第57讲直线的方程_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第57讲 直线的方程 知识梳理 知识点一：直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线l与x轴相交，则以x轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l重合所成的角 称为直线l的倾斜角，通常用α，β，γ，⋯表示 (1)若直线与x轴平行(或重合)，则倾斜角为0 (2)倾斜角的取值范围α∈[0，π) 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为k=tanα π (1)当α= 时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 2 (2)所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 (3)斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广(与 直线方程相联系) (4)k  越大，直线越陡峭 (5)倾斜角α与斜率k的关系 当k=0时，直线平行于轴或与轴重合； 当k>0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k的增大而增大； 当k<0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k随的增大而减小； 3、过两点的直线斜率公式 y -y 已知直线上任意两点，A(x ，y)，B(x ，y )则k= 2 1 1 1 2 2 x -x 2 1 (1)直线的斜率是确定的，与所取的点无关． (2)若x =x ，则直线AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 1 2 4、三点共线． 两直线AB，AC的斜率相等→A、B、C三点共线；反过来，A、B、C三点共线，则直线 AB，AC的斜率相等(斜率存在时)或斜率都不存在． 知识点二：直线的方程 1、直线的截距 若直线l与坐标轴分别交于(a，0)，(0，b)，则称a，b分别为直线l的横截距，纵截距 (1)截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0(不要顾名思义 误认为与“距离”相关) 第 页 共 页 1930 3427(2)横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y-y 1 =kx-x 1  不含垂直于x轴的直线 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 y-y x-x 两点式 1 = 1 不含直线x=x(x ≠x )和直线y=y(y ≠y ) y -y x -x 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 x y 截距式 + =1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 a b Ax+By+C=0 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 (A2+B2≠0) 3、求曲线(或直线)方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线(或直线)方程的思路通常有两种： (1)直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则 需找到两个点，或者一点一斜率 (2)间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方 程，然后再利用条件解出参数的值(通常条件的个数与所求参数的个数一致) 4、线段中点坐标公式 若点P，P 的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )且线段PP 的中点M的坐标为(x，y)，则 1 2 1 1 2 2 1 2 x +x x= 1 2 2  ，此公式为线段PP 的中点坐标公式． y +y 1 2 y= 1 2 2 5、两直线的夹角公式 k -k 若直线y=kx+b 与直线y=k x+b 的夹角为α，则tanα= 2 1 1 1 2 2 1+kk 1 2  . 