文档内容
第64讲 椭圆及其性质
知识梳理
知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点F,F 的距离之和等于常数2a(2a>|FF|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定
1 2 1 2
点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：
P||PF|+|PF|=2a(2a>|FF|=2c>0)
1 2 1 2
注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；
当2a<2c时，点的轨迹不存在．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
焦点的
焦点在x轴上 焦点在y轴上
位置
图形
标准方
x2 y2
+ =1a>b>0
a2 b2
程
y2 x2
+ =1a>b>0
a2 b2
统一方
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)
程
参数方
x=acosθ ,θ为参数(θ∈[0,2π])
x
y=
=
b
a
s
c
i
o
n
s
θ
θ ,θ为参数(θ∈[0,
y=bsinθ
程 2π])
第一定
到两定点F、F 的距离之和等于常数2a，即|MF|+|MF|=2a(2a>|FF|)
1 2 1 2 1 2
义
范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a
Α 1-a,0
顶点
、Α 2a,0
Β 10,-b 、Β 20,b
Α 10,-a 、Α 20,a
Β 1-b,0 、Β 2b,0
第 页 共 页
640 1043轴长 长轴长=2a，短轴长=2b 长轴长=2a，短轴长=2b
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
焦点 F 1-c,0 、F 2c,0 F 10,-c 、F 20,c
焦距 F 1 F 2 =2c(c2=a2-b2)
c c2 a2-b2 b2
离心率 e= = = = 1- (01
点和椭
x2
0 +
y2
0
=1 ⇔点(x ,y )在椭
a2 b2 0 0 >1 外
<1 y2 x2
圆 0 + 0 =1 ⇔点(x ,y )在椭圆上
外 a2 b2 0 0
<1 内
的关系
圆上
内
x x y y y y x x
切线方 0 + 0 =1((x ,y )为切点) 0 + 0 =1((x ,y )为切点)
a2 b2 0 0 a2 b2 0 0
程 对于过椭圆上一点(x ,y )的切线方程，只需将椭圆方程中x2换为x x，y2换为y y可得
0 0 0 0
切点弦
x x y y
所在的 0 + 0 =1(点(x ,y )在椭
a2 b2 0 0 y
0
y
+
x
0
x
=1(点(x ,y )在椭圆外)
a2 b2 0 0
直线方 圆外)
程
2b2
①cosθ= -1,θ =∠FBF，(B为短轴的端点)
rr max 1 2
1 2
②S ΔPF1F2 = 2 1 r 1 r 2 sinθ=b2tan θ 2 = c c | | y x 0 | | , , 焦 焦 点 点 在 在 x y 轴 轴 上 上 (θ=∠F 1 PF 2 )
0
焦点三
角形面
积 ③ 当P点在长轴端点时,(r 1 r 2 )min=b2
当P点在短轴端点时,(rr )max=a2
1 2
焦点三角形中一般要用到的关系是
|MF|+|MF|=2a(2a>2c) 1 2
1
S = |PF||PF|sin∠FPF ΔPF1F2 2 1 2 1 2
|FF|2=|PF|2+|PF|2-2|PF||PF|cos∠FPF
1 2 1 2 1 2 1 2
焦半径 左焦半径： MF 1 =a+ex 0 上焦半径： MF 1 =a-ey 0
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641 1043又焦半径： MF 1 =a-ex 0 下焦半径： MF 1 =a+ey 0
焦半径最大值a+c，最小值a-c
b2
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2 (最短的过焦点的弦)
a
设直线与椭圆的两个交点为A(x,y)，B(x ,y )，k =k，
1 1 2 2 AB
弦长公 则弦长 AB
式
= 1+k2 x 1 -x 2 = 1+k2 (x -x )2-4xx 1 2 1 2
1 Δ
= 1+ (y -y )2-4yy = 1+k2
k2 1 2 1 2 |a|
(其中a是消y后关于x的一元二次方程的x2的系数，Δ是判别式)
【解题方法总结】
(1)过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长
2b2
为 ．
a
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端
点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为a+c，距离的最小值为a-c．
(2)椭圆的切线
x2 y2 x x y y
①椭圆 + =1 (a>b>0)上一点P(x ，y )处的切线方程是 0 + 0 =1；
a2 b2 0 0 a2 b2
x2 y2
②过椭圆 + =1 (a>b>0)外一点P(x ，y )，所引两条切线的切点弦方程是
a2 b2 0 0
x x y y
0 + 0 =1；
a2 b2
x2 y2
③椭圆 + =1 (a>b>0)与直线Ax+By+C=0 相切的条件是A2a2+B2b2
a2 b2
=c2．
必考题型全归纳
1 题型一：椭圆的定义与标准方程
3407 (2024·高二课时练习)已知椭圆C上任意一点Px,y 都满足关系式 x-1 2+y2+
x+1 2+y2=4，则椭圆C的标准方程为 .
