文档内容
第64讲 椭圆及其性质
知识梳理
知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点F,F 的距离之和等于常数2a(2a>|FF|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定
1 2 1 2
点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：
P||PF|+|PF|=2a(2a>|FF|=2c>0)
1 2 1 2
注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；
当2a<2c时，点的轨迹不存在．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
焦点的
焦点在x轴上 焦点在y轴上
位置
图形
标准方
x2 y2
+ =1a>b>0
a2 b2
程
y2 x2
+ =1a>b>0
a2 b2
统一方
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)
程
参数方
x=acosθ ,θ为参数(θ∈[0,2π])
x
y=
=
b
a
s
c
i
o
n
s
θ
θ ,θ为参数(θ∈[0,
y=bsinθ
程 2π])
第一定
到两定点F、F 的距离之和等于常数2a，即|MF|+|MF|=2a(2a>|FF|)
1 2 1 2 1 2
义
范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a
Α 1-a,0
顶点
、Α 2a,0
Β 10,-b 、Β 20,b
Α 10,-a 、Α 20,a
Β 1-b,0 、Β 2b,0
第 页 共 页
2138 3427轴长 长轴长=2a，短轴长=2b 长轴长=2a，短轴长=2b
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
焦点 F 1-c,0 、F 2c,0 F 10,-c 、F 20,c
焦距 F 1 F 2 =2c(c2=a2-b2)
c c2 a2-b2 b2
离心率 e= = = = 1- (01
点和椭
x2
0 +
y2
0
=1 ⇔点(x ,y )在椭
a2 b2 0 0 >1 外
<1 y2 x2
圆 0 + 0 =1 ⇔点(x ,y )在椭圆上
外 a2 b2 0 0
<1 内
的关系
圆上
内
x x y y y y x x
切线方 0 + 0 =1((x ,y )为切点) 0 + 0 =1((x ,y )为切点)
a2 b2 0 0 a2 b2 0 0
程 对于过椭圆上一点(x ,y )的切线方程，只需将椭圆方程中x2换为x x，y2换为y y可得
0 0 0 0
切点弦
x x y y
所在的 0 + 0 =1(点(x ,y )在椭
a2 b2 0 0 y
0
y
+
x
0
x
=1(点(x ,y )在椭圆外)
a2 b2 0 0
直线方 圆外)
程
2b2
①cosθ= -1,θ =∠FBF，(B为短轴的端点)
rr max 1 2
1 2
②S ΔPF1F2 = 2 1 r 1 r 2 sinθ=b2tan θ 2 = c c | | y x 0 | | , , 焦 焦 点 点 在 在 x y 轴 轴 上 上 (θ=∠F 1 PF 2 )
0
焦点三
角形面
积 ③ 当P点在长轴端点时,(r 1 r 2 )min=b2
当P点在短轴端点时,(rr )max=a2
1 2
焦点三角形中一般要用到的关系是
|MF|+|MF|=2a(2a>2c) 1 2
1
S = |PF||PF|sin∠FPF ΔPF1F2 2 1 2 1 2
|FF|2=|PF|2+|PF|2-2|PF||PF|cos∠FPF
1 2 1 2 1 2 1 2
焦半径 左焦半径： MF 1 =a+ex 0 上焦半径： MF 1 =a-ey 0
第 页 共 页
2139 3427又焦半径： MF 1 =a-ex 0 下焦半径： MF 1 =a+ey 0
焦半径最大值a+c，最小值a-c
b2
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2 (最短的过焦点的弦)
a
设直线与椭圆的两个交点为A(x,y)，B(x ,y )，k =k，
1 1 2 2 AB
弦长公 则弦长 AB
式
= 1+k2 x 1 -x 2 = 1+k2 (x -x )2-4xx 1 2 1 2
1 Δ
= 1+ (y -y )2-4yy = 1+k2
k2 1 2 1 2 |a|
(其中a是消y后关于x的一元二次方程的x2的系数，Δ是判别式)
【解题方法总结】
(1)过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长
2b2
为 ．
a
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端
点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为a+c，距离的最小值为a-c．
(2)椭圆的切线
x2 y2 x x y y
①椭圆 + =1 (a>b>0)上一点P(x ，y )处的切线方程是 0 + 0 =1；
a2 b2 0 0 a2 b2
x2 y2
②过椭圆 + =1 (a>b>0)外一点P(x ，y )，所引两条切线的切点弦方程是
a2 b2 0 0
x x y y
0 + 0 =1；
a2 b2
x2 y2
③椭圆 + =1 (a>b>0)与直线Ax+By+C=0 相切的条件是A2a2+B2b2
a2 b2
=c2．
必考题型全归纳
1 题型一：椭圆的定义与标准方程
3407 (2024·高二课时练习)已知椭圆C上任意一点Px,y 都满足关系式 x-1 2+y2+
x+1 2+y2=4，则椭圆C的标准方程为 .
x2 y2
【答案】 + =1
4 3
【解析】由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为1,0 ,-1,0 ，2a=4，
x2 y2
故a=2,c=1，b2=3，所以椭圆C的标准方程为 + =1.
4 3
x2 y2
故答案为： + =1.
4 3
第 页 共 页
2140 34271
3408 (2024·山东青岛·统考三模)已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线y= x2
4
的焦点重合，则椭圆C的标准方程为 ．
y2 x2
【答案】 + =1
4 3
【解析】抛物线方程化为标准方程得x2=4y，焦点坐标为F0,1 ，
∵抛物线焦点与椭圆C的一个焦点重合，∴椭圆焦点在y轴，
y2 x2
设椭圆方程为 + =1，(a>b>0)，
a2 b2
则由焦点坐标和长轴长知c=1，2a=4，∴a=2，
∴b2=a2-c2=3，
y2 x2
∴椭圆C的标准方程为 + =1.
4 3
y2 x2
故答案为： + =1.
4 3
x2 y2
3409 (2024·全国·高二专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点为F(-1,
a2 b2 1
3
0),F(1,0)，且过点P1,
2 2
,则椭圆标准方程为 ．
x2 y2
【答案】 + =1
4 3
【解析】由题知：c=1，①
3
又椭圆经过点P1,
2
，
9
1 4
所以 + =1，②
a2 b2
又a2-b2=c2，③
联立解得：a2=4,b2=3，
x2 y2
故椭圆的标准方程为： + =1.
4 3
x2 y2
故答案为： + =1.
4 3
x2 y2
3410 (2024·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测)已知椭圆E： + =1(a>b>0)，F是E
a2 b2
的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为- 3，△ABF
3
的面积为 ，则E的标准方程为 .
13
x2 y2
【答案】 + =1
1 1
4 16
第 页 共 页
2141 3427【解析】设O为坐标原点，直线AB交x轴于点C，如图所示：
由题意知：AB⊥AF，直线AB的斜率为- 3，即k =- 3，
AB
所以∠ACF=60°，∠AFC=30°.
由椭圆的性质知：OA =b，OF =c，则AF =a，所以OA
a
= ，OF
2
3a
= ，
2
a
则A0,
2
a
，故直线AB的方程为y=- 3x+ .
2
x2 y2
+ =1
联立 y a = 2 - b2 3x+ a 2 ，解得： x y= =0 a 或 x= 4 1 1 1 3 3 a a ，
2 y=-
a 26
b=
2
4 3a 11a
所以B ,-
13 26
，故AB
4 3a
= 0-
13
2 a 11a
+ +
2 26
2 8 3a
= ，
13
1
则S = AF
△ABF 2
⋅AB
1 8 3a 3 1
= ×a× = ，解得：a2= .
2 13 13 4
1 a 1 x2 y2
又a>0，所以a= ，即b= = ，则E的标准方程为 + =1.
2 2 4 1 1
4 16
x2 y2
故答案为： + =1.
1 1
4 16
x2 y2
3411 (2024·全国·高二专题练习)已知椭圆焦点在x轴，它与椭圆 + =1有相同离心率
4 3
且经过点2,- 3 ，则椭圆标准方程为 .
x2 y2
【答案】 + =1
8 6
x2 y2 c a2-b2 b2 3 1
【解析】椭圆 + =1的离心率为e= = = 1- = 1- = ，
4 3 a a a2 4 2
x2 y2
设所求椭圆方程为 + =1m>n>0
m2 n2
，
n
则1-
m
2 1 n
= ，从而
4 m
2 3 n 3
= ， = ，
4 m 2
4 3
又 + =1，∴m2=8,n2=6，
m2 n2
x2 y2
∴所求椭圆的标准方程为 + =1.
8 6
x2 y2
故答案为： + =1.
8 6
3412 (2024·北京·高二北大附中校考期末)与双曲线4y2-3x2=12有相同焦点，且长轴长为6
的椭圆标准方程为 .
第 页 共 页
2142 3427x2 y2
【答案】 + =1
2 9
y2 x2
【解析】4y2-3x2=12即 - =1，焦点为0,± 7
3 4
，
椭圆长轴2a=6，即a=3，故短半轴b= 32- 7
x2 y2
2= 2，故椭圆方程为 + =1.
2 9
x2 y2
故答案为： + =1.
2 9
x2 y2
3413 (2024·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末)已知椭圆E： + =
a2 b2
1a>b>0 的左、右焦点分别为F，F，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF ⊥ 1 2 2
1
F 2 Q，且S △PF2Q = 2 a2，PF 2 +F 2 Q =8，则E的标准方程为 .
x2 y2
【答案】 + =1
16 8
【解析】连接PF,QF，因为OP=OQ,OF =OF，
1 1 1 2
所以四边形PFQF 是平行四边形，
1 2
所以PF =FQ，PF =QF，
1 2 2 1
又∵PF ⊥FQ，所以四边形PFQF 为矩形，
2 2 1 2
设PF =m,PF =n
1 2
m+n=2a=8
则由题意得
m2+n2=4c2 ，解得 a=4 ，
1 1 c=2 2
mn= a2
2 2
x2 y2
则b2=a2-c2=8，则标准方程为 + =1，
16 8
x2 y2
故答案为： + =1.
16 8
3414 (2024·山东青岛·高二青岛二中校考期中)过点 5,- 3
x2 y2
，且与椭圆 + =1有相
25 9
同的焦点的椭圆标准方程是 ．
x2 y2
【答案】 + =1
20 4
第 页 共 页
2143 3427x2 y2
【解析】由题意设椭圆的方程为 + =1，0<λ<9，
25-λ 9-λ
将点 5,- 3
5 3
代入， + =1，
25-λ 9-λ
整理可得：λ2-26λ+105=0，
解得λ=5或λ=21(舍)，
x2 y2
所以椭圆的方程为： + =1，
20 4
x2 y2
故答案为： + =1．
20 4
3415 (2024·浙江丽水·高三校考期中)我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫
x2 y2
做“相似椭圆”.若椭圆E: + =1，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方
16 12
程为 .
x2 y2
【答案】 + =1
4 3
16-12 1
【解析】∵椭圆E的离心率为e= = ，
16 2
x2 y2
且设椭圆F的标准方程为 + =1a>b>0
a2 b2
，则a= 16-12=2，
x2 y2
∴椭圆F的c=1,b2=a2-c2=3，即椭圆F的标准方程为 + =1.
4 3
x2 y2
故答案为： + =1.
4 3
x2 y2
3416 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
F，F，左、右顶点分别为M，N，过F 的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AFB的
1 2 2 1
2
周长为4 3，且直线AM与AN的斜率之积为- ，则椭圆C的标准方程为 .
3
x2 y2
【答案】 + =1
3 2
【解析】由△AF 1 B的周长为4 3,可知AF 1 +AF 2 +BF 1 +BF 2 =4a=4 3,解得a
= 3 ,
2 b2 2
由直线AM与AN的斜率之积为- ,可得- =- ⇒b2=2，
3 a2 3
x2 y2
所以椭圆C的标准方程为 + =1，
3 2
x2 y2
故答案为： + =1
3 2
3417 (2024·高二课时练习)已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(- 3，-2)和B(
-2 3，1)两点，则椭圆C的标准方程为 .
x2 y2
【答案】 + =1
15 5
【解析】设所求椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)将A和B的坐标代入
方程得：
1
m=
3 12 m m + + 4 n n = = 1 1 ，解得 1 15 ，
n=
5
第 页 共 页
2144 3427x2 y2
所求椭圆的标准方程为： + =1.
15 5
x2 y2
故答案为： + =1.
