第61讲圆中的范围与最值_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第61讲 圆中的范围与最值 知识梳理 1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： y-b (1)形如μ= 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． x-a (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a，b)的距离平 方的最值问题. 2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略： (1)数形结合 (2)多与圆心联系 (3)参数方程 (4)代数角度转化成函数值域问题 必考题型全归纳 1 题型一：斜率型 3271 (2024·江苏·高二专题练习)已知点Px,y  在圆x-1  2+y-1  4-y 2=3上运动，则 x-3 的最大值为 ( ) A.-6- 30 B.6+ 30 C.-6+ 30 D.6- 30 【答案】C 4-y 【解析】 看作圆上的点Px,y x-3  到点A3,4  的直线的斜率的相反数. 当经过点A3,4  的直线与上半圆相切时，切线斜率最小， 设切线方程为y=kx-3  -2k+3 +4，所以圆心到切线的距离等于半径，故  = 3，解 1+k2 4-y 得k=6± 30, 故当k=6- 30时，切线斜率最小，此时 最大，最大值为-6+ x-3 30， 故选：C 第 页 共 页 2059 34273272 (多选题)(2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习)已知点Px，y  在圆x2+(y-1)2=1上 运动，则下列选项正确的是 ( ) y-1 1 1 A. 的最大值为 ，最小值为- ; x-2 3 3 y-1 3 3 B. 的最大值为 ，最小值为- ； x-2 3 3 C.2x+y的最大值为1+ 5，最小值为1- 5； D.2x+y的最大值为2+ 5，最小值为2- 5； 【答案】BC y-1 【解析】(1)设k= ，整理得kx-y-2k+1=0，则k表示点P(x,y)与点(2,1)连线 x-2 的斜率． |2k| 3 当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值，所以 =1，解得k=± ， k2+1 3 y-1 3 3 所以 的最大值为 ，最小值为- ； x-2 3 3 (2)设m=2x+y，整理得2x+y-m=0，则m表示直线2x+y-m=0在y轴上的截 距． |1-m| 当该直线与圆相切时，m取得最大值与最小值，所以 =1，解得m=1± 5， 5 ∴2x+y的最大值为1+ 5，最小值为1- 5． 故选：BC. 3273 (2024·全国·高三专题练习)已知Pm,n  为圆C：x-1  2+y-1  2=1上任意一点，则 n-1 的最大值为 . m+1 3 【答案】 3 【解析】 第 页 共 页 2060 3427n-1 n-1 n-1 由于 = ，故 表示Pm,n m+1 m-(-1) m+1  和-1,1  连线的斜率，设M-1,1  ，如 n-1 图所示，当MP与圆相切时， 取得最大值， m+1 设此时MP:y-1=k(x+1)，即kx-y+k+1=0，又圆心1,1  ，半径为1，故 k-1+k+1  3 =1，解得k=± ， k2+1 3 n-1 3 故 的最大值为 . m+1 3 3 故答案为： . 3 3274 (2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习)已知Mx,y  为圆C：x2+y2-4x -14y+45=0上任意一点，且点Q-2,3  ． (1)求MQ  的最大值和最小值． y-3 (2)求 的最大值和最小值． x+2 (3)求y-x的最大值和最小值． 【解析】(1)圆C：x2+y2-4x-14y+45=0⇒x-2  2+y-7  2=8，如图所示，连接QC 交圆C于AB两点，当M与A重合时MQ  取得最小值， 即QC  -r= 2+2  2+7-3  2-2 2=2 2， 与B重合时MQ  取得最大值即QC  +r=6 2，故最大值为6 2，最小值为2 2； y-3 (2)易知 =k ，由图形知当MQ与圆C相切时取得最值，如图所示. x+2 MQ 第 页 共 页 2061 3427可设l :y=kx+2 MQ  4k-4 +3，则C到其距离为  =r=2 2，解得k=2± 3， k2+1 故最大值为2+ 3，最小值为2- 3 (3)设y-x=z，如图所示，z即过点M的直线y-x=z的截距，如图所示，当该直线与 5-z 圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为  =r=2 2，所以z=1或9，故 2 最大值为9，最小值为1. 2 题型二：直线型 3275 (2024·全国·高三专题练习)点P(x,y)是圆x2+y2=12上的动点，则x+y的最大值是 . 