1
3408 (2024·山东青岛·统考三模)已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线y= x2
4
的焦点重合，则椭圆C的标准方程为 ．
x2 y2
3409 (2024·全国·高二专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点为F(-1,
a2 b2 1
3
0),F(1,0)，且过点P1,
2 2
,则椭圆标准方程为 ．
x2 y2
3410 (2024·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测)已知椭圆E： + =1(a>b>0)，F是E
a2 b2
第 页 共 页
642 1043的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为- 3，△ABF
3
的面积为 ，则E的标准方程为 .
13
x2 y2
3411 (2024·全国·高二专题练习)已知椭圆焦点在x轴，它与椭圆 + =1有相同离心率
4 3
且经过点2,- 3 ，则椭圆标准方程为 .
3412 (2024·北京·高二北大附中校考期末)与双曲线4y2-3x2=12有相同焦点，且长轴长为6
的椭圆标准方程为 .
x2 y2
3413 (2024·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末)已知椭圆E： + =
a2 b2
1a>b>0 的左、右焦点分别为F，F，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF ⊥ 1 2 2
1
F 2 Q，且S △PF2Q = 2 a2，PF 2 +F 2 Q =8，则E的标准方程为 .
3414 (2024·山东青岛·高二青岛二中校考期中)过点 5,- 3
x2 y2
，且与椭圆 + =1有相
25 9
同的焦点的椭圆标准方程是 ．
3415 (2024·浙江丽水·高三校考期中)我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫
x2 y2
做“相似椭圆”.若椭圆E: + =1，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方
16 12
程为 .
x2 y2
3416 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
F，F，左、右顶点分别为M，N，过F 的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AFB的
1 2 2 1
2
周长为4 3，且直线AM与AN的斜率之积为- ，则椭圆C的标准方程为 .
3
3417 (2024·高二课时练习)已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(- 3，-2)和B(
-2 3，1)两点，则椭圆C的标准方程为 .
2 题型二：椭圆方程的充要条件
3418 (2024·全国·高三对口高考)若θ是任意实数，方程x2sinθ+y2cosθ=5表示的曲线不可
能是 ( )
A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线
3419 (2024·上海徐汇·位育中学校考三模)已知m∈R，则方程2-m x2+m+1 y2=1所表
示的曲线为C，则以下命题中正确的是 ( )
1
A.当m∈ ,2
2
时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
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643 1043B.当曲线C表示双曲线时，m的取值范围是2,+∞
C.当m=2时，曲线C表示一条直线
D.存在m∈R，使得曲线C为等轴双曲线
3420 (2024·全国·高三专题练习)已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0，其中A≥B
≥C≥D≥E≥F．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3421 (2024·全国·高三专题练习)“00”是“曲线C是椭
4a 3a+2
圆”的 ( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
y2
3423 (2024·全国·高三专题练习)设a为实数，则曲线C：x2- =1不可能是 ( )
1-a2
A.抛物线 B.双曲线 C.圆 D.椭圆
x2 y2
3424 (2024·广西钦州·高三校考阶段练习)“11),F,F 为两个焦点，P为
a2 1 2
椭圆C上一点，若△PFF 的周长为4，则a= ( )
1 2
3 5
A.2 B.3 C. D.
