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第 31 讲 的取值范围与最值问题
知识梳理
1、 在 区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{
b a a
⇒¿| − |≤ ¿ ≥ ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ≤aω+ϕ<π+kπ¿¿¿
2 ω
2
同理， 在区间 内没有零点
T kπ ϕ
{ { −
T
{
b a a
⇒¿| − |< ¿ > ¿¿¿
⇒¿ |b−a|≤ ¿ {kπ<aω+ϕ<π+kπ¿¿¿
2 ω
2
在区间 内有 个零点
2、
{T b a 2T {kπ aω ϕ π kπ
⇒¿ <| − |≤ ¿ ≤ + < + ¿¿¿
在区间 内有 个零点
同理
T 3T
{
⇒¿ ≤|b−a|< ¿ {kπ<aω+ϕ≤π+kπ¿¿¿
2 2
3、 在区间 内有 个零点同理 在区间 内有 个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 ，
则 ．
5、已知单调区间 ，则 .
必考题型全归纳
题型一：零点问题
例1．（2024·全国·高三专题练习）设函数 ，若对于任意实数
，函数 在区间 上至少有3个零点，至多有4个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 为任意实数，故函数 的图象可以任意平移，从而研究函数 在区间
上的零点问题，即研究函数 在任意一个长度为 的区间上的零点问题，
令 ，得 ，则它在 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为 ，
， ， ， ， ，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为 ， ， ， ， ，
故相邻四个零点之间的最大距离为 ，相邻五个零点之间的距离为 ，
所以要使函数 在区间 上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点
之间的最大距离不大于 ，相邻五个零点之间的距离大于 ，
即 ，解得 .
故选：C
例2．（2024·全国·高一专题练习）设函数 ，在区间 上至
少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 ，在区间 上至少有2个不同的零点，至多有
3个不同的零点，即 在区间 上至少有2个不同的根，至多有3个不同的
根，，
如图：
①当 ，则 ，得 无解；
②当 ，则 ，求得 ；
③当 时，则 ，求得 ；
④当 时，区间 长度 超过了正弦函数的两个最小正周
期长度，故方程 在区间 上至少有4个根，不满足题意；
综上，可得 或 ；
故选：D.
例3．（2024·河北·高二统考学业考试）设函数 ，若对于任意
实数 ， 在区间 上至少有2个零点，至多有3个零点，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】令 ，则
令 ，则
则问题转化为 在区间 上至少有两个，至少有三个t，使得 ，
求 的取值范围.
作出 和 的图像，观察交点个数，
可知使得 的最短区间长度为2π，最长长度为 ，
由题意列不等式的：
解得： .
故选：B
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的图象是由 （
）的图象向右平移 个单位得到的，若 在 上仅有一个零点，则 的取值
范围是（ ）．
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】由题知，函数 在 上仅有一个零点，
所以 ，所以 ，
令 ，得 ，即 .
若第一个正零点 ，则 （矛盾），
因为函数 在 上仅有一个零点，
所以 ，解得 .
故选：C.
变式2．（2024·全国·高三专题练习）记函数 的最小正
周期为 .若 ， 为 的零点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C【解析】因为 的最小正周期为 ，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 为 的零点，
所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的最小值为4，
故选：C
变式3．（2024·全国·模拟预测）若函数 在
上有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则
当 时， ，即 ，
当 时， ，矛盾，所以 ，且 ，又 ，
所以 ，且 ，
所以 ．
所以 ，因为 ，
所以函数 的正零点从小到大依次为： ， ， ， ，
因为函数 在 上有3个零点，
所以
所以 ．
故选：D．
题型二：单调问题
例4．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 的图
象关于点 对称，且 在 上单调，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 关于点 对称，所以 ，
所以 ①；
，而 在 上单调，所以 ， ②；
由①②得 的取值集合为 .
故选：C
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， 是
函数 的一个零点， 是函数 的一条对称轴，若 在区间 上单调，
则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数 的最小正周期为 ，
因为 是函数 的一个零点， 是函数 的一条对称轴，
则 ，其中 ，所以， ， ，
因为函数 在区间 上单调，则 ，所以， .
