第31讲ω的取值范围与最值问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第31讲 ω的取值范围与最值问题
知识梳理
1、f(x)=Asin(ωx+φ)在f(x)=Asin(ωx+φ)区间(a，b)内没有零点⇒
b-a  T b-a   ≤ 2
⇒
kπ≤aω+ϕ<π+kπ

kπ<bω+ϕ≤π+kπ

T
 ≤  2  kπ-ϕ
a≥
 ω

π+kπ-ϕ

b≤
ω
同理，f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内没有零点
b-a
⇒
 T b-a   ≤ 2
⇒
kπ<aω+ϕ<π+kπ

kπ<bω+ϕ<π+kπ

T
 <  2  kπ-ϕ
a>
 ω

π+kπ-ϕ

b<
ω
2、f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a，b)内有3个零点
T<b-a
⇒

T<b-a
≤2T 
kπ≤aω+ϕ<π+kπ ⇒
3π+kπ<bω+ϕ≤4π+kπ
  ≤2T

kπ-φ (k+1)π-φ
≤a<
 ω ω
(k+3)π-φ (k+4)π-φ
 <b≤
 ω ω
同理f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内有2个零点
T ≤b-a 2
⇒

T
  < 3 2 T 2 ≤b-a
⇒
kπ<aω+ϕ≤π+kπ

2π+kπ≤bω+ϕ<3π+kπ

3T
  < 2 kπ-φ kπ+π-φ
<a≤
 ω ω

(k+2)π-φ (k+3)π-φ
 ≤b<
 ω ω
3、f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a，b)内有n个零点
(n-1)T
≤b-a
2
⇒

 (n+1)T
 <
2
 kπ-φ kπ+π-φ
≤a<
 ω ω

(k+n)π-φ (k+n+1)π-φ
 <b≤
 ω ω
同理f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点
(n-1)T
≤b-a
2
⇒

 (n+1)T
 <
2
 kπ-φ kπ+π-φ
<a≤
 ω ω

(k+n)π-φ (k+n+1)π-φ
 ≤b<
 ω ω
2n+1
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 T，则
4
2n+1 (2n+1)π
T= =b-a
4 2ω
 ．
5、已知单调区间(a,b)，则a-b 
T
≤ .
2
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242 1043必考题型全归纳
1 题型一：零点问题
1297 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx  =sinωx+φ 
1
- (ω>0)，若对于任意实数φ，
2
函数fx  在区间0,2π  上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是 ( )
4
A.  1,
 3

4 5
B.   ,
 3 3

5
C.   ,2
 3

7
D.  2,
 3

π 3π
1298 (2024·全国·高一专题练习)设函数f(x)=2sinωx-1(ω>0)，在区间  ,
 4 4
 上至少有
2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则ω的取值范围是 ( )
26 10
A.   ,
 9 3

26 58
B.   ,
 9 9

34 58
C.   ,
 9 9

26 10
D.   ,
 9 3

34 58
∪  ,
 9 9

1299 (2024·河北·高二统考学业考试)设函数f(x)=2sinωx+φ  -1ω>0  ，若对于任意实
π 3π
数φ，f(x)在区间  ,
 4 4
 上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是
( )
8 16
A.   ,
 3 3

16
B.  4,
 3

20
C.  4,
 3

8 20
D.   ,
 3 3

1300 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
π
的图象是由y= 2sinωx+
3
 (ω>0)的图
π
象向右平移 个单位得到的，若fx
3

π
在  ,π
 2
 上仅有一个零点，则ω的取值范围是(
)．
5
A.  0,
 2
 B. 1，3 
5
C.  1,
 2
 D. 1,4 
1301 (2024·全国·高三专题练习)记函数fx  =sinωx+φ 
π
ω>0,0<φ<
2
 的最小正周期
为T.若fT 
3 π
= ，x= 为fx
2 6
 的零点，则ω的最小值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
1302 (2024·全国·模拟预测)若函数fx 
  2sinωx+1 ,cosωx≠ 3
cosωx- 3 2
=  ω>0
3
x,cosωx=
 2
 在0,4π  上有
3个零点，则ω的取值范围是 ( )
13
A.  ,+∞
24