【答案】2 6 【解析】由(x+y)2≤2(x2+y2)=24，则-2 6≤x+y≤2 6，当且仅当x=y=± 6时 等号成立， ∴x+y的最大值是2 6. 故答案为：2 6. 3276 (2024·江西吉安·宁冈中学校考一模)已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的 动点，则x+y的最大值为 ( ) A.5+ 2 B.5- 2 C.6 D.5 【答案】A 【解析】由(x-3)2+(y-2)2=1，令  x=3+cosθ ，则x+y=5+ 2sinθ+ π y=2+sinθ 4  ， π 所以当sinθ+ 4  =1时，x+y的最大值为5+ 2. 故选：A 3277 (2024·全国·高三专题练习)已知点Px,y  是圆C：x-a  2+y2=3a>0  上的一动点， 若圆C经过点A1, 2  ，则y-x的最大值与最小值之和为 ( ) A.4 B.2 6 C.-4 D.-2 6 第 页 共 页 2062 3427【答案】C 【解析】因为圆C：x-a  2+y2=3a>0  经过点A1, 2  ， (1-a)2+2=3．又a>0，所以a=2， y-x可看成是直线y=x+b在y轴上的截距.如图所示， 2-0+b 当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时  = 3，解得 2 b=-2± 6， 所以y-x的最大值为-2+ 6，最小值为-2- 6，故y-x的最大值与最小值之和为 -4. 故选：C． 3 题型三：距离型 3278 (2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧 几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究， 阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A,B的距离之比 为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A,B间的距 PA 离为2，动点P满足  PB  = 3，则PA  2+PB  2的最大值为 【答案】16+8 3/8 3+16 【解析】由题可知AB  PA =2,  PB  = 3 不妨设：A0,0  ,B2,0  ,Px,y  所以有PA  2=x2+y2，PB  2=x-2  2+y2 PA 因为  PB  = 3 x2+y2 得 x-2  =3，整理得x-3 2+y2  2+y2=3，得y2=3-x-3  2， 显然y2≥0，得3-x-3  2≥0，解得：3- 3≤x≤3+ 3 有PA  2+PB  2=x2+y2+x-2  2+y2=x2+x-2  2+2 3-x-3  2   =8x-8 因为3- 3≤x≤3+ 3， 所以当x=3+ 3时，PA  2+PB  2有最大值为83+ 3  -8=16+8 3 故答案为：16+8 3 第 页 共 页 2063 34273279 (2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习)已知M为圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意 一点，且Q-2,3  ． (1)求MQ  的最大值和最小值； (2)若Mm,n  ，求2m+3n+1的最大值和最小值； (3)若Mm,n  ，求m2+n2+4m-6n的最大值和最小值． 【解析】(1)因为4+9-4×-2  -14×3+45=24>0，即Q在圆C外， 圆C：x-2  2+y-7  2=8的圆心C2,7  ，半径R=2 2， QC  = 2+2  2+7-3  2=4 2， 因为QC  -R≤MQ  ≤QC  +R，即4 2-2 2≤MQ  ≤4 2+2 2， 所以MQ  的最大值为6 2，最小值为2 2； (2)圆C：x-2  2+y-7  2=8的圆心C2,7  ，半径R=2 2， 令t=2m+3n+1可得2m+3n+1-t=0，即圆和直线2m+3n+1-t=0总有公共 点求t的最大值和最小值， 2×2+3×7+1-t 即  ≤2 2，解得26-2 26≤t≤26+2 26， 4+9 所以2m+3n+1的最大值为26+2 26，最小值为26-2 26； (3)m2+n2+4m-6n=m+2  2+n-3  2-13， 令t2=m+2  2+n-3  2， 当m+2=0,n-3=0即m=-2,n=3时-2-2  2+3-7  2=32>0， 此时点-2,3  在圆外，所以t>0，求m2+n2+4m-6n的最大值和最小值转化为求 圆m+2  2+n-3  2=t2与圆C：m-2  2+m-7  2=8总有公共点求t2-13的最大值 和最小值，而 两圆心的距离为 2+2  2+7-3  2=4 2， 当两圆外切时t+2 2=4 2，解得t=2 2，此时t2-13=8-13=-5， 当两圆内切时，两圆心的距离4 2>2 2，所以只能圆C在圆m+2  2+n-3  2=t2的 内部， 所以t-2 2=4 2，解得t=6 2，此时t2-13=72-13=59， 所以m2+n2+4m-6n的最大值为59，最小值为-5． 