所以， 的可能取值有： 、 、 、 、 .
（i）当 时， ， ，
所以， ，则 ，
， ，所以， ，
当 时， ，所以，函数 在 上不单调，不合乎题意；
（ii）当 时， ， ，
所以， ，则 ，
， ，所以， ，
当 时， ，所以，
函数 在 上单调递减，合乎题意.
因此， 的最大值为 .
故选：A.
例6．（2024·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线 是曲线 的一
条对称轴，且函数 在区间[0， ]上不单调，则 的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
【答案】C
【解析】因直线 是曲线 的一条对称轴，则
，即 ，
由 得 ，则函数 在 上单调递增，
而函数 在区间 上不单调，则 ，解得 ，
所以 的最小值为11.
故选：C变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的一个对称中心
为 ， 在区间 上不单调，则 的最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由函数 的一个对称中心为 ，
可得 ，
所以 ， ，
， ，
，
由 在区间 上不单调，
所以 在区间 上有解，
所以 ，在区间 上有解，
所以 ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，
此时 的最小正整数为 .
故选：B
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单
调，且 ，则 的可能取值（ ）
A．只有1个 B．只有2个
C．只有3个 D．有无数个
【答案】C
【解析】设 的最小正周期为T，则由函数 在 上单调，可得
，即 ．
因为 ，所以 .
由 在 上单调，且 ，得 的一个零点为 ，
即 为 的一个对称中心.
因为 ，所以 为 的一条对称轴.因为 ，所以有以下三种情况：
① ，则 ；
②当 时，则 ，符合题意；
③ ，则 ，符合题意．
因为 ， 不可能满足其他情况.
故 的可能取值只有3个．
故选：C
题型三：最值问题
例7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在区间
上单调递增，且在区间 上只取得一次最大值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，函数 ， ，
因为 在区间 上单调递增，由 ，则 ，
于是 且 ，解得 且 ，即 ，
当 时， ，因为 在区间 上只取得一次最大值，
因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .故选：B
例8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，
且 在 上有最大值，没有最小值，则 的最大值为______．
【答案】17
【解析】由 ，且 在 上有最大值，没有最小值，可得
， 所以 .
由 在 上有最大值，没有最小值，可得 ，解得
，又 ，当 时， ，则 的最大值为17，,
故答案为：17
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得最
大值，且 ，若函数 在 上是单调的，则 的最大值为______．
【答案】 /11.25
【解析】由题意，函数
满足 ， ，
可得 ， ，
两式相减得 ，其中 ，解得 ，
又由 ，可得 ，
即 ，解得 ，
故m的最大值为8，
此时 取得最大值 ．
故答案为：
变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在（0，2]上有最大值和
最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】易知 时不满足题意，
由 Z，得 Z，
当 时，第2个正最值点 ，解得 ，
第3个正最值点 ，解得 ，故 ；
当 时，第2个正最值点 ，解得 ，
第3个正最值点 ，解得 ，故 .
综上， 的取值范围是 .
故答案为：
变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的最大
值为2，则使函数 在区间 上至少取得两次最大值，则 取值范围是_______【答案】 /
【解析】 ，因为 ， ，故
，原式为 ，当 取到最大值时， ，
当 ， 取得前两次最大值时， 分别为0和1， 时， ，
，此时需满足 ，解得 .
故答案为：
变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数
在 上有最大值，无最小值，则 的
取值范围是________．
【答案】
【解析】 ．
由题可知， ，所以 ，
当 时， ，
因为函数 在 上有最大值，无最小值，
所以存在 ，使得整理得 ，（ ）.
