第61讲圆中的范围与最值_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第61讲 圆中的范围与最值
知识梳理
1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
y-b
(1)形如μ= 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
x-a
(2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a，b)的距离平
方的最值问题.
2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
(1)数形结合
(2)多与圆心联系
(3)参数方程
(4)代数角度转化成函数值域问题
必考题型全归纳
1 题型一：斜率型
3271 (2024·江苏·高二专题练习)已知点Px,y  在圆x-1  2+y-1 
4-y
2=3上运动，则
x-3
的最大值为 ( )
A.-6- 30 B.6+ 30 C.-6+ 30 D.6- 30
【答案】C
4-y
【解析】 看作圆上的点Px,y
x-3
 到点A3,4  的直线的斜率的相反数.
当经过点A3,4  的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为y=kx-3 
-2k+3
+4，所以圆心到切线的距离等于半径，故

= 3，解
1+k2
4-y
得k=6± 30, 故当k=6- 30时，切线斜率最小，此时 最大，最大值为-6+
x-3
30，
故选：C
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2059 34273272 (多选题)(2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习)已知点Px，y  在圆x2+(y-1)2=1上
运动，则下列选项正确的是 ( )
y-1 1 1
A. 的最大值为 ，最小值为- ;
x-2 3 3
y-1 3 3
B. 的最大值为 ，最小值为- ；
x-2 3 3
C.2x+y的最大值为1+ 5，最小值为1- 5；
D.2x+y的最大值为2+ 5，最小值为2- 5；
【答案】BC
y-1
【解析】(1)设k= ，整理得kx-y-2k+1=0，则k表示点P(x,y)与点(2,1)连线
x-2
的斜率．
|2k| 3
当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值，所以 =1，解得k=± ，
k2+1 3
y-1 3 3
所以 的最大值为 ，最小值为- ；
x-2 3 3
(2)设m=2x+y，整理得2x+y-m=0，则m表示直线2x+y-m=0在y轴上的截
距．
|1-m|
当该直线与圆相切时，m取得最大值与最小值，所以 =1，解得m=1± 5，
5
∴2x+y的最大值为1+ 5，最小值为1- 5．
故选：BC.
3273 (2024·全国·高三专题练习)已知Pm,n  为圆C：x-1  2+y-1  2=1上任意一点，则
n-1
的最大值为 .
m+1
3
【答案】
3
【解析】
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2060 3427n-1 n-1 n-1
由于 = ，故 表示Pm,n
m+1 m-(-1) m+1
 和-1,1  连线的斜率，设M-1,1  ，如
n-1
图所示，当MP与圆相切时， 取得最大值，
m+1
设此时MP:y-1=k(x+1)，即kx-y+k+1=0，又圆心1,1  ，半径为1，故
k-1+k+1  3
=1，解得k=± ，
k2+1 3
n-1 3
故 的最大值为 .
m+1 3
3
故答案为： .
3
3274 (2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习)已知Mx,y  为圆C：x2+y2-4x
-14y+45=0上任意一点，且点Q-2,3  ．
(1)求MQ  的最大值和最小值．
y-3
(2)求 的最大值和最小值．
x+2
(3)求y-x的最大值和最小值．
【解析】(1)圆C：x2+y2-4x-14y+45=0⇒x-2

2+y-7

2=8，如图所示，连接QC
交圆C于AB两点，当M与A重合时MQ  取得最小值，
即QC  -r= 2+2  2+7-3  2-2 2=2 2，
与B重合时MQ  取得最大值即QC  +r=6 2，故最大值为6 2，最小值为2 2；
y-3
(2)易知 =k ，由图形知当MQ与圆C相切时取得最值，如图所示.
x+2 MQ
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2061 3427可设l :y=kx+2
MQ

4k-4
+3，则C到其距离为

=r=2 2，解得k=2± 3，
k2+1
故最大值为2+ 3，最小值为2- 3
(3)设y-x=z，如图所示，z即过点M的直线y-x=z的截距，如图所示，当该直线与
5-z
圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为

=r=2 2，所以z=1或9，故
2
最大值为9，最小值为1.
2 题型二：直线型
3275 (2024·全国·高三专题练习)点P(x,y)是圆x2+y2=12上的动点，则x+y的最大值是
.
【答案】2 6
【解析】由(x+y)2≤2(x2+y2)=24，则-2 6≤x+y≤2 6，当且仅当x=y=± 6时
等号成立，
∴x+y的最大值是2 6.
故答案为：2 6.
3276 (2024·江西吉安·宁冈中学校考一模)已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的
动点，则x+y的最大值为 ( )
A.5+ 2 B.5- 2 C.6 D.5
【答案】A
【解析】由(x-3)2+(y-2)2=1，令  x=3+cosθ ，则x+y=5+ 2sinθ+ π
y=2+sinθ 4
 ，
π
所以当sinθ+
4
 =1时，x+y的最大值为5+ 2.
故选：A
3277 (2024·全国·高三专题练习)已知点Px,y  是圆C：x-a  2+y2=3a>0  上的一动点，
若圆C经过点A1, 2  ，则y-x的最大值与最小值之和为 ( )
A.4 B.2 6 C.-4 D.-2 6
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2062 3427【答案】C
【解析】因为圆C：x-a  2+y2=3a>0  经过点A1, 2  ，
(1-a)2+2=3．又a>0，所以a=2，
y-x可看成是直线y=x+b在y轴上的截距.如图所示，
2-0+b
当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时

