第87讲二项式定理（学生版）_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（分章节WORD）

第 87 讲 二项式定理 知识梳理 知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 （1）二项式定理 一 般 地 ， 对 于 任 意 正 整 数 n， 都 有 ： ， (ab)n 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展开 式． 式中的 做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项： ， 其中的系数 （r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， （2）二项式 的展开式的特点： ①项数：共有 项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第 项的二项式系数为 ，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 ．字母 降幂排列，次数由 到 ；字母 升幂排列，次 数从 到 ，每一项中， ， 次数和均为 ； ④项的系数：二项式系数依次是 ，项的系数是 与 的系数 （包括二项式系 数）． （3）两个常用的二项展开式： ① (ab)n C n 0anC n 1an1b(1)rC n ranrbr(1)nC n nbn （nN* ） ② (1x)n 1C n 1xC n 2x2C n rxrxn（4）二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： 公式特点：①它表示二项展开式的第 项，该项的二项式系数是C n r ； ②字母 的次数和组合数的上标相同； ③ 与 的次数之和为 ． Cranrbr 注意：①二项式 的二项展开式的第r+1项 n 和 的二项展开式的第 Crbnrar r+1项 n 是有区别的，应用二项式定理时，其中的 和 是不能随便交换位置的． ②通项是针对在 这个标准形式下而言的，如 的二项展开式的通项是 T (1)rCranrbr r1 n （只需把 看成 代入二项式定理）． 2、二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质 ①每一行两端都是 ，即 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 ． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ． ③二项式系数和令 ，则二项式系数的和为 ，变形式 ． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令 ， 则 ， 从而得到： ． ⑤最大值：如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项 的二项式系数 最大； 如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项 ， 的二项式系数 ， 相等 且最大． （2）系数的最大项 求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来． 知识点3、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： abn C0an C1an1bC2an2b2Cranrbr Cnbn （1）设 n n n n n ， 二项式定理是一个恒等式，即对 ， 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需 要灵活选取 ， 的值． ab1 2n C0 C1 Cn ①令 ，可得： n n n 0C0C1C2C31nCn ②令 ，可得： n n n n n，即： C0 C2 Cn C1 C3Cn1 n n n n n n n （假设 为偶数），再结合①可得： C0 C2 Cn C1 C3Cn1 2n1 n n n n n n ． （2）若 ，则 ①常数项：令 ，得 ． ②各项系数和：令 ，得 ． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当 为偶数时，奇数项的系数和为 ；偶数项的系数和为 ． （可简记为： 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii）当 为奇数时，奇数项的系数和为 ； 偶数项的系数和为 ． （可简记为： 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若 ，同理可得． 注意：常见的赋值为令 ， 或 ，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 必考题型全归纳 题型一：求二项展开式中的参数 例1．（2024·河南郑州·统考模拟预测） 的展开式中的常数项与 展开式 中的常数项相等，则 的值为（ ） A． B． C．2 D．3 例2．（2024·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知 的展开式中存在常数项， 则n的可能取值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 例3．（2024·全国·高三专题练习） 展开式中的常数项为－160，则a＝（ ） A．－1 B．1 C．±1 D．2 变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知 的展开式中的常数项为 ，则实数 （ ） A．2 B．-2 C．8 D．-8变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知 的展开式中第3项是常数项，则 （ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【解题方法总结】 在形如 的展开式中求 的系数，关键是利用通项求 ，则 ． 题型二：求二项展开式中的常数项 例4．（2024·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知 ，二项式 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（ ） A．36 B．30 C．15 D．10 例5．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）二项式 的展开 式中的常数项为（ ） A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120 例6．（2024·北京房山·高三统考开学考试） 的展开式中的常数项是（ ） A． B． C． D． 变式3．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试） 的展开式中的常 数项为（ ） A． 20 B．20 C．－10 D．10变式4．（2024·全国·高三专题练习）若 的展开式中存在常数项，则 （ ） A． B． C． D． 变式5．（2024·全国·高三对口高考）若 展开式中含有常数项，则n的 最小值是（ ） A．2 B．3 C．12 D．10 【解题方法总结】 写出通项，令指数为零，确定 ，代入． 题型三：求二项展开式中的有理项 例7．（2024·全国·高三专题练习）在 的展开式中，有理项的系数为（ ） A． B． C．5 D．10 例8．（2024·全国·高考真题）二项式 的展开式中系数为有理数的项共有 （ ） A．6项 B．7项 C．8项 D．9项 例9．（2024·江西南昌·高三统考阶段练习） 的展开式中所有有理项的系数和为 （ ） A．85 B．29 C． D． 变式6．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）二项式 展开式中，有理项共有（ ）项． A．3 B．4 C．5 D．7 变式7．（2024·安徽宣城·高三统考期末）在二项式 的展开式中，有理项共有 （ ） A． 项 B． 项 C． 项 D． 项 变式8．（2024·全国·高三专题练习）若 的展开式中有且仅有三个有理项， 则正整数 的取值为（ ） A． B． 或 C． 或 D． 【解题方法总结】 先写出通项，再根据数的整除性确定有理项． 题型四：求二项展开式中的特定项系数 例10．（2024·四川成都·校联考模拟预测）已知 的展开式中第4项与第5项的二 项式系数相等，则展开式中的 项的系数为（ ） A．―4 B．84 C．―280 D．560 例11．