3280 (2024·高一课时练习)已知点Px，y  在直线x+y+1=0上运动，求x-1  2+y-1  2 的最小值及取得最小值时点P的坐标． 【解析】因为x-1  2+y-1  2= x-1  2+y-1   2  2，可看作定点M1,1  与直线上任 意一点距离的平方，所以距离最小值即是点M1,1  到直线x+y+1=0的距离， 1+1+1 由点到直线的距离公式可得最小值为d2=   12+12  2 9 = ； 2 此时直线PM与直线x+y+1=0垂直，所以直线PM的方程为y-1=x-1，即y=x， 由  x+y+1=0 得y=x=- 1 ，即P- 1 ,- 1 y=x 2 2 2  . 故x-1  2+y-1  9 1 1 2的最小值为 ，此时点P的坐标为- ,- 2 2 2  . 3281 (2024·高二课时练习)已知点Px，y  在直线x+y+1=0上运动，则x-1  2+y-1  2 取得最小值时点P的坐标为 ． 1 1 【答案】- ,- 2 2  第 页 共 页 2064 3427【解析】x-1  2+y-1  2转化为直线x+y+1=0上的点x,y  到点1,1  的距离的平 方， 又点1,1  到直线x+y+1=0的距离最小， 过点1,1  且与直线x+y+1=0垂直的直线为y=x 1 x=- 因此两直线联立，  x y= + x y+1=0 ，解得   1 2 y=- 2 1 1 故点P的坐标为- ,- 2 2  3282 (2024·全国·高二专题练习)已知M(m,n)为圆C：x2+y2-4x-4y+4=0上任意一点． 则 (m-1)2+(n+1)2的最大值为 【答案】 10+2/2+ 10 【解析】圆C：x2+y2-4x-4y+4=0即(x-2)2+(y-2)2=4， 故圆心C(2,2)，半径为r=2， 又 (m-1)2+(n+1)2表示圆C上的点M到点(1,-1)的距离， 故其最大值为 (2-1)2+(2+1)2+2= 10+2， 故答案为： 10+2.      3283 (2024·全国·高三专题练习)已知平面向量a，b，c，满足∀x∈R,a-xb   1  ≥a- b 4   ，a      =2,a⋅b=4，a-c    ⋅b-2c    =6，则a-c  的最小值为 ( ) 2+ 6 6-2 A.1 B. C.3 D. 3 2 【答案】A   【解析】因为∀x∈R,a-xb   1  ≥a- b 4   ，a    =2,a⋅b=4，  1    1 所以4+x2b2-8x≥4+ b2-2,b≠0,∴x2- 16 16   b2-8x+2≥0，  1  所以b2x2-8x+2- b2≥0对任意x都恒成立， 16 1   1  所以Δ=64+ |b|4-8|b|2≤0,∴ |b|2-8 4 2  2 ≤0,∴ 1 |b  |2=8，∴|b  |=4. 2    不妨设a=(2,0)，b=(m,n),∴2m=4,∴m=2,又|b|=4，∴4+n2=16,∴n=±2 3.   当b=(2,2 3)，设c=(x,y)，   所以a-c    =(2-x,-y),b-2c  =(2-2x,2 3-2y)， 所以(2-x)(2-2x)+(-y)(2 3-2y)=6， 3 所以x- 2  2 3 +y- 2  2 =4，  3 3 所以c对应的点的轨迹是以 , 2 2  为圆心，以2为半径的圆，   所以a-c  = (x-2)2+(y-0)2可以看成是(x,y)到(2,0)的距离，   所以a-c  3 的最小值为2-  -2 2  2 3 + -0 2  2 =2-1=1.    当b=(2,-2 3)时，同理可得a-c  的最小值为1. 故选：A 第 页 共 页 2065 34273284 (2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习)已知点A(-1,-1),B(-1,3),C(2, -1)，点P在圆x2+y2=1上运动，则|PA|2+|PB|2+2|PC|2的最大值为 ( ) A.22 B.26 C.30 D.32 【答案】C 【解析】设点P(a，b),点P在圆x2+y2=1上运动,满足a2+b2=1,且a、b∈[-1，1], |PA|2+|PB|2+2|PC|2 =(a+1)2+(b+1)2+(a+1)2+(b-3)2+2(a-2)2+2(b+1)2 =4a2-4a+10+4b2+12 =4-4a+22 =26-4a 当a=-1时,|PA|2+|PB|2+2|PC|2取得最大值是30; 故选:C. 4 题型四：周长面积型 3285 (2024·江苏·高二假期作业)已知两点A-1,0  ，B0,2  ，点P是圆x-1  2+y2=1上任 意一点，则△PAB面积的最大值为 ，最小值为 . 