文档内容
第 72 讲 垂直弦问题
知识梳理
1、过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的弦 ， ．若弦 ，
的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 ．
2、过椭圆 的长轴上任意一点 作两条互相垂直的弦 ，
．若弦 ， 的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 ．
3、过椭圆 的短轴上任意一点 作两条互相垂直的弦 ，
．若弦 ， 的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 ．
4、过椭圆 内的任意一点 作两条互相垂直的弦 ，
．若弦 ， 的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 ．
5、以 为直角定点的椭圆 内接直角三角形的斜边必过定点
6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上．7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上．
8、以 为直角定点的抛物线 内接直角三角形的斜边必过定点 ，
9、以 为直角定点的双曲线 内接直角三角形的斜边必过定点
必考题型全归纳
题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
例1．（2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）已知点 ，动点P
满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cos2θ=1.（P不在线段AB上）
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q，试问直线PQ是否
经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.
例2．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C的两个焦点分别为 ， ，
短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率；
(2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于
A，B两点，直线AB是否过定点？并求出 面积的最大值.例3．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知 为圆 上一动点，过点
作 轴的垂线段 为垂足，若点 满足 .
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 的轨迹为曲线 ，过点 作曲线 的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分
别为 ，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，是否存在定点 ，使得 为定值？
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
变式1．（2024·上海青浦·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ，过
右焦点 作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为 ， ．
(1)写出椭圆右焦点 的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求 面积的最大值．
变式2．（2024·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设 分别是椭圆 的左､右焦点， 是 上一点， 与 轴垂直.直线
与 的另一个交点为 ，且直线 的斜率为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)设 是椭圆 的上顶点，过 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 两点，
证明直线 过定点，并求出定点坐标.
变式3．（2024·全国·高二专题练习）设 分别是圆 的左､右焦
点，M是C上一点， 与x轴垂直.直线 与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率
为
(1)求椭圆C的离心率.
(2)设 是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，
过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得 的长度为定
值？并证明你的结论.
变式4．（2024·云南昆明·高二统考期中）已知椭圆 ，直线 被椭圆 截得的线段长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过椭圆 的右顶点作互相垂直的两条直线 .分别交椭圆 于 两点（点 不同
于椭圆 的右顶点），证明：直线 过定点.
题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
例4．（2024·高二课时练习）已知双曲线C： 经过点 ，且双
曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与
点P不重合），设直线AB： ，试求 和 之间满足的关系式．
例5．（2024·江苏南京·高二校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点
F(2，0)的距离和它到定直线l： 的距离之比是常数 ，记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A( ，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线 ，经过双曲线 上的
点 作互相垂直的直线AM､AN分别交双曲线 于M､N两点.设线段AM､AN的中点分
别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点A作 （D为垂足），请问：是否存在定点E，使得 为定值？若存在，
求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点
例7．（2024·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知抛物线C：
的焦点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点， ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C上一点 作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于 两点（异于点
P），证明：直线 恒过定点，并求出该定点坐标．例8．（2024·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知抛物线 的焦点 关于
直线 的对称点 恰在抛物线 的准线上．
(1)求抛物线 的方程；
(2) 是抛物线 上横坐标为 的点，过点 作互相垂直的两条直线分别交抛物线 于
两点，证明直线 恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
例9．（2024·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）已知抛物线 ，O是
坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点， ， ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设点 在C上，过Q作两条互相垂直的直线 ，分别交C于A，B两点（异
于Q点）．证明：直线 恒过定点．
变式5．（2024·浙江·高三专题练习）已知抛物线 的焦点 也是椭圆
的一个焦点，如图，过点 任作两条互相垂直的直线 ， ，分别交抛物线
于 ， ， ， 四点， ， 分别为 ， 的中点.(1)求 的值；
(2)求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标；
(3)设直线 交抛物线 于 ， 两点，试求 的最小值.
变式6．（2024·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知抛物线 ： 的焦点为
，点 在抛物线 上，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 和 ，试问直线 是否过定点，
若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线
与 轴的交点为 ，与抛物线 的交点为 ，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 和 ，试问直线 是否过定点，
若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
变式8．（2024·云南曲靖·高二校考期末）已知点 与点 的距离比它的直线的距离小2．
(1)求点 的轨迹方程；
(2) 是点 轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线 是否经过 轴上一定点，若经过，
求出该点坐标；若不经过，说明理由．
题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例10．（2024·福建龙岩·统考一模）双曲线 ： 的左右顶点分别为 ， ，动
直线 垂直 的实轴，且交 于不同的两点 ，直线 与直线 的交点为 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过点 作 的两条互相垂直的弦 ， ，证明：过两弦 ， 中点的直线
恒过定点.
例11．（2024·全国·高二期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，抛
物线 与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点
为M，线段CD的中点为N，证明：直线 过定点，并求出该定点的坐标．例12．（2024·上海闵行·高二闵行中学校考期末）在平面直角坐标系 中， 为坐标原
点， ，已知平行四边形 两条对角线的长度之和等于4．
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)过 作互相垂直的两条直线 、 ， 与动点 的轨迹交于 、 ， 与动点 的
轨迹交于点 、 ， 、 的中点分别为 、 ；证明：直线 恒过定点，并求出定
点坐标；
(3)在（2）的条件下，求四边形 面积的最小值．
变式9．（2024·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）已知椭圆
的离心率为 ，椭圆 截直线 所得线段的长度为 ．过
作互相垂直的两条直线 、 ，直线 与椭圆 交于 、 两点，直线 与椭圆
交于 、 两点， 、 的中点分别为 、 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明：直线 恒过定点，并求出定点坐标；
(3)求四边形 面积 的最小值．变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 上任意一点 到
椭圆 两个焦点 的距离之和为 ，且离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 为 的左顶点，过 点作两条互相垂直的直线 分别与 交于 两点，证
明：直线 经过定点，并求这个定点的坐标．
题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例13．（2024·高二课时练习）已知双曲线C 的右焦点F，半焦距
c=2，点F到直线 的距离为 ，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设
AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.