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
题型四：极值问题
例10．（2024·全国·高三专题练习）记函数 的最小正
周期为T．若 为 的极小值点，则 的最小值为__________．
【答案】14
【解析】 因为 所以最小正周期 ，
又 所以 ，即 ；
又 为 的极小值点，所以 ，解得 ，因为
，所以当 时 ；
故答案为：14
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，
，函数 在 上有且仅有一个极小值但没有极大值，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ．又 ，∴ ．
当 时，函数取到最小值，此时 ， ．解得 ，
．
所以当 时， .
故选：C．
例12．（2024·山西运城·高三统考期中）已知函数 在区间 内
有且仅有一个极小值，且方程 在区间 内有3个不同的实数根，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，若 在区间 内有且仅有一
个极小值，则 .若方程 在区间 内有3个不同的实数根，则
，所以 ，由 ，解得 .
所以 的取值范围是 .
故选：C变式9．（2024·全国·校联考三模）已知函数 ， .若
函数 只有一个极大值和一个极小值，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，因为 ，所以 则问题转化为
在 上只有一个极大值和一个极小值，
因为 函数 只有一个极大值和一个极小值，则 ，即 ，
又 ，所以 ，所以
则 解得 故
故选：C
变式10．（2024·全国·高三专题练习）函数 在 上有唯一的
极大值，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：当 时， ，
因为函数 在 上有唯一的极大值，所以函数 在 上有唯一极大值，
所以， ，解得 .
故选：C
方法二：令 ， ，则 ， ，
所以，函数 在 轴右侧的第一个极大值点为 ，第二个极
大值点为 ，
因为函数 在 上有唯一的极大值，
所以， 解得 .
故选：C
变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 内有
且仅有一个极大值，且方程 在区间 内有4个不同的实数根，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数 ，因为 ，所以 ，
若 在区间 内有且仅有一个极大值，则 ，解得 ；若
方程 在区间 内有4个不同的实数根，
则 ，解得 ．
综上可得，实数 的取值范围是 ．
故选：C.
题型五：对称性
例13．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在区间[0， ]上
有且仅有3条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A．（ ， ] B．（ ， ] C．[ ， ） D．[ ， ）
【答案】C
【解析】 ，
令 ， ，则 ， ，
函数f（x）在区间[0， ]上有且仅有3条对称轴，即 有3个整数k符合，
，得 ，则 ，
即 ，∴ .
故选：C.
例14．（2024·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数 ，若在区间 上有且仅有 个零点和 条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 ，
令 ，由 ，则 ，
又函数 在区间 上有且仅有 个零点和 条对称轴，
即 在区间 上有且仅有 个零点和 条对称轴，
作出 的图象如下，
所以 ，得 ．
故选：D．
例15．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上有
且仅有4条对称轴，下列四个结论正确的是（ ）
A． 在区间 上有且仅有3个不同的零点
B． 的最小正周期可能是
C． 的取值范围是D． 在区间 上单调递增
【答案】C
【解析】函数 ，
令 ， ，得 ， ，
函数 在区间 , 上有且仅有4条对称轴，即有4个整数 满足 ，
得 ，可得 ，1，2，3，
则 ，
，即 的取值范围是 ，故C正确；
， ，由于 得 ，，
当 时， 在区间 上有且仅有4个不同的零点，故A错误；
周期 ，由 ，得 ，
， 的最小正周期不可能是 ，故B错误；
， ，
又 ， ，
又 ， 在区间 上不一定单调递增，故D错误．
故选：C
变式12．（2024·浙江衢州·高一统考期末）函数 在区间 上
恰有两条对称轴，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】 ，
令 ， ，则 ， ，
函数 在区间[0， ]上有且仅有2条对称轴，即 有2个整数k符合，
，得 ，则 ，
即 ，∴ .
故选：D.
变式13．（2024·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）已知函数
在 内有且仅有三条对称轴，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 时，函数
，
则 ，函数 在 内有且仅有三条对称轴，则：满足
，解得 ，即实数 的取值范围是 .