4+ 5 4- 5 【答案】 2 2 【解析】因为两点A-1,0  ，B0,2  ， x y 所以直线AB的方程为： + =1，即2x-y+2=0，AB -1 2  = -1  2+0-2  2= 5， 圆x-1  2+y2=1，其圆心为1,0  ，半径r=1， 圆心1,0  2+2 到直线2x-y+2=0的距离d=  22+-1  4 5 = >1， 2 5 4 5+5 4 5-5 点P到直线AB的距离最大值为d+r= ，距离最小值为d-r= ， 5 5 第 页 共 页 2066 34271 4 5+5 4+ 5 所以△PAB面积的最大值 × 5× = ； 2 5 2 1 4 5-5 4- 5 △PAB面积的最小值 × 5× = . 2 5 2 4+ 5 4- 5 故答案为： ； . 2 2 3286 (2024·全国·高二专题练习)已知圆C:(x-2)2+(y-6)2=4，点M为直线l:x-y+8=0 上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形CAMB周长的最小 值为 ( ) A.8 B.6 2 C.5 2 D.2+4 2 【答案】A 【解析】圆C:(x-2)2+(y-6)2=4的圆心坐标为C(2,6)，半径为2， 因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B， 所以有MA=MB，MA⊥CA,MB⊥CB， 因此有MA=MB= MC2-CA2= MC2-4， 要想四边形CAMB周长最小，只需MC最小，即当MC⊥l时， 2-6+8 此时MC=  =2 2，此时MA=MB= 8-4=2， 12+(-1)2 即最小值为2×2+2×2=8， 故选：A 3287 (2024·全国·模拟预测)已知直线l：y=x+1与圆E：x2+y2+2x-2y-1=0相交于不 同两点A，C，位于直线l异侧两点B，D都在圆E上运动，则四边形ABCD面积的最大值 为 ( ) A. 30 B.2 30 C. 51 D.2 51 【答案】A 【解析】圆E：x2+y2+2x-2y-1=0可以化为标准方程(x+1)2+(y-1)2=3， 则其圆心为-1,1  ，半径r= 3， -1-1+1 则直线l与圆心的距离d=  2 = ， 2 2 AC 故由勾股定理可得半弦长为  = r2-d2=  3 2  2 2- 2  2 10 = ， 2 所以AC  = 10. 又B，D两点位于直线l异侧且都在圆E上运动， 第 页 共 页 2067 3427所以四边形ABCD的面积可以看作是△ABC和△ACD的面积之和， 则当BD为弦AC的垂直平分线(即为圆的直径)时，两三角形的面积之和最大， 即四边形ABCD的面积最大， 1 最大面积S= AC 2  ×BD  = 30. 故选：A. 3288 (2024·甘肃庆阳·高二校考期末)已知圆C的方程为x2+y2=2，点P是直线x-2y-5 =0上的一个动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，A、B为切点，则四边形PACB的 面积的最小值为 【答案】 6 【解析】由圆x2+y2=2，得到圆心C(0,0)，半径r= 2 由题意可得：PA=PB，PA⊥CA，PB⊥CB， 1 ∴S =2S =2× |PA|⋅|AC|= 2|PA|， PACB △PAC 2 在Rt△PAC中，由勾股定理可得：|PA|2=|PC|2-r2=|PC|2-2， 当|PC|最小时，|PA|最小，此时所求的面积也最小， 点P是直线x-2y-5=0上的动点， |-5| 当PC⊥l时，|PC|有最小值d= 12+-2  = 5，此时|PA|= 3， 2 ∴所求四边形PACB的面积的最小值为 2× 3= 6； 故答案为： 6 3289 (2024·高二课时练习)已知A0,-2  ，B2,0  ，点P为圆x2+y2-2x-8y+13=0上任 意一点，则△PAB面积的最大值为 ( ) 5 A.5 B.5-2 2 C. D.5+2 2 2 【答案】D 【解析】圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心C(1,4)，半径r=2，直线AB的方程为：y= x-2， 第 页 共 页 2068 3427|1-4-2| 5 2 于是点C到直线AB：x-y-2=0的距离d= = ，而点P在圆C上， 12+(-1)2 2 5 2 因此点P到直线AB距离的最大值为 +2，又AB 2  = 22+22=2 2， 1 5 2 所以△PAB面积的最大值为S= ×2 2× +2 2 2  =5+2 2. 故选：D 5 题型五：数量积型 x2 y2 3290 (2024·河南南阳·高二统考阶段练习)已知点M为椭圆 + =1上任意一点，A,B 16 15 是圆(x-1)2+y2=1上两点，且AB    =2，则MA⋅MB的最大值是 . 【答案】24 【解析】设圆的圆心为N，则N1,0  ，椭圆的右焦点坐标也为N1,0  ， 且AB是圆N的一条直径，因此     MA⋅MB=MN+NA    ⋅MN+NB    =MN+NA    ⋅MN-NA   =MN   2-NA  2=  MN  2-1， 因为点N是椭圆的右焦点，点M在椭圆上，  所以a-c≤MN   ≤a+c，所以3≤MN  ≤5，     即8≤MA⋅MB≤24，所以MA⋅MB的最大值为24. 