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第 78 讲 参数范围与最值
知识梳理
1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这
是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求
该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元
法等，这就是代数法．
2、求参数范围问题的常用方法
构建所求几何量的含参一元函数，形如 ，并且进一步找到自变量范围，进
而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：
（1）二次函数；（2）“对勾函数” ；（3）反比例函数；（4）分式
函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解
决．这里找自变量的取值范围在 或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值
范围时，还可以从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量
关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
必考题型全归纳
题型一：弦长最值问题
例1．（2024·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）已知圆 的任意一条
切线l与椭圆 都有两个不同交点A，B（O是坐标原点）
（1）求圆O半径r的取值范围；
（2）是否存在圆O，使得 恒成立？若存在，求出圆O的方程及 的最大值；若不存在，说明理由.
例2．（2024·河北·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A在 轴上滑动，点B在
轴上滑动，A、B两点间距离为 ．点P满足 ，且点P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设M，N是C上的不同两点，直线MN斜率存在且与曲线 相切，若点F为
，那么 的周长是否有最大值．若有，求出这个最大值，若没有，请说明理由．
例3．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆
）中， ，过点 与 的直线的斜率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 为椭圆 的右焦点， 为直线 上任意一点，过 作 的垂线交椭圆 于
两点，求 的最大值.
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，过 的左焦点 的直线 与 相交于 、 两点，与直线 相交于点 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)过点 作直线 的垂线 与 相交于 、 两点，与直线 相交于点 ．求
的最大值．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，左
顶点为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点.
(1)求椭圆的 的标准方程；
(2)若直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，求 的最小值.
变式3．（2024·江西南昌·统考一模）已知双曲线 （b＞a＞0），O为坐标原点，
离心率 ，点 在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线 与双曲线交于P、Q两点，且 .求|OP|2+|OQ|2的最小值.题型二：三角形面积最值问题
例4．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点分别
为 、 ， 为椭圆上异于 、 的动点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，
且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设动直线 与椭圆 相交于 、 两点， 为坐标原点，若 ， 的面积是
否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
例5．（2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）如图， 分别是矩形 四边
的中点， ， .(1)求直线 与直线 交点 的轨迹方程；
(2)过点 任作直线与点 的轨迹交于 两点，直线 与直线 的交点为 ，直
线 与直线 的交点为 ，求 面积的最小值.
例6．（2024·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆 ．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点 是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为 ；
(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为 ，
求△ 的面积的最小值．
变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： 和圆 ：
（其中原点 为圆心），过双曲线 上一点 引圆 的两条切线，切点
分别为 、 ．（1）若双曲线 上存在点 ，使得 ，求双曲线离心率 的取值范围；
（2）求直线 的方程；
（3）求三角形 面积的最大值．
变式5．（2024·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知抛物线 为
抛物线 上四点，点 在 轴左侧，满足 .
(1)求抛物线 的准线方程和焦点坐标；
(2)设线段 的中点为 .证明：直线 与 轴垂直；
(3)设圆 ，若点 为圆 上动点，设 的面积为 ，求 的最大值.
变式6．（2024·河北·统考模拟预测）已知抛物线 ，过点 的直线
与 交于 两点，当直线 与 轴垂直时， （其中 为坐标原点）.
(1)求 的准线方程；
(2)若点 在第一象限，直线 的倾斜角为锐角，过点 作 的切线与 轴交于点 ，连接
交 于另一点为 ，直线 与 轴交于点 ，求 与 面积之比的最大值.题型三：四边形面积最值问题
例7．（2024·河南·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，直
线 ，作直线l的平行线 ，动点P满足到F的距离与到直线 的距离
之和等于直线l与 之间的距离．记动点P的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)过 作倾斜角互补的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，且直线AB的倾
斜角 ，求四边形ACBD面积的最大值．
例8．（2024·全国·高三专题练习）O为坐标原点椭圆 的左右焦点
分别为 ，离心率为 ；双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 ，
已知 ，切 ．
(1)求 的方程；
(2)过 作 的不垂直于y轴的弦 ，M为 的中点，当直线 与 交于P，Q两点时，
求四边形 面积的最小值．
例9．（2024·全国·高三专题练习）如图, 为坐标原点,椭圆 的左右焦点分别为 ,离心率为 ;双曲线 的左右焦点分别为 ,离心率为 ,
已知 ,且 .
(1)求 的方程;
(2)过 点作 的不垂直于 轴的弦 , 为 的中点,当直线 与 交于 两点时,
求四边形 面积的最小值.
