文档内容
第31讲 ω的取值范围与最值问题
知识梳理
1、f(x)=Asin(ωx+φ)在f(x)=Asin(ωx+φ)区间(a，b)内没有零点⇒
b-a T b-a ≤ 2
⇒
kπ≤aω+ϕ<π+kπ
kπ
ω
π+kπ-ϕ
b<
ω
2、f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a，b)内有3个零点
T<b-a
⇒
T<b-a
≤2T
kπ≤aω+ϕ<π+kπ ⇒
3π+kπ0)，若对于任意实数φ，
2
函数fx 在区间0,2π 上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是 ( )
4
A. 1,
3
4 5
B. ,
3 3
5
C. ,2
3
7
D. 2,
3
π 3π
1298 (2024·全国·高一专题练习)设函数f(x)=2sinωx-1(ω>0)，在区间 ,
4 4
上至少有
2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则ω的取值范围是 ( )
26 10
A. ,
9 3
26 58
B. ,
9 9
34 58
C. ,
9 9
26 10
D. ,
9 3
34 58
∪ ,
9 9
1299 (2024·河北·高二统考学业考试)设函数f(x)=2sinωx+φ -1ω>0 ，若对于任意实
π 3π
数φ，f(x)在区间 ,
4 4
上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是
( )
8 16
A. ,
3 3
16
B. 4,
3
20
C. 4,
3
8 20
D. ,
3 3
1300 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx
π
的图象是由y= 2sinωx+
3
(ω>0)的图
π
象向右平移 个单位得到的，若fx
3
π
在 ,π
2
上仅有一个零点，则ω的取值范围是(
)．
5
A. 0,
2
B. 1，3
5
C. 1,
2
D. 1,4
1301 (2024·全国·高三专题练习)记函数fx =sinωx+φ
π
ω>0,0<φ<
2
的最小正周期
为T.若fT
3 π
= ，x= 为fx
2 6
的零点，则ω的最小值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
1302 (2024·全国·模拟预测)若函数fx
2sinωx+1 ,cosωx≠ 3
cosωx- 3 2
= ω>0
3
x,cosωx=
2
在0,4π 上有
3个零点，则ω的取值范围是 ( )
13
A. ,+∞
24
13 25
B. ,
24 24
31
C. ,+∞
24
31 43
D. ,
24 24
2 题型二：单调问题
1303 (2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数fx
π
=sinωx-
3
ω>0 的图象
π
关于点 ,0
6
对称，且fx
5π
在0,
48
上单调，则ω的取值集合为 ( )
A. 2 B. 8 C. 2,8 D. 2,8,14
第 页 共 页
243 10431304 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =sinωx+φ ω>0,φ
π
≤
2
π
，x=- 是函
8
数fx
π
的一个零点，x= 是函数fx
8
的一条对称轴，若fx
π π
在区间 ,
5 4
上单调，
则ω的最大值是 ( )
A.14 B.16 C.18 D.20
π π
1305 (2024·内蒙古赤峰·校考模拟预测)若直线x= 是曲线y=sinωx-
4 4
(ω>0)的一条
π
对称轴，且函数y=sinωx-
4
π
在区间 0，
12
上不单调，则ω的最小值为 ( )
A.9 B.7 C.11 D.3
1306 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =sinωx+φ ω>0 的一个对称中心为
π
- ,0
3
，fx
5π
在区间 ,π
6
上不单调，则ω的最小正整数值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1307 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =sinωx+φ ω>0
π π
在 - ,
3 6
上单调，且
π
f
6
4π
=f
3
π
=-f-
3
，则ω的可能取值 ( )
A.只有1个 B.只有2个 C.只有3个 D.有无数个
3 题型三：最值问题
1308 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx = 3sinωx-cosωx(ω>0)在区间
2π 3π
- ,
5 4
上单调递增，且在区间[0,π]上只取得一次最大值，则ω的取值范围是
( )
2 8
A. ,
3 3
2 5
B. ,
3 6
2 8
C. ,
3 9
5 8
D. ,
6 9
1309 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx
π
=2sinωx+
3
ω>0
π
，若f
3
=0，且fx
π 5π
在 ,
3 12
上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为 ．
1310 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =2sinωx+φ ω>0
π
在x= 处取得最大
3
值，且fπ =0，若函数fx
π 5π
在 ,
3 12
上是单调的，则ω的最大值为 ．
1311 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx
π
=sinωx+
6
在(0，2]上有最大值和最小
值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则ω的取值范围是 .