故答案为：24. 3291 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l:y=x+2a与圆C:x-a  2+y2=r2 r>0  相切于 第 页 共 页 2069 3427点M-1,y 0    ，设直线l与x轴的交点为A，点P为圆C上的动点，则PA⋅PM的最大值为 ． 【答案】36+18 5 【解析】圆C:x-a  2+y2=r2 r>0  的圆心的为a,0  ，因为直线l与圆C相切于点 M-1,y 0  则 y =2a-1 0 3a 所以  =r, 2 a+1  2+2a-1    得a2-4a+4=0，所以a=2，r=3 2， 2=r2 所以直线方程为y=x+4，圆的方程为x-2  2+y2=18，所以A-4,0  ，M-1,3  ， 5 3 AM的中点Q- , 2 2  ，     则PA⋅PM=PQ+QA    ⋅PQ+QM    1 =PQ2- AM2≤ QC 4   +r   1 2- AM2 4 因为QC  5 = 2+ 2  2 3 + 2  2 3 10 = ，AM 2  = 32+32=3 2 所以 QC   +r   1 2- AM2=QC 4  2+2rQC   1 +r2- AM2=36+18 5 4     故PA⋅PM≤36+18 5，所以PA⋅PM的最大值为36+18 5 故答案为：36+18 5 3292 (2024·江苏南京·高一校考期中)已知点A-1,0  ,B1,0  ，点P为圆C:x2+y2-6x-8y   +17=0上的动点，则AB⋅AP的最大值为 . 【答案】8+4 2 【解析】圆的标准方程为：x-3  2+y-4  2=8，圆心为3,4  ，半径为R=2 2，    ∵AB⋅AP= AB⋅    AP  ⋅cos∠PAB，  当点P动到S点时，AP    ⋅cos∠PAB取得最大值，即为AS在AB上的投影，    又AB⋅AP= AB⋅   AP⋅cos∠PAB=   AB⋅    AT  =2×1+3+2 2  =8+4 2. 故答案为：8+4 2. 3293 (2024·全国·高一专题练习)在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1、圆心在   线段CD(含端点)上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则AP⋅AB的取值范围是 ( )． A. -4,20  B. -1,5  C. 0,20  D. 4,20  【答案】A 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，    由数量积的几何意义可知：AP⋅AB等于AB    与AP在AB上的投影的乘积，   故当AP在AB上的投影最大时，数量积最大，此时点P在以C为圆心的圆的最上端P 2 第 页 共 页 2070 3427处，此时投影为AM  =AB  +r=5，故数量积为4×5=20，   故当AP在AB上的投影最小时，数量积最小，此时点P在以D为圆心的圆的最下端P 1 处，此时投影为-AN  =-r=-1，故数量积为4×-1  =-4,   故AP⋅AB∈-4,20  ， 故选：A 3294 (2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习)在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD(含端点)上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，   则AP⋅AB的取值范围是 ( ) A.[2,8]. B.[4,8] C.[2,10] D.[4,10] 【答案】A    【解析】由AP⋅AB=AB   ⋅AP    cosAP,AB  ，    可得AP⋅AB为AB    与AP在AB方向上的投影之积. 正六边形ABCDEF中，以D为圆心的圆Q与DE交于M， 过M作MM⊥AB于M，设以C为圆心的圆Q与AB垂直的 切线与圆Q切于点N与AB延长线交点为N，   则AP在AB方向上的投影最小值为AM，最大值为AN, 又AM=1，AN=AB+BCcos60°+1=4，     则AP⋅AB≤2×4=8，AP⋅AB≥2×1=2   则AP⋅AB的取值范围是[2,8]. 故选：A 3295 (2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中)已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆 O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直   径，则PM⋅PN的取值范围是 ( ) 第 页 共 页 2071 3427A. 2,4  B. 2,3  3 C.   ,4  2  3 D.   ,3  2  【答案】B       【解析】记圆心为O，则PM=PO+OM,PN=PO+ON，   因为ON,OM互为相反向量，     所以PM⋅PN=PO+OM    PO+ON      =PO2+POON+OM     +ON⋅OM=PO  2 -1， 因为正六边形ABCDEF的边长为2，O为正六边形的中心，  所以当P与正六边形顶点重合时，PO  有最大值2，  当P在正六边形边上的中点处时，PO   有最小值，此时PO  = 22-12= 3.    所以PM⋅PN=PO  2-1∈2,3  . 故选：B 6 题型六：坐标与角度型 3296 (2024·浙江丽水·高二校联考开学考试)已知点P在圆M：x-4  2+y-2  2=4上，点 A2,0  ，B0,2  ，则∠PBA最小和最大时分别为 ( ) A.0°和60° B.15°和75° C.30°和90° D.45°和135° 【答案】B 【解析】 第 页 共 页 2072 3427如图所示，当PB与圆相切时对应∠PBA的最大和最小，设最小时切于P，最大时切于 1 P， 2 1 由MP =2,BM=4,MP ⊥BP，可得sin∠MBP = ，所以∠MBP =30°，同理得 1 1 1 1 2 1 ∠MBP =30° 2 由点A2,0  ，B0,2  ，可知∠ABO=45°， 所以∠ABP =90°-45°-30°=15°， 1 ∠ABP =15°+30°+30°=75°. 2 故选：B. 3297 (2024·高二单元测试)已知圆C：(x-1)2+y2=1，点P(x ，y )在直线x-y+1=0上运 0 0 动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x 的取值范围是 . 0 【答案】-1,1  【解析】 如图圆C1,0  ，P在直线x-y+1=0上， 若圆存在点Q，使得∠CPQ=30°， 当P在直线x-y+1=0上运动，极端情况，PQ与圆C相切，∠CPQ=30°. 第 页 共 页 2073 3427在RT△CPQ中，CQ  =1，所以CP  =2. 所以以1,0  为圆心，2为半径的圆与直线交于P，P 两点. 1 符合条件的点在线段PP 之间. 1 x-y+1=0 所以 x-1    2+y2=4 ⇒   x y= = 2 1 或  x y= =- 0 1 . 故x 0 的取值范围为-1,1  . 故答案为：-1,1  3x+y 3298 (2024·全国·高三专题练习)已知x，y满足x2+y2=4y-3，则 的最大值为 x2+y2 ( ) A.1 B.2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】点Ax,y  在圆x2+y-2  2=1上，B 3,1  ,   3x+y OA⋅OB 则 =  x2+y2 OA   =OB  cos∠AOB=2cos∠AOB， π 3x+y 如图，当OA与圆相切时，∠AOB取得最小值 ，所以 ≤ 3，此时点 6 x2+y2 3 3 A , 2 2  . 故选：C 3299 (2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习)若圆M:x-cosθ  2+y-sinθ  2=1(0≤θ<2π)与 圆N:x2+y2-2x-4y=0交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为 ( ) 1 3 4 4 A. B. C. D. 2 4 5 3 【答案】D 【解析】x2+y2-2x-4y=0可化为x-1  2+y-2  2=5， 故圆N的圆心为1,2  ，半径为 5， 第 页 共 页 2074 3427由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1， 所以AB  ≤2且AB  ≤2 5，故AB  ≤2， 当M的坐标为1,0  时，AB  =2， NA2+NB2-AB2 10-AB2 3 在△NAB中，cos∠ANB= = ≥ ， 2NA⋅NB 10 5 又∠ANB∈0,π  π ，y=cosx在x∈ 0,  2  上单调递减， 3 故∠ANB为锐角，且当cos∠ANB= 时，∠ANB最大， 5 π π 又y=tanx在x∈- , 2 2  上单调递增， 4 所以当∠ANB最大时，tan∠ANB取得最大值，且最大值为 ， 3 故选：D 3300 (2024·全国·高三专题练习)动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之 和的最大值为 ( ) A.1 B.2 C. 2 D.2 2 【答案】C 【解析】设动圆圆心M(x,y)，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得MO=1,即x2+y2= 1， x+y  2=x2+y2+2xy≤2x2+y2  2 =2，当且仅当x=y= 时取等号，即x+y≤ 2， 2 则圆心M的横纵坐标之和的最大值为 2 故选：C 3301 (2024·全国·模拟预测)已知圆C:x-1  2+y-2  2=5，圆C是以圆x2+y2=1上任意一 点为圆心，1为半径的圆．