第62讲隐圆问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第62讲 隐圆问题 必考题型全归纳 1 题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长 3315 (2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末)平面内，定点A，B，C，D满足       |DA|=|DB|=|DC|=2，且DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅DA=-2，动点P，M满足|AP|    =1，PM=MC，则|BM|2的最大值为 ( ) 37+6 3 37+2 33 43 49 A. B. C. D. 4 4 4 4         3316 (2024·全国·高一阶段练习)已知a,b是单位向量，a⋅b=0，若向量c满足|c-a+b|=1，   则|c-b|的取值范围是 ( ) A.[ 2-1, 2+1] B.[1, 2+1] C.[0,2] D.[ 5-1, 5+1]   3317 (2024·全国·高三专题练习)已知单位向量a与向量b=0,2   垂直，若向量c满足    a+b+c   =1，则c  的取值范围为 ( ) A. 1, 5-1   3-1 3+1 B.  ,  2 2  C.  5-1, 5+1   3+1 D.  ,3  2  3318 (2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习)如果圆(x-a)2+(y-a)2=8 上总存在两个点到原点的距离为 2，则实数a的取值范围是 ( ) A.(-3,3) B.(-1,1) C.(-3,1) D.(-3,-1)∪(1,3) 3319 (2024·新疆和田·高二期中)如果圆(x-a)2+(y-1)2=1上总存在两个点到原点的距离 为2，则实数a的取值范围是 ( ) A. -2 2，0  ∪0，2 2  B. -2 2，2 2  C.(-1，0)∪(0，1) D.(-1，1) 3320 (2024·新疆·高三兵团第三师第一中学校考阶段练习)在平面内，定点A，B，C，D满足           |DA|=|DB|=|DC|=2，DA⋅BC=DB⋅AC=DC⋅AB=0，动点P，M满足|AP|=1，    PM=MC，则|BM|2的最大值为 ． 3321 (2024·安徽池州·高一池州市第一中学校考阶段练习)在平面内，定点D与A、B、C满足            |DA|=|DB|=|DC|，DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅DA=-8，动点P、M满足AP=2，PM   =MC，则|BM|2的最大值为 ． 2 题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值 3322 (2024·四川广元·高二四川省剑阁中学校校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，P (2，2),Q(-4,0)为两个定点，动点M在直线x=-1上，动点N满足NO2+NQ2=16，则   |PM+PN|的最小值为 ． 第 页 共 页 626 1043 3323 (2024·全国·高三专题练习)已知A,B,C,D四点共面，BC=2，AB2+AC2=20，CD=   3CA，则|BD|的最大值为 ． 3324 (2024·浙江金华·高二校联考期末)已知圆C:x+1  2+y-2  2=1，点A-1，0  ， B1，0  .设P是圆C上的动点，令d=PA  2+PB  2，则d的最小值为 ． 3325 (2024·高二课时练习)正方形ABCD与点P在同一平面内，已知该正方形的边长为1， 且PA  2+PB  2=PC  2，则PD  的取值范围为 . 3326 (2024·上海闵行·高二校考期末)如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所    在的平面内，且|PA|2+|PB|2+|PC|2=a(a为常数)，满足条件的点P有无数个，则实数a 的取值范围是 ． 3327 (2024·全国·高三专题练习)如图，ΔABC是边长为1的正三角形，点P在ΔABC所在的  平面内，且PA|2+    PB|2+|PC|2=a(a为常数)，下列结论中正确的是 A.当01时，满足条件的点P有无数个 D.当a为任意正实数时，满足条件的点总是有限个 3 题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90° 3328 (2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习)已知圆C:(x-1)2+(y-3)2 =10和点M5,t  ，若圆C上存在两点A,B使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是 ． 3329 (2024·江苏南京·金陵中学校考模拟预测)已知圆C：(x-1)2+(y-4)2=10和点M(5， t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是 3330 (2024·高二课时练习)设m∈R，过定点A的动直线mx-y=0和过定点B的动直线x +my-4m-3=0交于点P，则PA  +PB  的取值范围是 ( ) A.  5,2 5  B. 2 5,5  C. 5,5 2  D. 5,10  3331 (2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末)设m∈R，过定点A的动直线x+my =0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点Px,y  ，则PA  ⋅PB  的最大值是 第 页 共 页 627 1043( ) A. 5 B. 10 C.5 D.10 3332 (2024·高二课时练习)设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线 mx-y-m+3=0交于点P(x,y)，则|PA|2+|PB|2的值为 ( ) 10 A.5 B.10 C. D. 17 2 3333 (2024·全国·高三校联考阶段练习)设m∈R，动直线l ：x+my=0过定点A，动直线 1 l 2 ：mx-y-m+3=0过定点B，且l 1 ，l 2 交于点Px,y  ，则PA  +PB  的最大值是 ( ) A. 10 B.2 5 C.5 D.10        1     3334 (2024·全国·高三专题练习)设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a⋅b= ，(a-c)⋅(b-c) 2  =0，则|c|的最小值是 ( ) 3+1 3-1 A. B. C. 3 D.1 2 2 3335 (2024·全国·高三专题练习)已知点A(1-m,0)，B(1+m,0)，若圆C：x2+y2-8x-8y +31=0上存在一点P，使得PA⊥PB，则实数m的最大值是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7   3336 (2024·江西宜春·高一江西省万载中学校考期末)已知a，b是平面内两个互相垂直的单       位向量，若向量c满足(a-c)⋅(2b-c)=0，则c  的最大值是 ( ) 5 A. 2 B.2 C. 5 D. 2    3337 (2024·全国·高三专题练习)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足      (a-c)(b-c)=0，则c  的最大值是 ( ) 2 A.1 B.2 C. 2 D. 2     3338 (2024·湖北武汉·高二校联考期中)已知a和b是平面内两个单位向量，且a,b  π = ，若 3    向量c满足a-c    ⋅b-c   =0，则c  的最大值是 ( ) 2 3+1 A. +1 B. C. 2 D. 3 2 2   3339 (2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中)已知向量a，b是平面内两个    互相垂直的单位向量，若向量c满足a-c    ⋅b-2c   =0，则c  的最大值是 ( ) 5 3 5 A. 2 B. C. D. 2 2 5 4 题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值     3340 (2024·全国·高一专题练习)设向量a,b,c满足a   =b    1     =1，a⋅b=- ，a-c,b-c 2  =  60°，则|c|的最大值等于 . 