1312 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinωx+acosωx(a>0,ω>0)的最大值为
2，则使函数f(x)在区间0,3 上至少取得两次最大值，则ω取值范围是
1313 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx =cos2ωx+2sinωxcosωx-sin2ωx(ω>0)在
π π
,
12 3
上有最大值，无最小值，则ω的取值范围是 ．
4 题型四：极值问题
第 页 共 页
244 1043π π
1314 (2024·全国·高三专题练习)记函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,- <φ<
2 2
的最小正周
T
期为T．若f
2
2 π
= ,x= 为f(x)的极小值点，则ω的最小值为 ．
2 8
π
1315 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=4sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<
2
，f(0)=f(4)=
-2，函数f(x)在(0,4)上有且仅有一个极小值但没有极大值，则ω的最小值为 ( )
π π 5π 4π
A. B. C. D.
6 3 6 3
1316 (2024·山西运城·高三统考期中)已知函数fx
π
=cosωx+
4
ω>0
π
在区间0,
2
内
有且仅有一个极小值，且方程fx
1 π
= 在区间0,
2 2
内有3个不同的实数根，则ω的取
值范围是 ( )
25 11
A. ,
6 2
25 11
B. ,
6 2
25 11
C. ,
6 2
25 11
D. ,
6 2
1317 (2024·全国·校联考三模)已知函数fx
π
=2sinωx+
6
ω>0
π π
，x∈ - ,
3 2
.若函数
fx 只有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围为 ( )
A. 2,5 B. 2,5
8
C. 2,
3
8
D. 2,
3
1318 (2024·全国·高三专题练习)函数fx
π
=sinωx+
3
ω>0 在0,1 上有唯一的极大
值，则ω∈ ( )
13π
A. π,
6
13π
B. π,
6
π 13π
C. ,
6 6
13π 25π
D. ,
6 6
1319 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx
π
=cosωx+
4
ω>0
π
在区间0,
2
内有且
仅有一个极大值，且方程fx
1 π
= 在区间0,
2 2
内有4个不同的实数根，则ω的取值范
围是 ( )
7 41
A. ,
2 6
7 41
B. ,
2 6
41 15
C. ,
6 2
25 15
D. ,
6 2
5 题型五：对称性
1320 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx
π
=cosωx-
4
(ω>0)在区间[0，π]上有且
仅有3条对称轴，则ω的取值范围是 ( )
13 17
A. ，
4 4
9 13
B. ，
4 4
9 13
C. ，
4 4
13 17
D. ，
4 4
1321 (2024·内蒙古赤峰·校考模拟预测)已知函数fx =cosωx- 3sinωx(ω>0)，若fx
在区间0,2π 上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是 ( )
5 4
A. ,
6 3
13 19
B. ,
12 12
4 19
C. ,
3 12
13 4
D. ,
12 3
1322 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx
π
=sinωx+
4
(ω>0)在区间0,π 上有且仅
有4条对称轴，下列四个结论正确的是 ( )
A. fx 在区间0,π 上有且仅有3个不同的零点
第 页 共 页
245 1043B. fx
π
的最小正周期可能是
4
13 17
C.ω的取值范围是 ,
4 4
D. fx
π
在区间0,
15
上单调递增
1323 (2024·浙江衢州·高一统考期末)函数fx
π
=sinωx+
4
ω>0 在区间0,π 上恰有两
条对称轴，则ω的取值范围为 ( )
7 13
A. ,
4 4
9 11
B. ,
4 4
7 11
C. ,
4 4
5 9
D. ,
4 4
1324 (2024·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习)已知函数fx = 3sinωxcosωx
1
+cos2ωx- (ω>0,x∈R)在0,π
2
内有且仅有三条对称轴，则ω的取值范围是 ( )
2 7
A. ,
3 6
7 5
B. ,
6 3
5 13
C. ,
3 6
13 8
D. ,
6 3
6 题型六：性质的综合问题
1325 (2024·全国·高三专题练习)函数fx =3sinωx+φ ω>0，φ
π
<