圆C与圆C交于A，B两点，则sin∠ACB的最大值为 ( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 5 【答案】D 【解析】在△ABC中，AC  =BC  = 5．如图所示： 第 页 共 页 2075 3427当公共弦AB最大，即AB为圆C的直径时， ∠ACB最大，又AC  >AB  可得∠ACB为锐角，即sin∠ACB取得最大值． AC 此时cos∠ACB=  2+BC  2-AB  2 2AC  ⋅BC  3 4 = ，则sin∠ACB= ． 5 5 故选：D 7 题型七：长度型 3302 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C:x-2  2+y2=1及点A0,2  ，点P、Q分别是直线 x+y=0和圆C上的动点，则PA  +PQ  的最小值为 . 【答案】3 【解析】作出点A关于直线x+y=0的对称点A，如图： y -2 设点A(x 0 ,y 0 )，则有   x x 0 0 - +0 0 =1 y +2 ，解得  x y 0 = =- 0 2 ，即A(-2,0)，而C(2，0)  0 + 0 =0 0  2 2 由圆的性质知：圆外点P与圆C上点Q距离|PQ|满足|PQ|≥|PC|-1(当且仅当Q是 线段PC与圆C的交点时取“=”)， 连接AC交直线x+y=0于点O，P为直线x+y=0上任意一点，连PA,PA,PC(线段 PC交圆C于点Q)， 则(|PA|+|PQ|) =|PA|+|PC|-1=|PA|+|PC|-1≥|AC|-1=3，当且仅当点P在 min 线段AC上，即与点O重合时取“=”， 所以PA  +PQ  的最小值为3. 故答案为：3 3303 (2024·湖北·高二沙市中学校联考期中)已知直线l与圆O:x2+y2=4交于Ax 1 ,y 1  , Bx 2 ,y 2  两点，且AB  =2，则x 1 +y 1 +4  +x 2 +y 2 +4  的最大值为 . 【答案】8+2 6/2 6+8 【解析】 x 1 +y 1 +4  + x 2 +y 2 +4 2  的几何意义为点A,B到直线x+y+4=0的距离之 2 和，其最大值是AB的中点M到直线x+y+4=0的距离的2倍. 第 页 共 页 2076 3427由题可知，△OAB为等边三角形，则OM  2 = 22- 2  2 = 3， ∴AB中点M的轨迹是以原点O为圆心， 3为半径的圆， 4 故点M到直线x+y+4=0的最大距离为 + 3=2 2+ 3， 12+12 ∴ x 1 +y 1 +4  + x 2 +y 2 +4 2  的最大值为22 2+ 3 2  ， ∴x 1 +y 1 +4  +x 2 +y 2 +4  的最大值为22 2+ 3  × 2=8+2 6. 故答案为：8+2 6. 3304 (2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末)已知Ax 1 ,y 1  、Bx 2 ,y 2  为圆M: x2+y2=4上的两点，且x 1 x 2 +y 1 y 2 =-2，设Px 0 ,y 0  为弦AB的中点，则3x 0 +4y 0 -10  的最大值为 . 【答案】15  【解析】注意到MA=x 1 ,y 1   ，MB=x 2 ,y 2  ，    则xx +yy =MA⋅MB=MA 1 2 1 2   ⋅MB   ⋅cos∠AMB=-2，又MA   =MB  =2， 则∠AMB=120o，又由垂径定理可知，∠AMP=60o，则MP  =2cos60o=1. 故P点轨迹是以M为圆心，半径为1的圆. 注意到3x 0 +4y 0 -10  = 3x 0 +4y 0 -10  ⋅5，表示P到直线3x+4y-10=0距离的5倍， 32+42 -10 又圆上一点到3x+4y-10=0距离的最大值为：  +1=3， 32+42 则3x 0 +4y 0 -10  的最大值为15. 故答案为：15 3305 (2024·上海静安·高二校考期末)已知实数x,x ,y,y 满足x2+y2=1，x2+y2=1，xx 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 +yy = 1 ，则 x 1 +y 1 -1 1 2 2  + x 2 +y 2 -1 2  的最大值为 . 2 【答案】 3+ 2/ 2+ 3 【解析】设圆O:x2+y2=1，直线l:x+y-1=0，M(x,y)，N(x ,y )， 1 1 2 2 则M(x,y)，N(x ,y )都在圆x2+y2=1上， 1 1 2 2 ∵|MN|= (x -x )2+(y -y )2= x2+x2-2xx +y2+y2-2yy =1， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 OM  =ON  =1， ∴△MON是等边三角形，∴∠MON=60°． 