= 3，解得
2
b=-2± 6，
所以y-x的最大值为-2+ 6，最小值为-2- 6，故y-x的最大值与最小值之和为
-4.
故选：C．
3 题型三：距离型
3278 (2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧
几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，
阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A,B的距离之比
为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A,B间的距
PA
离为2，动点P满足

PB 
= 3，则PA  2+PB  2的最大值为
【答案】16+8 3/8 3+16
【解析】由题可知AB 
PA
=2,

PB 
= 3
不妨设：A0,0  ,B2,0  ,Px,y 
所以有PA  2=x2+y2，PB  2=x-2  2+y2
PA
因为

PB 
= 3
x2+y2
得
x-2 
=3，整理得x-3
2+y2
 2+y2=3，得y2=3-x-3  2，
显然y2≥0，得3-x-3  2≥0，解得：3- 3≤x≤3+ 3
有PA  2+PB  2=x2+y2+x-2  2+y2=x2+x-2  2+2 3-x-3  2   =8x-8
因为3- 3≤x≤3+ 3，
所以当x=3+ 3时，PA  2+PB  2有最大值为83+ 3  -8=16+8 3
故答案为：16+8 3
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2063 34273279 (2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习)已知M为圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意
一点，且Q-2,3  ．
(1)求MQ  的最大值和最小值；
(2)若Mm,n  ，求2m+3n+1的最大值和最小值；
(3)若Mm,n  ，求m2+n2+4m-6n的最大值和最小值．
【解析】(1)因为4+9-4×-2  -14×3+45=24>0，即Q在圆C外，
圆C：x-2  2+y-7  2=8的圆心C2,7  ，半径R=2 2，
QC  = 2+2  2+7-3  2=4 2，
因为QC  -R≤MQ  ≤QC  +R，即4 2-2 2≤MQ  ≤4 2+2 2，
所以MQ  的最大值为6 2，最小值为2 2；
(2)圆C：x-2  2+y-7  2=8的圆心C2,7  ，半径R=2 2，
令t=2m+3n+1可得2m+3n+1-t=0，即圆和直线2m+3n+1-t=0总有公共
点求t的最大值和最小值，
2×2+3×7+1-t
即

≤2 2，解得26-2 26≤t≤26+2 26，
4+9
所以2m+3n+1的最大值为26+2 26，最小值为26-2 26；
(3)m2+n2+4m-6n=m+2

2+n-3

2-13，
令t2=m+2

2+n-3

2，
当m+2=0,n-3=0即m=-2,n=3时-2-2  2+3-7  2=32>0，
此时点-2,3  在圆外，所以t>0，求m2+n2+4m-6n的最大值和最小值转化为求
圆m+2  2+n-3  2=t2与圆C：m-2  2+m-7  2=8总有公共点求t2-13的最大值
和最小值，而
两圆心的距离为 2+2  2+7-3  2=4 2，
当两圆外切时t+2 2=4 2，解得t=2 2，此时t2-13=8-13=-5，
当两圆内切时，两圆心的距离4 2>2 2，所以只能圆C在圆m+2  2+n-3  2=t2的
内部，
所以t-2 2=4 2，解得t=6 2，此时t2-13=72-13=59，
所以m2+n2+4m-6n的最大值为59，最小值为-5．
3280 (2024·高一课时练习)已知点Px，y  在直线x+y+1=0上运动，求x-1  2+y-1  2
的最小值及取得最小值时点P的坐标．
【解析】因为x-1  2+y-1  2= x-1  2+y-1   2  2，可看作定点M1,1  与直线上任
意一点距离的平方，所以距离最小值即是点M1,1  到直线x+y+1=0的距离，
1+1+1
由点到直线的距离公式可得最小值为d2=


12+12

2 9
= ；
2
此时直线PM与直线x+y+1=0垂直，所以直线PM的方程为y-1=x-1，即y=x，
由  x+y+1=0 得y=x=- 1 ，即P- 1 ,- 1
y=x 2 2 2
 .
故x-1  2+y-1 
9 1 1
2的最小值为 ，此时点P的坐标为- ,-
2 2 2
 .
3281 (2024·高二课时练习)已知点Px，y  在直线x+y+1=0上运动，则x-1  2+y-1  2
取得最小值时点P的坐标为 ．
1 1
【答案】- ,-
2 2

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2064 3427【解析】x-1  2+y-1  2转化为直线x+y+1=0上的点x,y  到点1,1  的距离的平
方，
又点1,1  到直线x+y+1=0的距离最小，
过点1,1  且与直线x+y+1=0垂直的直线为y=x
1
x=-
因此两直线联立，  x y= + x y+1=0 ，解得   1 2
y=-
2
1 1
故点P的坐标为- ,-
2 2

3282 (2024·全国·高二专题练习)已知M(m,n)为圆C：x2+y2-4x-4y+4=0上任意一点．
则 (m-1)2+(n+1)2的最大值为
【答案】 10+2/2+ 10
【解析】圆C：x2+y2-4x-4y+4=0即(x-2)2+(y-2)2=4，
故圆心C(2,2)，半径为r=2，
又 (m-1)2+(n+1)2表示圆C上的点M到点(1,-1)的距离，
故其最大值为 (2-1)2+(2+1)2+2= 10+2，
故答案为： 10+2.
    