2
π
，已知 f
3
=3，
π
且对于任意的x∈R都有f- +x
6
π
+f- -x
6
=0，若fx
5π 2π
在 ,
36 9
上单调，则ω
的最大值为 ( )
A.11 B.9 C.7 D.5
π
1326 (2024·全国·高一专题练习)设函数f(x)=cosωx-
4
(ω>0)，已知f(x)在[[0,2π]有
且仅有4个零点，下述四个结论：①f(x)=1在[0,2π]有且仅有2个零点；②f(x)=-1在
15 19
[0,2π]有且仅有2个零点；③ω的取值范围是 ,
8 8
π
；④f(x)在0,
10
单调递增，其
中正确个数是 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
1327 (多选题)(2024·福建漳州·统考三模)已知函数fx
ωx ωx ωx
=sin cos +cos2 -
2 2 2
1
ω>0
2
在0,π 上有且仅有4条对称轴；则 ( )
13 17
A.ω∈ ,
4 4
B.π可能是fx 的最小正周期
C.函数fx
π π
在- ,
16 16
上单调递增
D.函数fx 在0,π 上可能有3个或4个零点
1328 (多选题)(2024·广东汕头·统考一模)知函数fx
π
=sinωx+
4
ω>0 ，则下述结论中
正确的是 ( )
A.若fx 在0,2π 有且仅有4个零点，则fx 在0,2π 有且仅有2个极小值点
B.若fx 在0,2π 有且仅有4个零点，则fx
2π
在0,
15
上单调递增
C.若fx 在0,2π
15 19
有且仅有4个零点，则ω的范围是 , 8 8
D.若fx
π π 5π
的图象关于x= 对称，且在 ,
4 18 36
单调，则ω的最大值为9
第 页 共 页
246 1043π
1329 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinωx+
4
(ω>0)，则下述结论
中错误的是 ( )
A.若f(x)在[0，2π]有且仅有4个零点，则f(x)在[0，2π]有且仅有2个极小值点
2π
B.若f(x)在[0，2π]有且仅有4个零点，则f(x)在0,
15
上单调递增
15 19
C.若f(x)在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是 ,
8 8
π π 5π
D.若f(x)图象关于x= 对称，且在 ,
4 18 36
单调，则ω的最大值为11
π
1330 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinωx+
6
,(ω>0)在[0,π]上
有且仅有三个对称轴，则下列结论正确的是 ( )
A.函数fx
π
在0,
10
上单调递增.
π
B. ,0
4
不可能是函数y=fx 的图像的一个对称中心
10 13
C.ω的范围是 ,
3 3
π
D. f(x)的最小正周期可能为
2
1331 (多选题)(2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测)已知函数fx =
2sinωx+φ ω>0
π
的最小正周期T<π，f
5
=1，且fx
π
在x= 处取得最大值.
10
下列结论正确的有 ( )
2
A.sinφ=
2
15
B.ω的最小值为
2
C.若函数fx
π π
在 ,
20 4
35
上存在零点，则ω的最小值为
2
D.函数fx
13π 11π
在 ,
20 15
上一定存在零点
1332 (多选题)(2024·全国·高一专题练习)记函数fx =cosωx+φ ω>0,0<φ<π 的最
小正周期为T，若fT
3
= ，在区间0,1
2
恰有三个零点，则关于fx 下列说法正确的
是 ( )
A. fx 在0,1 上有且仅有1个最大值点
B. fx 在0,1 上有且仅有2个最小值点
C. fx
1
在 0,
4
上单调递增
7π 10π
D.ω的取值范围为 ,
3 3
1333 (多选题)(2024·全国·高一专题练习)下列说法正确的是 ( )
A.函数fx = 3sinx +cosx
2 7
在 π, π
3 6
上单调递增
B.函数fx
3 π
=sin2x+ 3cosx- x∈ 0,
4 2
的最大值是1
C.若函数fx
π
=cosωx-
3
ω>0 ，对任意x∈R，都有fx
π
≤ f
3
，并且fx 在
π π
区间 - ,
6 3
上不单调，则ω的最小值是4
D.若函数fx
ωx ωx ωx 1
= 3sin cos +cos2 - 在区间π,2π
2 2 2 2
内没有零点，则ω的取
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247 10433
值可以是
2
1334 (多选题)(2024·江西九江·高一德安县第一中学校考期中)已知函数fx =sinωx+φ
(其中ω>0，φ
π
<π)，f-
6
=0，fx
π
≥f
2
恒成立，且函数fx
π π
在区间- ,
9 18
上单调，那么下列说法正确的是 ( )
A.存在φ，使得fx 是偶函数 B. f0 =fπ
3
C.ω是 的整数倍 D.ω的最大值是6
4
第 页 共 页
248 1043