15 5
【解题方法总结】
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2,b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根
据条件列出a,b,c的方程组，解出a2,b2，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
x2 y2 x2 y2
②与椭圆 + =1共焦点的椭圆可设为 + =1(k>-m,k>-n,m≠n).
m n m+k n+k
x2 y2 x2 y2
③与椭圆 + =1(a>b>0)有相同离心率的椭圆，可设为 + =k(k >0，焦
a2 b2 a2 b2 1 1
x2 y2
点在x轴上)或 + =k (k >0，焦点在y轴上).
a2 b2 2 2
2 题型二：椭圆方程的充要条件
3418 (2024·全国·高三对口高考)若θ是任意实数，方程x2sinθ+y2cosθ=5表示的曲线不可
能是 ( )
A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线
【答案】B
2
【解析】对于A，当cosθ=sinθ= 时，由x2sinθ+y2cosθ=5得x2+y2=5 2，方程表
2
示圆，故A正确；
对于B，当θ是第一象限角时，cosθ>0,sinθ>0，x2sinθ+y2cosθ=5不会是抛物线方
程；
当θ是第二象限角时，cosθ<0,sinθ>0，x2sinθ+y2cosθ=5不会是抛物线方程；
当θ是第三象限角时，cosθ<0,sinθ<0，x2sinθ+y2cosθ=5不成立，不会是抛物线方
程；
当θ是第四象限角时，cosθ>0,sinθ<0，x2sinθ+y2cosθ=5不会是抛物线方程；
当θ的角的终边落在x轴正半轴上时，cosθ=1，sinθ=0，得y2=5，不是抛物线方程；
当θ的角的终边落在y轴正半轴上时，cosθ=0，sinθ=1，得x2=5，不是抛物线方程；
当θ的角的终边落在x轴负半轴上时，cosθ=-1，sinθ=0，得-y2=5不成立；
当θ的角的终边落在y轴负半轴上时，cosθ=0，sinθ=-1，得-x2=5不成立；故B错
误；
π x2 y2
对于C，当θ= 时，由x2sinθ+y2cosθ=5，得 + =1，方程表示焦点在y轴上
3 2 3 2
3
的椭圆，故C正确；
2π x2 y2
对于D，当θ= 时，由x2sinθ+y2cosθ=5，得 - =1，方程表示焦点在x轴上
3 2 3 2
3
的双曲线，故D正确；
故选：B.
3419 (2024·上海徐汇·位育中学校考三模)已知m∈R，则方程2-m x2+m+1 y2=1所表
第 页 共 页
2145 3427示的曲线为C，则以下命题中正确的是 ( )
1
A.当m∈ ,2
2
时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
B.当曲线C表示双曲线时，m的取值范围是2,+∞
C.当m=2时，曲线C表示一条直线
D.存在m∈R，使得曲线C为等轴双曲线
【答案】A
1
【解析】对于A，当m∈ ,2
2
3 3 1
时，0<2-m< ， 2，
即实数m的取值范围为-∞,-1 ∪2,+∞ ，B错误；
3
对于C，当m=2时，曲线C:3y2=1，即y=± ，
3
即曲线C表示两条直线，C错误；
2-m
对于D，若曲线C为等轴双曲线，则
m+1 <0
-2-m
，解集为∅，
=m+1
∴不存在m∈R，使得曲线C为等轴双曲线，D错误.
故选：A.
3420 (2024·全国·高三专题练习)已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0，其中A≥B
≥C≥D≥E≥F．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】因为方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F，
所以当A=B=1≥C=D=E=0≥F=-1时，方程为x2+y2-1=0，即x2+y2=1是
圆的方程，故方程可以是圆的方程；
当A=1≥B=C=D=0≥E=-1≥F=-2时，方程为x2-y-2=0，即y=x2-2是
抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；
x2
当A=2≥B=1≥C=D=E=0≥F=-1时，方程为2x2+y2-1=0，即y2+ =1
1
2
是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有AB<0,C=D=E=0,F<0，这与A≥B≥C≥D
≥E≥F矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；
所以真命题有3个.
故选：C.
3421 (2024·全国·高三专题练习)“00,b>0,a≠b,
显然“00,b>0,a≠b”既不充分也不必要条件，
故“00”是“曲线C是椭
4a 3a+2
圆”的 ( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
4a>0
【解析】若曲线C是椭圆，则有：3a+2>0
4a≠3a+2
解得：a>0，且a≠2
故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件
故选：C
y2
3423 (2024·全国·高三专题练习)设a为实数，则曲线C：x2- =1不可能是 ( )
1-a2
A.抛物线 B.双曲线 C.圆 D.椭圆
【答案】A
【解析】对A：因为曲线C的方程中x,y都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲
线C不可能是抛物线，故选项A正确；
对B：当1-a2>0时，曲线C为双曲线，故选项B错误；
对C：当1-a2=-1时，曲线C为圆，故选项C错误；
对D：当1-a2<0且1-a2≠-1时，曲线C为椭圆，故选项D错误；
故选：A.
x2 y2
3424 (2024·广西钦州·高三校考阶段练习)“10,
【解析】若方程表示椭圆，则有5-k>0,
k-1≠5-k,
因此10,n>0,m≠n；
m n
x2 y2
+ =1表示双曲线方程的充要条件为：mn<0；
m n
x2 y2
+ =1表示圆方程的充要条件为：m=n>0.
m n
3 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
x2 y2
3425 (2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习)已知点A，B是椭圆C: + =1上关于原点
9 4
对称的两点，F 1 ，F 2 分别是椭圆C的左、右焦点，若AF 1 =2，则BF 1 = ( )
A.1 B.2 C.4 D.5
【答案】C
【解析】因为|OA|=|OB|,|OF|=|OF|,
1 2
所以四边形AFBF 是平行四边形.
1 2
所以|BF|=|AF|.
1 2
由椭圆的定义得|AF|=2×3-|AF|=6-2=4.
2 1
所以BF 1 =4.
故选：C
x2 y2
3426 (2024·北京·高三强基计划)如图，过椭圆 + =1的右焦点F 作一条直线，交椭圆
4 3 2
于A，B两点，则△FAB的内切圆面积可能是 ( )
1
第 页 共 页
2148 3427A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】记△FAB的周长为l，面积为S，内切圆半径为r．易知l=8,01),F,F 为两个焦点，P为
a2 1 2
椭圆C上一点，若△PFF 的周长为4，则a= ( )
1 2
3 5
A.2 B.3 C. D.
2 4
【答案】D
【解析】设椭圆C的焦距为2c，则c2+1=a2，
3 5
△PFF 的周长为2a+2c=4，解得c= ,a= ，
1 2 4 4
故选：D
x2 y2
3428 (2024·河南·高三阶段练习)已知F,F 分别为椭圆C: + =1(a>2 3)的两个焦
1 2 a2 12
1
点，且C的离心率为 ,P为椭圆C上的一点，则△PFF 的周长为 ( )
2 1 2
A.6 B.9 C.12 D.15
【答案】C
1 a2-12 1
【解析】因为C的离心率为 ，且a>2 3，所以e2= = ，解得a=4，则c=
2 a2 4
a2-12=2，所以△PFF 的周长为2a+2c=12.
1 2
故选：C
第 页 共 页
2149 3427x2 y2
3429 (2024·全国·校联考模拟预测)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左顶点为A，上顶
a2 b2
点为B，左、右焦点分别为F，F，延长BF 交椭圆E于点P．若点A到直线BF 的距离为
1 2 2 2
16 2
，△PFF 的周长为16，则椭圆E的标准方程为 ( )
3 1 2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
25 16 36 32 49 48 100 64
【答案】B
【解析】由题意，得A(-a,0)，B(0,b)，F(c,0)，则直线BF 的方程为bx+cy-bc=0，
2 2
|-ab-bc| b 16 2
所以点A到直线BF 的距离d= = (a+c)= ①．
2 b2+c2 a 3
由△PF 1 F 2 的周长为16，得PF 1 +PF 2 +F 1 F 2 =2a+2c=16，即a+c=8②，
2 2
联立①②，解得b= a③．
3
1
因为b2=a2-c2，所以c= a④．
3
联立②④，解得a=6，c=2，所以b=4 2，
x2 y2
故椭圆E的标准方程为是 + =1.
36 32
故选：B．
x2 y2
3430 (2024·广东梅州·统考三模)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F，F，过点F
9 5 1 2 2
的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF 2 =4，则△AFF 的面积为 ( ) 1 2
A.2 3 B. 13 C.4 D. 15
【答案】D
x2 y2
【解析】椭圆C: 9 + 5 =1中，|F 1 F 2 |=2 9-5=4，由AF 2 =4及椭圆定义得AF 1 =
2，
1 因此△AFF 为等腰三角形，底边上的高h= |AF|2- |AF|
1 2 2 2 1
2 = 42-12= 15，
第 页 共 页
2150 34271
所以△AFF 的面积为S = |AF|⋅h= 15.
1 2 △AF1F2 2 1
故选：D
x2 y2
3431 (2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试)椭圆E: + =1(a>b>0)的两
4 3
焦点分别为F，F ，A是椭圆E上一点，当△FAF 的面积取得最大值时，∠FAF =
1 2 1 2 1 2
( )
π π π 2π
A. B. C. D.
6 2 3 3
【答案】C
【解析】c= 4-3=1，所以F 1 F 2 =2c=2，
1
所以△F 1 AF 2 = 2 ×2×y A =y A ，则当y A 最大时，△FAF 面积最大， 1 2
此时点A位于椭圆的上下端点，
1 3 π
则∠FAO= = ，因为∠FAO∈0,
1 3 3 1 2
π
，所以∠FAO= ，
1 6
π
所以∠FAF = .
1 2 3
故选：C.
x2 y2
3432 (2024·河南开封·统考三模)已知点P是椭圆 + =1上一点，椭圆的左、右焦点分
25 9
1
别为F、F，且cos∠FPF = ，则△PFF 的面积为 ( )
1 2 1 2 3 1 2
9 2
A.6 B.12 C. D.2 2
2
【答案】C
x2 y2
【解析】由椭圆 + =1，得a=5，b=3，c=4.
25 9
设PF 1 =m，PF 2 =n，
第 页 共 页
2151 3427∴m+n=10，在△PFF 中，由余弦定理可得：(2c)2=m2+n2-2mn⋅cos∠FPF =(m
1 2 1 2
1
+n)2-2mn-2mn⋅ ，
3
8 27
可得64=100- mn，得mn= ，
3 2
1 1 27 1
故S = mn⋅sin∠FPF = × × 1-
△F1PF2 2 1 2 2 2 3
2 9 2
= .
2
故选：C.
x2
3433 (2024·全国·高三专题练习)设F,F 为椭圆C: +y2=1的两个焦点，点P在C上，若
1 2 5
PF 1 ⋅PF 2 =0，则PF 1 ⋅PF 2 = ( )
A.1 B.2 C.4 D.5
【答案】B
【解析】方法一：因为PF ⋅PF =0，所以∠FPF =90°，
1 2 1 2
1
从而S △FP1F2 =b2tan45°=1= 2 ×PF 1 ⋅PF 2 ，所以PF 1 ⋅PF 2 =2．
故选：B.