3283 (2024·全国·高三专题练习)已知平面向量a，b，c，满足∀x∈R,a-xb 
 1 
≥a- b
4


，a 
   
=2,a⋅b=4，a-c 
 
⋅b-2c 
 
=6，则a-c  的最小值为 ( )
2+ 6 6-2
A.1 B. C.3 D.
3 2
【答案】A
 
【解析】因为∀x∈R,a-xb 
 1 
≥a- b
4


，a 
 
=2,a⋅b=4，
 1    1
所以4+x2b2-8x≥4+ b2-2,b≠0,∴x2-
16 16


b2-8x+2≥0，
 1 
所以b2x2-8x+2- b2≥0对任意x都恒成立，
16
1   1  所以Δ=64+ |b|4-8|b|2≤0,∴ |b|2-8
4 2
 2 ≤0,∴ 1 |b  |2=8，∴|b  |=4.
2
  
不妨设a=(2,0)，b=(m,n),∴2m=4,∴m=2,又|b|=4，∴4+n2=16,∴n=±2 3.
 
当b=(2,2 3)，设c=(x,y)，
 
所以a-c 
 
=(2-x,-y),b-2c  =(2-2x,2 3-2y)，
所以(2-x)(2-2x)+(-y)(2 3-2y)=6，
3
所以x-
2

2 3
+y-
2

2
=4，
 3 3
所以c对应的点的轨迹是以 ,
2 2
 为圆心，以2为半径的圆，
 
所以a-c  = (x-2)2+(y-0)2可以看成是(x,y)到(2,0)的距离，
 
所以a-c 
3
的最小值为2-  -2
2

2 3
+ -0
2

2
=2-1=1.
  
当b=(2,-2 3)时，同理可得a-c  的最小值为1.
故选：A
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2065 34273284 (2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习)已知点A(-1,-1),B(-1,3),C(2,
-1)，点P在圆x2+y2=1上运动，则|PA|2+|PB|2+2|PC|2的最大值为 ( )
A.22 B.26 C.30 D.32
【答案】C
【解析】设点P(a，b),点P在圆x2+y2=1上运动,满足a2+b2=1,且a、b∈[-1，1],
|PA|2+|PB|2+2|PC|2
=(a+1)2+(b+1)2+(a+1)2+(b-3)2+2(a-2)2+2(b+1)2
=4a2-4a+10+4b2+12
=4-4a+22
=26-4a
当a=-1时,|PA|2+|PB|2+2|PC|2取得最大值是30;
故选:C.
4 题型四：周长面积型
3285 (2024·江苏·高二假期作业)已知两点A-1,0  ，B0,2  ，点P是圆x-1  2+y2=1上任
意一点，则△PAB面积的最大值为 ，最小值为 .
4+ 5 4- 5
【答案】
2 2
【解析】因为两点A-1,0  ，B0,2  ，
x y
所以直线AB的方程为： + =1，即2x-y+2=0，AB
-1 2
 = -1  2+0-2  2= 5，
圆x-1  2+y2=1，其圆心为1,0  ，半径r=1，
圆心1,0 
2+2
到直线2x-y+2=0的距离d=

22+-1

4 5
= >1，
2 5
4 5+5 4 5-5
点P到直线AB的距离最大值为d+r= ，距离最小值为d-r= ，
5 5
第 页 共 页
2066 34271 4 5+5 4+ 5
所以△PAB面积的最大值 × 5× = ；
2 5 2
1 4 5-5 4- 5
△PAB面积的最小值 × 5× = .
2 5 2
4+ 5 4- 5
故答案为： ； .
2 2
3286 (2024·全国·高二专题练习)已知圆C:(x-2)2+(y-6)2=4，点M为直线l:x-y+8=0
上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形CAMB周长的最小
值为 ( )
A.8 B.6 2 C.5 2 D.2+4 2
【答案】A
【解析】圆C:(x-2)2+(y-6)2=4的圆心坐标为C(2,6)，半径为2，
因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，
所以有MA=MB，MA⊥CA,MB⊥CB，
因此有MA=MB= MC2-CA2= MC2-4，
要想四边形CAMB周长最小，只需MC最小，即当MC⊥l时，
2-6+8
此时MC=

=2 2，此时MA=MB= 8-4=2，
12+(-1)2
即最小值为2×2+2×2=8，
故选：A
3287 (2024·全国·模拟预测)已知直线l：y=x+1与圆E：x2+y2+2x-2y-1=0相交于不
同两点A，C，位于直线l异侧两点B，D都在圆E上运动，则四边形ABCD面积的最大值
为 ( )
A. 30 B.2 30 C. 51 D.2 51
【答案】A
【解析】圆E：x2+y2+2x-2y-1=0可以化为标准方程(x+1)2+(y-1)2=3，
则其圆心为-1,1  ，半径r= 3，
-1-1+1
则直线l与圆心的距离d=
 2
= ，
2 2
AC
故由勾股定理可得半弦长为

