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第 31 讲 的取值范围与最值问题
知识梳理
1、 在 区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{
b a a
⇒¿| − |≤ ¿ ≥ ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ≤aω+ϕ<π+kπ¿¿¿
2 ω
2
同理， 在区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{
b a a
⇒¿| − |< ¿ > ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ<aω+ϕ<π+kπ¿¿¿
2 ω
2
、 在区间 内有 个零点
2
{T b a 2T {kπ aω ϕ π kπ
⇒¿ <| − |≤ ¿ ≤ + < + ¿¿¿
在区间 内有 个零点
同理
T 3T
{
⇒¿ ≤|b−a|< ¿ {kπ<aω+ϕ≤π+kπ¿¿¿
2 2
3、 在区间 内有 个零点同理 在区间 内有 个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 ，
则 ．
5、已知单调区间 ，则 .
必考题型全归纳
题型一：零点问题
例1．（2024·全国·高三专题练习）设函数 ，若对于任意实数
，函数 在区间 上至少有3个零点，至多有4个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·全国·高一专题练习）设函数 ，在区间 上至
少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
例3．（2024·河北·高二统考学业考试）设函数 ，若对于任意
实数 ， 在区间 上至少有2个零点，至多有3个零点，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的图象是由 （
）的图象向右平移 个单位得到的，若 在 上仅有一个零点，则 的取值
范围是（ ）．
A． B．
C． D．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）记函数 的最小正周期为 .若 ， 为 的零点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
变式3．（2024·全国·模拟预测）若函数 在
上有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型二：单调问题
例4．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 的图
象关于点 对称，且 在 上单调，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， 是
函数 的一个零点， 是函数 的一条对称轴，若 在区间 上单调，
则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．例6．（2024·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线 是曲线 的一
条对称轴，且函数 在区间[0， ]上不单调，则 的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的一个对称中心
为 ， 在区间 上不单调，则 的最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单
调，且 ，则 的可能取值（ ）
A．只有1个 B．只有2个
C．只有3个 D．有无数个
题型三：最值问题
例7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在区间
上单调递增，且在区间 上只取得一次最大值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．例8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，
且 在 上有最大值，没有最小值，则 的最大值为______．
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得最
大值，且 ，若函数 在 上是单调的，则 的最大值为______．
变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在（0，2]上有最大值和
最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则 的取值范围是___________.
变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的最大
值为2，则使函数 在区间 上至少取得两次最大值，则 取值范围是_______
变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数
在 上有最大值，无最小值，则 的
取值范围是________．
题型四：极值问题
例10．（2024·全国·高三专题练习）记函数 的最小正周期为T．若 为 的极小值点，则 的最小值为__________．
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，
，函数 在 上有且仅有一个极小值但没有极大值，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·山西运城·高三统考期中）已知函数 在区间 内
有且仅有一个极小值，且方程 在区间 内有3个不同的实数根，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
变式9．（2024·全国·校联考三模）已知函数 ， .若
函数 只有一个极大值和一个极小值，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．变式10．（2024·全国·高三专题练习）函数 在 上有唯一的
极大值，则 （ ）
A． B． C． D．
变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 内有
且仅有一个极大值，且方程 在区间 内有4个不同的实数根，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：对称性
例13．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在区间[0， ]上
有且仅有3条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A．（ ， ] B．（ ， ] C．[ ， ） D．[ ， ）
例14．（2024·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数 ，若
在区间 上有且仅有 个零点和 条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．例15．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上有
且仅有4条对称轴，下列四个结论正确的是（ ）
A． 在区间 上有且仅有3个不同的零点
B． 的最小正周期可能是
C． 的取值范围是
D． 在区间 上单调递增
变式12．（2024·浙江衢州·高一统考期末）函数 在区间 上
恰有两条对称轴，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式13．（2024·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）已知函数
在 内有且仅有三条对称轴，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六：性质的综合问题
例16．（2024·全国·高三专题练习）函数 （ ， ），已知，且对于任意的 都有 ，若 在 上
单调，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·全国·高一专题练习）设函数 ，已知 在[
有且仅有4个零点，下述四个结论：① 在 有且仅有2个零点；②
在 有且仅有2个零点；③ 的取值范围是 ；④ 在 单调
递增，其中正确个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例18．（多选题）（2024·福建漳州·统考三模）已知函数
在 上有且仅有 条对称轴；则（ ）
A．
B． 可能是 的最小正周期
C．函数 在 上单调递增
D．函数 在 上可能有 个或 个零点
变式14．（多选题）（2024·广东汕头·统考一模）知函数 ，则下述结论中正确的是（ ）
A．若 在 有且仅有 个零点，则 在 有且仅有 个极小值点
B．若 在 有且仅有 个零点，则 在 上单调递增
C．若 在 有且仅有 个零点，则 的范围是
D．若 的图象关于 对称，且在 单调，则 的最大值为
变式15．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
下述结论中错误的是（ ）
A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点
B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在 上单调递增
C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是
D．若f（x）图象关于 对称，且在 单调，则ω的最大值为11
变式16．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在
上有且仅有三个对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递增.
B． 不可能是函数 的图像的一个对称中心C． 的范围是
D． 的最小正周期可能为
变式17．（多选题）（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知函数
的最小正周期 ， ，且 在 处取得最大值.
下列结论正确的有（ ）
A．
B． 的最小值为
C．若函数 在 上存在零点，则 的最小值为
D．函数 在 上一定存在零点
变式18．（多选题）（2024·全国·高一专题练习）记函数
的最小正周期为T，若 ，在区间 恰有三
个零点，则关于 下列说法正确的是（ ）
A． 在 上有且仅有1个最大值点 B． 在 上有且仅有2个最小值点
C． 在 上单调递增 D． 的取值范围为变式19．（多选题）（2024·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递增
B．函数 的最大值是1
C．若函数 ，对任意 ，都有 ，并且 在
区间 上不单调，则 的最小值是4
D．若函数 在区间 内没有零点，则 的取值可
以是
变式20．（多选题）（2024·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）已知函数
（其中 ， ）， ， 恒成立，且函数
在区间 上单调，那么下列说法正确的是（ ）
A．存在 ，使得 是偶函数 B．
C． 是 的整数倍 D． 的最大值是6