必考题型全归纳 1 题型一：倾斜角与斜率的计算 2973 (2024·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测)已知α是直线x-2y+3=0的倾斜角，则 π 2sinα+ 4  +sinα 的值为 ( ) cos2α 4 4 5 4 5 3 5 A. B. C. D. 3 3 15 20 【答案】B 1 1 2 【解析】法一：由题意可知tanα= ，(α为锐角)，∴sinα= ,cosα= ， 2 5 5 π 2sinα+ 3 4 cos2α=cos2α-sin2α= , 5  +sinα sinα+cosα+sinα 4 5 = = × = cos2α cos2α 5 3 4 5 3 1 1 法二：由题意可知tanα= ，(α为锐角)∴cosα=2sinα,sinα= ， 2 5 第 页 共 页 1931 3427π 2sinα+ 4  +sinα sinα+cosα+sinα 4sinα 4 4 5 = = = = ． cos2α cos2α-sin2α 3sin2α 3sinα 3 故选：B．  2974 (2024·重庆·重庆南开中学校考模拟预测)已知直线l的一个方向向量为p= π π sin ,cos 3 3  ，则直线l的倾斜角为 ( ) π π 2π 4π A. B. C. D. 6 3 3 3 【答案】A π cos 3 3 π π 【解析】由题意可得：直线l的斜率k= = =tan ，即直线l的倾斜角为 . π 3 6 6 sin 3 故选：A 2975 (2024·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习)经过A(-1 ,3) ,B( 3, - 3)两点的直线的倾斜角是 ( ) A.45° B.60° C.90° D.120° 【答案】D 3+ 3 【解析】经过A(-1 ,3) ,B( 3,- 3)两点的直线的斜率为 =- 3， -1- 3 因为直线的倾斜角大于等于0°小于180°， 故经过A(-1 ,3) ,B( 3,- 3)两点的直线的倾斜角是120°， 故选：D 2976 (2024·全国·高二专题练习)如图，若直线l,l ,l 的斜率分别为k,k ,k ，则 ( ) 1 2 3 1 2 3 A.k tanα >0， 1 2 3 即k <0,k >k >0． 1 2 3 故选：A 2977 (2024·全国·高二专题练习)直线y=- 3x+3的倾斜角为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】C 【解析】直线y=- 3x+3的倾斜角为α，因为直线的斜率为k=tanα=- 3， 第 页 共 页 1932 34270°≤α<180°，所以α=120°. 故选：C. 2978 (2024·全国·高二课堂例题)过两点A4,y  ，B2,-3  的直线的倾斜角是135°，则y等于 ( ) A.1 B.5 C.-1 D.-5 【答案】D y--3 【解析】由斜率公式得k = AB  y+3 = ，且直线的倾斜角是135°， 4-2 2 y+3 所以k =tan135°=-1，即 =-1，解得y=-5． AB 2 故选：D. 2979 (2024·高二课时练习)直线l经过A2,1  ，B1,m2  m∈R  两点，那么直线l的斜率的 取值范围为( )． A. 0,1  B. -∞,1  C. -2,1  D. 1,+∞  【答案】B m2-1 【解析】k = =1-m2≤1，故那么直线l的斜率的取值范围为-∞,1 l 1-2  . 故选：B 1 2980 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)= x3-x2的图像上有一动点，则在此动点处切线 3 的倾斜角的取值范围为 ( ) 3π A.  0,  4  π B.  0,  2  3π ∪  ,π  4  3π C.   ,π  4  π 3π D.   ,  2 4  【答案】B 【解析】设切线的倾斜角为α，则α∈0,π  ，∵fx  =x2-2x=(x-1)2-1≥-1， π ∴切线的斜率k=tanα≥-1，则α∈ 0,  2  3π ∪  ,π  4  . 故选：B 【解题方法总结】 y -y 正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式k= 1 2 ，根据该公式 x -x 1 2 求出经过两点的直线斜率，当x =x ,y ≠y 时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°，求斜率 1 2 1 2 可用k=tanα(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割． 