= r2-d2=  3
2

2
2-
2

2 10
= ，
2
所以AC  = 10.
又B，D两点位于直线l异侧且都在圆E上运动，
第 页 共 页
2067 3427所以四边形ABCD的面积可以看作是△ABC和△ACD的面积之和，
则当BD为弦AC的垂直平分线(即为圆的直径)时，两三角形的面积之和最大，
即四边形ABCD的面积最大，
1
最大面积S= AC
2
 ×BD  = 30.
故选：A.
3288 (2024·甘肃庆阳·高二校考期末)已知圆C的方程为x2+y2=2，点P是直线x-2y-5
=0上的一个动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，A、B为切点，则四边形PACB的
面积的最小值为
【答案】 6
【解析】由圆x2+y2=2，得到圆心C(0,0)，半径r= 2
由题意可得：PA=PB，PA⊥CA，PB⊥CB，
1
∴S =2S =2× |PA|⋅|AC|= 2|PA|，
PACB △PAC 2
在Rt△PAC中，由勾股定理可得：|PA|2=|PC|2-r2=|PC|2-2，
当|PC|最小时，|PA|最小，此时所求的面积也最小，
点P是直线x-2y-5=0上的动点，
|-5|
当PC⊥l时，|PC|有最小值d=
12+-2

= 5，此时|PA|= 3，
2
∴所求四边形PACB的面积的最小值为 2× 3= 6；
故答案为： 6
3289 (2024·高二课时练习)已知A0,-2  ，B2,0  ，点P为圆x2+y2-2x-8y+13=0上任
意一点，则△PAB面积的最大值为 ( )
5
A.5 B.5-2 2 C. D.5+2 2
2
【答案】D
【解析】圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心C(1,4)，半径r=2，直线AB的方程为：y=
x-2，
第 页 共 页
2068 3427|1-4-2| 5 2
于是点C到直线AB：x-y-2=0的距离d= = ，而点P在圆C上，
12+(-1)2 2
5 2
因此点P到直线AB距离的最大值为 +2，又AB
2
 = 22+22=2 2，
1 5 2
所以△PAB面积的最大值为S= ×2 2× +2
2 2
 =5+2 2.
故选：D
5 题型五：数量积型
x2 y2
3290 (2024·河南南阳·高二统考阶段练习)已知点M为椭圆 + =1上任意一点，A,B
16 15
是圆(x-1)2+y2=1上两点，且AB 
 
=2，则MA⋅MB的最大值是 .
【答案】24
【解析】设圆的圆心为N，则N1,0  ，椭圆的右焦点坐标也为N1,0  ，
且AB是圆N的一条直径，因此
   
MA⋅MB=MN+NA 
 
⋅MN+NB 
 
=MN+NA 
 
⋅MN-NA 

=MN 

2-NA  2=

MN  2-1，
因为点N是椭圆的右焦点，点M在椭圆上，

所以a-c≤MN 

≤a+c，所以3≤MN  ≤5，
   
即8≤MA⋅MB≤24，所以MA⋅MB的最大值为24.
故答案为：24.
3291 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l:y=x+2a与圆C:x-a  2+y2=r2 r>0  相切于
第 页 共 页
2069 3427点M-1,y 0 
 
，设直线l与x轴的交点为A，点P为圆C上的动点，则PA⋅PM的最大值为
．
【答案】36+18 5
【解析】圆C:x-a  2+y2=r2 r>0  的圆心的为a,0  ，因为直线l与圆C相切于点
M-1,y 0  则 y =2a-1 0
3a
所以
 =r,
2
a+1  2+2a-1 

 得a2-4a+4=0，所以a=2，r=3 2，
2=r2
所以直线方程为y=x+4，圆的方程为x-2  2+y2=18，所以A-4,0  ，M-1,3  ，
5 3
AM的中点Q- ,
2 2
 ，
   
则PA⋅PM=PQ+QA 
 
⋅PQ+QM 
 
1
=PQ2- AM2≤ QC
4
  +r 

1
2- AM2
4
因为QC  5 = 2+
2
 2 3 +
2
 2 3 10 = ，AM
2
 = 32+32=3 2
所以 QC   +r 

1
2- AM2=QC
4
 2+2rQC 

1
+r2- AM2=36+18 5
4
   
故PA⋅PM≤36+18 5，所以PA⋅PM的最大值为36+18 5
故答案为：36+18 5
3292 (2024·江苏南京·高一校考期中)已知点A-1,0  ,B1,0  ，点P为圆C:x2+y2-6x-8y
 
+17=0上的动点，则AB⋅AP的最大值为 .
【答案】8+4 2
【解析】圆的标准方程为：x-3  2+y-4  2=8，圆心为3,4  ，半径为R=2 2，
  
∵AB⋅AP= AB⋅ 

 AP  ⋅cos∠PAB，

当点P动到S点时，AP 
 
⋅cos∠PAB取得最大值，即为AS在AB上的投影，
  
又AB⋅AP= AB⋅ 

AP⋅cos∠PAB= 

AB⋅ 

 AT  =2×1+3+2 2  =8+4 2.
故答案为：8+4 2.
3293 (2024·全国·高一专题练习)在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1、圆心在
 
线段CD(含端点)上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则AP⋅AB的取值范围是
( )．
A. -4,20  B. -1,5  C. 0,20  D. 4,20 
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
  
由数量积的几何意义可知：AP⋅AB等于AB 
 
与AP在AB上的投影的乘积，
 
故当AP在AB上的投影最大时，数量积最大，此时点P在以C为圆心的圆的最上端P
2
第 页 共 页
2070 3427处，此时投影为AM  =AB  +r=5，故数量积为4×5=20，
 
故当AP在AB上的投影最小时，数量积最小，此时点P在以D为圆心的圆的最下端P
1
处，此时投影为-AN  =-r=-1，故数量积为4×-1  =-4,
 
故AP⋅AB∈-4,20  ，
故选：A
3294 (2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习)在边长为2的正六边形ABCDEF
中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD(含端点)上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，
 
