx 1 ,x 2  的取值范围. 826 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  1 = x2+1 2  +alnx-4x+1  ． (1)讨论fx  的单调性； (2)若fx  存在两个极值点x 1 ，x 2 ，且fx 1  +fx 2  ≥fx 1 x 2  -4a，求a的取值范围． 827 (2024·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中)设函数f(x)=ae2x+(1-x)ex+a(a∈ R)． e-2 (1)当a= 时，求g(x)=f(x)e2-x的单调区间； 2 (2)若f(x)有两个极值点x 1 ,x 2x 1 3． 1 2 3 题型三：双变量不等式:极值和差商积问题 828 (2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末)已知a∈R，函数f(x)=xln2x-x+ a +2. 2x (1)当a=0时，求f(x)的单调区间和极值； (2)若f(x)有两个不同的极值点x 1 ，x 2x 1 0． 831 (2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中)已知函数fx  =mex-1-lnx，m∈R. (1)当m≥1时，讨论方程fx  -1=0解的个数； (2)当m=e时，gx  =fx  tx2+e +lnx- 有两个极值点x ，x ，且x 0，证明：当00. 836 (2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知函数f(x)=x2+(1-2a)x-alnx(a ∈R且a≠0). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a>2时，若函数y=f(x)的图象与x轴交于A，B两点，设线段AB中点的横坐标 第 页 共 页 170 1043为x ，证明:f(x )>0. 0 0 837 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x. (1)讨论fx  的单调性； (2)若函数y=fx  的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x ，证明： 0 fx 0  <0. 1 838 (2024·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习)已知函数f(x)=lnx+ ax2 2 +(a+1)x. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设函数f(x)图象上不重合的两点Ax 1 ,y 1  x +x ,B(x ,y )(x >x ).证明：k >f' 1 2 2 2 1 2 AB 2  . (k 是直线AB的斜率) AB 839 (2024·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习)已知函数fx  =x2-2ax+ 2lnx(a>0)． (1)讨论函数fx  的单调性； (2)设gx  =lnx-bx-cx2，若函数fx  的两个极值点x 1 ，x 2 (x 1 0)在点 -1，f-1    处的切线方程为e-1  x+ey+e-1=0． (1)求a、b； (2)设曲线y=f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=h(x)，求 证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)； (3)若关于x的方程fx  =m(m>0)有两个实数根x 、x ，且x 0  1 1 在点 - ,f- 2 2    处的切线方程为e-1  e-1 x+ey+ =0． 2 (1)求a，b； (2)函数fx  图像与x轴负半轴的交点为P，且在点P处的切线方程为y=hx  ，函数 Fx  =fx  -hx  ，x∈R，求Fx  的最小值； (3)关于x的方程fx  1+2m =m有两个实数根x ，x ，且x 0)有两个不等实根x ，x (x 0时，求证：bb≥ e  1 e(其中e为自然对数的底数)； (3)若a>0，b>0求证：fa  +a+b  ln2≥fa+b  -fb  ． 846 (2024·河南信阳·高二校联考阶段练习)已知函数fx  =xlnx． (1)求曲线y=fx  在点 e,fe    处的切线方程； (2)求函数fx  1 的最小值，并证明：当b>0时，bb≥ e  1 e．(其中e为自然对数的底数) 847 (2024·山西晋中·高二校考阶段练习)已知函数fx  =k x-1   ex-6  (其中e为自然对数 的底数)． (1)若k=1，求函数fx  的单调区间； (2)若1≤k≤2，求证：∀x∈0,k  ，fx  0)恒成立，求(k+1)m的最小值h(m)的最大 值． 849 (2024·全国·高三专题练习)设函数f(x)=xlnx. (1)求f(x)的极值； (2)设g(x)=f(x+1)，若对任意的x≥0，都有g(x)≥mx成立，求实数m的取值范围； a+b (3)若04的解集； (2)设函数gx  =fx  -4x2+mx，若存在x∈R，使得gx  >0，求实数m的取值范围； (3)若对任意的a∈1,2  ，关于x的不等式fx  ≤x2-2a+6  x+a+b在区间[1,3]上 恒成立，求实数b的取值范围. 第 页 共 页 172 1043