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第 27 讲 多元最值问题
知识梳理
解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元
法、三角代换法、齐次式等解题技能．
必考题型全归纳
题型一：消元法
例1．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足 ，则 的最大
值为______.
例2．（2024·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知实数 满足：
，则 的最大值为___________.
例3．（2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）对任给实数 ,不等式
恒成立,则实数 的最大值为__________.
题型二：判别式法
例4．（2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若 ， ，则当
______时， 取得最大值，该最大值为______.
例5．（2024·全国·高三竞赛）在 中， ，则 的最大值为
_______________．
例6．（2024·高一课时练习）设非零实数a，b满足 ，若函数 存在最大值M和最小值m，则 _________.
变式1．（2024·江苏·高三专题练习）若正实数 满足 ，则
的最大值为________．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）设 ， ，若 ，且 的最大
值是 ，则 ___________.
题型三：基本不等式法
例7．设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数 的最大值是_____.
例8．（2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）若实数 满足 ，则
的最大值为________.
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知正数 ，则 的最大值为_________．
题型四：辅助角公式法
例10．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）设角 、 均为锐角，则
的范围是______________．例11． 的取值范围是 ．
题型五：柯西不等式法
例12．（2024·广西钦州·高二统考期末）已知实数 ， ，（i＝1，2…，n），且满足
， ，则 最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
例13．（2024·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知 ， ， 是正实数，且 ，则
的最小值为______.
例14．（2024·江苏淮安·高二校联考期中）已知 ， ，则
的最小值为______.
变式3．（2024·全国·高三竞赛）已知 、 、 ，且 ，
，则 的最小值为.
A． B．
C．36 D．45
变式4．（2024·全国·高三竞赛）设 为实数，且 .则
的最大值等于.A． B．0 C． D．
题型六：权方和不等式法
例15．（2024·甘肃·高三校联考）已知x>0，y>0，且 ，则x+2y的最小值
为____________ .
例16．已知实数 满足 且 ，则 的最小值是
例17．已知 ，则 的最小值是 ．
变式5．已知 ，则 的最小值是 ．
题型七：拉格朗日乘数法
例18． ， ， ，求 的最小值．
例19．设 为实数，若 ，则 的最大值是 ．
题型八：三角换元法
例20．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）已知函数 ，若 ，则 的最大值是________
例21．（2024·浙江温州·高一校联考竞赛） ，则 的最小值为
______.
题型九：构造齐次式
例22．（2024·江苏·高一专题练习）已知 ， ，则 的最大值是
______.
例23．（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数 ，若 ，则
的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．8
例24．（2024·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足 ，则
的最大值为____________．
题型十：数形结合法
例25．（2024·全国·高三专题练习）函数 （a， ）在区间[0，c]（
）上的最大值为M，则当M取最小值2时， _____
例26．（2024·江苏扬州·高三阶段练习）已知函数 ，若 且，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例27．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 且
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2024·江苏·高三专题练习）已知函数 若存在实数 ，
满足 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型十一：向量法
例28．（2024·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）17世纪法国数学家费马在给朋
友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到
三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在 中，若三个内角均小于 ，则当
点P满足 时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P
被人们称为费马点．根据以上知识，已知 为平面内任意一个向量， 和 是平面内两个
互相垂直的向量，且 ，则 的最小值是_____________．
例29．（2024·浙江嘉兴·高一统考期末）已知平面向量 ， ， 满足 ， ，， ，则 的最小值为________.
例30．（2024·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末）已知向量 ， 满足
， ，则 的最大值为__________．
题型十二：琴生不等式法
例31．（2024·福建龙岩·高三校考阶段练习）若函数 的导函数 存在导数，记
的导数为 ．如果对 ，都有 ，则 有如下性质：
．其中 ， ， ， ， .
若 ，则在锐角 中，根据上述性质推断： 的最大值为
________.
例32．（2024·全国·高三竞赛）半径为 的圆的内接三角形的面积的最大值是______．
例33．（2024·北京·高三强基计划）已知正实数a，b满足 ，求 的最
小值