则AP⋅AB的取值范围是 ( )
A.[2,8]. B.[4,8] C.[2,10] D.[4,10]
【答案】A
  
【解析】由AP⋅AB=AB 

⋅AP 
 
cosAP,AB  ，
  
可得AP⋅AB为AB 
 
与AP在AB方向上的投影之积.
正六边形ABCDEF中，以D为圆心的圆Q与DE交于M，
过M作MM⊥AB于M，设以C为圆心的圆Q与AB垂直的
切线与圆Q切于点N与AB延长线交点为N，
 
则AP在AB方向上的投影最小值为AM，最大值为AN,
又AM=1，AN=AB+BCcos60°+1=4，
   
则AP⋅AB≤2×4=8，AP⋅AB≥2×1=2
 
则AP⋅AB的取值范围是[2,8].
故选：A
3295 (2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中)已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆
O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直
 
径，则PM⋅PN的取值范围是 ( )
第 页 共 页
2071 3427A. 2,4  B. 2,3 
3
C.   ,4  2 
3
D.   ,3  2 
【答案】B
     
【解析】记圆心为O，则PM=PO+OM,PN=PO+ON，
 
因为ON,OM互为相反向量，
   
所以PM⋅PN=PO+OM 
 
PO+ON 
   
=PO2+POON+OM 
  
+ON⋅OM=PO  2
-1，
因为正六边形ABCDEF的边长为2，O为正六边形的中心，

所以当P与正六边形顶点重合时，PO  有最大值2，

当P在正六边形边上的中点处时，PO 

有最小值，此时PO  = 22-12= 3.
  
所以PM⋅PN=PO  2-1∈2,3  .
故选：B
6 题型六：坐标与角度型
3296 (2024·浙江丽水·高二校联考开学考试)已知点P在圆M：x-4  2+y-2  2=4上，点
A2,0  ，B0,2  ，则∠PBA最小和最大时分别为 ( )
A.0°和60° B.15°和75° C.30°和90° D.45°和135°
【答案】B
【解析】
第 页 共 页
2072 3427如图所示，当PB与圆相切时对应∠PBA的最大和最小，设最小时切于P，最大时切于
1
P，
2
1
由MP =2,BM=4,MP ⊥BP，可得sin∠MBP = ，所以∠MBP =30°，同理得
1 1 1 1 2 1
∠MBP =30°
2
由点A2,0  ，B0,2  ，可知∠ABO=45°，
所以∠ABP =90°-45°-30°=15°，
1
∠ABP =15°+30°+30°=75°.
2
故选：B.
3297 (2024·高二单元测试)已知圆C：(x-1)2+y2=1，点P(x ，y )在直线x-y+1=0上运
0 0
动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x 的取值范围是 .
0
【答案】-1,1 
【解析】
如图圆C1,0  ，P在直线x-y+1=0上，
若圆存在点Q，使得∠CPQ=30°，
当P在直线x-y+1=0上运动，极端情况，PQ与圆C相切，∠CPQ=30°.
第 页 共 页
2073 3427在RT△CPQ中，CQ  =1，所以CP  =2.
所以以1,0  为圆心，2为半径的圆与直线交于P，P 两点. 1
符合条件的点在线段PP 之间.
1
x-y+1=0 所以 x-1    2+y2=4 ⇒   x y= = 2 1 或  x y= =- 0 1 .
故x 0 的取值范围为-1,1  .
故答案为：-1,1 
3x+y
3298 (2024·全国·高三专题练习)已知x，y满足x2+y2=4y-3，则 的最大值为
x2+y2
( )
A.1 B.2 C. 3 D. 5
【答案】C
【解析】点Ax,y  在圆x2+y-2  2=1上，B 3,1  ,
 
3x+y OA⋅OB
则 = 
x2+y2 OA 

=OB  cos∠AOB=2cos∠AOB，
π 3x+y
如图，当OA与圆相切时，∠AOB取得最小值 ，所以 ≤ 3，此时点
6 x2+y2
3 3
A ,
2 2
 .
故选：C
3299 (2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习)若圆M:x-cosθ  2+y-sinθ  2=1(0≤θ<2π)与
圆N:x2+y2-2x-4y=0交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为 ( )
1 3 4 4
A. B. C. D.
2 4 5 3
【答案】D
【解析】x2+y2-2x-4y=0可化为x-1