13 25
B.  ,
24 24

31
C.  ,+∞
24

31 43
D.  ,
24 24

2 题型二：单调问题
1303 (2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数fx 
π
=sinωx-
3
 ω>0  的图象
π
关于点 ,0
6
 对称，且fx 
5π
在0,
48
 上单调，则ω的取值集合为 ( )
A. 2  B. 8  C. 2,8  D. 2,8,14 
第 页 共 页
243 10431304 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =sinωx+φ  ω>0,φ 
π
 ≤
2

π
，x=- 是函
8
数fx 
π
的一个零点，x= 是函数fx
8
 的一条对称轴，若fx 
π π
在区间 ,
5 4
 上单调，
则ω的最大值是 ( )
A.14 B.16 C.18 D.20
π π
1305 (2024·内蒙古赤峰·校考模拟预测)若直线x= 是曲线y=sinωx-
4 4
 (ω>0)的一条
π
对称轴，且函数y=sinωx-
4

π
在区间 0，
 12
 上不单调，则ω的最小值为 ( )
A.9 B.7 C.11 D.3
1306 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =sinωx+φ  ω>0  的一个对称中心为
π
- ,0
3
 ，fx 
5π
在区间 ,π
6
 上不单调，则ω的最小正整数值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1307 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =sinωx+φ  ω>0 
π π
在 - ,
 3 6
 上单调，且
π
f
6

4π
=f
3

π
=-f-
3
 ，则ω的可能取值 ( )
A.只有1个 B.只有2个 C.只有3个 D.有无数个
3 题型三：最值问题
1308 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  = 3sinωx-cosωx(ω>0)在区间
2π 3π
 - ,
 5 4
 上单调递增，且在区间[0,π]上只取得一次最大值，则ω的取值范围是
( )
2 8
A.   ,
 3 3

2 5
B.   ,
 3 6

2 8
C.   ,
 3 9

5 8
D.   ,
 6 9

1309 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
π
=2sinωx+
3
 ω>0 
π
，若f
3
 =0，且fx 
π 5π
在 ,
3 12
 上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为 ．
1310 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =2sinωx+φ  ω>0 
π
在x= 处取得最大
3
值，且fπ  =0，若函数fx 
π 5π
在 ,
3 12
 上是单调的，则ω的最大值为 ．
1311 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
π
=sinωx+
6
 在(0，2]上有最大值和最小
值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则ω的取值范围是 .
1312 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinωx+acosωx(a>0,ω>0)的最大值为
2，则使函数f(x)在区间0,3  上至少取得两次最大值，则ω取值范围是
1313 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  =cos2ωx+2sinωxcosωx-sin2ωx(ω>0)在
π π
 ,
12 3
 上有最大值，无最小值，则ω的取值范围是 ．
4 题型四：极值问题
第 页 共 页
244 1043π π
1314 (2024·全国·高三专题练习)记函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,- <φ<
2 2
 的最小正周
T
期为T．若f
2

2 π
= ,x= 为f(x)的极小值点，则ω的最小值为 ．
2 8
π
1315 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=4sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<
2
 ，f(0)=f(4)=
-2，函数f(x)在(0,4)上有且仅有一个极小值但没有极大值，则ω的最小值为 ( )
π π 5π 4π
A. B. C. D.
6 3 6 3
1316 (2024·山西运城·高三统考期中)已知函数fx 
π
=cosωx+
4
 ω>0 
π
在区间0,
2
 内
有且仅有一个极小值，且方程fx 
1 π
= 在区间0,
2 2
 内有3个不同的实数根，则ω的取
值范围是 ( )
25 11
A.  ,
6 2