2 4
x2 y2
3428 (2024·河南·高三阶段练习)已知F,F 分别为椭圆C: + =1(a>2 3)的两个焦
1 2 a2 12
1
点，且C的离心率为 ,P为椭圆C上的一点，则△PFF 的周长为 ( )
2 1 2
A.6 B.9 C.12 D.15
x2 y2
3429 (2024·全国·校联考模拟预测)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左顶点为A，上顶
a2 b2
点为B，左、右焦点分别为F，F，延长BF 交椭圆E于点P．若点A到直线BF 的距离为
1 2 2 2
16 2
，△PFF 的周长为16，则椭圆E的标准方程为 ( )
3 1 2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
25 16 36 32 49 48 100 64
x2 y2
3430 (2024·广东梅州·统考三模)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F，F，过点F
9 5 1 2 2
的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF 2 =4，则△AFF 的面积为 ( ) 1 2
A.2 3 B. 13 C.4 D. 15
x2 y2
3431 (2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试)椭圆E: + =1(a>b>0)的两
4 3
焦点分别为F，F ，A是椭圆E上一点，当△FAF 的面积取得最大值时，∠FAF =
1 2 1 2 1 2
( )
π π π 2π
A. B. C. D.
6 2 3 3
x2 y2
3432 (2024·河南开封·统考三模)已知点P是椭圆 + =1上一点，椭圆的左、右焦点分
25 9
第 页 共 页
645 10431
别为F、F，且cos∠FPF = ，则△PFF 的面积为 ( )
1 2 1 2 3 1 2
9 2
A.6 B.12 C. D.2 2
2
x2
3433 (2024·全国·高三专题练习)设F,F 为椭圆C: +y2=1的两个焦点，点P在C上，若
1 2 5
PF 1 ⋅PF 2 =0，则PF 1 ⋅PF 2 = ( )
A.1 B.2 C.4 D.5
x2 y2
3434 (2024·全国·高三专题练习)设O为坐标原点，F,F 为椭圆C: + =1的两个焦点，
1 2 9 6
3
点P在C上，cos∠FPF = ，则|OP|= ( )
1 2 5
13 30 14 35
A. B. C. D.
5 2 5 2
x2 y2
3435 (2024·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测)若椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
的离心率为
1
2
，两个焦点分别为F 1-c,0 ，F 2c,0 c>0 ，M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点P
PM
是△MFF 的内心，连接MP并延长交FF 于点Q，则
1 2 1 2
PQ
= ( )
1 1
A.2 B. C.4 D.
2 4
x2 y2
3436 (2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为
25 9
F 1 ，F 2 ，直线y=kx与椭圆C交于A，B两点，若AB =F 1 F 2 ，则△ABF 的面积等于 1
( )
A.18 B.10 C.9 D.6
x2 y2
3437 (2024·贵州黔西·校考一模)设椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2 的左、右焦点分别为F，F， 1 2
2
离心率为 ．P是C上一点，且FP⊥FP．若△PFF 的面积为2，则a= ( )
2 1 2 1 2
A.1 B.2 C. 2 D.4
x2 y2
3438 (2024·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(0b>0
a2 b2
的一个焦点为F2,0 ，点
A-2,1 为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得PA +PF =8，则椭圆E的离
心率的取值范围是 ( )
4 4
A. ,
9 7
4 4
B. ,
9 7
2 2
C. ,
9 7
2 2
D. ,
9 7
3458 (2024·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试)已知椭圆C的左右焦点分别为F，
1
F，P，Q为C上两点，2PF =3FQ，若PF ⊥PF，则C的离心率为 ( )
2 2 2 1 2
3 4 13 17
A. B. C. D.
5 5 5 5
3459 (2024·湖北·高三孝感高中校联考开学考试)如图，已知圆柱底面半径为2，高为3，
ABCD是轴截面，E,F分别是母线AB,CD上的动点(含端点)，过EF与轴截面ABCD
垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆，当此交线是椭圆时，其离心率的取值范围是
( )
3
A. 0,
5
4
B. 0,
5
3
C. ,1
5
4
D. ,1
5
x2 y2
3460 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)已知F，F 分别是椭圆C: + =1(a>b>0)的
1 2 a2 b2
左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且MF =2FN，MF ⋅MN=0，则椭圆C的离心率为
1 1 2
( )