题型六：性质的综合问题
例16．（2024·全国·高三专题练习）函数 （ ， ），已知，且对于任意的 都有 ，若 在 上
单调，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ， ，
∴ ， ，
又对于任意的 都有 ，
∴ ， ，
∴ ，又 ，
∴ 或 ，
当 时， ， 且 ，
当 时， ，
若 ，则 ，
∴ 在 上不单调，C错误，
当 时， ， 且 ，
当 时， ，
若 ，则 ，∴ 在 上不单调，A错误，
当 时， ，
若 ，则 ，
∴ 在 上单调，D正确，
故选：D.
例17．（2024·全国·高一专题练习）设函数 ，已知 在[
有且仅有4个零点，下述四个结论：① 在 有且仅有2个零点；②
在 有且仅有2个零点；③ 的取值范围是 ；④ 在 单调
递增，其中正确个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】由 时，得到 ，根据 在[ 有且仅有4个
零点，则 在第4个零点和第5个零点之间，然后利用余弦函数的性质求解.当
时，
，因为 在[ 有且仅有4个零点，
所以 在第4个零点和第5个零点之间，
所以 ，
解得 ，故③正确；
当 时， ，又 ，
，结合 知 最多有3个零点，故①错误；
当 时， ，又 ，
，结合 有且仅有2个零点，故②正确；
当 时， ，因为 ，所以 ，
则 ，所以 在 单调递增，故④正确；
故选：D
例18．（多选题）（2024·福建漳州·统考三模）已知函数
在 上有且仅有 条对称轴；则（ ）
A．
B． 可能是 的最小正周期
C．函数 在 上单调递增
D．函数 在 上可能有 个或 个零点
【答案】AD【解析】 ；
对于A，当 时， ，
在 上有且仅有 条对称轴， ，解得： ，
即 ，A正确；
对于B，若 是 的最小正周期，则 ， 不能是 的最小正周期，
B错误；
对于C，当 时， ；
， ， ，
， 当 时， 不是单调函数，C错误；
对于D，当 时， ，
， ；
当 时， 在 上有 个零点；
当 时， 在 上有 个零点；
在 上可能有 个或 个零点，D正确.
故选：AD.变式14．（多选题）（2024·广东汕头·统考一模）知函数 ，则
下述结论中正确的是（ ）
A．若 在 有且仅有 个零点，则 在 有且仅有 个极小值点
B．若 在 有且仅有 个零点，则 在 上单调递增
C．若 在 有且仅有 个零点，则 的范围是
D．若 的图象关于 对称，且在 单调，则 的最大值为
【答案】ACD
【解析】令 ，由 ，可得出 ，
作出函数 在区间 上的图象，如下图所示：
对于A选项，若 在 有且仅有 个零点，则 在 有且仅有 个极小值
点，A选项正确；
对于C选项，若 在 有且仅有 个零点，则 ，解得
，C选项正确；
对于B选项，若 ，则 ，所以，函数 在区间 上不单调，B选项错误；
对于D选项，若 的图象关于 对称，则 ，
.
， ， ， .
当 时， ，当 时， ，
此时，函数 在区间 上单调递减，合乎题意，D选项正确.
故选：ACD.
变式15．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
下述结论中错误的是（ ）
A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点
B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在 上单调递增
C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是
D．若f（x）图象关于 对称，且在 单调，则ω的最大值为11
【答案】BD
【解析】因为 ,因为 在
有且仅有 个零点，所以 ，所以 .所以选项C正确；此时， 在 有且仅有 个极小值点，故选项A正确；
因为 ，
因为 ，所以当 时，所以 ，此时函数不是单调函数，所
以选项B错误；
若 的图象关于 对称，则 ， .
， ， ， .
当 时， ，当 时， ，
此时，函数 在区间 上单调递减，故 的最大值为9．故选项D错误.
故选：BD
变式16．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在
上有且仅有三个对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递增.
B． 不可能是函数 的图像的一个对称中心
C． 的范围是D． 的最小正周期可能为
【答案】AB
【解析】 的对称轴方程为：
上有且仅有三个对称轴， ， .