牢记“斜率变化分两段，90°是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画 π 正切函数在 0,  2  π ∪ ,π 2  上的图像来认识． 2 题型二：三点共线问题 k 2981 (2024·全国·高二专题练习)已知三点(2,-3),(4,3),5, 2  在同一条直线上，则实数k的 值为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.12 【答案】D 第 页 共 页 1933 3427k -3 3-(-3) 2 【解析】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得 = ，解得k=12． 4-2 5-4 故答案为：D. 2982 (2024·辽宁营口·高二校考阶段练习)若三点A0,8  ，B-4,0  ，Cm,-4  共线，则实数 m的值是 ( ) A.6 B.-2 C.-6 D.2 【答案】C 【解析】因为三点A0,8  ，B-4,0  ，Cm,-4  共线， 所以k =k ， AB BC 8-0 可得： 0--4  0--4 =  ， -4-m 4 即 =2，解得m=-6； -4-m 故选：C 2983 (2024·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考阶段练习)若三点M(2，2)，N(a，0)，Q(0，b)， 1 1 (ab≠0)共线，则 + 的值为 ( ) a b 1 1 A.1 B.-1 C. D.- 2 2 【答案】C 2-0 2-b 【解析】因为三点M(2，2)，N(a，0)，Q(0，b)，(ab≠0)共线，所以 = ，即ab= 2-a 2-0 1 1 1 2(a+b)，所以 + = ，故选C． a b 2 2984 (2024·全国·高三专题练习)若平面内三点A(1，-a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a= ( ) 2- 5 2± 5 2+ 5 A.1± 2或0 B. 或0 C. D. 或0 2 2 2 【答案】A a2+a a3+a 【解析】由题意知kAB=kAC，即 = ，即a(a2-2a-1)=0，解得a=0或a 2-1 3-1 =1± 2. 故选：A． 【解题方法总结】 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变， 即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原 因． 3 题型三：过定点的直线与线段相交问题 2985 (2024·吉林·高三校考期末)已知点A1,3  ,B-2,-1  .若直线l:y=kx-2  +1与线段 AB相交,则k的取值范围是 ( ) 1 A.k≥ B.k≤-2 2 1 1 C.k≥ 或k≤-2 D.-2≤k≤ 2 2 第 页 共 页 1934 3427【答案】D 【解析】由已知直线l恒过定点P2,1  , 如图所示,若l与线段AB相交,则k ≤k≤k , PA PB 3-1 -1-1 1 因为k = =-2,k = = , PA 1-2 PB -2-2 2 1 所以-2≤k≤ . 2 故选:D. 2986 (2024·高三课时练习)已知点M2,-3  和N-3,-2  ，直线l:y=ax-a+1与线段MN 相交，则实数a的取值范围是 ( ) 3 3 A.a≥ 或a≤-4 B.-4≤a≤ 4 4 3 3 C. ≤a≤4 D.- ≤a≤4 4 4 【答案】A 【解析】直线l方程可整理为：y=ax-1  +1，则直线l恒过定点P1,1  ， 1+3 1+2 3 ∴k = =-4，k = = ， MP 1-2 NP 1+3 4 3 ∵直线l与线段MN相交，∴直线l的斜率a≤-4或a≥ . 4 故选：A. 2987 (2024·全国·高三专题练习)已知A2,0  ，B0,2  ，若直线y=kx+2  与线段AB有公共 点，则k的取值范围是 ( ) A. -1,1  B. 1,+∞  C. 0,1  D. -∞,-1  ∪1,+∞  【答案】C 【解析】由于直线y=kx+2  的斜率为k，且经过定点-2,0  ，设此定点为M . 第 页 共 页 1935 34270-0 2-0 而直线MA 的斜率为k = =0 ，直线MB 的斜率为 k = MA -2-2 MA 0--2  =1 ， 要使直线y=kx+2  与线段AB有公共点，只需0≤k≤1. 故选 ：C. 2988 (2024·全国·高三专题练习)已知点A-2,3  ,B3,2  ，若直线ax+y+2=0与线段AB 没有交点，则a的取值范围是 ( ) 5 A. -∞,- 2  4 ∪  ,+∞  3  4 5 B. - , 3 2  5 4 C.  - ,  2 3  4 D. -∞,- 3  5 ∪  ,+∞  2  【答案】B 【解析】∵直线ax+y+2=0过定点C0,-2  5 4 ，且k =- ,k = ， AC 2 BC 3 5 4 由图可知直线与线段AB没有交点时，斜率-a满足- <-a< ， 2 3 4 5 解得a∈- , 3 2  ， 故选：B． 2989 (2024·全国·高三专题练习)已知直线x-ay+2a=0和以M3,5  ,N4,-2  为端点的 线段相交，则实数a的取值范围是 ( ) A.a≤1 B.-1≤a≤1 C.a≤-1或a≥1 D.a≤-1或a≥1或a=0 【答案】C 【解析】直线x-ay+2a=0，即x+a2-y  =0，其恒过定点A0,2  ， 根据题意，作图如下： 第 页 共 页 1936 34274 数形结合可知，当直线过点N时，其斜率取得最小值 =-1， -4 当直线过点M时，其斜率取得最大值1， 1 故-1≤ ≤1，解得a∈-∞,-1 a  ∪1,+∞  . 故选：C. 2990 (2024·全国·高三专题练习)已知A2,-3  ，B-3,-2  ，直线l过点P1,1  且与线段AB 相交，则直线l的斜率k的取值范围是 ( ) 3 3 A.k≤-4或k≥ B.-4≤k≤ 4 4 1 4 3 C.k≤- 或k≥ D.- ≤k≤4 4 3 4 【答案】A 1--2 【解析】如图，k = PB  1--3  3 3 1--3 = ，由题可知应满足k≥ ；同理k = 4 4 PA  =-4， 1-2 由题可知应满足k≤-4. 故选：A 2991 (2024·全国·高三对口高考)已知点P-1,1  ,Q2,2  ，若直线l:x+my+m=0与PQ的 延长线(有方向)相交，则m的取值范围为 ． 2 【答案】-3,- 3  【解析】如下图所示， 2-1 由题知k = PQ 2--1  1 = ， 3 直线x+my+m=0过点M0,-1  . 当m=0时，直线化为x=0，一定与PQ相交，所以m≠0， 1 当m≠0时，k =- ，考虑直线l的两个极限位置. l m 2--1 ①l经过Q，即直线l ，则k = 1 l1  3 = ； 2-0 2 第 页 共 页 1937 34271 ②l与直线PQ平行，即直线l ，则k =k = ， 2 l2 PQ 3 因为直线l与PQ的延长线相交， 1 1 3 2 2 所以 <- < ，解得-30 a  表示的直线可能是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 1 1 【解析】当a>0时，直线y=ax+ 的斜率a>0，该直线在y轴上的截距 >0， a a 故选：A. 2999 (2024·全国·高三专题练习)已知过定点直线kx-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都 是正值，且截距之和最小，则直线的方程为 ( ) A.x-2y-7=0 B.x-2y+7=0 C.2x+y-6=0 D.x+2y-6=0 【答案】C 【解析】直线kx-y+4-k=0可变为kx-1  -y+4=0，所以过定点P1,4  ，又因为 直线kx-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都是正值，可知k<0， 令x=0,y=4-k，所以直线与y轴的交点为A0,4-k  ， 4 4 令y=0,x=1- ，所以直线与x轴的交点为B1- ,0 k k  ， 第 页 共 页 1940 34274 所以4-k+1- =5+-k k  4 +- k  ≥5+2 -k  4 ⋅- k  =5+4=9， 4 当且仅当-k=- 即k=-2时取等，所以此时直线为：2x+y-6=0. k 故选：C. a c 3000 (2024·全国·高三专题练习)若直线l的方程y=- x- 中，ab>0，ac<0，则此直线 b b 必不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C a c 【解析】由y=- x- ，ab>0，ac<0， b b a c 知直线斜率k=- <0，在y轴上截距为- >0， b b 所以此直线必不经过第三象限. 