3 2 5 7
A. B. C. D.
4 3 3 4
x2 y2
3461 (2024·重庆巴南·统考一模)椭圆C: + =1(a>b>0)的左右焦点为F，F，点P为
a2 b2 1 2
椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足FM=MP，2ON=OP+OF，若四边形
1 2
MONP的周长等于4b，则椭圆C的离心率为e= ( )
1 2 3 6
A. B. C. D.
2 2 2 3
第 页 共 页
649 1043x2 y2
3462 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模)已知M，N是椭圆 + =
a2 b2
1a>b>0
上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M,N的点，且PM⋅PN的最大
1
值是 a2，则椭圆C的离心率是 ( )
2
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 2 3
x2 y2
3463 (2024·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习)椭圆τ: + =1(a>b>0)的左、右焦
a2 b2
3
点分别为F 1 ,F 2 ，焦距为2c，若直线y= 3 x+c 与椭圆τ的一个交点为M在x轴上方，
3
满足∠FMF = ∠MFF ，则该椭圆的离心率为 ( )
1 2 2 2 1
5-1 3-1
A. 3-1 B. C. 5-1 D.
2 2
x2 y2
3464 (2024·广东深圳·高三校考阶段练习)已知椭圆E： + =1a>b>0)的右焦点为
a2 b2
1
F，左顶点为A ，若E上的点P满足PF ⊥x轴，tan∠PAF = ，则E的离心率为
2 1 2 1 2 2
( )
1 2 1 1
A. B. C. D.
2 5 4 5
3465 (2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习)已知O为坐标原点，Px 1 ,y 1 是椭
x2 y2
圆E: + =1a>b>0 a2 b2 上一点x 1 >0 ，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于D，
G两点，DF⋅FG=0，DF =4FG ，则椭圆E的离心率为 ( )
5 17 17 10
A. B. C. D.
3 5 6 5
x2 y2
3466 (2024·河南开封·校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)，A，B分别是C的
a2 b2
左顶点和上顶点，F是C的左焦点，若tan∠FAB=2tan∠FBA，则C的离心率为 ( )
1 3 3- 5 5-1
A. B. C. D.
2 2 2 2
x2 y2
3467 (2024·山东泰安·统考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
是F,F，斜率为1的直线经过左焦点F 且交C于A,B两点(点A在第一象限)，设△AFF
1 2 1 1 2
r
的内切圆半径为r,△BFF 的内切圆半径为r ，若 1 =2，则椭圆的离心率的值为 ( )
1 1 2 2 r
2
1 1 3 2
A. B. C. D.
3 2 3 3
x2 y2
3468 (2024·全国·模拟预测)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，B
a2 b2
12
为椭圆上一点，AF⋅BF=0，cos∠BAF= ，则椭圆的离心率为 ( )
13
7 3 1 7
A. B. C. D.
13 4 3 12
第 页 共 页
650 1043x2 y2
3469 (2024·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测)已知椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
，F为其左
焦点，直线y=kxk>0 与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB．若∠ABF=30°，则椭圆
C的离心率为 ( )
7 6 7 6
A. B. C. D.
3 3 6 6
3470 (2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知F、F 是椭圆的两个焦点，满足MF ⋅
1 2 1
MF =0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( )
2
2 A. 0,
2
1 B. 0,
2
C. 0,1 2 D. ,1
2
x2 y2
3471 (2024·全国·高三专题练习)设F 1 、F 2 是椭圆 a2 + b2 =1a>b>0 的左、右焦点，若椭圆
外存在点P使得PF ⋅PF =0，则椭圆的离心率的取值范围 ．
1 2
3472 (2024·北京丰台二中高三阶段练习)已知F，F 分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上
1 2
π
存在点P使得∠FPF =2θ(0<θ< ，θ是已知数)，则该椭圆离心率的取值范围是
1 2 2
.