第 页 共 页 2077 3427|x +y -1| |x +y -1| 1 1 + 2 2 表示M和N到直线l:x+y-1=0的距离和|MM′|+|NN′|， 2 2 由图形得只有当M、N都在直线l的下方时，该距离之和才会取得最大值． 取M、N的中点G，过G作GG′⊥l，垂足为G′，则|MM′|+|NN′|=2|GG′|， 3 ∵△MON为等边三角形，G为MN的中点，∴OG= ， 2 3 则G在圆x2+y2= 上运动， 4 3 2 则当MN∥l时，G到直线x+y-1=0距离的最大值为 + ， 2 2 3 2 ∴|MM′|+|NN′|=2|GG′|的最大值为2× + 2 2  = 3+ 2． 故答案为： 3+ 2 3306 (2024·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一 个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足PA|=λPB  (其中λ是正常数， 且λ≠1)，则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点M(-1, 0)、N(2,1)，P是圆O:x2+y2=3上的动点，则 3PM  +PN  的最小值为 【答案】 26 【解析】如图，在x轴上取点S-3,0  ， OM ∵  OP  OP =  OS  3 = ，∠MOP=∠POS，∴△MOP∼△POS，∴PS 3  = 3PM  ， ∴ 3PM  +PN  =PS  +PN  ≥SN  (当且仅当P为SN与圆O交点时取等号)， ∴ 3PM  +PN    =SN min  = -3-2  2+0-1  2= 26. 故答案为： 26. 第 页 共 页 2078 34273307 (2024·全国·高二期中)已知圆C是以点M2,2 3  和点N6,-2 3  为直径的圆，点P 为圆C上的动点，若点A2,0  ，点B1,1  ，则2PA  -PB  的最大值为 ( ) A. 26 B.4+ 2 C.8+5 2 D. 2 【答案】A 【解析】由题设，知：C(4,0)且|MN|= (-2 3-2 3)2+(6-2)2=8，即圆C的半径为4， ∴圆C：(x-4)2+y2=16， 如上图，坐标系中D(-4,0)则OD=2AC=CP=OC=4， AC PC 1 PA 1 ∴ = = ，即△APC∼△PCD，故 = ， CP DC 2 PD 2 ∴2PA  -PB  =|PD|-|PB|，在△PBD中|PD|-|PB|<|BD|， ∴要使|PD|-|PB|最大，P,B,D共线且最大值为|BD|的长度. ∴|BD|= (1+4)2+1= 26. 故选：A 3308 (2024·四川成都·高二成都七中校考开学考试)已知A，B是曲线|x|-1= -y2+2y+3 上两个不同的点，C(0,1)，则|CA|+|CB|的最大值与最小值的比值是 ( ) 5 3 5 A. B. C. 2 D. 3 3 5 【答案】B 【解析】|x|-1= -y2+2y+3化简得x  -1= 4-y-1  2， 由x  -1= 4-y-1  2，得 x   -1  2+y-1  2=4. 因为x  -1= 4-y-1  2≥0，所以x≤-1或x≥1. 当x≤-1时，x+1  2+y-1  2=4；当x≥1时，x-1  2+y-1  2=4. 所以方程x  -1= 4-y-1  2表示的曲线为圆P:x+1  2+y-1  2=4的左半部分和 圆Q:x-1  2+y-1  2=4的右半部分. 根据圆的性质知：当A，B分别与图中的M，N重合时，CA  +CB  取得最大值，且最大 值为6； 当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，CA  +CB  取得最小值，且最小值为 2 5.故CA  +CB  6 3 5 的最大值与最小值的比值是 = . 2 5 5 第 页 共 页 2079 3427故选：B. π 3309 (2024·全国·高三专题练习)在Rt△ABC中，∠BAC= ，AB=AC=2，点M在 2 3 △ABC内部，cos∠AMC=- ，则MB2-MA2的最小值为 ． 5 【答案】2 【解析】因为∠AMC∈0,π  3 3 ，cos∠AMC=- ，所以sin∠AMC= 1-- 5 5  2 4 = . 5 AC 2 在△AMC中，由正弦定理得： =2R(R为△AMC的外接圆半径)，所以 = sin∠AMC 4 5 5 2R，解得：R= . 4 如图所示：设△AMC的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系. 5 设E为AC的中点，所以AE=CE=1，OE= R2-AE2=  4  2 -12= 3 . 4 5 x= cosθ 25  4 所以点M的轨迹为：x2+y2= ，可写出 (θ为参数). 16 5 y= sinθ 4 5 5 因为点M在△ABC内部，所以M cosθ, sinθ 4 4  4 4 (其中θ满足-