方法二：
因为PF ⋅PF =0，所以∠FPF =90°，由椭圆方程可知，c2=5-1=4⇒c=2，
1 2 1 2
所以PF 1 2+PF 2 2=F 1 F 2 2=42=16，又PF 1 +PF 2 =2a=2 5，平方得：
PF 1 2+PF 2 2+2PF 1 PF 2 =16+2PF 1 PF 2 =20，所以PF 1 ⋅PF 2 =2．
故选：B.
x2 y2
3434 (2024·全国·高三专题练习)设O为坐标原点，F,F 为椭圆C: + =1的两个焦点，
1 2 9 6
3
点P在C上，cos∠FPF = ，则|OP|= ( )
1 2 5
13 30 14 35
A. B. C. D.
5 2 5 2
【答案】B
π ∠FPF
【解析】方法一：设∠FPF =2θ,0<θ< ，所以S =b2tan 1 2 =b2tanθ，
1 2 2 △PF1F2 2
cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 1
由cos∠FPF =cos2θ= = = ，解得：tanθ= ，
1 2 cos2θ+sin2θ 1+tan2θ 5 2
由椭圆方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3，
1
所以，S △PF1F2 = 2 ×F 1 F 2 ×y p
1
= ×2 3×y 2 p
1
=6× ，解得：y2=3， 2 p
3
即x2=9×1- p 6
9
= ，因此OP 2
9 30
= x2+y2= 3+ = ． p p 2 2
故选：B．
方法二：因为PF 1 +PF 2 =2a=6①，PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 ∠F 1 PF 2 =F 1 F 2 2，
即PF 1 2+PF 2
6
2- 5 PF 1 PF 2 =12②，联立①②，
解得：PF 1 PF 2
15
= 2 ,PF 1 2+PF 2 2=21，
1
而PO= PF+PF 2 1 2 ，所以OP
=PO
1
= PF+PF 2 1 2 ，
即PO
1 = PF+PF
2 1 2
1 = PF
2 1
2+2PF⋅PF+PF
1 2 2
2= 1 21+2× 3 × 15 = 30 ．
2 5 2 2
故选：B．
第 页 共 页
2152 3427方法三：因为PF 1 +PF 2 =2a=6①，PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 ∠F 1 PF 2 =F 1 F 2 2，
即PF 1 2+PF 2
6
2- 5 PF 1 PF 2 =12②，联立①②，解得：PF 1 2+PF 2 2=21，
由中线定理可知，2OP 2+F 1 F 2 2=2 PF 1 2+PF 2 2 =42，易知F 1 F 2 =2 3，解得：
OP
30
= ．
2
故选：B．
x2 y2
3435 (2024·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测)若椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
的离心率为
1
2
，两个焦点分别为F 1-c,0 ，F 2c,0 c>0 ，M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点P
PM
是△MFF 的内心，连接MP并延长交FF 于点Q，则
1 2 1 2
PQ
= ( )
1 1
A.2 B. C.4 D.
2 4
【答案】A
【解析】
如图，连接PF，PF，设P到x轴距离为d ，M到x轴距离为d ，
1 2 P M
MQ 则
PQ
d S = M = △MF1F2
d S P △PF1F2
1
设△PF 1 F 2 内切圆的半径为r，则S △PF1F2 = 2 F 1 F 2
1
r= ⋅2c⋅r=cr， 2
S =S +S +S
△MF1F2 △PF1F2 △MPF1 △MPF2
1
= 2 F 1 F 2
1
r+ 2 PF 1
1
r+ 2 PF 2 r
1
= 2 F 1 F 2
1
r+ 2 r PF 1 +PF 2
1 1
= ⋅2c⋅r+ r⋅2a=(c+a)r
2 2
MQ ∴
PQ
= d M = S △MF1F2 = (c+a)r = c+a
d S cr c P △PF1F2
不妨设PQ =cm，则MQ =(c+a)m(m>0)，
∴PM =MQ -PQ =am(m>0)，
x2 y2
因为椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
1
的离心率为 ，
2
PM
∴
PQ
am a 1
= = = =2，
cm c e
故选：A.
第 页 共 页
2153 3427x2 y2
3436 (2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为
25 9
F 1 ，F 2 ，直线y=kx与椭圆C交于A，B两点，若AB =F 1 F 2 ，则△ABF 的面积等于 1
( )
A.18 B.10 C.9 D.6
【答案】C
【解析】据题意，四边形AF 1 BF 2 是矩形，设AF 1 =m，AF 2 =n，
则有m+n=10，m2+n2=(2c)2=64，由此可得mn=18，
1
所以△AFF 的面积是 mn=9，
1 2 2
又△ABF 的面积与△AFF 的面积相等，所以△ABF 的面积等于9.
1 1 2 1
故选：C．
x2 y2
3437 (2024·贵州黔西·校考一模)设椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2 的左、右焦点分别为F，F， 1 2
2
离心率为 ．P是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为2，则a= ( )
2 1 2 1 2
A.1 B.2 C. 2 D.4
【答案】B
【解析】设PF 2 =m，PF 1 =n，由∠FPF =90°，△PFF 的面积为2， 1 2 1 2
m+n=2a
可得
4c2=m2+n2
，∴4c2=n+m
1
mn=2
2
2-2mn=4a2-8①
2 c 2
由离心率为 ，可得 = ，代入①式，可得a=2.
2 a 2
故选：B.
x2 y2
3438 (2024·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(0MN =2，
故点P的轨迹为以M,N为焦点的椭圆，
∴ c-a-b+
c- 3b
= AP+
NP
=AP
+4-MP
=AP
-MP +4，
则AP
-MP
≤AM =1，当且仅当点P为AM的延长线与椭圆的交点P 时等号成
1
立，
AP
-MP
≥-AM =-1，当且仅当点P为MA的延长线与椭圆的交点P 时等号成
2
立，
即AP
-MP ∈-1,1
，故 c-a-b+
c- 3b
=AP
-MP +4∈3,5 .
故选：D.
第 页 共 页
2160 3427x2 y2
3451 (2024·广东·高三校联考阶段练习)已知椭圆C: + =1的左焦点为F,P是C上一
16 7
点，M3,1 ，则PM +PF 的最大值为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.11
【答案】C
32 12
【解析】因为 + <1，所以M3,1
16 7
在椭圆C内部，
x2 y2
设椭圆C的右焦点为F，由椭圆C: + =1，得F3,0
16 7
，
由椭圆的定义可得PF +PF =2a=8，
所以PM +PF =PM +8-PF ≤8+MF =9，
当且仅当P是射线MF与椭圆的交点时取等号．
故选：C.
x2 y2
3452 (2024·全国·高三专题练习)已知点P为椭圆 + =1上任意一点，点M、N分别为
4 3
x-1 2+y2=1和x+1 2+y2=1上的点，则PM +PN 的最大值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】设圆(x-1)2+y2=1和圆(x+1)2+y2=1的圆心分别为A,B,半径分别为r,r .
1 2
x2 y2
则椭圆 + =1的焦点为A-1,0
4 3
,B1,0 .
又PA +r 1 ≥PM ,PB +r 2 ≥PN ，PA +PB =2a=4，
故PM +PN ≤PA +PB +r +r ， 1 2
当且仅当M,N分别在PA,PB的延长线上时取等号.
此时PM +PN 最大值为PA +PB +r +r =4+1+1=6. 1 2
故选：C.
x2
3453 (2024·全国·高三专题练习)已知F，F 分别为椭圆C: +y2=1的两个焦点，P为椭圆
1 2 4
上一点，则PF 1 -PF 2 的最大值为 ( )
A.2 B.2 3 C.4 D.4 3
【答案】B
【解析】椭圆上的点P满足PF 1 -PF 2 ≤F 1 F 2 ，
当点P为FF 的延长线与C的交点时，
2 1
PF 1 -PF 2 达到最大值，最大值为F 1 F 2 =2 3．
故选：B
第 页 共 页
2161 3427x2 y2
3454 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆 + =1外一点A(5，6)，l为椭圆的左准线，
25 16
P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则PA
3
+ d的最小值为 ( )
5
A.8 B.10 C.12 D.14
【答案】B
【解析】如图，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为F(-3，0)，根据圆锥曲线的统一定义
PF
有：
3
=e= ，即PF
d 5
3
= d，所以PA
5
3
+ d=PA
5
+PF ，可知当P、F、A三点共
线且P在线段AF上时，PA +PF 最小，最小值AF = (5+3)2+62=10．故PA +
3
d的最小值为10．
5
故选：B．
x2 y2
3455 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1的右焦点为F，P为椭圆C上一动
4 3
点，定点A(2,4)，则|PA|-|PF|的最小值为 ( )
A.1 B.-1 C. 17 D.- 17
【答案】A
【解析】设椭圆的左焦点为F，则|PF|+PF =4，可得|PF|=4-PF ，
所以|PA|-|PF|=|PA|+PF -4，
如图所示，当且仅当P，A，F三点共线(点P在线段AF上)时，
此时|PA|+PF 取得最小值，
x2 y2
又由椭圆C: + =1，可得F(-1,0)且A(2,4)，所以AF
4 3
= (2+1)2+16=5，所以
|PA|-|PF|的最小值为1．
故选：A．
【解题方法总结】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的
过程中，如果发现动点P在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃
第 页 共 页
2162 3427而解．
6 题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用椭圆定义去转换
3456 (2024·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试)如图，某同学用
两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处
钻一个小孔，可以容纳笔尖，A,B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的
长度不变，当A,B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知PA =2AB ，
且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为 ( )
1 2 2 5 5
A. B. C. D.
2 3 5 3
【答案】D
【解析】由题意知PA与PB的长度不变，已知PA =2AB ，
设AB =x，则PA =2x，
当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长b=2x，
当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长a=3x，
c 9x2-4x2 5
故离心率为 = = .
a 3x 3
故选：D.
x2 y2
3457 (2024·全国·高三专题练习)设椭圆E: + =1a>b>0
a2 b2
的一个焦点为F2,0 ，点
A-2,1 为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得PA +PF =8，则椭圆E的离
心率的取值范围是 ( )
4 4
A. ,
9 7
4 4
B. ,
9 7
2 2
C. ,
9 7
2 2
D. ,
9 7
【答案】A
【解析】记椭圆的左焦点为F 1 ，连接AF 1 ,PF 1 ，则F 1-2,0 ,AF 1 =1.∵PF 1 ≤PA +
AF 1 ,∴2a=PF 1 +PF ≤AF 1 +PA +PF
9
=1+8=9，即a≤ 2 .∵PF 1 ≥PA -
AF 1 ,∴2a=PF +PF 1 ≥PF +PA -AF 1
7 2
=8-1=7，∴a≥ .∵c=2,∴ ≤e 2 9
2 2 4 4 4
≤ ,∴ ≤e≤ ,所以椭圆E的圆心率的取值范围是 ,
7 9 7 9 7
2
.
故选：A.
3458 (2024·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试)已知椭圆C的左右焦点分别为F，
1
F，P，Q为C上两点，2PF =3FQ，若PF ⊥PF，则C的离心率为 ( )
2 2 2 1 2
第 页 共 页
2163 34273 4 13 17
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】D
【解析】设PF 2
=3m，则QF 2
=2m，PF 1
=2a-3m，QF 1 =2a-2m.PQ =5m
在△PQF 1 中得：2a-3m 2+25m2=2a-2m
2
2，即m= a. 15
因此PF
2
2
= a，PF
5 1
8
= a，FF
5 2 1
=2c，
64 4 17
在△PFF 中得： a2+ a2=4c2，故17a2=25c2，所以e= .
1 2 25 25 5
故选：D
3459 (2024·湖北·高三孝感高中校联考开学考试)如图，已知圆柱底面半径为2，高为3，
ABCD是轴截面，E,F分别是母线AB,CD上的动点(含端点)，过EF与轴截面ABCD
垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆，当此交线是椭圆时，其离心率的取值范围是
( )
3
A. 0,
5
4
B. 0,
5
3
C. ,1
5
4
D. ,1
5
【答案】A
【解析】当EF与AD接近平行时，交线接近是一个圆，离心率接近0；
当EF=AC时，交线是一个长轴最大的椭圆，
此时长轴长为EF =AC
5
=2a=5，解得a= ，
2
3
又短半轴长为b=2，则焦距的一半为c= a2-b2= ，
2
3
所以离心率e= ，
5
第 页 共 页
2164 34273
所以离心率的取值范围是0,
5
.
故选：A
x2 y2
3460 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)已知F，F 分别是椭圆C: + =1(a>b>0)的
1 2 a2 b2
左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且MF =2FN，MF ⋅MN=0，则椭圆C的离心率为
1 1 2
( )
3 2 5 7
A. B. C. D.
4 3 3 4
【答案】C
【解析】连接NF 2 ，设NF 1 =n，则MF 1 =2n，MF 2 =2a-2n，NF 2 =2a-n，
在Rt△MNF 2 中MN 2+MF 2 2=NF 2 2，即3n 2+2a-2n 2=2a-n 2，
a
∴9n2+4a2-8an+4n2=4a2-4an+n2，∴12n2=4an，n= ，
3
∴MF 1
2a
= 3 ，MF 2
4a
= ， 3
在Rt△MF 1 F 2 中，MF 1 2+MF 2 2=F 1 F 2
4a2 16a2
2，即4c2= + ， 9 9
20 5
∴36c2=20a2，e2= = ，又∵e∈0,1
36 9
5
，∴e= .