x2 y2
3473 (2024·广东·广州市真光中学高三开学考试)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右
a2 b2
2
焦点分别为F，F，若椭圆上存在一点P使得∠FPF = π，则该椭圆离心率的取值范围
1 2 1 2 3
是 ．
x2 y2
3474 (2024·云南·校联考模拟预测)已知椭圆E： + =1a>b>0
a2 b2
的左、右焦点分别为
F 1 ，F 2 (如图)，过F 2 的直线交E于P，Q两点，且PF 1 ⊥x轴，PF 2 =9F 2 Q ，则E的离心率
为 ( )
6 1 3 3
A. B. C. D.
3 2 3 2
x2 y2
3475 (2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的
a2 b2
左焦点为F，离心率为e．倾斜角为120°的直线与C交于A,B两点，并且满足
AB
AF -BF
1
= ，则C的离心率为 ( )
e2
1 3 3 6
A. B. C. D.
2 3 2 3
y2 x2
3476 (2024·广东佛山·校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的下焦点为F，右顶
a2 b2
第 页 共 页
651 1043点为A，直线AF交椭圆C于另一点B，且AF=2FB，则椭圆C的离心率是 ( )
2 3
A. 3-1 B. C. D. 2-1
2 3
x2 y2
3477 (2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测)设M是椭圆C: + =1(a>b>0)
a2 b2
的上顶点，P是C上的一个动点．当P运动到下顶点时，|PM|取得最大值，则C的离心
率的取值范围是 ( )
2 A. ,1
2
2 B. 0,
2
1 C. ,1
2
1 D. 0,
2
x2 y2
3478 (2024·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左
a2 b2
π
焦点为F，过左焦点F 作倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且AF =3FB，则椭圆
1 1 6 1 1
C的离心率为 ( )
1 2 3 2 2
A. B. C. D.
2 3 3 3
x2 y2
3479 (2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆 + =1的右焦点为F，过右
a2 b2 2
π
焦点作倾斜角为 的直线交椭圆于G,H两点，且GF =2FH，则椭圆的离心率为
3 2 2
( )
1 2 2 3
A. B. C. D.
2 2 3 2
x2 y2
3480 (2024·湖南·高三校联考阶段练习)已知椭圆C: + =1(0b>0 的左、右焦点，A是C的上顶点，点P在过A且斜率为2 3的直线上，
△PFF 为等腰三角形，∠PFF =120°，则C的离心率为 ( )
1 2 1 2
10 7 3 1
A. B. C. D.
10 14 9 4
x2 y2
3482 (2024·全国·高三对口高考)在平面直角坐标系中，椭圆 + =1(a>b>0)的焦距
a2 b2
a2
为2c，以原点O为圆心，a为半径作圆O，过点 ,0
c
作圆O的两切线互相垂直，则该椭
圆的离心率为 ( )
1 1 3 2
A. B. C. D.
2 3 3 2
x2
3483 (2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试)已知F,F 分别是椭圆C:
1 2 a2
第 页 共 页
652 1043y2
+ =1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF 与x轴垂直，直线MF 与C的另
b2 2 1
一个交点为N，若MF =3FN，则C的离心率为 ( )
1 1
3 1 3 2 2
A. B. C. D.
3 3 2 3
x2 y2
3484 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
的右焦点为F，过坐标原
点O的直线l与椭圆C交于P,Q两点，点P位于第一象限，直线PF与椭圆C另交于点
2 1
A，且PF= FA，若cos∠AFQ= ，FQ
3 3
=2FA ，则椭圆C的离心率为 ( )
3 2 3 5
A. B. C. D.
4 2 3 4
x2
3485 (2024·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习)设点F、F 分别为椭圆C： +
1 2 a2
y2
=1a>b>0 b2
的左右焦点，点M，N在椭圆C上，若2MF =3FN，MF2=MN⋅MF， 1 1 2 2
则椭圆C的离心率为 ( )
5 3 3 1
A. B. C. D.
5 3 5 5
x2 y2
3486 (2024·湖南衡阳·校联考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分
a2 b2
别为F 1 、F 2 ，过F 1 作直线l与椭圆相交于M、N两点，∠MF 2 N=90°，且4F 2 N =3F 2 M ，则
椭圆的离心率为 ( )