2+y-2

2=5，
故圆N的圆心为1,2  ，半径为 5，
第 页 共 页
2074 3427由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，
所以AB  ≤2且AB  ≤2 5，故AB  ≤2，
当M的坐标为1,0  时，AB  =2，
NA2+NB2-AB2 10-AB2 3
在△NAB中，cos∠ANB= = ≥ ，
2NA⋅NB 10 5
又∠ANB∈0,π 
π
，y=cosx在x∈ 0,  2  上单调递减，
3
故∠ANB为锐角，且当cos∠ANB= 时，∠ANB最大，
5
π π
又y=tanx在x∈- ,
2 2
 上单调递增，
4
所以当∠ANB最大时，tan∠ANB取得最大值，且最大值为 ，
3
故选：D
3300 (2024·全国·高三专题练习)动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之
和的最大值为 ( )
A.1 B.2 C. 2 D.2 2
【答案】C
【解析】设动圆圆心M(x,y)，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得MO=1,即x2+y2=
1，
x+y  2=x2+y2+2xy≤2x2+y2 
2
=2，当且仅当x=y= 时取等号，即x+y≤ 2，
2
则圆心M的横纵坐标之和的最大值为 2
故选：C
3301 (2024·全国·模拟预测)已知圆C:x-1  2+y-2  2=5，圆C是以圆x2+y2=1上任意一
点为圆心，1为半径的圆．圆C与圆C交于A，B两点，则sin∠ACB的最大值为 ( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
2 3 4 5
【答案】D
【解析】在△ABC中，AC  =BC  = 5．如图所示：
第 页 共 页
2075 3427当公共弦AB最大，即AB为圆C的直径时，
∠ACB最大，又AC  >AB  可得∠ACB为锐角，即sin∠ACB取得最大值．
AC
此时cos∠ACB=
 2+BC  2-AB  2
2AC  ⋅BC 
3 4
= ，则sin∠ACB= ．
5 5
故选：D
7 题型七：长度型
3302 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C:x-2  2+y2=1及点A0,2  ，点P、Q分别是直线
x+y=0和圆C上的动点，则PA  +PQ  的最小值为 .
【答案】3
【解析】作出点A关于直线x+y=0的对称点A，如图：
y -2
设点A(x 0 ,y 0 )，则有


x
x
0
0 - +0 0
=1
y +2 ，解得  x y 0 = =- 0 2 ，即A(-2,0)，而C(2，0)
 0 + 0 =0 0
 2 2
由圆的性质知：圆外点P与圆C上点Q距离|PQ|满足|PQ|≥|PC|-1(当且仅当Q是
线段PC与圆C的交点时取“=”)，
连接AC交直线x+y=0于点O，P为直线x+y=0上任意一点，连PA,PA,PC(线段
PC交圆C于点Q)，
则(|PA|+|PQ|) =|PA|+|PC|-1=|PA|+|PC|-1≥|AC|-1=3，当且仅当点P在
min
线段AC上，即与点O重合时取“=”，
所以PA  +PQ  的最小值为3.
故答案为：3
3303 (2024·湖北·高二沙市中学校联考期中)已知直线l与圆O:x2+y2=4交于Ax 1 ,y 1  ,
Bx 2 ,y 2  两点，且AB  =2，则x 1 +y 1 +4  +x 2 +y 2 +4  的最大值为 .
【答案】8+2 6/2 6+8
【解析】 x 1 +y 1 +4  + x 2 +y 2 +4
2
 的几何意义为点A,B到直线x+y+4=0的距离之
2
和，其最大值是AB的中点M到直线x+y+4=0的距离的2倍.
第 页 共 页
2076 3427由题可知，△OAB为等边三角形，则OM  2 = 22-
2
 2 = 3，
∴AB中点M的轨迹是以原点O为圆心， 3为半径的圆，
4
故点M到直线x+y+4=0的最大距离为 + 3=2 2+ 3，
12+12
∴ x 1 +y 1 +4  + x 2 +y 2 +4
2
 的最大值为22 2+ 3
2
 ，
∴x 1 +y 1 +4  +x 2 +y 2 +4  的最大值为22 2+ 3  × 2=8+2 6.
故答案为：8+2 6.
3304 (2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末)已知Ax 1 ,y 1  、Bx 2 ,y 2  为圆M:
x2+y2=4上的两点，且x 1 x 2 +y 1 y 2 =-2，设Px 0 ,y 0  为弦AB的中点，则3x 0 +4y 0 -10 
的最大值为 .
【答案】15

【解析】注意到MA=x 1 ,y 1 

，MB=x 2 ,y 2  ，
  
则xx +yy =MA⋅MB=MA
1 2 1 2


⋅MB 

⋅cos∠AMB=-2，又MA 

=MB  =2，
则∠AMB=120o，又由垂径定理可知，∠AMP=60o，则MP

=2cos60o=1.
故P点轨迹是以M为圆心，半径为1的圆.
注意到3x 0 +4y 0 -10  = 3x 0 +4y 0 -10  ⋅5，表示P到直线3x+4y-10=0距离的5倍， 32+42
-10
又圆上一点到3x+4y-10=0距离的最大值为：

+1=3，
32+42
则3x 0 +4y 0 -10  的最大值为15.
故答案为：15
3305 (2024·上海静安·高二校考期末)已知实数x,x ,y,y 满足x2+y2=1，x2+y2=1，xx
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
+yy = 1 ，则 x 1 +y 1 -1
1 2 2
 + x 2 +y 2 -1
2
 的最大值为 .
2
【答案】 3+ 2/ 2+ 3
【解析】设圆O:x2+y2=1，直线l:x+y-1=0，M(x,y)，N(x ,y )，
1 1 2 2
则M(x,y)，N(x ,y )都在圆x2+y2=1上，
1 1 2 2
∵|MN|= (x -x )2+(y -y )2= x2+x2-2xx +y2+y2-2yy =1，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
OM  =ON  =1，
∴△MON是等边三角形，∴∠MON=60°．
第 页 共 页
2077 3427|x +y -1| |x +y -1|
1 1 + 2 2 表示M和N到直线l:x+y-1=0的距离和|MM′|+|NN′|，
2 2
由图形得只有当M、N都在直线l的下方时，该距离之和才会取得最大值．
取M、N的中点G，过G作GG′⊥l，垂足为G′，则|MM′|+|NN′|=2|GG′|，
3
∵△MON为等边三角形，G为MN的中点，∴OG= ，
2
3
则G在圆x2+y2= 上运动，
4
3 2
则当MN∥l时，G到直线x+y-1=0距离的最大值为 + ，
2 2
3 2
∴|MM′|+|NN′|=2|GG′|的最大值为2× +
2 2
 = 3+ 2．
故答案为： 3+ 2
3306 (2024·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一
个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足PA|=λPB  (其中λ是正常数，
且λ≠1)，则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点M(-1,
0)、N(2,1)，P是圆O:x2+y2=3上的动点，则 3PM  +PN  的最小值为
【答案】 26
【解析】如图，在x轴上取点S-3,0  ，
OM
∵