3
故选：C.
x2 y2
3461 (2024·重庆巴南·统考一模)椭圆C: + =1(a>b>0)的左右焦点为F，F，点P为
a2 b2 1 2
椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足FM=MP，2ON=OP+OF，若四边形
1 2
MONP的周长等于4b，则椭圆C的离心率为e= ( )
1 2 3 6
A. B. C. D.
2 2 2 3
【答案】C
【解析】因为FM=MP，所以点M为线段PF 的中点，
1 1
因为2ON=OP+OF，所以ON-OP=OF -ON，
2 2
即PN=NF，所以点N为线段PF 的中点，
2 2
又因点O为线段FF 的中点，
1 2
所以OM⎳PF 2 且OM
1
= 2 PF 2 ，ON⎳PF 1 且ON
1
= 2 PF 1 ，
所以四边形MONP的周长为PF 1 +PF 2 ，
又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以PF 1 +PF 2 =2a，
b 1
所以2a=4b，即 = ，
a 2
第 页 共 页
2165 3427c b2 3
故椭圆C的离心率为e= = 1- = .
a a2 2
故选：C.
x2 y2
3462 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模)已知M，N是椭圆 + =
a2 b2
1a>b>0
上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M,N的点，且PM⋅PN的最大
1
值是 a2，则椭圆C的离心率是 ( )
2
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 2 3
【答案】C
x2 y2
【解析】由题意知M，N是椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
上关于原点O对称的两点，
故PM⋅PN=(PO+OM)⋅(PO+ON)=(PO+OM)⋅(PO-OM)
=PO2-OM2,
由椭圆的范围可知PO,OM∈[b,a]，
1 c 2
故PM⋅PN的最大值为a2-b2，则a2-b2=c2= a2,∴ = ，
2 a 2
2
即椭圆C的离心率是 ，
2
故选：C
方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式
x2 y2
3463 (2024·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习)椭圆τ: + =1(a>b>0)的左、右焦
a2 b2
3
点分别为F 1 ,F 2 ，焦距为2c，若直线y= 3 x+c 与椭圆τ的一个交点为M在x轴上方，
3
满足∠FMF = ∠MFF ，则该椭圆的离心率为 ( )
1 2 2 2 1
5-1 3-1
A. 3-1 B. C. 5-1 D.
2 2
【答案】A
3
【解析】由直线y= x+c 3 可知：过定点F 1-c,0
3
，斜率k= ，即∠MFF =30°， 3 1 2
3
则 ∠F 1 MF 2 = 2 ∠MF 2 F 1 ，解得 ∠F 1 MF 2 =90° ，
∠MFF=60°
∠FMF+∠MFF=150° 2 1
1 2 2 1
又因为F 1 F 2 =2c，可得MF 2 =c,MF 1 = 3c，
结合椭圆的定义可得2a=MF 1 +MF 2
c 2
= 3c+c，整理得e= = = 3-1. a 3+1
故选：A.
第 页 共 页
2166 3427x2 y2
3464 (2024·广东深圳·高三校考阶段练习)已知椭圆E： + =1a>b>0)的右焦点为
a2 b2
1
F，左顶点为A ，若E上的点P满足PF ⊥x轴，tan∠PAF = ，则E的离心率为
2 1 2 1 2 2
( )
1 2 1 1
A. B. C. D.
2 5 4 5
【答案】A
x=c
b2 b2
【解析】设F
2
(c,0)，则直线PF
2
：x=c，由x2
+
y2
=1
，得|y|=
a
，即|PF
2
|=
a
，
a2 b2
而A 1 (-a,0)，A 1 F 2 =a+c，由tan∠PAF = 1 ，得 PF 2 1 2 2 A 1 F 2 1 2b2 = ，即a+c= ， 2 a
2(a2-c2)
有a+c= ，又a>c，因此a=2c，
a
c 1
所以E的离心率为e= = .
a 2
故选：A
3465 (2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习)已知O为坐标原点，Px 1 ,y 1 是椭
x2 y2
圆E: + =1a>b>0 a2 b2 上一点x 1 >0 ，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于D，
G两点，DF⋅FG=0，DF =4FG ，则椭圆E的离心率为 ( )
5 17 17 10
A. B. C. D.
3 5 6 5
【答案】A
【解析】设椭圆的左焦点F，连接PF，FD，DF，FG，
由椭圆的对称性可知四边形PFDF为平行四边形，
第 页 共 页
2167 3427
因为DF⋅FG=0,所以DF⊥FG，所以可得四边形PFDF为矩形，
因为DF =4FG ，所以|PF|=4|FG|，
设|FG|=r，则|PF|=4r，由椭圆的定义可知|PF|=2a-|PF|=2a-4r，
|FG|=2a-|FG|=2a-r，|PG|=|PF|+|FG|=2a-4r+r=2a-3r，
在△PGF中，|FG|2=|PF|2+|PG|2，即(2a-r)2=(4r)2+(2a-3r)2，整理可得：3r2=
ar，
a
所以可得r= ，
3
5
在△PFF中，|FF|2=|PF|2+|PF|2，即4c2=16r2+(2a-4r)2⇒ a2=c2，
9
c c2 5
所以离心率e= = = ，
a a2 3
故选：A
x2 y2
3466 (2024·河南开封·校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)，A，B分别是C的
a2 b2
左顶点和上顶点，F是C的左焦点，若tan∠FAB=2tan∠FBA，则C的离心率为 ( )
1 3 3- 5 5-1
A. B. C. D.
2 2 2 2
【答案】C
【解析】由题意作出图形，如下图所示：
可知：OA =a，OB =b，OF =c，
b
在Rt△ABO中可得：tan∠BAO=tan∠FAB= ，
a
b
在Rt△BFO中可得：tan∠BFO= ，
c
b b
-
tan∠BFO-tan∠FAB c a
所以tan∠FBA=tan(∠BFO-∠FAB)= =
1+tan∠BFO⋅tan∠FAB b b
1+ ⋅
c a
b(a-c)
化简得：tan∠FBA=
ac+b2
b b(a-c)
因为tan∠FAB=2tan∠FBA，所以 =2⋅ ①，
a ac+b2
第 页 共 页
2168 3427又b2=a2-c2，所以①整理可得：c2+a2-3ac=0，
3± 5
即e2-3e+1=0，解得e= ，
2
3- 5
又e∈(0,1)，所以e= ，
2
故选：C.
x2 y2
3467 (2024·山东泰安·统考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
是F,F，斜率为1的直线经过左焦点F 且交C于A,B两点(点A在第一象限)，设△AFF
1 2 1 1 2
r
的内切圆半径为r,△BFF 的内切圆半径为r ，若 1 =2，则椭圆的离心率的值为 ( )
1 1 2 2 r
2
1 1 3 2
A. B. C. D.
3 2 3 3
【答案】D
【解析】如图所示，由椭圆定义可得AF 1 +AF 2 =2a，BF 1 +BF 2 =2a，
r
设△AFF 的面积为S ，△BFF 的面积为S ，因为 1 =2，
1 2 1 1 2 2 r
2
1
2a+2c 2
所以
r 1
1
2a+2c 2
1
×2c⋅y S 2 A
= 1 =
S 1
r 2 2 2 ×2c⋅-y B
r y
⇒ 1 =- A =2，即y =-2y ①，
r y A B
2 B
设直线l:x=y-c，则联立椭圆方程与直线，
x=y-c
可得
b2x2+a2y2=a2b2
⇒(a2+b2)y2-2b2cy-b4=0，
2b2c -b4
所以y +y = ②，y ⋅y = ③，
A B a2+b2 A B a2+b2
(-2b2c)2 b4 2
联立①②③得，2× = ，整理得2a2=9c2，所以e= ．
(a2+b2)2 a2+b2 3
故选：D
x2 y2
3468 (2024·全国·模拟预测)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，B
a2 b2
12
为椭圆上一点，AF⋅BF=0，cos∠BAF= ，则椭圆的离心率为 ( )
13
7 3 1 7
A. B. C. D.
13 4 3 12
【答案】D
【解析】依题意BF
b2
= ，AF
a
12 5
=a+c，因为cos∠BAF= ，所以tan∠BAF= ，
13 12
b2
所以
aa+c
5 a2-c2
= ，因为a2=b2+c2，所以
12 aa+c
5
= ，
12
第 页 共 页
2169 3427c
所以7a2-12c2-5ac=0，因为e= ∈0,1
a
，
7
所以12e2+5e-7=0，解得e= .
12
故选：D.
x2 y2
3469 (2024·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测)已知椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
，F为其左
焦点，直线y=kxk>0 与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB．若∠ABF=30°，则椭圆
C的离心率为 ( )
7 6 7 6
A. B. C. D.
3 3 6 6
【答案】A
【解析】设椭圆的右焦点为F，连接AF，BF，故四边形AFBF 为平行四边形，
2 2 2 2
设AF =m，∠ABF=30°，则FB =2m，BF 2 =AF =m，
BF +BF 2
2
=2m+m=2a，m= a， 3
△BFF 2 中，2c 4 2= a 3 2 2 + a 3 2 4 2 -2× a× a×cos120°， 3 3
28a2 7 c 7
整理得到4c2= ，即c= a，故e= = .
9 3 a 3
故选：A
θ
方向3：利用最大顶角θ满足sin ≤e<1
2
3470 (2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知F、F 是椭圆的两个焦点，满足MF ⋅
1 2 1
MF =0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( )
2
2 A. 0,
2
1 B. 0,
2
C. 0,1 2 D. ,1
2
【答案】A
【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a,b,c，
∵MF ⋅MF =0⇒MF ⊥MF，
1 2 1 2
∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆，
又M点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即cb>0 的左、右焦点，若椭圆
外存在点P使得PF ⋅PF =0，则椭圆的离心率的取值范围 ．
1 2
2
【答案】 ,1
2
【解析】设点P(x,y)，易知F(-c,0)，F(c,0)，则PF ⋅PF =(-c-x,-y)⋅(c-x,-y)=
1 2 1 2
x2+y2-c2=0，
x2 y2
故点P的轨迹为圆x2+y2=c2，由题意可知，圆x2+y2=c2与椭圆 + =1(a>b>
a2 b2
0)相交，
c 2 2
由图可知b ，又因为0b>0)的左、右
a2 b2
2
焦点分别为F，F，若椭圆上存在一点P使得∠FPF = π，则该椭圆离心率的取值范围
1 2 1 2 3
是 ．
【答案】 3 ,1
2
【解析】由椭圆的定义可知：PF +PF =2a，
1 2
FP2+FP2-FF2
在△PFF 中，由余弦定理得：cos∠FPF = 1 2 1 2 =
1 2 1 2 2FP⋅FP
1 2
F 1 P+F 2 P 2-2FP⋅FP-FF2 4b2-2FP⋅FP 1 1 2 1 2 = 1 2 =- ，
2FP⋅FP 2FP⋅FP 2
1 2 1 2
所以FP⋅FP=4b2，
1 2
又FP⋅FP≤ F 1 P+F 2 P
1 2
2 =a2，即4b2≤a2，当且仅当FP=FP时等号成立，
4 1 2
故4a2-4c2≤a2，
所以3a2≤4c2，e2≥ 3 ，解得：e∈ 3 ,1
4 2
.
故答案为： 3 ,1
2
方向4：坐标法
x2 y2
3474 (2024·云南·校联考模拟预测)已知椭圆E： + =1a>b>0
a2 b2
的左、右焦点分别为
F 1 ，F 2 (如图)，过F 2 的直线交E于P，Q两点，且PF 1 ⊥x轴，PF 2 =9F 2 Q ，则E的离心率
为 ( )
6 1 3 3
A. B. C. D.
3 2 3 2
【答案】A
【解析】设椭圆E的半焦距为c>0,Qx 0 ,y 0 ，
b2
由题意可得：P-c, a ,F 2c,0
b2
，则PF =2c,- 2 a
,F 2 Q=x 0 -c,y 0 ，
2c=9x 0 -c
因为PF =9FQ，则
2 2
11
x = c 0 9
-
b2
=9y
，解得
b2
，
a 0 y =-
0 9a
11 b2
即Q c,-
9 9a
，且点Q在椭圆E上，
第 页 共 页
2172 3427121
b4
c2
81 81a2 121 1
则 + =1，整理得 e2+ 1-e2
a2 b2 81 81
2 6
=1，解得e2= ，即e= .