故选：C 3001 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l的倾斜角为60°，且l在y轴上的截距为-1，则直 线l的方程为 ( ) 3 3 A.y=- x-1 B.y=- x+1 C.y= 3x-1 D.y= 3x+1 3 3 【答案】C 【解析】因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率k=tan60°= 3， 又直线l在y轴上的截距为-1，所以直线l的方程为y= 3x-1； 故选：C 【解题方法总结】 要重点掌握直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；熟练地掌握和应用直线方程 的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式． 5 题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 3002 (2024·全国·高三专题练习)若一条直线经过点A-2,2  ，并且与两坐标轴围成的三角形 面积为1，则此直线的方程为 ． 【答案】x+2y-2=0或2x+y+2=0 【解析】由题意可知该直线不经过原点，且存在斜率且不为零， x y 所以设直线方程为 + =1，因为该直线过点A-2,2 a b  ， -2 2 所以有 + =1⇒2a-2b=ab， a b 因为该直线与两坐标轴围成的三角形面积为1， 1 所以有 ab 2  =1⇒ab=2，或ab=-2， 当ab=2时，2a-2b=2⇒a=b+1⇒bb+1  =2⇒b=1，或b=-2， x y 当b=1时，a=2，此时方程为： + =1⇒x+2y-2=0， 2 1 x y 当b=-2时，a=-1，此时方程为： + =1⇒2x+y+2=0， -1 -2 当ab=-2时，2a-2b=-2⇒a=b-1⇒bb-1  =-2⇒b∈∅， 第 页 共 页 1941 3427故答案为：x+2y-2=0或2x+y+2=0 3003 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半 轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为 . 【答案】x+2y-4=0 【解析】法一，利用截距式设出直线方程，再利用基本不等式求面积最小时的直线方程； 法二显然k存在，设l:y-1=kx-2  (其中k<0)求出AB坐标，然后求解三角形的面 x y 积，再利用基本不等式求解面积的最小值时的直线方程.法一 设直线l： + =1，且 a b 2 1 2 1 2 a>0，b>0，因为直线l过点M(2,1)，所以 + =1，则1= + ≥2 ，故ab≥ a b a b ab 8， 1 1 故S AOB的最小值为 ×ab= ×8=4， △ 2 2 2 1 1 当且仅当 = = 时取等号，此时a=4，b=2， a b 2 x y 故直线l： + =1，即x+2y-4=0. 4 2 1 法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0)，A2- ,0 k  ，B(0,1-2k)， 1 1 S AOB= (1-2k)2- △ 2 k  1 = 4+-4k 2  1 +- k      1 ≥ (4+4)=4， 2 1 1 当且仅当-4k=- ，即k=- 时，等号成立， k 2 1 故直线l的方程为y-1=- (x-2)，即x+2y-4=0. 2 故答案为：x+2y-4=0. 3004 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l的方程为：2+m  x+1-2m  y+4-3m  =0． (1)求证：不论m为何值，直线必过定点M； (2)过点M引直线l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l 的方程． 1 1 【解析】(1)证明：∵直线l的方程为：2+m  x+1-2m  y+4-3m  =0 ∴提参整理可得：x-2y-3  m+2x+y+4=0． x-2y-3=0 x=-1 令 ，可得 ，   2x+y+4=0 y=-2 ∴不论m为何值，直线必过定点M-1,-2  . (2)设直线l 1 的方程为y=kx+1  -2(k<0)． k-2 令y=0，则x= ， -k 令x=0，．则y=k-2， 1 k-2 ∴直线l 与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积S=  1 2 -k  k-2  = 1 -k 2  4   + +4  -k  1 ≥ 2 -k 2  4 ⋅ -k   +4  =4． 4 当且仅当-k= ，即k=-2时，三角形面积最小． -k 此时l 的方程为2x+y+4=0． 