变式7．（2024·山西朔州·高三校联考开学考试）已知椭圆E： 的左、
右焦点分别为 ， ，M为椭圆E的上顶点， ，点 在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过焦点 的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求
四边形ACBD的面积的最小值.变式8．（2024·湖南郴州·统考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 ，P是椭圆C上异于左、右顶点的动点， 的最小值为2，且椭圆C的
离心率为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l过 与椭圆C相交于A，B两点，A，B两点异于左、右顶点，直线 过 交椭
圆C于M，N两点， ，求四边形 面积的最小值．
变式9．（2024·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）平面内动点 与定点 的距离
和它到定直线 的距离之比是 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 分别交轨迹 于点 和 ，求四边形 面积
的最小值.
题型四：弦长的取值范围问题
例10．（2024·河北·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系 中，椭圆的中心在原点，点 在椭圆 上，且离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)动直线 交椭圆 于 ， 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，
且 ， 是线段 上一点，圆 的半径为 ，且 ，求 的范围.
例11．（2024·浙江·模拟预测）已知椭圆 ，点 ，斜率不为0的直线 与
椭圆 交于点 ，与圆 相切且切点为 为 中点.
(1)求圆 的半径 的取值范围；
(2)求 的取值范围.
变式12．（2024·广东深圳·高三校联考期中）已知点 在运动过程中，总满足关系式：.
(1)点 的轨迹是什么曲线？写出它的方程；
(2)设圆 ，直线 与圆O相切且与点 的轨迹交于不同两点 ，当
且 时，求弦长 的取值范围.
变式13．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点是双曲线
的顶点， 的焦点到 的渐近线的距离为 .直线
与 相交于A，B两点， .
(1)求证：
(2)若直线l与 相交于P，Q两点，求 的取值范围.
变式14．（2024·陕西咸阳·校考三模） 已知双曲线 的离心率为
，过双曲线 的右焦点 且垂直于 轴的直线 与双曲线交于 两点，且 .(1)求双曲线 的标准方程;
(2)若直线 ： 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，与双曲线的渐近线分
别交于 两点，求 的取值范围.
变式15．（2024·全国·高三校联考开学考试）已知双曲线 的渐近
线方程为 ，点 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 且垂直于 轴的直线与双
曲线交于第一象限的点 ，且 的周长为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线的左支、右支分别交于 ， 两点，与直线 ， 分
别交于P，Q两点，求 的取值范围．题型五：三角形面积的取值范围问题
例13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知双曲线
，其左、右焦点分别为 、 ， 上有一点P满足 ，
．
(1)求b；
(2)过 作直线l交 于B、C，取BC中点D，连接OD交双曲线于E、H，当BD与EH的
夹角为 时，求 的取值范围．
例14．（2024·广东茂名·高三茂名市第一中学校考阶段练习）椭圆
的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，点
到直线 的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 交双曲线 右支于点 ， ，点 在 上，求
面积的取值范围.例15．（2024·浙江金华·模拟预测）P是双曲线 右支上一点，A，B是双曲线的
左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ
的交点为C．
(1)记P，Q的纵坐标分别为 ，求 的值；
(2)记 的面积分别为 ，当 时，求 的取值范围．
变式16．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知 ， 为椭圆
C： 的左、右顶点，且椭圆C过点 .
(1)求C的方程；
(2)过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中点D在x轴上方），求 的取值范
围.
变式17．（2024·四川南充·模拟预测）如图所示，以原点 为圆心，分别以2和1为半径
作两个同心圆，设 为大圆上任意一点，连接 交小圆于点 ，设 ，过点
分别作 轴， 轴的垂线，两垂线交于点 ．(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)点 分别是轨迹 上两点，且 ，求 面积的取值范围．
变式18．（2024·福建漳州·高三统考开学考试）已知椭圆 的左焦点
为 ，且过点 .
(1)求C的方程；
(2)不过原点O的直线 与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.
（i）求 的斜率；
（ii）求 的面积的取值范围.
题型六：四边形面积的取值范围问题
例16．（2024·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知椭圆 ： （
）左、右焦点分别为 ， ，且 为抛物线 的焦点， 为椭圆 上一点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 ， 为椭圆 上不同两点，且都在 轴上方，满足 .
（ⅰ）若 ，求直线 的斜率；
（ⅱ）若直线 与抛物线 无交点，求四边形 面积的取值范围.