3 3
故选：A.
x2 y2
3475 (2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的
a2 b2
左焦点为F，离心率为e．倾斜角为120°的直线与C交于A,B两点，并且满足
AB
AF -BF
1
= ，则C的离心率为 ( )
e2
1 3 3 6
A. B. C. D.
2 3 2 3
【答案】A
【解析】设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，则AF = x 1 +c
x2 y2
2+y2，由 1 + 1 =1(a>b>0)， 1 a2 b2
消去y 1 ，得x 1 +c 2+y2 1 =x 1 +c
b2x2 (a2-b2)x2
2+b2- 1 = 1 +2cx +c2+b2=e2x2+ a2 a2 1 1
2cx +a2=(a+ex)2，
1 1
注意到x 1 ≤a，则a+ex 1 >0.于是AF = x 1 +c 2+y2=a+ex ， 1 1
同理，BF = x 2 +c 2+y2 2 =a+ex 2 . 因此AF -BF =ex 1 -x 2 .
∵AB的倾斜角为120°，∴直线的斜率k=- 3，
根据弦长公式，可得AB = 1+k2 x 1 -x 2 =2x 1 -x 2 .
AB
由
AF -BF
2
= >0，可得AF e >BF ，故x >x . 1 2
AB ∵
AF -BF
= 2x 1 -x 2
ex 1 -x 2
= 2x 1 -x 2
ex 1 -x 2
2 1 1 = = ,∴e= ．
e e2 2
故选：A
y2 x2
3476 (2024·广东佛山·校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的下焦点为F，右顶
a2 b2
点为A，直线AF交椭圆C于另一点B，且AF=2FB，则椭圆C的离心率是 ( )
2 3
A. 3-1 B. C. D. 2-1
2 3
【答案】C
b 3 b 3
【解析】由AF=2FB得x =- ,y =- c，所以B- ,- c
B 2 B 2 2 2
，
b 3
把B- ,- c
2 2
b
-
2
代入椭圆C得
2 3
- c
2
+
b2
2
c 3
=1，化简得 = ，
a2 a 3
3
则椭圆C的离心率为 .
3
故选：C.
x2 y2
3477 (2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)设M是椭圆C: + =1(a>b>0)
a2 b2
的上顶点，P是C上的一个动点．当P运动到下顶点时，|PM|取得最大值，则C的离心
率的取值范围是 ( )
2 A. ,1
2
2 B. 0,
2
1 C. ,1
2
1 D. 0,
2
第 页 共 页
2173 3427【答案】B
【解析】设Px 0 ,y 0 ，M0,b
x2 y2
，因为 0 + 0 =1，a2=b2+c2， a2 b2
所以PM 2=x2 0 +y 0 -b y2 2=a21- 0 b2 +y 0 -b c2 b3 2=- y + b2 0 c2 2 b4 + +a2+b2，-b≤ c2
y ≤b，
0
由题意知当y 0 =-b时，PM
b3 1
2取得最大值，所以- ≤-b，可得a2≥2c2，即e2< ，则0 c2 2
2
b>0)的左
a2 b2
π
焦点为F，过左焦点F 作倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且AF =3FB，则椭圆
1 1 6 1 1
C的离心率为 ( )
1 2 3 2 2
A. B. C. D.
2 3 3 3
【答案】C
【解析】设F 1-c,0 ，Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2
π
，过点F 所作直线的倾斜角为 ，所以该直线斜 1 6
3
率为 ，
3
x2 y2
+ =1
所以直线方程可写为x= 3y-c，联立方程a2 b2 ，
x= 3y-c
可得a2+3b2 y2-2 3b2cy-b4=0，Δ=2 3b2c 2+4b4 a2+3b2 >0，
2 3b2c b4
根据韦达定理：y +y = ，yy =- ，
1 2 a2+3b2 1 2 a2+3b2
因为AF 1 =3F 1 B，即-c-x 1 ,-y 1 =3x 2 +c,y 2 ，所以y =-3y ， 1 2
所以 y 1 + y 2 = y 1 +y 2
y y
2 1
2 3b2c
2 a2+3b2 -2=
yy
1 2
2
1 -2=-3- ，
b4 3
-
a2+3b2
即
a2
3
+
c
3
2
b2
=
3
1 ，所以a2+3b2=9c2，联立 a
a
2
2
+
=
3
b2
b
+
2=
c2
9c2 ，
1 3
可得a2=3c2，e2= ⇒e= .
3 3
故选：C
x2 y2
3479 (2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆 + =1的右焦点为F，过右
a2 b2 2
π
焦点作倾斜角为 的直线交椭圆于G,H两点，且GF =2FH，则椭圆的离心率为
3 2 2
( )
1 2 2 3
A. B. C. D.
2 2 3 2
【答案】C
【解析】设F 2c,0 ，Gx 1 ,y 1 ，Hx 2 ,y 2
π
，过点F 做倾斜角为 的直线斜率k= 3， 2 3
第 页 共 页
2174 3427直线方程为y= 3x-c
x2 y2
+ =1
，联立方程 a2 b2
y= 3x-c
，
1
可得a2+ b2
3
2 3
y2+ b2cy-b4=0，
3
2 3b2c 3b4
根据韦达定理：y +y =- ，yy =- ，
1 2 3a2+b2 1 2 3a2+b2
因为GF 2 =2F 2 H，即c-x 1 ,-y 1 =2x 2 -c,y 2 ，所以y =-2y ， 1 2
所以 y 1 + y 2 = y 1 +y 2
y y
2 1
2 3b2c
-
2 3a2+b2 -2=
yy
1 2
2
1 -2=-2- ，
3b4 2
-
3a2+b2
即
3a
4
2
c
+
2
b2
=
2
1 ，所以3a2+b2=8c2，联立 3
a
a
2=
2+
b2
b
+
2=
c2
8c2 ，
4 2
可得4a2=9c2，e2= ⇒e= .
9 3
故选：C.
x2 y2
3480 (2024·湖南·高三校联考阶段练习)已知椭圆C: + =1(0b>0 的左、右焦点，A是C的上顶点，点P在过A且斜率为2 3的直线上，
△PFF 为等腰三角形，∠PFF =120°，则C的离心率为 ( )
1 2 1 2
10 7 3 1
A. B. C. D.
10 14 9 4
【答案】B
【解析】由题意可知：A0,b ，F 1-c,0 ，F 2c,0 ，直线AP的方程为：y=2 3x+b，
由∠PF 1 F 2 =120°，点P在第三象限，PF 1 =F 1 F 2 =2c，则P-2c,- 3c ，
代入直线AP方程中得- 3c=2 3⋅-2c +b整理得b=3 3c，
c 7
则a= b2+c2=2 7c，∴椭圆的离心率e= = .
a 14
故选：B.
x2 y2
3482 (2024·全国·高三对口高考)在平面直角坐标系中，椭圆 + =1(a>b>0)的焦距
a2 b2
a2
为2c，以原点O为圆心，a为半径作圆O，过点 ,0
c
作圆O的两切线互相垂直，则该椭
圆的离心率为 ( )
1 1 3 2
A. B. C. D.
2 3 3 2
【答案】D
a2
【解析】由题意， ,0
c
在圆O外，两条切线的斜率必存在，
a2
令一条切线为y=kx-
c
1 a2
，另一条切线为y=- x-
k c
，
|k|a2 a2 |k| 1
所以 =a， =a，则 =e= ，可得k=±1，
c 1+k2 c|k| 1+k2 1+k2 |k| 1+k2
1 2
所以e= = .
2 2
故选：D
x2
3483 (2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试)已知F,F 分别是椭圆C:
1 2 a2
y2
+ =1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF 与x轴垂直，直线MF 与C的另
b2 2 1
一个交点为N，若MF =3FN，则C的离心率为 ( )
1 1
3 1 3 2 2
A. B. C. D.
3 3 2 3
第 页 共 页
2176 3427【答案】A
【解析】
不妨设M在第一象限，由题意，M的横坐标为c，
c2 y2 b2 b2
令 + =1，解得y= ，即Mc,
a2 b2 a a
.
b2
设N(x,y)，又F(-c,0)，FN=(x+c,y)，MF =-2c,-
1 1 1 a
，
5c
-2c=3(x+c) x=- 3
由MF
1
=3F
1
N可得：
-
b2
=3y
，解得
b2
，
a y=-
3a
25c2 b2 25c2 a2-c2
又N(x,y)在椭圆上，即 + =1= + ，
9a2 9a2 9a2 9a2
24e2 8 3
整理得 = ，解得e= .
9 9 3
故选：A
方向5：找几何关系，利用余弦定理
x2 y2
3484 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
的右焦点为F，过坐标原
点O的直线l与椭圆C交于P,Q两点，点P位于第一象限，直线PF与椭圆C另交于点
2 1
A，且PF= FA，若cos∠AFQ= ，FQ
3 3
=2FA ，则椭圆C的离心率为 ( )
3 2 3 5
A. B. C. D.
4 2 3 4
【答案】B
【解析】如图，设椭圆C的左焦点为F，连接PF,QF，所以四边形PFQF为平行四边
形．
设PF =m，则PF =2a-m=QF ．
2
因为PF= FA，所以FA
3
3
= m，
2
又因为QF =2FA
a
，所以2a-m=3m，所以m= ．
2
在△PFF中，PF
3
= a,PF
2
a
= ,FF
2
1
=2c,cos∠FPF=cos∠AFQ= ，
3
由余弦定理得FF 2=PF 2+PF 2-2PF PF cos∠FPF，
9 1 3a a 1 2
所以4c2= a2+ a2-2× × × ，所以e= ．
4 4 2 2 3 2
故选：B.
第 页 共 页
2177 3427x2
3485 (2024·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习)设点F、F 分别为椭圆C： +
1 2 a2
y2
=1a>b>0 b2
的左右焦点，点M，N在椭圆C上，若2MF =3FN，MF2=MN⋅MF， 1 1 2 2
则椭圆C的离心率为 ( )
5 3 3 1
A. B. C. D.
5 3 5 5
【答案】A
【解析】
由题意可知2MF
1
=3FN
1
，MF
2
2=MN
⋅MF
2
⋅cosM，
设MF
1
=3x，
则FN
1
=2x,MN
=5x,MF
2
=2a-2x,NF
2
MF
2
=2a-3x,
MN
=cosM，
则∠MF 2 N=90°,MF 2 2+NF 2 2=MN 2⇒2a-3x 2+2a-2x 2=25x2⇒a=3x，
3x a2+a2-4c2 1 5
∴在△MFF 中，由余弦定理得cosM= = ⇒e2= ,∴e= .
1 2 5x 2a2 5 5
故选：A
x2 y2
3486 (2024·湖南衡阳·校联考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分
a2 b2
别为F 1 、F 2 ，过F 1 作直线l与椭圆相交于M、N两点，∠MF 2 N=90°，且4F 2 N =3F 2 M ，则
椭圆的离心率为 ( )
1 1 3 5
A. B. C. D.
3 2 3 5
【答案】D
【解析】如图所示，设F 1 F 2 =2c，∵4F 2 N =3F 2 M ，设F 2 N =3t，则F 2 M =4t，
在Rt△F 2 MN中，MN = NF 2 2+MF 2 2=5t，
由椭圆定义可知F 1 N =2a-3t，F 1 M =2a-4t，
F 1 N +F 1 M =MN =4a-7t=5t，解得a=3t，
第 页 共 页
2178 3427所以F 1 N =2a-3t=3t=F 2 N ，F 1 M =2a-4t=2t，
c
在△FNF 中，可得cos∠NFF = ，
1 2 1 2 3t
c2-3t2
在△FMF 中，由余弦定理可得cos∠MFF = ，
1 2 1 2 2ct
∵∠NFF +∠MFF =π，
1 2 1 2
c c2-3t2
∴cos∠NFF +cos∠MFF =0，即 + =0，
1 2 1 2 3t 2ct
3 5t c 5
解得c= ，所以椭圆离心率e= = .