OP 
OP
=

OS 
3
= ，∠MOP=∠POS，∴△MOP∼△POS，∴PS
3
 = 3PM  ，
∴ 3PM  +PN  =PS  +PN  ≥SN  (当且仅当P为SN与圆O交点时取等号)，
∴ 3PM  +PN    =SN
min
 = -3-2  2+0-1  2= 26.
故答案为： 26.
第 页 共 页
2078 34273307 (2024·全国·高二期中)已知圆C是以点M2,2 3  和点N6,-2 3  为直径的圆，点P
为圆C上的动点，若点A2,0  ，点B1,1  ，则2PA  -PB  的最大值为 ( )
A. 26 B.4+ 2 C.8+5 2 D. 2
【答案】A
【解析】由题设，知：C(4,0)且|MN|= (-2 3-2 3)2+(6-2)2=8，即圆C的半径为4，
∴圆C：(x-4)2+y2=16，
如上图，坐标系中D(-4,0)则OD=2AC=CP=OC=4，
AC PC 1 PA 1
∴ = = ，即△APC∼△PCD，故 = ，
CP DC 2 PD 2
∴2PA  -PB  =|PD|-|PB|，在△PBD中|PD|-|PB|<|BD|，
∴要使|PD|-|PB|最大，P,B,D共线且最大值为|BD|的长度.
∴|BD|= (1+4)2+1= 26.
故选：A
3308 (2024·四川成都·高二成都七中校考开学考试)已知A，B是曲线|x|-1= -y2+2y+3
上两个不同的点，C(0,1)，则|CA|+|CB|的最大值与最小值的比值是 ( )
5 3 5
A. B. C. 2 D. 3
3 5
【答案】B
【解析】|x|-1= -y2+2y+3化简得x  -1= 4-y-1  2，
由x  -1= 4-y-1  2，得 x   -1  2+y-1  2=4.
因为x  -1= 4-y-1  2≥0，所以x≤-1或x≥1.
当x≤-1时，x+1  2+y-1  2=4；当x≥1时，x-1  2+y-1  2=4.
所以方程x  -1= 4-y-1  2表示的曲线为圆P:x+1  2+y-1  2=4的左半部分和
圆Q:x-1  2+y-1  2=4的右半部分.
根据圆的性质知：当A，B分别与图中的M，N重合时，CA  +CB  取得最大值，且最大
值为6；
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，CA  +CB  取得最小值，且最小值为
2 5.故CA  +CB 
6 3 5
的最大值与最小值的比值是 = .
2 5 5
第 页 共 页
2079 3427故选：B.
π
3309 (2024·全国·高三专题练习)在Rt△ABC中，∠BAC= ，AB=AC=2，点M在
2
3
△ABC内部，cos∠AMC=- ，则MB2-MA2的最小值为 ．
5
【答案】2
【解析】因为∠AMC∈0,π 
3 3
，cos∠AMC=- ，所以sin∠AMC= 1--
5 5

2 4
= .
5
AC 2
在△AMC中，由正弦定理得： =2R(R为△AMC的外接圆半径)，所以 =
sin∠AMC 4
5
5
2R，解得：R= .
4
如图所示：设△AMC的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系.
5 设E为AC的中点，所以AE=CE=1，OE= R2-AE2= 
4
 2 -12= 3 .
4
5
x= cosθ
25  4
所以点M的轨迹为：x2+y2= ，可写出 (θ为参数).
16 5
y= sinθ
4
5 5
因为点M在△ABC内部，所以M cosθ, sinθ
4 4

4 4
(其中θ满足- <cosθ< ，θ∈
5 5
0,π  ).
5 所以MB2-MA2=  cosθ+1
4
 2 5 11 + sinθ-
4 4
  2 

 5 -  cosθ+1
4
 2 5 3 + sinθ-
4 4
  2 


5 11
= sinθ-
4 4

2 5 3
- sinθ-
4 4

2
=7-5sinθ
4 4
因为θ满足- <cosθ< ，θ∈0,π
5 5

3
，所以 <sinθ≤1，
5
所以当sinθ=1时MB2-MA2=7-5=2最小.
故答案为：2
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2080 34273310 (2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习)已知点P在直线y=x-2上运
动，点E是圆x2+y2=1上的动点，点F是圆(x-6)2+(y+5)2=9上的动点，则|PF|
-|PE|的最大值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】D
【解析】如图所示，
圆(x-6)2+(y+5)2=9的圆心为A6,-5  ，半径为3，
圆x2+y2=1关于直线y=x-2的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为m,n  ，
n
则   m n =- m 1 ，解得：  m n= = - 2 2 ，
= -2
2 2
故圆B的圆心为2,-2  ，半径为1，
由于此时圆心A与圆心B的距离为：AB  = 6-2  2+-5-(-2)  2=5，
大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时E点的对称点为E 1 ，且PE 1  =PE  ，所以
PF  -PE  =PF  -PE 1  ，在P点运动过程中，当P，B，A，E ，F五点共线时，且E 在 1 1
圆B左侧，点F在圆A右侧时，PF  -PE 1  最大，最大值为EF=EB+BA+AF=1+ 1 1
5+3=9
故选：D.
8 题型八：方程中的参数
3311 (2024·全国·高三专题练习)如图，在直角梯形ABCD中，A=B=90°,AD=4,AB=
  