例14．（2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）在平面直角坐标系 中，已知动点
到点 的距离与它到直线 的距离之比为 ．记点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；(2)过点 作两条互相垂直的直线 ， . 交曲线 于 ， 两点， 交曲线 于 ， 两点，
线段 的中点为 ，线段 的中点为 ．证明：直线 过定点，并求出该定点坐标．
例15．（2024·山西大同·高三统考阶段练习）已知双曲线 ： 的右
焦点为 ，半焦距 ，点 到右准线 的距离为 ，过点 作双曲线 的两条互相
垂直的弦 ， ，设 ， 的中点分别为 ， .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）证明：直线 必过定点，并求出此定点坐标.
变式11．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线 的一条渐近
线方程为 ，焦点到渐近线的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过双曲线 的右焦点 作互相垂直的两条弦（斜率均存在） 、 .两条弦的中点分
别为 、 ，那么直线 是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点
坐标.
题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点例16．（2024·全国·高二专题练习）已知抛物线 ： 焦点为 ， 为 上
的动点， 位于 的上方区域，且 的最小值为3.
(1)求 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交 于 ， 两点， 交 于 ， 两点，
且 ， 分别为线段 和 的中点.直线 是否恒过一个定点?若是，求出该定点坐标；
若不是，说明理由.
例17．（2024·全国·高三专题练习）已知一个边长为 的等边三角形的一个顶点位于原
点，另外两个顶点在抛物线 上.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线 于 、 两点， 交抛物线 于
， 两点，若线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，证明：直线 过定点．
例18．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C： 的焦点为F，过焦点F
且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点， 的周长为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试
判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．变式12．（2024·山西·高二校联考期末）已知抛物线C： （ ），过点
作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线C于A，B两点， 交抛物线C于D，E两点，
抛物线C上一点 到焦点F的距离为3．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若线段AB的中点为M，线段DE的中点为N，求证：直线MN过定点．
变式13．（2024·全国·高三专题练习）动圆P与直线 相切，点 在动圆上．
(1)求圆心P的轨迹Q的方程；
(2)过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：
直线MN必过定点．
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，点M在
抛物线C上，O为坐标原点， 是以 为底边的等腰三角形，且 的面积为
．
(1)求抛物线C的方程．
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦 ， ，设弦 ， 的中点分别为P，Q，试判断直线 是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．
变式15．（2024·安徽滁州·高二校考开学考试）在平面直角坐标系 中，设点 ，
直线 ，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．
， ．
(1)求动点Q的轨迹的方程E；
(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直
线MN过定点R的坐标．
变式16．（2024·福建福州·高二校考期中）在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原点，已
知点 ，P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足 .
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积；
(3)过点 任作两条互相垂直的直线 ，分别交轨迹 C 于点A，B和M，N，设线段
AB，MN的中点分别为E，F.，求证：直线EF恒过一定点.变式17．（2024·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知椭圆 的左、
右焦点分别为 、 ，抛物线 的焦点与椭圆的右焦点重合，点 为抛物线与椭圆在
第一象限的交点，且 .
(1)求椭圆的方程；
(2)过 作两条斜率不为 且互相垂直的直线分别交椭圆于 、 和 、 ，线段 的中
点为 ，线段 的中点为 ，证明：直线 过 轴上一定点，并求出该定点的坐标.
变式18．（2024·湖南·高三阶段练习）如图 ，已知抛物线 的顶点 在坐标原点，焦点在
轴正半轴上，准线与 轴的交点为 ．过点 作圆 的两条切线，两切点
分别为 ， ，且 ．
（1）求抛物线 的标准方程；（2）如图 ，过抛物线 的焦点 任作两条互相垂直的直线 ， ，分别交抛物线 于 ，
两点和 ， 两点， ， 分别为线段 和 的中点，求 面积的最小值．
题型七：内接直角三角形范围与最值问题
例19．（2024·江西·高二校联考开学考试）设椭圆 的两焦点为 ， ，
为椭圆上任意一点，点 到原点最大距离为2，若 到椭圆右顶点距离为 .
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的上、下顶点分别为 、 ，过 作两条互相垂直的直线交椭圆于 、 ，问直
线 是否经过定点？如果是，请求出定点坐标，并求出 面积的最大值.如果不是，
请说明理由.
例20．（2024·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ，
过右焦点 作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为 ， .(1)写出椭圆右焦点 的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求 面积的最大值.
例21．（2024·江苏南通·高三统考阶段练习）已知椭圆 的离心率为
，左、右顶点分别为A， ，上顶点为 ，坐标原点 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)过A点作两条互相垂直的直线 ， 与椭圆交于 ， 两点，求 面积的最大值.
题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题
例22．（2024·新疆·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G的准线方程为 .
(1)求抛物线G的标准方程；
(2)过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线 和 ， 与抛物线交于P，Q两点， 与抛物
线交于C，D两点，M，N分别是线段PQ，CD的中点，求△FMN面积的最小值.例23．（2024·广东珠海·高三校考开学考试）已知抛物线 ，点 为其焦
点，直线 与抛物线交于 两点， 为坐标原点， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过 轴上一动点 作互相垂直的两条直线，与抛物线 分别相交于点 和
，点 分别为 的中点，求 的最小值