5 a 5
故选：D.
x2 y2
3487 (2024·河南·校联考模拟预测)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2 的左焦点为F，若椭圆 1
3
上存在点P，使得线段PF 1 与直线y=- 3 x垂直垂足为Q，若PF 1
3
= 2 F 1 Q ，则椭圆C
的离心率为 ( )
4 3 3 2 2
A. B. C. D.
5 5 4 4
【答案】A
3
【解析】设C的右焦点为F，线段PF 与直线y=- x垂直，
2 1 3
π
所以PF 的斜率为 3，所以∠PFF = ，
1 1 2 3
设F 1 Q =t，则PF 1
3
= 2 F 1 Q
3
= 2 t,F 1 O =2t，故2c=F 1 F 2 =4t，
在△PFF 中，由余弦定理得，PF|2= 1 2 2 PF 1 |2+|F 1 F 2 2 -2PF 1 F 1 F 2 π cos ， 3
3 所以|PF|2= t
2 2
2 +16t2-2× 3 t×4t× 1 = 49 t2
2 2 4
所以PF 2
7
= t， 2
所以2a=PF 1 +PF 2
3 7
= t+ t=5t， 2 2
第 页 共 页
2179 3427又因为2c=F 1 F 2 =4t，
2c 4
所以椭圆C的离心率为e= = .
2a 5
故选:A．
x2 y2
3488 (2024·江西南昌·校联考二模)已知椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
的左、右焦点分别为
F 1 ，F 2 ，直线l经过点F 1 交C于A，B两点，点M在C上，AM∥F 1 F 2 ，AB =MF 1 ，
∠FMF =60°，则C的离心率为 ( )
1 2
1 3 2 3
A. B. C. D.
2 3 2 2
【答案】B
【解析】分别取A，B关于x轴的对称点A，B，连接AF，AF，BF，BF，
1 2 1 2
由AM∥F 1 F 2 以及椭圆的对称性及几何知识可得AB =AB ，且A,M关于y轴对称，
则A,M关于原点对称，则四边形AFMF 是平行四边形，
2 1
所以∠F 1 AF 2 =∠F 1 MF 2 =60°，MF 1 =AF 2 ，
又AB =MF 1 ，所以AF 2 =AB ，所以△ABF 是等边三角形， 2
又△ABF 2 的周长为AB +AF 2 +BF 2 =4a，
所以AF 2
4a
= 3 ，AF 1
4a 2a
=2a- = ， 3 3
△AF 1 F 2 中，由余弦定理AF 1 2+AF 2 2-2AF 1 AF 2 cos∠F 1 AF 2 =F 1 F 2 2，
4 16 2a 4a π
得 a2+ a2-2⋅ ⋅ cos =4c2，整理得a2=3c2，
9 9 3 3 3
c 3
所以e= = ，
a 3
故选：B.
x2 y2
3489 (2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)已知F，F 分别是椭圆C： + =1(a
1 2 a2 b2
>b>0)的左，右焦点，P是C上的一点，若3PF 1 =2F 1 F 2 ，且∠PFF =60°，则C的离心 1 2
率为 ( )
3- 5
A. B.2- 3 C. 7-2 D.3-2 2
2
【答案】C
【解析】在△PFF 中，∠PFF =60°，
2 1 1 2
设F 1-c,0 ，由题意知PF 1
4c
= 3 ,F 1 F 2 =2c，
由余弦定理得PF 2
16 4 1 28
2=4c2+ 9 c2-2×2c× 3 c× 2 = 9 c2,∴PF 2
2 7
= c， 3
由椭圆定义知2a=PF 1 +PF 2
4+2 7 3
= c，则离心率e= = 7-2. 3 2+ 7
故选:C.
第 页 共 页
2180 3427方向6：找几何关系，利用正弦定理
x2 y2
3490 (2024·全国·高三专题练习)已知F 1 ，F 2 分别为椭圆E: a2 + b2 =1a>b>0 的两个焦
点，P是椭圆E上的点，PF ⊥PF，且sin∠PFF =3sin∠PFF，则椭圆E的离心率为
1 2 2 1 1 2
( )
10 10 5 5
A. B. C. D.
2 4 2 4
【答案】B
【解析】由题意及正弦定理得：PF 1 =3PF 2 ，
令PF 1 =3PF 2
5
=3n，则3n+n=2a，9n2+n2=4c2，可得 a2=4c2， 2
5
c 2 10
所以椭圆的离心率为：e= = = .
a 4 4
故选：B
x2 y2
3491 (2024·全国·高三专题练习(理))已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
sin∠MFF sin∠MFF
F，F，且|FF|=2c，若椭圆上存在点M使得△MFF 中， 1 2 = 2 1，则
1 2 1 2 1 2 a c
该椭圆离心率的取值范围为 ( )
2
A.(0， 2-1) B. ,1
2
2
C. 0,
2
D.( 2-1,1)
【答案】D
【解析】由正弦定理可得： MF 1 = MF 2
sin∠MFF
2 1
,结合题意可得 MF 1
sin∠MFF
1 2
= MF 2
c
，所
a
以 MF 1 = MF 2 c = MF 1 a +MF 2 a+c ，根据椭圆的定义可得MF 1 +MF 2 =2a，所以MF 1
2ac
= a+c ，MF 2
2a2
= a+c ，易知MF 2 >MF 1 .
因为M为椭圆上一点，所以a-c<MF 2
2a2
0，所以e2+2e-1>0，解得 2-1b>0 a2 b2 的左、右焦点F，F 作倾斜角 1 2
π π
分别为 和 的两条直线l ，l ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率
6 3 1 2
为 ( )
2 3-1 5-1
A. B. 3-1 C. D.
2 2 2
【答案】C
【解析】在△PFF 中，由正弦定理可得 F 1 F 2
1 2
|PF| |PF| = 1 = 2 =
sin∠FPF sin∠PFF sin∠PFF
1 2 2 1 1 2
|PF|+|PF|
1 2
sin∠PFF+sin∠PFF
2 1 1 2
所以 F 1 F 2
PF 1 +PF 2
sin∠FPF = 1 2 ，
sin∠PFF+sin∠PFF 2 1 1 2
所以该椭圆的离心率e= c = 2c = F 1 F 2
a 2a
PF 1 +PF 2
sin∠FPF = 1 2 =
sin∠PFF+sin∠PFF 2 1 1 2
第 页 共 页
2181 3427sin30° 3-1
= ，
sin120°+sin30° 2
故选：C．
x2 y2
3493 (2024·江苏·扬州中学高三开学考试)已知椭圆 + =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点分
别为F 1-c,0 ，F 2c,0 ，若椭圆上存在点P(异于长轴的端点)，使得csin∠PFF = 1 2
asin∠PFF，则该椭圆离心率e的取值范围是 ．
2 1
【答案】 2-1,1
【解析】由已知，得e= c = sin∠PF 2 F 1，由正弦定理，得 PF 1
a sin∠PFF 1 2
PF 2
sin∠PFF = 2 1，
sin∠PFF 1 2
所以e= PF 1
PF 2
= 2a-PF 2
PF 2
2a =
PF 2
-1．
由椭圆的几何性质，知a-c<PF 2 且
a+c PF 2
a+c
-1< ，
a-c
1-e 1+e
所以e> 且e< ，
1+e 1-e
即e2+2e-1>0且e2+1>0，
结合0b>0 a2 b2 的左、右焦点F，F 作倾斜角 1 2
π π
分别为 和 的两条直线l ，l ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率
6 3 1 2
为 ( )
2 3-1 5-1
A. B. 3-1 C. D.
2 2 2
【答案】C
【解析】在△PFF 中，由正弦定理可得 F 1 F 2
1 2
|PF| |PF| = 1 = 2 =
sin∠FPF sin∠PFF sin∠PFF
1 2 2 1 1 2
|PF|+|PF|
1 2
sin∠PFF+sin∠PFF
2 1 1 2
所以 F 1 F 2
PF 1 +PF 2
sin∠FPF = 1 2 ，
sin∠PFF+sin∠PFF 2 1 1 2
所以该椭圆的离心率e= c = 2c = F 1 F 2
a 2a
PF 1 +PF 2
sin∠FPF = 1 2 =
sin∠PFF+sin∠PFF 2 1 1 2
sin30° 3-1
= ，
sin120°+sin30° 2
故选：C．
方向7：利用基本不等式
x2 y2
3495 (2024·全国·高三专题练习)设椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C上
a2 b2
的两点A，B关于原点对你，且满足FA⋅FB=0，FB ≤FA ≤ 3FB ，则椭圆C的离心
率的取值范围为 ( )
2 A. ,1
2
2 B. , 3-1
2
C. 3-1,1 2 3 D. ,
2 2
第 页 共 页
2182 3427【答案】B
【解析】如图所示：
设椭圆的左焦点F，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形，
又FA⋅FB=0，即FA⊥FB，所以四边形AFBF为矩形，∴AB =FF =2c，
设AF =n，AF =m，在直角△ABF中，m+n=2a，m2+n2=4c2，
m n 2c2 m 1 2c2
得mn=2b2，所以 + = ，令 =t，得t+ = ，
n m b2 n t b2
又FB ≤FA ≤ 3FB m ，得 =t∈1, 3
n
，所以t+ 1 = 2c2 ∈ 2, 4 3
t b2 3
，
所以 c2 ∈ 1, 2 3
b2 3
b2 1 ，即 ∈ 2 3-3,
a2 2
c2 1 ，所以 ∈ ,4-2 3
a2 2
所以椭圆C的离心率的取值范围为e= c ∈ 2 , 3-1
a 2
，
故选：B
x2 y2
3496 (2024·江苏南京·高三阶段练习)设F 1 、F 2 分别是椭圆E： a2 + b2 =1a>b>0 的左、右
焦点，M是椭圆E准线上一点，∠FMF 的最大值为60°，则椭圆E的离心率为 ( )
1 2
412 3 2 48
A. B. C. D.
2 2 2 2
【答案】A
【解析】由题意可设直线MF，MF 的倾斜角分别为α，β，
1 2
a2
由椭圆的对称性不妨设M为第一象限的点，即M ,t
c
t>0 ，
t t
则tanα= ，tanβ= ，因为∠FMF =β-α，
a2 a2 1 2
+c -c
c c
所以tan∠F 1 MF 2 =tanβ-α
t t
-
a2 a2
-c +c
tanβ-tanα c c
= = 1+tanβtanα t
1+
a2
-c
c
t
a2
+c
c
2ct
=
b2 a2+c2
2c
=
b2 a2+c2 +t2
c2
2c
≤
b2 a2+c2 +t 2
c2t
c2
=
b a2+c2 ⋅t
c2t
c2 c2
= = =tan60°= 3，
a2-c2 a2+c2 a4-c4
所以c4=3a4-c4
c4 3 c 412
，则 = ，解得e= = ，
a4 4 a 2
故选：A.
第 页 共 页
2183 3427x2 y2
3497 (2024·山西运城·高三期末(理))已知点A为椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
的左顶点，O为
坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足∠APO=
30°，则椭圆离心率的最大值 .
1
【答案】
2
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设Pc,m ,m>0，∠POF=α，∠PAF=β
∴tan∠APO=tanα-β
m m
-
c a+c
=
m m
1+ ⋅
c a+c
am
=
ca+c
a
=
+m2 ca+c
a
≤
2 ca+c
+m
m
当且仅当m= ca+c 取等号，
∵直线l上存在点P满足∠APO=30°
∴tan∠APO
3
≥
max 3
a 3
即 ≥ ，
2 c(a+c) 3
∴4e2+4e-3≤0，即(2e-1)(2e+3)≤0，
1
所以0b>0)的一个焦点，若直线y
a2 b2
=kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB=135°，记椭圆的离心率为e，则e2的取值范围
是 .
2- 2
【答案】 ≤e2<1；
4
【解析】设F为椭圆的另一焦点，如图，连接AF,BF,BF,AF，
根据椭圆和直线的对称性，可得四边形AFBF为平行四边形，
又因为∠AFB=135°，所以∠FAF=45°.
在△AFF中，FF 2=|AF|2+AF 2-2|AF|⋅AF cos∠FAF= |AF|+AF 2-(2+
2)×|AF|⋅AF ，
第 页 共 页
2184 3427所以 |AF|+AF
|AF|+AF
2-(2+ 2)×
2
2
≤ FF 2，
当且仅当|AF|=AF 时，等号成立，
2- 2 FF
即 ≤
4
|AF|+AF
2
，
又因为FF =2c,|AF|+AF
2- 2
=2a，所以e2≥ ，
4
2- 2
又因为e2<1，故 ≤e2<1.
4
2- 2
故答案为： ≤e2<1.