25 11
B.   ,
 6 2

25 11
C.  ,
6 2

25 11
D.   ,
 6 2

1317 (2024·全国·校联考三模)已知函数fx 
π
=2sinωx+
6
 ω>0 
π π
，x∈ - ,
 3 2
 .若函数
fx  只有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围为 ( )
A. 2,5  B. 2,5 
8
C. 2,
3

8
D. 2,
3

1318 (2024·全国·高三专题练习)函数fx 
π
=sinωx+
3
 ω>0  在0,1  上有唯一的极大
值，则ω∈ ( )
13π
A.  π,
 6

13π
B.  π,
 6

π 13π
C.  ,
6 6

13π 25π
D.   ,
 6 6

1319 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
π
=cosωx+
4
 ω>0 
π
在区间0,
2
 内有且
仅有一个极大值，且方程fx 
1 π
= 在区间0,
2 2
 内有4个不同的实数根，则ω的取值范
围是 ( )
7 41
A.  ,
2 6

7 41
B.  ,
2 6

41 15
C.  ,
6 2

25 15
D.  ,
6 2

5 题型五：对称性
1320 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
π
=cosωx-
4
 (ω>0)在区间[0，π]上有且
仅有3条对称轴，则ω的取值范围是 ( )
13 17
A.  ，
4 4

9 13
B.  ，
4 4

9 13
C.   ，
 4 4

13 17
D.   ，
 4 4

1321 (2024·内蒙古赤峰·校考模拟预测)已知函数fx  =cosωx- 3sinωx(ω>0)，若fx 
在区间0,2π  上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是 ( )
5 4
A.   ,
 6 3

13 19
B.   ,
12 12

4 19
C.   ,
 3 12

13 4
D.   ,
12 3

1322 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx 
π
=sinωx+
4
 (ω>0)在区间0,π  上有且仅
有4条对称轴，下列四个结论正确的是 ( )
A. fx  在区间0,π  上有且仅有3个不同的零点
第 页 共 页
245 1043B. fx 
π
的最小正周期可能是
4
13 17
C.ω的取值范围是  ,
 4 4

D. fx 
π
在区间0,
15
 上单调递增
1323 (2024·浙江衢州·高一统考期末)函数fx 
π
=sinωx+
4
 ω>0  在区间0,π  上恰有两
条对称轴，则ω的取值范围为 ( )
7 13
A.   ,
 4 4

9 11
B.  ,
4 4

7 11
C.   ,
 4 4

5 9
D.   ,
 4 4

1324 (2024·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习)已知函数fx  = 3sinωxcosωx
1
+cos2ωx- (ω>0,x∈R)在0,π
2
 内有且仅有三条对称轴，则ω的取值范围是 ( )
2 7
A.   ,
 3 6

7 5
B.   ,
 6 3

5 13
C.   ,
 3 6

13 8
D.   ,
 6 3

6 题型六：性质的综合问题
1325 (2024·全国·高三专题练习)函数fx  =3sinωx+φ  ω>0，φ 
π
 <
2

π
，已知 f
3
  =3，
π
且对于任意的x∈R都有f- +x
6

π
+f- -x
6
 =0，若fx 
5π 2π
在 ,
36 9
 上单调，则ω
的最大值为 ( )
A.11 B.9 C.7 D.5
π
1326 (2024·全国·高一专题练习)设函数f(x)=cosωx-
4
 (ω>0)，已知f(x)在[[0,2π]有
且仅有4个零点，下述四个结论：①f(x)=1在[0,2π]有且仅有2个零点；②f(x)=-1在
15 19
[0,2π]有且仅有2个零点；③ω的取值范围是  ,
 8 8

π
；④f(x)在0,
10
 单调递增，其
中正确个数是 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
1327 (多选题)(2024·福建漳州·统考三模)已知函数fx 
ωx ωx ωx
=sin cos +cos2 -
2 2 2
1
ω>0
2
 在0,π  上有且仅有4条对称轴；则 ( )
13 17
A.ω∈  ,
 4 4