第 页 共 页 628 10433341 (2024·全国·高三专题练习)在边长为8正方形ABCD中，点M为BC的中点，N是AD 上一点，且DN=3NA，若对于常数m，在正方形ABCD的边上恰有6个不同的点P，使   得PM⋅PN=m，则实数m的取值范围为 . 3342 (2024·全国·高三专题练习)在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知CD=9， 4 BD=16，∠BDC=90°，sinA= ，则对角线AC的最大值为 ( ) 5 A.27 B.16 C.10 D.25     3343 (2024·全国·高考真题)设向量a,b,c满足a   =b        =2，a⋅b=-2，a-c,b-c  =60°，则  c  的最大值等于 A.4 B.2 C. 2 D.1   3344 (2024·全国·高三专题练习)在平面内,设A、B为两个不同的定点,动点P满足:PA⋅PB =k2(k为实常数)，则动点P的轨迹为 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.不能确定 3345 (2024·全国·高三专题练习)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=4，BC= AD= 5,E和F分别为AD与BC的中点，对于常数λ，在梯形ABCD的四条边上恰好   有8个不同的点P，使得PE⋅PF=λ成立，则实数λ的取值范围是 5 9 A. - ,- 4 20  5 11 B. - ,- 4 4  1 11 C. - , 4 4  9 1 D. - ,- 20 4  3346 (2024·江苏·高一专题练习)已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为AD，BC的  中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得PE⋅  PF=λ成立，那么λ的取值范围是 ( ) A. 0,2  B. 0,2  C. 0,4  D. 0,4  5 题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值 3347 (2024·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习)阿波罗尼斯是古希腊著 名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻 而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的 MQ 研究成果之一.指的是：已知动点M与两定点Q,P的距离之比  MP  =λ(λ>0,λ≠1)，那 么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2 1 =1，其中，定点Q为x轴上一点，定点P的坐标为- ,0 3  ,λ=3，若点B1,1  ，则3MP  +MB  的最小值为 ( ) A. 10 B. 11 C. 15 D. 17 第 页 共 页 629 10433348 (2024·江西赣州·统考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米 德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是 他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1)，那 么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆O:x2+y2 1 =1、点A- ,0 2  1 和点B0, 2  ，M为圆O上的动点，则2|MA|-|MB|的最大值为 ( ) 5 17 3 2 A. B. C. D. 2 2 2 2 3349 (2024·湖南张家界·高二统考期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基 米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果 集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知 动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯 9 圆．如动点M与两定点A ,0 5  ，B5,0  3 的距离之比为 时的阿波罗尼斯圆为x2+y2 5 =9．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O:x2+y2=4上的动点M和定点 A-1,0  ，B1,1  ，则2MA  +MB  的最小值为 ( ) A.2+ 10 B. 21 C. 26 D. 29 PA 3350 (2024·广东东莞·高三东莞实验中学校考开学考试)对平面上两点A、B，满足  PB  = λλ≠1  的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿 波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此圆 的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆 内，另一点在圆外，系数λ只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知A1,0  ，B4,0  ， D0,3  PA ，若动点P满足  PB  1 = ，则2PD 2  +PB  的最小值是 ． 3351 (2024·上海·高三校联考阶段练习)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》 中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足PA|=λPB  (其中λ是正 常数，且λ≠1)，则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点M( -1,0)、N(2,1)，P是圆O:x2+y2=3上的动点，则 3PM  +PN  的最小值为 3352 (2024·四川广安·高二广安二中校考期中)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲 线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两 MQ 定点Q，P的距离之比  MP  =λλ>0,λ≠1  ，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知 1 动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，定点Q为x轴上一点，P- ,0 2  且λ=2，若点B1,1  ，则2MP  +MB  的最小值为 . 3353 (2024·河北沧州·校考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深 刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他 的研究成果之一，指的是“如果动点M与两定点A,B的距离之比为(λλ>0,λ≠1  ，那么 点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点P为圆O: x2+y2=4上的动点，M-4,0  ,N3,1  ，则PM  +2PN  的最小值为 . 第 页 共 页 630 10433354 (2024·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题： 平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏 圆，已知P、Q分别是圆C:(x-4)2+y2=8，圆D:x2+(y-4)2=1上的动点，O是坐标原 2 点，则|PQ|+ |PO|的最小值是 ． 2 第 页 共 页 631 1043