1 3005 (2024·全国·高三专题练习)直线l过点M(1,2)，且分别与x,y轴正半轴交于A、B两点， O为原点. (1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程； 第 页 共 页 1942 3427(2)求OA  +2OB  的最小值及此时直线l的方程. x y 【解析】(1)设直线l: + =1，且a>0,b>0 a b ∵直线过点1,2  1 2 1 2 2 ∴ + =1则1= + ≥2 , a b a b ab 1 2 ∴ab≥8当且仅当 = 即a=2,b=4时取等号 a b 1 所以S 的最小值为 ab=4， △ABO 2 x y 直线l: + =1即2x+y-4=0. 2 4 (2)由1  1 2 + =1, a b ∴OA  +2OB  =a+2b=a+2b  1 2  + a b  2b 2a =5+ + ≥9， a b 2b 2a 当且仅当 = 即a=b=3时取等号， a b ∴此时直线l:x+y-3=0, 故OA  +2OB  的最小值为9，此时直线l的方程x+y-3=0. 3006 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，直线l过定点P3,2  ，且与x轴 的正半轴交于点M，与y轴的正半轴交于点N. (1)当PM⋅PN取得最小值时，求直线l的方程； (2)求△MON面积的最小值. 【解析】(1)设直线l的倾斜角为π-θ(θ为锐角)， 由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3, PE 2 PF 3 PM= = ,PN= = ， sinθ sinθ cosθ cosθ 3 2 12 则PM⋅PN= ⋅ = ， cosθ sinθ sin2θ π 所以当θ= 时，PM⋅PN取得最小值， 4 此时直线l的方程为y=-x+5； 2 9 (2)矩形OFPE面积为3×2=6，S = ,S = tanθ， ΔPEM tanθ ΔPFN 2 第 页 共 页 1943 34279 2 S =6+ tanθ+ ≥12， △MON 2 tanθ 2 当且仅当tanθ= 时取等号， 3 所以△MON面积的最小值为12. 3007 (2024·北京怀柔·高二北京市怀柔区第一中学校考期中)已知直线l经过点P2,2  ，O为 坐标原点． (1)若直线l过点Q-2,0  ，求直线l的方程，并求直线l与两坐标轴围成的三角形面积； (2)如果直线l在两坐标轴上的截距之和为8，求直线l的方程． 2-0 【解析】(1)由题意得：直线l斜率k= 2--2  1 1 = ，∴直线l方程为：y= x+2 2 2  ，即 x-2y+2=0； 当x=0时，y=1；当y=0时，x=-2； 1 ∴l与两坐标轴围成的三角形面积S= ×2×1=1. 2 x y (2)由题意知：直线l在两坐标轴的截距不为0，可设l: + =1， a b a+b=8 则   2 2 ，解得：  a=4 ，∴l: x + y =1，即x+y-4=0. + =1 b=4 4 4 a b 3008 (2024·高二单元测试)已知直线l过点P4,3  ，与x轴正半轴交于点A、与y轴正半轴交 于点B. (1)求△OAB面积最小时直线l的方程(其中O为坐标原点)； (2)求PA  ∙PB  的最小值及取得最小值时l的直线方程. x y 4 3 【解析】(1)设l的方程为 + =1(a>0,b>0)，由直线过点P(4,3)知 + =1，即 a b a b 3a+4b=ab，由基本不等式得3a+4b=ab≥2 12ab，即ab≥48，当且仅当a=8,b=6 时等号成立， 1 又知A(a,0),B(0,b)，所以S = ab≥24,a=8,b=6时等号成立， △OAB 2 x y 此时l直线的方程为 + =1， 8 6 即△OAB面积最小时直线l的方程为3x+4y-24=0. (2)易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为y-3=k(x-4)(k<0)，所以得 3 A4- ,0 k  9 ，B(0,3-4k)，所以|PA|= +9,|PB|= 16+16k2，得|PA|⋅|PB|= k2 9  +9 k2  16+16k2  1 1 =12 k2+ +2≥12 2+2=24，等号成立时有kk2= ，得k= k2 k2 -1， 此时直线的方程为y-3=-(x-4)，即x+y-7=0. 故|PA|⋅|PB|的最小值是24，取最小值时直线l的方程是x+y-7=0. 3009 (2024·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习)过点M(4,3)的动直线l交x轴的正半轴 于A点，交y轴正半轴于B点. (Ⅰ)求ΔOAB(O为坐标原点)的面积S最小值，并求取得最小值时直线l的方程. (Ⅱ)设P是ΔOAB的面积S取得最小值时ΔOAB的内切圆上的动点，求u=PO  2+ PA  2+PB  2的取值范围. 