4
方向8：利用焦半径的取值范围为[a-c，a+c]．
x2 y2
3499 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
上
存在点P，使得PF 1 =3PF 2 ，其中F、F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取 1 2
值范围是 ．
1
【答案】 ,1
2
【解析】设椭圆的焦距为2cc>0 ，由椭圆的定义可得 PF 1 =3PF 2
PF 1 +PF 2
，
=2a
解得PF 1
3a
= 2 ，PF 2
a
= ， 2
a
≥a-c
2 c 1 c 1 c
由题意可得 ，解得 ≥ ，又0< <1，所以 ≤ <1，
3a a 2 a 2 a
≤a+c
2
1
所以椭圆离心率的取值范围是 ，1
2
．
1
故答案为： ，1
2
.
x2 y2
3500 (2024·广西南宁·二模(理))已知椭圆 + =1a>b>0 a2 b2 的左、右焦点分别为F，F， 1 2
若椭圆上存在一点P使PF 1 =ePF 2 ，则该椭圆的离心率e的取值范围是 .
【答案】 2-1,1
【解析】设点P的横坐标为x，∵ PF 1=e PF 2 ，
a2
则由椭圆的定义可得ex+
c
a2
=e×e -x
c
，
c-a c-a
∴x= ，由题意可得-a≤ ≤a，
e(e+1) e(e+1)
e-1
∴-1≤ ≤1，
e(e+1)
第 页 共 页
2185 3427e-1≥e2-e
∴
e-1≤e2+e
，∴ 2-1≤e<1，
则该椭圆的离心率e的取值范围是[ 2-1，1)，
故答案为：[ 2-1，1)．
x2 y2
3501 (2024·河南·信阳高中高三期末(文))若椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
上存在一点P，使
得PF 1 =8PF 2 ，其中F,F 分别C是的左、右焦点，则C的离心率的取值范围为 . 1 2
7
【答案】 ,1
9
【解析】∵PF 1 +PF 2 =2a=9PF 2 ，∴PF 2
2a
= ， 9
又PF 2 ∈a-c,a+c
2a
，∴a-c≤ ≤a+c， 9
c 7 7
解得e= ≥ ，则e∈ ,1
a 9 9
.
7
故答案为 ,1
9
x2 y2
3502 (2024·四川省泸县第二中学模拟预测(文))已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左右
a2 b2
焦点为F,F，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△FFP为等腰三角形，则椭圆C的
1 2 1 2
离心率的取值范围是 ( )
1 1
A. ,
3 2
1
∪ ,1
2
1
B. 0,
3
1
∪ ,1
2
1
C. ,1
3
1
D. ,1
2
【答案】A
【解析】法一：显然，P是短轴端点时，PF 1 =PF 2 ，满足△FFP为等腰三角形，因此由对 1 2
称性，还有四个点在四个象限内各有一个，
设P(x,y)是第一象限内使得△FFP为等腰三角形的点，
1 2
若PF 1 =F 1 F 2
x2 y2
+ =1
，则a2 b2 ，又a2=b2+c2，
(x+c)2+y2=2c
消去y整理得：c2x2+2a2cx-4a2c2+a4=0，
-a2-2ac -a2+2ac
解得x= (舍去)或x= ，
c c
-a2+2ac
由0a舍去．
c c c
a2-2ac
所以0a，即e= > ，则 a-c ，则 1 b>0 a2 b2 的左，右焦点分别为F， 1
F，若椭圆C上一点Р到焦点F 的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为
2 1
( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
2 5 3 3
【答案】B
【解析】设椭圆的半焦距为c，若椭圆上一点Px,y
x2 y2
，则 + =1，且-a≤x≤a，
a2 b2
又F(-c,0)，a2=b2+c2，
1
则PF 1 b2 c = (x+c)2+y2= (x+c)2+b2- x2= x+a a2 a 2 c = x+a a
由于-a≤x≤a，所以PF 1 max =a+c=7,PF 1 =a-c=3， min
c 2
于是可得a=5，c=2，所以椭圆C的离心率e= = .
a 5
故选：B.
x2 y2
3504 (2024·全国·模拟预测)已知F 1 ，F 2 分别是椭圆C： a2 + b2 =1a>b>0 的左、右焦点，
B是椭圆C的上顶点，P是椭圆C上任意一点，且C的焦距大于短轴长，若PB 2的最大
值是PF 1 ⋅PF 2
16
的最小值的 倍，则椭圆C的离心率为 ( ) 3
2 1 3 1 3
A. B. C. 或 D.
3 2 2 2 2
【答案】D
【解析】依题意得F 1-c,0 ,F 2c,0 ,B0,b ，
设Px 0 ,y 0 ，则PB 2=x2 0 +y 0 -b y2 2=a21- 0 b2 +y 0 -b c2 b3 2=- y + b2 0 c2 2 a4 + ， c2
b3
由题意知c>b，故-b<- <0，
c2
b3
又-b≤y 0 ≤b，所以当y 0 =- c2 时，PB
a4
2取得最大值 . c2
第 页 共 页
2187 3427因为PF 1 +PF 2 =2a，
所以PF 1 ⋅PF 2 =PF 1 2a-PF 1 =PF 1 2+2aPF 1 =- PF 1 -a 2+a2，
因为PF 1 ∈a-c,a+c ，
所以当PF 1 =a-c或PF 1 =a+c时，PF 1 ⋅PF 2 取得最小值，为-c2+a2=b2，
又PB 2的最大值是PF 1 ⋅PF 2
16
的最小值的 倍， 3
a4 16b2
所以 = ，即3a4=16a2c2-16c4，
c2 3
c 1 3
又e= ，所以16e4-16e2+3=0，得e= 或e= .
a 2 2
1 3 3
又e= 不满足c>b，e= 满足c>b，所以e= ，
2 2 2
故选：D.
方向9：利用椭圆第三定义．
x2 y2
3505 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)，点A，B为长轴的两个
a2 b2
1
端点，若在椭圆上存在点P，使k ⋅k ∈- ,0
AP BP 3
，则椭圆的离心率e的取值范围是
．
6
【答案】 ,1
3
【解析】由题可知A-a,0 ，Ba,0 ，设Px 0 ,y 0 ，
b2
由点P在椭圆上，得y2 0 = a2 a2-x2 0 ，
b2
y y y2 a2
a2-x2
0
所以k ⋅k = 0 ⋅ 0 = 0 =
AP BP x +a x -a x2-a2
0 0 0
b2 1
=- ∈- ,0
x2-a2 a2 3
0
，
c2-a2 1
可得 =e2-1∈- ,0
a2 3
，
6
所以e∈ ,1
3
．
6
故答案为： ,1
3
.
x2 y2
3506 (2024·全国·模拟预测)已知直线l:y=kx与椭圆E: + =1a>b>0
a2 b2
交于A,B两
3 2
点，M是椭圆上异于A,B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是 ,
3 2
，则直线
MA，MB斜率之积的取值范围是 ( )
2 1
A. - ,-
2 2
1 1
B. - ,-
2 4
3 2
C. - ,-
2 2
2 1
D. - ,-
3 2
【答案】D
【解析】设Mx,y ,Ax 1 ,y 1 ，
由直线l:y=kx与椭圆E交于A,B两点可知A,B两点关于原点对称，
所以B-x 1 ,-y 1 且x≠±x ， 1
第 页 共 页
2188 3427x2 y2
+ =1
a2 b2
由题意知： ，两式相减得：
x2 y2
1 + 1 =1
a2 b2
x2-x2 y2-y2 y2-y2 b2
1 + 1 =0⇒ 1 =- ，
a2 b2 x2-x2 a2
1
y2-y2 y-y y+y b2
即 1 = 1 ⋅ 1 =- ，
x2-x2 x-x x+x a2
1 1 1
y-y y+y b2
又k ⋅k = 1 ⋅ 1 =- ，
MA MB x-x x+x a2
1 1
3 2
由椭圆的离心率的取值范围是 ,
3 2
，
3 2 3 c 2 1 c
即 0
x2 y2 13 13
【解析】①若方程 + =1表示椭圆，则8-k>0 ，解得5b>0)的
a2 b2
2
左顶点为A，点M,N是椭圆C上关于y轴对称的两点.若直线AM,AN的斜率之积为 ，
3
则C的离心率为 ( )
3 2 1 3
A. B. C. D.
2 2 2 3
【答案】D
【解析】由题意，椭圆C的左顶点为A(-a,0)，
因为点M,N是椭圆C上关于y轴对称的两点，可设M(x ,y )，则N(-x ,y )，
0 0 0 0
第 页 共 页
2190 3427y y y y y2 2
所以k = 0 ,k = 0 ，可得k k = 0 ⋅ 0 = 0 = ，
AM x +a AN a-x AM AN x +a a-x a2-x2 3
0 0 0 0 0
x2 y2 b2(a2-x2)
又因为 0 + 0 =1，即y2= 0 ，
a2 b2 0 a2
b2 2 c b2 2 3
代入可得 = ，所以离心率为e= = 1- = 1- = .
a2 3 a a2 3 3
故选：D.
【解题方法总结】
求离心率的本质就是探究a,c之间的数量关系，知道a,b,c中任意两者间的等式关系或
不等关系便可求解出e的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
7 题型七：椭圆的简单几何性质问题
x2 y2
3510 (2024·甘肃陇南·高三统考期中)已知双曲线 - =1的一个焦点是0,2
m 3m
y2
，椭圆
n
x2
- =1的焦距等于4 ，则n= ．
m
【答案】5
x2 y2
【解析】因为双曲线 - =1的一个焦点是(0，2)，
m 3m
所以-m-3m=4，得m=-1，
y2
又椭圆 +x2=1 的焦距等于4，
n
4
所以n-1=
2
2
，得n=5.
故答案为：5
3511 (2024·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测)若抛物线y2=2px的焦点恰好是椭圆
x2 y2
+ =1的右焦点，则p= .
5 1
【答案】4
p
【解析】抛物线y2=2px的焦点为 ,0
2
，
x2 y2
椭圆 + =1的右焦点为：2,0
5 1
，
p
所以 =2，解得：p=4.
2
故答案为：4.
x2 y2
3512 (2024·浙江嘉兴·校考模拟预测)已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为点F、F，若
16 m 1 2
椭圆上顶点为点B，且△FBF 为等腰直角三角形，则m= .
1 2
【答案】8
第 页 共 页
2191 3427x2 y2
【解析】椭圆 + =1，故a2=16,b2=m，△FBF 为等腰直角三角形，故b=c，
16 m 1 2
故a2=2b2，即16=2m，m=8.
故答案为：8
3513 (2024·四川南充·高三统考期中)已知点A-4,0 、B4,0 ，动点Pm,n 满足：直线PA
9
的斜率与直线PB的斜率之积为- ，则 m2+n2的取值范围为 ．
16
【答案】3,4
【解析】因为点A-4,0 ，B4,0 ，Pm,n ，
n n
所以k = ，k = ，
PA m+4 PB m-4
n n 9 m2 n2
所以 ⋅ =- ，即 + =1n≠0
m+4 m-4 16 16 9
，
9 7
所以m2+n2=m2+9- m2= m2+9，
16 16
m2 n2
由 + =1n≠0
16 9
，可知m2∈0,16 ，
所以m2+n2∈9,16 ，即 m2+n2∈3,4 .
所以 m2+n2的取值范围为3,4 .
故答案为：3,4 .
x2 y2
3514 (2024·全国·高三专题练习)若P为椭圆 + =1上的一点，F，F 分别是椭圆的
25 25 1 2
2
左、右焦点，则∠FPF 的最大值为 .
1 2
π
【答案】90°/
2
【解析】易知当点P为椭圆与y轴的交点时，∠FPF 最大，
1 2
x2 y2
因为椭圆方程为 + =1，
25 25
2
25 5 2
所以a=5，c= a2-b2= 25- = ，
2 2
此时PF 1 =PF 2 =5，F 1 F 2 =2c=5 2，
满足PF 1 2+PF 2 2=F 1 F 2 2，
所以△FPF 为等腰直角三角形，所以∠FPF =90°．
1 2 1 2
故答案为：90°
3515 (2024·全国·高三专题练习)AB是平面上长度为4的一条线段，P是平面上一个动点，
且PA +PB =6，M是AB的中点，则PM 的取值范围是 ．
【答案】 5,3
【解析】由题设，PA +PB >|AB|，则P的轨迹是以A,B为焦点，长轴长为6的椭圆，
x2 y2
若M(0,0)，A(-2,0),B(2,0)，则P的轨迹方程为 + =1.