B.π可能是fx  的最小正周期
C.函数fx 
π π
在- ,
16 16
 上单调递增
D.函数fx  在0,π  上可能有3个或4个零点
1328 (多选题)(2024·广东汕头·统考一模)知函数fx 
π
=sinωx+
4
 ω>0  ，则下述结论中
正确的是 ( )
A.若fx  在0,2π  有且仅有4个零点，则fx  在0,2π  有且仅有2个极小值点
B.若fx  在0,2π  有且仅有4个零点，则fx 
2π
在0,
15
 上单调递增
C.若fx  在0,2π 
15 19
有且仅有4个零点，则ω的范围是  ,  8 8 
D.若fx 
π π 5π
的图象关于x= 对称，且在 ,
4 18 36
 单调，则ω的最大值为9
第 页 共 页
246 1043π
1329 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinωx+
4
 (ω>0)，则下述结论
中错误的是 ( )
A.若f(x)在[0，2π]有且仅有4个零点，则f(x)在[0，2π]有且仅有2个极小值点
2π
B.若f(x)在[0，2π]有且仅有4个零点，则f(x)在0,
15
 上单调递增
15 19
C.若f(x)在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是  ,
 8 8

π π 5π
D.若f(x)图象关于x= 对称，且在 ,
4 18 36
 单调，则ω的最大值为11
π
1330 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=sinωx+
6
 ,(ω>0)在[0,π]上
有且仅有三个对称轴，则下列结论正确的是 ( )
A.函数fx 
π
在0,
10
 上单调递增.
π
B.  ,0
4
 不可能是函数y=fx  的图像的一个对称中心
10 13
C.ω的范围是  ,
 3 3

π
D. f(x)的最小正周期可能为
2
1331 (多选题)(2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测)已知函数fx  =
2sinωx+φ  ω>0 
π
的最小正周期T<π，f
5
 =1，且fx 
π
在x= 处取得最大值.
10
下列结论正确的有 ( )
2
A.sinφ=
2
15
B.ω的最小值为
2
C.若函数fx 
π π
在 ,
20 4

35
上存在零点，则ω的最小值为
2
D.函数fx 
13π 11π
在 ,
20 15
 上一定存在零点
1332 (多选题)(2024·全国·高一专题练习)记函数fx  =cosωx+φ  ω>0,0<φ<π  的最
小正周期为T，若fT 
3
= ，在区间0,1
2
 恰有三个零点，则关于fx  下列说法正确的
是 ( )
A. fx  在0,1  上有且仅有1个最大值点
B. fx  在0,1  上有且仅有2个最小值点
C. fx 
1
在 0,
 4
 上单调递增
7π 10π
D.ω的取值范围为  ,
 3 3

1333 (多选题)(2024·全国·高一专题练习)下列说法正确的是 ( )
A.函数fx  = 3sinx  +cosx 
2 7
在  π, π
 3 6
 上单调递增
B.函数fx 
3 π
=sin2x+ 3cosx- x∈ 0,
4  2
   的最大值是1
C.若函数fx 
π
=cosωx-
3
 ω>0  ，对任意x∈R，都有fx 
π
≤ f
3
   ，并且fx  在
π π
区间 - ,
 6 3
 上不单调，则ω的最小值是4
D.若函数fx 
ωx ωx ωx 1
= 3sin cos +cos2 - 在区间π,2π
2 2 2 2
 内没有零点，则ω的取
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值可以是
2
1334 (多选题)(2024·江西九江·高一德安县第一中学校考期中)已知函数fx  =sinωx+φ 
(其中ω>0，φ 
π
<π)，f-
6
 =0，fx 
π
≥f
2
 恒成立，且函数fx 
π π
在区间- ,
9 18

上单调，那么下列说法正确的是 ( )
A.存在φ，使得fx  是偶函数 B. f0  =fπ 
3
C.ω是 的整数倍 D.ω的最大值是6
4
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