第 页 共 页 1944 3427【解析】(Ⅰ)设l斜率为k，则l:y-3=kx-4  3 得A4- ，0 k  ，B(0，3-4k)(k<0). 1 1 3 S= |OA|⋅|OB|= 4- 2 2 k  1  9 (3-4k)=12+ 16(-k)+ 2  (-k)  ≥24, 9 3 由16(-k)=- ⇒k=- ，∴S =24，l:3x+4y-24=0. k 4 min (Ⅱ)ΔOAB面积S最小时，A(8，0)，B(0，6)，AB  =10， 1 直角ΔOAB内切圆半径r= (a+b-c)=2，圆心为Q(2，2)， 2 内切圆方程为(x-2)2+y-2  2=4 设P(x,y)，则x2+y2-4x-4y+4=0，其中0≤x≤4. U=PO  2+PA  2+PB  2=x2+y2+x-8  2+y2+x2+y-6  2= 3x2+3y2-16x-12y+100=88-4x(0≤x≤4),当x=0时，U =88，当x=4时， max U =72 min ∴U的范围是72,88  3010 (2024·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知直线l：kx-y+1+2k =0． (1)求l经过的定点坐标P； (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B． ①△AOB的面积为S，求S的最小值和此时直线l的方程； 1 ②当PA+ PB取最小值时，求直线l的方程． 2 【解析】(1)由kx-y+1+2k=0可得：kx+2  +1-y=0， x+2=0 x=-2 由  可得  ，所以l经过的定点坐标P-2,1 1-y=0 y=1  ； (2)直线l：kx-y+1+2k=0， -1-2k 令x=0可得y=1+2k；令y=0，可得x= ， k -1-2k 所以A ,0 k  ，B0,1+2k  -1-2k  <0 由 k 可得：k>0， 1+2k>0 1 -1-2k ①△AOB的面积S=  2 k  1+2k  1 1 = ⋅ +2 2 k  1+2k  1 1 = ⋅4+ +4k 2 k  1 1 ≥ ⋅4+2 ⋅4k 2 k  1 = ⋅4+2×2 2  =4， 1 1 当且仅当 =4k即k= 时等号成立，S的最小值为4， k 2 1 此时直线l的方程为： x-y+2=0即x-2y+4=0； 2 π 1 2 ②设直线l的倾斜角为α，则0<α< ，可得PA= ，PB= ， 2 sinα cosα 1 1 1 sinα+cosα 所以PA+ PB= + = ， 2 sinα cosα sinαcosα π 令t=sinα+cosα= 2sinα+ 4  ， π π π 3π 2 π 因为0<α< ，可得 <α+ < ， 0，ab<0,- >0,- >0. a b x y 2 1 (1)设l: + =1，因为过点P(-2,1)，所以- + =1， a b a b 2 1 所以S △AOB = 2 1 (-ab)=4，由   - a + b =1 解得  a b= =- 2 4 ， ab=-8 x y 所以直线l的方程为- + =1，即x-2y+4=0； 4 2 (2)|OA|+|OB|=b-a， 2 1 所以|OA|+|OB|=b-a=(b-a)- + a b  -a 2b -a 2b =3+ + ≥3+2 ⋅ =3 b -a b -a +2 2， 当且仅当a=- 2-2，b=1+ 2时取等号，所以直线l的方程为x- 2y+2+ 2= 0； (3)依题意可知A,P,B三点共线，P在线段AB上(且与A,B不重合)，     所以|AP|⋅|PB|=AP⋅PB=(-2-a,1)⋅(2,b-1)=-2a+b-5 2 1 =(-2a+b)- + a b  2b 2a 2b 2a 2b 2a -5=- - +4+1-5=- - ≥2 ⋅ =4， a b a b -a -b 当且仅当a=-3，b=3时取等号，所以直线l的方程为x-y+3=0． 【解题方法总结】 (1)由于已知直线的倾斜角(与斜率有关)及直线与坐标轴围成的三角形的面积(与截距 有关)，因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之 说． (2)在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据 已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这 点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或 