1 1 3 5
A. B. C. D.
3 2 3 5
x2 y2
3487 (2024·河南·校联考模拟预测)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2 的左焦点为F，若椭圆 1
3
上存在点P，使得线段PF 1 与直线y=- 3 x垂直垂足为Q，若PF 1
3
= 2 F 1 Q ，则椭圆C
的离心率为 ( )
4 3 3 2 2
A. B. C. D.
5 5 4 4
x2 y2
3488 (2024·江西南昌·校联考二模)已知椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
的左、右焦点分别为
F 1 ，F 2 ，直线l经过点F 1 交C于A，B两点，点M在C上，AM∥F 1 F 2 ，AB =MF 1 ，
∠FMF =60°，则C的离心率为 ( )
1 2
1 3 2 3
A. B. C. D.
2 3 2 2
x2 y2
3489 (2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)已知F，F 分别是椭圆C： + =1(a
1 2 a2 b2
>b>0)的左，右焦点，P是C上的一点，若3PF 1 =2F 1 F 2 ，且∠PFF =60°，则C的离心 1 2
率为 ( )
3- 5
A. B.2- 3 C. 7-2 D.3-2 2
2
第 页 共 页
653 1043x2 y2
3490 (2024·全国·高三专题练习)已知F 1 ，F 2 分别为椭圆E: a2 + b2 =1a>b>0 的两个焦
点，P是椭圆E上的点，PF ⊥PF，且sin∠PFF =3sin∠PFF，则椭圆E的离心率为
1 2 2 1 1 2
( )
10 10 5 5
A. B. C. D.
2 4 2 4
x2 y2
3491 (2024·全国·高三专题练习(理))已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
sin∠MFF sin∠MFF
F，F，且|FF|=2c，若椭圆上存在点M使得△MFF 中， 1 2 = 2 1，则
1 2 1 2 1 2 a c
该椭圆离心率的取值范围为 ( )
2
A.(0， 2-1) B. ,1
2
2
C. 0,
2
D.( 2-1,1)
x2 y2
3492 (2024·全国·高三专题练习)过椭圆 + =1a>b>0 a2 b2 的左、右焦点F，F 作倾斜角 1 2
π π
分别为 和 的两条直线l ，l ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率
6 3 1 2
为 ( )
2 3-1 5-1
A. B. 3-1 C. D.
2 2 2
x2 y2
3493 (2024·江苏·扬州中学高三开学考试)已知椭圆 + =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点分
别为F 1-c,0 ，F 2c,0 ，若椭圆上存在点P(异于长轴的端点)，使得csin∠PFF = 1 2
asin∠PFF，则该椭圆离心率e的取值范围是 ．
2 1
x2 y2
3494 (2024·全国·高三专题练习)过椭圆 + =1a>b>0 a2 b2 的左、右焦点F，F 作倾斜角 1 2
π π
分别为 和 的两条直线l ，l ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率
6 3 1 2
为 ( )
2 3-1 5-1
A. B. 3-1 C. D.
2 2 2
x2 y2
3495 (2024·全国·高三专题练习)设椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C上
a2 b2
的两点A，B关于原点对你，且满足FA⋅FB=0，FB ≤FA ≤ 3FB ，则椭圆C的离心
率的取值范围为 ( )
2 A. ,1
2
2 B. , 3-1
2
C. 3-1,1 2 3 D. ,
2 2
x2 y2
3496 (2024·江苏南京·高三阶段练习)设F 1 、F 2 分别是椭圆E： a2 + b2 =1a>b>0 的左、右
焦点，M是椭圆E准线上一点，∠FMF 的最大值为60°，则椭圆E的离心率为 ( )
1 2
412 3 2 48
A. B. C. D.
2 2 2 2
x2 y2
3497 (2024·山西运城·高三期末(理))已知点A为椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
的左顶点，O为
坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足∠APO=
第 页 共 页
654 104330°，则椭圆离心率的最大值 .
x2 y2
3498 (2024·全国·高三专题练习)已知F是椭圆 + =1(a>b>0)的一个焦点，若直线y
a2 b2
=kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB=135°，记椭圆的离心率为e，则e2的取值范围
是 .