9 5
所以PM 的范围为[b,a]，即[ 5,3].
故答案为：[ 5,3]
3516 (2024·云南·云南师大附中校考模拟预测)如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球
O ，O ，使得它们分别与圆锥的侧面和平面α都相切，平面α分别与球O ，O 相切于点
1 2 1 2
第 页 共 页
2192 3427E，F.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭
圆，E，F为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球O ，O 的半径分
1 2
别为6和3，球心距离OO =11，则此椭圆的长轴长为 .
1 2
【答案】4 7
【解析】过切点E，F作出双球模型的轴截面，设球O,O 分别与圆锥的同一条母线切于
1 2
A，B两点，
有O B⊥AB,OA⊥AB，过O 作O C⊥OA于点C，则四边形ABO C是矩形，
2 1 2 2 1 2
于是|AC|=|O B|=3，|OC|=3，又|OO |=11，从而|AB|=|O C|=
2 1 1 2 2
|OO |2-|OC|2=4 7，
1 2 1
设直线AB与平面α的交点为P，则有|PA|=|PE|，|PB|=|PF|，
所以椭圆的长轴长2a=|PE|+|PF|=|PA|+|PB|=|AB|=4 7.
故答案为：4 7
3517 (2024·全国·高三专题练习)2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空
之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始
运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)到
地面的距离为S ，近地点(长轴端点中离地面最近的点)到地面的距离为S ，地球的半径
1 2
为R，则该椭圆的短轴长为 (用S ，S ，R表示)．
1 2
【答案】2 S 1 +R S 2 +R
【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
由题意可知a+c=S +R，a-c=S +R，
1 2
所以b2=a2-c2=S 1 +R S 2 +R ．
所以b= a2-c2= S 1 +R S 2 +R ，所以2b=2 S 1 +R S 2 +R ．
第 页 共 页
2193 3427故答案为：2 S 1 +R S 2 +R .
【解题方法总结】
x2 y2 x2 y2
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
a2 b2 b2 a2
图形
焦点 F(-c ， 0)，F(c ， 0) F(0 ， -c)，F(0 ， c)
1 2 1 2
焦距 |FF|=2c(c= a2-b2) |FF|=2c(c= a2-b2)
1 2 1 2
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a
性质 对称性 关于x轴、y轴和原点对称
顶点 (±a ，0)，(0 ， ±b) (0 ， ±a)，(±b ， 0)
轴 长轴长=2a，短轴长=2b
c
离心率 e= (0b>0
a2 b2
中垂直于长轴的动
弦，A,B是椭圆长轴的两个端点，则直线AM和NB的交点P的轨迹方程为 ．
x2 y2
【答案】 - =1(x≠±a)．
a2 b2
【解析】设M(x,y),N(x,-y)，
1 1 1 1
x2 y2
因为椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
的长轴端点为A(-a,0),B(a,0)，
设直线AM和NB的交点为P(x,y)，
y y
因为A,M,P三点共线，所以 = 1 ，x≠-a，
x+a x +a
1
y y
因为N,B,P三点共线，所以 =- 1 ，x≠a
x-a x -a
1
y2 y2
两式相乘得 =- 1 ，(x≠±a),
x2-a2 x2-a2
1
x2 y2 b2(a2-x2) y2 b2
因为 1 + 1 =1，所以y2= 1 ，即 1 =- ，
a2 b2 1 a2 x2-a2 a2
1
y2 b2 x2 y2
所以 = ，整理得 - =1(x≠±a)，
x2-a2 a2 a2 b2
第 页 共 页
2194 3427x2 y2
所以直线AM和NB的交点P的轨迹方程 - =1(x≠±a).
a2 b2
x2 y2
故答案为： - =1(x≠±a).
a2 b2
3519 (2024·广东东莞·高三校考阶段练习)已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:x-1 2+y2=25，
动圆P与圆M外切并与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为
x2 y2
【答案】 + =1
9 8
【解析】设动圆P的圆心为Px,y ，半径为R，
由题意得PM =R+1,PN =5-R，
所以PM +PN =6>2，
所以点P的轨迹为以MN为焦点的椭圆，
则2a=6，即a=3，c=1，则b2=8，
x2 y2
所以动圆圆心P的轨迹方程为 + =1，
9 8
x2 y2
故答案为： + =1
9 8
x2 y2
3520 (2024·全国·高三专题练习)已知点P为椭圆 + =1上的任意一点，O为原点，M
25 16
1
满足OM= OP，则点M的轨迹方程为 ．
2
4x2 y2
【答案】 + =1.
25 4
【解析】设点M(x,y)，
1 x2 y2
由OM= OP得点P(2x,2y)，而点P为椭圆 + =1上的任意一点，
2 25 16
(2x)2 (2y)2 4x2 y2
于是得 + =1，整理得： + =1，
25 16 25 4
4x2 y2
所以点M的轨迹方程是 + =1.
25 4
4x2 y2
故答案为: + =1
25 4
3521 (2024·全国·高三专题练习)已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x=8，P为该平面上一
1
动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且PC+ PQ
2
1
·PC- PQ
2
=0．则动点P的轨迹方程为
；
x2 y2
【答案】 + =1
16 12
【解析】设P(x,y)，则Q(8,y)，
1
由PC+ PQ
2
1
·PC- PQ
2
=0，得4|PC|2=|PQ|2，
即4(x-2)2+y2 =(x-8)2+(y-y)2
x2 y2
，化简得 + =1，
16 12
x2 y2
所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为 + =1．
16 12
x2 y2
故答案为： + =1
16 12
第 页 共 页
2195 34273522 (2024·全国·高三专题练习)一个动圆与圆C:x2+(y+3)2=1外切，与圆C :x2+(y-3)
1 2
=81内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ．
y2 x2
【答案】 + =1
25 16
【解析】设动圆圆心为M，半径为r，根据题意知：|MC|=1+r，|MC |=9-r，
1 2
所以|MC|+|MC |=10>|CC |=6，所以圆心M的轨迹为椭圆.
1 2 1 2
其中2a=10，2c=6，故a=5,b=4，
y2 x2
因为焦点在y轴上，故圆心轨迹方程为： + =1.
25 16
y2 x2
故答案为： + =1.
25 16
1 3523 (2024·全国·高三对口高考)已知A- ,0
2
1 ，B是圆F :x-
2
2 +y2=4(F为圆心)上
一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .
y2
【答案】x2+ =1．
3
4
1
【解析】由题意F ,0
2
，P在线段AB的垂直平分线上，则PB =PA ，
所以PF +PA =PF +PB =FB =2，又AF =1，
所以P在以A,F为焦点，长轴长为2的椭圆上，
1 3
2a=2，a=1，c= ，则b2=a2-c2= ，
2 4
y2
所以轨迹方程为x2+ =1．
3
4
y2
故答案为：x2+ =1．
3
4
3524 (2024·全国·高三专题练习)已知圆M：x+1 2+y2=1，圆N：x-1 2+y2=9，动圆P与
圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 .
x2 y2
【答案】 + =1(x≠-2)．
4 3
【解析】由圆M:x+1 2+y2=1，圆N:x-1 2+y2=9得到M-1,0 ，半径r =1， 1
N1,0 ，半径r =3， 2
设动圆P的半径为R，∵圆M在圆N内，∴动圆只能在N内与圆N内切，不能是N在动
圆内，即：R<3，
∵动圆P与圆M外切，∴PM=1+R，∵动圆P与圆N内切，∴PN=3-R，
∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值，
∴P是以M、N为焦点的椭圆，且a=2，c=1，所以b= 4-1= 3，
x2 y2
∴动圆圆心P的轨迹方程为 + =1，
4 3
又圆N过点-2,0
x2 y2
，椭圆 + =1也过点-2,0
4 3
，而点P显然不在圆N上，
x2 y2
所以所求轨迹方程为： + =1x≠-2
4 3
.
x2 y2
故答案为： + =1x≠-2
4 3
.
第 页 共 页
2196 3427x2 y2
3525 (2024·全国·高三专题练习(理))设F，F 为椭圆 + =1的左、右焦点，A为椭圆上
1 2 4 3
任意一点，过焦点F 向∠FAF 的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是
1 1 2
．
【答案】x2+y2=4
【解析】
由题意，延长FD，FA并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AFD，则|FD|=|BD|，|FA|
1 2 1 1 1
1 1
=|AB|，又O为FF 的中点，连接OD，则OD∥FB，从而可知|OD|= |FB|= (|AF|
1 2 2 2 2 2 1
+|AF|)=2，设点D的坐标为(x，y)，则x2+y2=4.
2
故答案为：x2+y2=4
3526 (2024·全国·高三专题练习(理))如图，已知△ABC的两顶点坐标A-1,0 ，B1,0 ，圆E
是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=2，动点C的轨
迹方程为 .
x2 y2
【答案】 + =1,y≠0
9 8
【解析】由题意结合切线长定理可得CP =CQ ，AP =AR ，BQ =BR ，
所以CA +CB =CP +CQ +AP +BQ =4+AR +BR =4+AB =6>
AB ，
所以动点C的轨迹是以A-1,0 ，B1,0 为焦点的椭圆(不在x轴上)，
且该椭圆满足2a=6，c=1，所以b2=a2-c2=8，
x2 y2
所以该椭圆方程为 + =1,y≠0
9 8
.
x2 y2
故答案为： + =1,y≠0
9 8
.
3527 (2024·全国·高三专题练习)一动圆M与圆C 1 ：x+1 2+y2=25内切，且与圆C ： 2
x-1 2+y2=1外切，则动圆圆心M的轨迹方程是 ．
x2 y2
【答案】 + =1
9 8
第 页 共 页
2197 3427【解析】由题意，圆C 1 ：x+1 2+y2=25的圆心为-1,0 ，半径为5，
圆C 2 ：x-1 2+y2=1的圆心为1,0 ，半径为1，
设动圆的圆心M(x,y)，半径为R，
动圆与圆C 1 ：x+1 2+y2=25内切，与圆C 2 ：x-1 2+y2=1外切，
所以MC 1 =5-R，MC 2 =1+R，
所以MC 1 +MC 2 =5-R+1+R=6>C 1 C 2 ，
所以M的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，且2a=6，c=1，
所以b2=a2-c2=8，
x2 y2
∴椭圆的方程为 + =1.
9 8
x2 y2
故答案为： + =1．
9 8
3528 (2024·辽宁·沈阳二中高三阶段练习(理))一动圆M与圆O:x2+(y+3)2=1外切，与圆
1
O :x2+(y-3)2=81内切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
2
y2 x2
【答案】 + =1
25 16
【解析】设动圆半径为r，根据题意知：MO =1+r，MO =9-r，故MO +MO =10>
1 2 1 2
6.
y2 x2
故轨迹为椭圆，2a=10，2c=6，故a=5,b=4，故轨迹方程为： + =1.
25 16
y2 x2
故答案为： + =1.
25 16
3529 (2024·江西宜春·高三阶段练习(文))已知定点A-3,0 ,B3,0 ,直线AM,BM相交于
1
点M，且它们的斜率之积为- ，则动点M的轨迹方程为 ．
9
x2
【答案】 +y2=1x≠±3
9
【解析】设点M(x,y)，x≠±3
y y
∵k = ,k =
MA x+3 MB x-3
y y 1 x2
∴ ⋅ =- ⇒ +y2=1,x≠±3
x+3 x-3 9 9
x2
动点M的轨迹方程为 +y2=1x≠±3
9
3530 (2024·广东湛江·一模(理))已知圆O:x2+y2=9，点A2,0 ，点P为动点，以线段AP为
直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是 ．
x2 y2
【答案】 + =1
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【解析】设AP的中点为M，切点为N，连OM，MN，则O,M,N三点共线，且|OM|
+|MN|=|ON|=3，
取A关于y轴的对称点A ，连AP，根据中位线的性质有|AP|+|AP|=2(|OM|
1 1 1
+|MN|)=6．且当P在±3,0 时也满足题意.
所以点P的轨迹是以A ，A为焦点，长轴长为6的椭圆．其中a=3，c=2，b= 5，则动
1
x2 y2
点P的轨迹方程是 + =1．
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2198 3427x2 y2
故答案为： + =1．
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【解题方法总结】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点
P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：(1)关于坐标轴对称
的点；(2)标记为F的点；(3)圆心；(4)题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的
时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在
求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
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