A选项： ，所以A正确；
B选项：若 是f(x)的一个对称中心，则：
， ， ，所以k不存在，B正确；
C选项:由上解得 ，所以C错误；
D选项： ，所以D错误.
故选：AB.
变式17．（多选题）（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知函数
的最小正周期 ， ，且 在 处取得最大值.
下列结论正确的有（ ）
A．
B． 的最小值为
C．若函数 在 上存在零点，则 的最小值为
D．函数 在 上一定存在零点
【答案】ACD【解析】A选项，因 在 处取得最大值，则 图象关于 对称，则
，故A正确；
B选项，最小正周期 ，则 ， ，
则 或 ，又 在 处取得最大值，
则 ，则 或 ，
其中 ，则 的最小值为 ，故B错误；
C选项，由A选项分析结合 ，可知 时，
可取 ，令 ，
则 ，其中 .
当 时，不存在相应的 ，当 时， ，则存在 满足题意；
由A选项分析结合 ，可知 时，
可取 ，令 ，
则 ，
当 时，不存在相应的 ，当 时， ，则存在 满足题意，
综上可知 的最小值为 ，故C正确；
D选项，由C分析可知， 时，可取 ，此时 ， ，存在零点；
时，可取 ，
此时 ， ，存在零点；
当 时， ，注意到 ，
则此时函数 在 上一定存在零点，
综上 在 上一定存在零点，故D正确.
故选：ACD
变式18．（多选题）（2024·全国·高一专题练习）记函数
的最小正周期为T，若 ，在区间 恰有三
个零点，则关于 下列说法正确的是（ ）
A． 在 上有且仅有1个最大值点 B． 在 上有且仅有2个最小值点
C． 在 上单调递增 D． 的取值范围为
【答案】AD
【解析】由题意函数 的最小正周期为T，则 ，
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，由 在区间 恰有三个零点，
而 时， ，
结合函数 的图象如图示：
则 在原点右侧的零点依次为 ，
则 ，
即 的取值范围为 ，D正确；
由于 时， ， ，
结合 图象可知， 仅在 时取得最大值，
故 在 有且仅有1个最大值点，A正确；
由A的分析可知， 在 时取得最小值，
由于 ，故 可能取到 ，也可能取不到，
故 在 可能有1个最小值点，也可能有2个最小值点，B错误；
当 时， ，
由于 ，所以 ，
因为 在 上单调递减，C错误；故选：
变式19．（多选题）（2024·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递增
B．函数 的最大值是1
C．若函数 ，对任意 ，都有 ，并且 在
区间 上不单调，则 的最小值是4
D．若函数 在区间 内没有零点，则 的取值可
以是
【答案】BC
【解析】对于A，由 ，得 ，所以
，
又 ，函数 在 上单调递减，所以函数
在 上单调递减，故A错误；
对于B， ，
当 时，函数取得最大值，最大值为1，故B正确；对于C，由 知，函数 的对称轴为 ，
所以 Z)，解得 Z)，由 知，
当 时， ， ，函数 在 上单调递增，不符合题意；
当 时， ， ，函数 在 上不单调，故 的最小值为4，
故C正确；
对于D，
，
当 时， ，由 ，得 ，当 时，
为函数的零点，故D错误.
故选：BC.
变式20．（多选题）（2024·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）已知函数
（其中 ， ）， ， 恒成立，且函数
在区间 上单调，那么下列说法正确的是（ ）
A．存在 ，使得 是偶函数 B．
C． 是 的整数倍 D． 的最大值是6
【答案】BC【解析】对于A,∵ ， 成立，∴ ，
整理得 ，解得 ，
，
假设存在 ，使得 是偶函数，则 ，
即 ，该式左侧为偶数，不可能等于5，矛盾,故A错误；
对于B，因为 ，函数 的图象关于 对称，
∴ ，故B正确；
对于C，∵ ，∴ 是 的整数倍，故C正确；
对于D，∵函数 在区间 上单调，∴ ，即 ，
当 时，由 ，整理得 ，
故 无解，故D错误．
故选：BC