BC=2，点M在以CD为直径的半圆上，且满足AM=mAB+nAD，则m+n的最大值
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2081 3427为 ( )
5 10+5
A.2 B.3 C.- D.
2 4
【答案】D
【解析】
如图，以A为原点建立直角坐标系，设CD中点为E，易得A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,4)，
则CD中点E1,3  ，CD=2 2，
故以CD为直径的圆的方程为x-1  2+y-3  2=2，过E作x轴平行线交y轴于Q，交
半圆于P，则∠DEQ=∠PEC=45°，设∠PEM=θ，
则M(1+ 2cosθ,3+ 2sinθ)-45°<θ<135° 

，又AM=(1+ 2cosθ,3+ 2sinθ)=
 
mAB+nAD=(2m,0)+0,4n  =2m,4n  ，
1+ 2cosθ 3+ 2sinθ 5
故2m=1+ 2cosθ,4n=3+ 2sinθ，则m+n= + = +
2 4 4
10 2 5 5
sin(θ+φ)，其中sinφ= ,cosφ= ，
4 5 5
显然当sinθ+φ 
10+5
=1时，m+n取最大值 .
4
故选：D.
3312 (2024·全国·高三专题练习)已知O0,0  ，P 3,1  ，Q1+4cosθ, 3-4sinθ  ，θ∈
0,2π  ，则△OPQ面积的最大值为 ( )
8
A.4 B.5 C.5 3 D. 3
3
【答案】B
【解析】设点Qx ,y Q Q 
x =1+4cosθ
，因为   y Q = 3-4sinθ ，所以x Q -1
Q
 2+y - 3 Q  2=16，
∴Q点的轨迹是以M1, 3  为圆心，4为半径的圆，
又直线OP的方程为l ：x- 3y=0，OP
OP
 =  3  2+12=2，圆心M到直线OP的距
1- 3× 3
离d=

12+- 3 
=1，所以Q到直线OP的距离最大值为d+r=1+4=5
2
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2082 34271
则△OPQ面积的最大值为S= ×2×5=5.
2
故选：B.
3313 (2024·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知点A0,-4  ，点B2,0  ,
PB
P为圆O:x2+y2=4上一动点，则

PA 
的最大值是 ( )
2 5 3 3 4 5 3 3
A. B. C. D.
3 4 3 2
【答案】A
【解析】因为点P为圆O:x2+y2=4上一动点，故设P(2cosθ,2sinθ),θ∈[0,2π]，
PB
则

PA 
(2cosθ-2)2+(2sinθ)2 8-8cosθ 2(1-cosθ)
= = = ，
(2cosθ)2+(2sinθ+4)2 20+16sinθ 5+4sinθ
1-cosθ
令t= ，则(5+4sinθ)t=1-cosθ，
5+4sinθ
1-5t
即4tsinθ+cosθ=1-5t，则 16t2+1(sinθ+φ)=1-5t,∴(sinθ+φ)= ，
16t2+1
1
其中φ为辅助角，tanφ= ，
4t
1-5t 10
则 ≤1，整理得9t2-10t≤0,∴0≤t≤ ，
16t2+1 9
PB
故

PA 
2(1-cosθ) 2 5
= = 2t的最大值为 ，
5+4sinθ 3
故选：A
3314 (2024·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习)已知过点1, 3  的动直线l
与圆C:x2+y2=16交于A,B两点，过A,B分别作C的切线，两切线交于点N.若动点
Mcosθ,sinθ  (0≤0<2π)，则MN  的最小值为 ．
【答案】7
【解析】如下图所示，连接OA、OB，则OA⊥NA、OB⊥NB，所以四边形NAOB对角
互补，则N、A、O、B四点在以ON为直径的圆上.
设Nx 0 ，y 0 
x y
，则该圆的圆心为 0，0 2 2 
x2+y2
，半径为 0 0 ，则该圆的方程为 2
x x- 0
2
 2 +y- y 0
2
 2 = x 0 2+y 0 2 ，又该圆和圆C的交点弦即为AB，故AB直线所在的方
4
x 程为x2+y2-x- 0
2
 2 -y- y 0
2
 2 =16- x 0 2+y 0 2 ，整理得x x+y y=16，又因为点
4 0 0
1，3  在直线AB上，故x + 3y =16，即N点的轨迹为x+ 3y-16=0，又因为M 0 0
的坐标为cosθ,sinθ  (0≤0<2π)，因为cos2θ+sin2θ=1，所以M在圆x2+y2=1上运
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2083 3427动，故MN  的最小值为0，0 
16
到直线x+ 3y-16=0的距离减去半径，即 -1
3+1
=7，即MN  的最小值为7.
故答案为：7
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2084 3427