x2 y2
3499 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
上
存在点P，使得PF 1 =3PF 2 ，其中F、F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取 1 2
值范围是 ．
x2 y2
3500 (2024·广西南宁·二模(理))已知椭圆 + =1a>b>0 a2 b2 的左、右焦点分别为F，F， 1 2
若椭圆上存在一点P使PF 1 =ePF 2 ，则该椭圆的离心率e的取值范围是 .
x2 y2
3501 (2024·河南·信阳高中高三期末(文))若椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
上存在一点P，使
得PF 1 =8PF 2 ，其中F,F 分别C是的左、右焦点，则C的离心率的取值范围为 . 1 2
x2 y2
3502 (2024·四川省泸县第二中学模拟预测(文))已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左右
a2 b2
焦点为F,F，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△FFP为等腰三角形，则椭圆C的
1 2 1 2
离心率的取值范围是 ( )
1 1
A. ,
3 2
1
∪ ,1
2
1
B. 0,
3
1
∪ ,1
2
1
C. ,1
3
1
D. ,1
2
x2 y2
3503 (2024·陕西西安·统考三模)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2 的左，右焦点分别为F， 1
F，若椭圆C上一点Р到焦点F 的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为
2 1
( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
2 5 3 3
x2 y2
3504 (2024·全国·模拟预测)已知F 1 ，F 2 分别是椭圆C： a2 + b2 =1a>b>0 的左、右焦点，
B是椭圆C的上顶点，P是椭圆C上任意一点，且C的焦距大于短轴长，若PB 2的最大
值是PF 1 ⋅PF 2
16
的最小值的 倍，则椭圆C的离心率为 ( ) 3
2 1 3 1 3
A. B. C. 或 D.
3 2 2 2 2
x2 y2
3505 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)，点A，B为长轴的两个
a2 b2
1
端点，若在椭圆上存在点P，使k ⋅k ∈- ,0
AP BP 3
，则椭圆的离心率e的取值范围是
．
x2 y2
3506 (2024·全国·模拟预测)已知直线l:y=kx与椭圆E: + =1a>b>0
a2 b2
交于A,B两
3 2
点，M是椭圆上异于A,B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是 ,
3 2
，则直线
第 页 共 页
655 1043MA，MB斜率之积的取值范围是 ( )
2 1
A. - ,-
2 2
1 1
B. - ,-
2 4
3 2
C. - ,-
2 2
2 1
D. - ,-
3 2
x2 y2
3507 (2024·内蒙古赤峰·校联考三模)下列结论：①若方程 + =1表示椭圆，则实
k-5 8-k
数k的取值范围是5,8
y2 x2
；②双曲线y2-15x2=15与椭圆 + =1的焦点相同．③M
9 25
x2 y2
是双曲线 4 - 12 =1上一点，点F 1 ，F 2 分别是双曲线左右焦点，若MF 1 =5，则MF 2 =
x2 y2
9或1．④直线y=kx与椭圆C： + =1交于P，Q两点，A是椭圆上任一点(与P，
a2 b2
1 6
Q不重合)，已知直线AP与直线AQ的斜率之积为- ，则椭圆C的离心率为 ．错
3 3
误的个数是 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
x2 y2
3508 (2024·河南·校联考模拟预测)已知直线l:3x+4y-11=0与椭圆C: + =1交于
4 m2
A,B两点，若点P1,2 恰为弦AB的中点，则椭圆C的离心率是 ( )
3 2 3 6
A. B. C. D.
3 2 2 3
x2 y2
3509 (2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的
a2 b2
2
左顶点为A，点M,N是椭圆C上关于y轴对称的两点.若直线AM,AN的斜率之积为 ，
3
则C的离心率为 ( )
3 2 1 3
A. B. C. D.
2 2 2 3
7 题型七：椭圆的简单几何性质问题
x2 y2
3510 (2024·甘肃陇南·高三统考期中)已知双曲线 - =1的一个焦点是0,2
m 3m
y2
，椭圆
n
x2
- =1的焦距等于4 ，则n= ．
m
3511 (2024·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测)若抛物线y2=2px的焦点恰好是椭圆
x2 y2
+ =1的右焦点，则p= .