例17．（2024·河北·高三统考阶段练习）已知椭圆C： 的离心率为 ，
点 在椭圆上.直线 与椭圆交于 两点.且 ，其中 为坐标原点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过原点的直线 与椭圆 交于 两点，且过 的中点 .求四边形 面积的
取值范围.
例18．（2024·全国·模拟预测）设椭圆 的左焦点为F，上顶点为
P，离心率为 ，O是坐标原点，且 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F作两条互相垂直的直线，分别与C交于A，B，M，N四点，求四边形 面积的取值范围.
变式19．（2024·辽宁辽阳·高三辽阳县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线
过点 ，且 的渐近线方程为 ．
(1)求 的方程；
(2)如图，过原点 作互相垂直的直线 ， 分别交双曲线于 ， 两点和 ， 两点， ，
在 轴同侧．
①求四边形 面积的取值范围；
②设直线 与两渐近线分别交于 ， 两点，是否存在直线 使 ， 为线段 的
三等分点，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
变式20．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，
抛物线 的准线与 相交，所得弦长为 .
(1)求 的方程；(2)若 在 上，且 ，分别以 为切点，作 的切线相交于点
，点 恰好在 上，直线 分别交 轴于 两点.求四边形 面积的取值范
围.
题型七：向量数量积的取值范围问题
例19．（2024·吉林长春·长春市第八中学校考模拟预测）已知 ，直
线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，线段 的中点为 ．
（1）若 ，点 在椭圆 上， 、 分别为椭圆的两个焦点，求 的范围；
（2）若 过点 ，射线 与椭圆 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若
能，求此时直线 斜率；若不能，说明理由．
例20．（2024·安徽合肥·合肥市庐阳高级中学校考模拟预测）已知椭圆
的左，右焦点分别为 ， ，焦距为 ，点 在 上.
(1) 是 上一动点，求 的范围；
(2)过 的右焦点 ，且斜率不为零的直线 交 于 ， 两点，求 的内切圆面积
的最大值.例21．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 经过点 ，
一个焦点 的坐标为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，若 ，求
的取值范围.
变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 经过点 ，
一个焦点 的坐标为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，若 ，求
的取值范围.
变式22．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考阶段练习）已知椭圆
经过点 ，一个焦点 的坐标为 .
（1）求椭圆 的方程；（2）设直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，求 · 的取值范围.
题型八：参数的取值范围
例22．（2024·全国·高三专题练习）已知曲线 表示焦点在 轴上的椭圆.
（1）求 的取值范围；
（2）设 ，过点 的直线 交椭圆于不同的两点 ， （ 在 ， 之间），且
满足 ，求 的取值范围.
例23．（2024·黑龙江大庆·统考三模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率
，且经过抛物线 的焦点．若过点 的直线 斜率不等于零 与椭圆交于
不同的两点E、 在B、F之间 ，
求椭圆的标准方程；
求直线l斜率的取值范围；
若 与 面积之比为 ，求 的取值范围．例24．（2024·广东广州·高二执信中学校考期末）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的
椭圆过点 ，且它的离心率
（I）求椭圆的标准方程；
（II）与圆 相切的直线 交椭圆于 、 两点，若椭圆上一点
满足 ，求实数 的取值范围
变式23．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆： 的左顶点为 ，右顶
点为 .已知椭圆的离心率为 ，且以线段 为直径的圆被直线 所截得
的弦长为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点 的直线 与椭圆交于点 ，且点 在第一象限，点 关于 轴对称点为点
，直线 与直线 交于点 ，若直线 斜率大于 ，求直线 的斜率 的取值范围.变式24．（2024·天津河西·天津市新华中学校考一模）设椭圆 的左顶
点为 ，右顶点为 ．已知椭圆的离心率为 ，且以线段 为直径的圆被直线
所截得的弦长为 ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆交于点 ，且点 在第一象限，点 关于 轴对称点为点
，直线 与直线 交于点 ，若直线 斜率大于 ，求直线 的斜率 的取值范围．
变式25．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，
过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点 的直线与椭圆 相交于不
同的两点 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为椭圆 上一点，且满足 为坐标原点），试求实数 的取值范围.
变式26．（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期中）已知椭圆
的离心率为 ,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为 ,过点 的直线与椭圆 相交于两点
(1)求椭圆 的方程;
(2)设 为椭圆上一点,且满足 ( 为坐标原点),当 时,求实数 的取值
范围