两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数 法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 6 题型六：两直线的夹角问题 3013 (2024·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末)直线x- 3y+2=0与直线 3x+ 2y=1所成夹角的余弦值等于 21 【答案】 14 3 2 3 3 π 【解析】直线x- 3y+2=0，即y= x+ ，则其斜率为k = ，倾斜角为 ； 3 3 1 3 6 3 1 3 直线 3x+2y=1，即y=- x+ ，则其斜率k =- <0， 2 2 2 2 3 2π 设直线 3x+2y=1的倾斜角为θ，则tanθ=- >- 3=tan ， 2 3 2π 又0≤θ<π，所以 <θ<π， 3 第 页 共 页 1947 3427π π π π π π 5π 所以0<π-θ< ， <π-θ+ < ，而 <θ- < ， 3 6 6 2 2 6 6 π 所以两直线的夹角为π-θ+ ， 6 sinθ 3 又因为 =- ,sin2θ+cos2θ=1， cosθ 2 2 2 7 3 21 则cosθ=- =- ,sinθ= = , 7 7 7 7 π 所以cosπ-θ+ 6  π =-cosθ- 6  π π 2 7 =-cosθcos -sinθsin =-- 6 6 7  3 × - 2 21 1 21 × = ， 7 2 14 21 故所求夹角的余弦值为 . 14 21 故答案为： . 14 3014 (2024·高三课时练习)直线x+2y+2=0与直线3x-y-2=0相交，则这两条直线的 夹角大小为 . 【答案】arctan7 1 【解析】直线x+2y+2=0的斜率为- ，其倾斜角α为钝角； 2 直线3x-y-2=0的斜率为3，其倾斜角β为锐角. 设这两条直线的夹角大小为θ， 则tanθ= tanα-β    tanα-tanβ = 1+tanα⋅tanβ  1 - -3  2 = 1 1- ×3 2  =7， π 由于0<θ< ，所以θ=arctan7. 2 故答案为：arctan7 3015 (2024·上海宝山·高三统考阶段练习)已知直线l:2x-y=0,l :3x+y-1=0，则l 与l 1 2 1 2 的夹角大小是 . π 【答案】 4 π 【解析】设直线l 与l 的夹角为α α∈ 0, 1 2  2    ， 因为l:2x-y=0,l :3x+y-1=0， 1 2 所以两直线的斜率分别为k =2,k =-3， 1 2 k -k 所以tanα= 1 2 1+kk 1 2  2-(-3) = 1+2×(-3)  =1， π 因为α∈ 0,  2  ， π 所以α= ， 4 π 故答案为： 4 1 1 3016 (2024·重庆·高考真题)曲线y=2- x2与y= x3-2在交点处切线的夹角是 2 4 ．(用弧度数作答) 第 页 共 页 1948 3427π 【答案】 4 1 y=2- x2  2 【解析】由 消元可得，(x-2)(x2+4x+8)=0，解得x=2， 1 y= x3-2 4 所以两曲线只有一个交点P(2,0), 1 由y=2- x2可得y=-x，所以k =y| =-2， 2 1 x=2 1 3 由y= x3-2可得y= x2，所以k =y| =3， 4 4 2 x=2 -2-3 由直线的夹角公式可得tanα= =1， 1+(-6) π 由α∈ 0,  2  π 知，α= . 4 π 故答案为： 4 3017 (2024·全国·模拟预测)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0与x-7y -4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 ． 【答案】3 1 【解析】l:x+y-2=0,k =-1，l :x-7y-4=0,k = ，设底边为l :y=kx 1 1 2 2 7 3 k -k k-k k+1 由题意，l 到l 所成的角等于l 到l 所成的角于是有 1 = 2 ⇒ = 3 1 2 3 1+kk 1+k k k-1 1 2 7k-1 ，解得k=3， 7+3 故答案为：3. 3018 (2024·全国·高三专题练习)两条直线l: 3x-y- 3=0，l :x- 3y-1=0的夹角平 1 2 分线所在直线的方程是 ． 【答案】x-y-1=0 【解析】因为直线l: 3x-y- 3=0的倾斜角为60°，l :x- 3y-1=0的倾斜角为 1 2 30°，且 3x-y- 3=0 由  解得两直线的交点坐标为1,0 x- 3y-1=0  ，所以可设两直线夹角平分线所在 直线的方程为：y=kx-1  3 