5 1
x2 y2
3512 (2024·浙江嘉兴·校考模拟预测)已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为点F、F，若
16 m 1 2
椭圆上顶点为点B，且△FBF 为等腰直角三角形，则m= .
1 2
3513 (2024·四川南充·高三统考期中)已知点A-4,0 、B4,0 ，动点Pm,n 满足：直线PA
9
的斜率与直线PB的斜率之积为- ，则 m2+n2的取值范围为 ．
16
第 页 共 页
656 1043x2 y2
3514 (2024·全国·高三专题练习)若P为椭圆 + =1上的一点，F，F 分别是椭圆的
25 25 1 2
2
左、右焦点，则∠FPF 的最大值为 .
1 2
3515 (2024·全国·高三专题练习)AB是平面上长度为4的一条线段，P是平面上一个动点，
且PA +PB =6，M是AB的中点，则PM 的取值范围是 ．
3516 (2024·云南·云南师大附中校考模拟预测)如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球
O ，O ，使得它们分别与圆锥的侧面和平面α都相切，平面α分别与球O ，O 相切于点
1 2 1 2
E，F.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭
圆，E，F为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球O ，O 的半径分
1 2
别为6和3，球心距离OO =11，则此椭圆的长轴长为 .
1 2
3517 (2024·全国·高三专题练习)2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空
之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始
运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)到
地面的距离为S ，近地点(长轴端点中离地面最近的点)到地面的距离为S ，地球的半径
1 2
为R，则该椭圆的短轴长为 (用S ，S ，R表示)．
1 2
8 题型八：利用第一定义求解轨迹
x2 y2
3518 (2024·全国·高三专题练习)已知MN是椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
中垂直于长轴的动
弦，A,B是椭圆长轴的两个端点，则直线AM和NB的交点P的轨迹方程为 ．
3519 (2024·广东东莞·高三校考阶段练习)已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:x-1 2+y2=25，
动圆P与圆M外切并与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为
x2 y2
3520 (2024·全国·高三专题练习)已知点P为椭圆 + =1上的任意一点，O为原点，M
25 16
1
满足OM= OP，则点M的轨迹方程为 ．
2
3521 (2024·全国·高三专题练习)已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x=8，P为该平面上一
1
动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且PC+ PQ
2
1
·PC- PQ
2
=0．则动点P的轨迹方程为
；
3522 (2024·全国·高三专题练习)一个动圆与圆C:x2+(y+3)2=1外切，与圆C :x2+(y-3)
1 2
=81内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ．
第 页 共 页
657 10431 3523 (2024·全国·高三对口高考)已知A- ,0
2
1 ，B是圆F :x-
2
2 +y2=4(F为圆心)上
一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .
3524 (2024·全国·高三专题练习)已知圆M：x+1 2+y2=1，圆N：x-1 2+y2=9，动圆P与
圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 .
x2 y2
3525 (2024·全国·高三专题练习(理))设F，F 为椭圆 + =1的左、右焦点，A为椭圆上
1 2 4 3
任意一点，过焦点F 向∠FAF 的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是
1 1 2
．
3526 (2024·全国·高三专题练习(理))如图，已知△ABC的两顶点坐标A-1,0 ，B1,0 ，圆E
是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=2，动点C的轨
迹方程为 .
3527 (2024·全国·高三专题练习)一动圆M与圆C 1 ：x+1 2+y2=25内切，且与圆C ： 2
x-1 2+y2=1外切，则动圆圆心M的轨迹方程是 ．
3528 (2024·辽宁·沈阳二中高三阶段练习(理))一动圆M与圆O:x2+(y+3)2=1外切，与圆
1
O :x2+(y-3)2=81内切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
2
3529 (2024·江西宜春·高三阶段练习(文))已知定点A-3,0 ,B3,0 ,直线AM,BM相交于
1
点M，且它们的斜率之积为- ，则动点M的轨迹方程为 ．
9
3530 (2024·广东湛江·一模(理))已知圆O:x2+y2=9，点A2,0 ，点P为动点，以线段AP为
直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是 ．
第 页 共 页
658 1043