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测） 展开式中 的系数 为（ ） A．270 B．240 C．210 D．180 例12．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习） 的展开式中 的系数是（ ） A．20 B． C．10 D．变式9．（2024·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知 的展 开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中 的系数为（ ） A． B．240 C． D．160 变式10．（2024·全国·高三专题练习）在二项式 的展开式中，含 的项的二项式 系数为（ ） A．28 B．56 C．70 D．112 变式11．（2024·北京·高三专题练习）在二项式 的展开式中，含 项的二项式系数 为（ ） A．5 B． C．10 D． 【解题方法总结】 写出通项，确定r，代入． 题型五：求三项展开式中的指定项 例13．（2024·全国·高三专题练习）在 的展开式中， 的系数为 . 例14．（2024·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试） 展开式中含 项的 系数为 ． 例15．（2024·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测） 的展开式中 的系数 为 （用数字作答）．变式12．（2024·福建三明·高三统考期末） 展开式中常数项是 .（答案用 数字作答） 变式13．（2024·江苏·金陵中学校联考三模） 展开式中的常数项为 . 变式14．（2024·湖南岳阳·统考模拟预测） 的展开式中， 的系数为 ． 变式15．（2024·广东汕头·统考三模） 展开式中 的系数是 . 【解题方法总结】 三项式 的展开式： 若令 ，便得到三项式 展开式通项公式： ， 其中 叫三项式系数． 题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 例16．（2024·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习） 的展开式中 的系数为 ．例17．（2024·河北保定·高三校联考开学考试）在 的展开式中含 项的系 数是 . 例18．（2024·江西南昌·高三统考开学考试） 展开式中 的系数是 . 变式16．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试） 的展开式常数项是 . （用数字作答） 变式17．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知多项式 ，则 . 变式18．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测） 的展开式中含 项 的系数为 ．（用数字作答） 变式19．（2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）设 展开式 中的常数项为 ，则实数 的值为 . 变式20．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测） 展开 式中 的系数为 . 【解题方法总结】 分配系数法题型七：求二项式系数最值 例19．（2024·山东青岛·统考三模）若 展开式的所有项的二项式系数和为256， 则展开式中系数最大的项的二项式系数为 ．（用数字作答） 例20．（2024·全国·高三专题练习）二项式 的展开式中，只有第6项的二项式系 数最大，则含 的项是 ． 例21．（2024·人大附中校考三模）已知二项式 的展开式中只有第4项的二项式系 数最大，且展开式中 项的系数为20，则实数 的值为 . 变式21．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）二项式 的展开式中当且仅当第4项 的二项式系数最大，则 ，展开式中含 的项的系数为 ． 变式22．（2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知 的展开式中第4项与第8 项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为 . 变式23．（2024·湖北·校联考模拟预测）在 的二项展开式中，只有第5项的二项 式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于 ． 【解题方法总结】 利用二项式系数性质中的最大值求解即可． 题型八：求项的系数最值例22．（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）在 的展开式中，系数最大 的项为 . 例23．（2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模）已知 的展开式中，末三项的二 项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为 .（不用计算，写出表达式即 可） 例24．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测） 的二项式展开中，系数最大的项 为 ． 变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知 的展开式中各项系数之和为64，则该展 开式中系数最大的项为 ． 变式25．（2024·全国·高三专题练习）若 n展开式中前三项的系数和为163，则 展开式中系数最大的项为 ． 变式26．（2024·全国·高三专题练习） 展开式中只有第6项系数最大， 则其常数项为 . 变式27．（2024·安徽蚌埠·高三统考开学考试）若二项式 展开式中第4项的系数最 大，则 的所有可能取值的个数为 . 【解题方法总结】 有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组： ，注意：系数比较大小． 题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 例25．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知 ，则下列结论正确的是（ ） A．展开式中所有项的二项式系数的和为 B．展开式中所有奇次项的系数的和为 C．展开式中所有偶次项的系数的和为 D． 例26．（多选题）（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 例27．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ） A． B． C． D．变式28．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知 ， 则（ ） A． B． C． D． 变式29．（多选题）（2024·山东日照·三模）已知 ， 则（ ） A． B． C． D． 变式30．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设 ，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 变式31．（多选题）（2024·河北·统考模拟预测）已知 ．则（ ） A． B． C． D． 变式32．（多选题）（2024·全国·校联考三模）若在中， ，则（ ） A． B． C． D． 变式33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，则有 （ ） A． B． C． D． 变式34．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 变式35．（多选题）（2024·安徽芜湖·统考模拟预测）已知 ，下列说法正确的有（ ） A． B．C． D． 变式36．（多选题）（2024·福建宁德·统考模拟预测）若 ，则（ ） A． B． C． D． 变式37．（多选题）（2024·广西柳州·统考模拟预测）已知 ，则（ ） A． B． C． D． 变式38．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）若 ，则（ ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 二项展开式二项式系数和： ；奇数项与偶数项二项式系数和相等： ． 系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式： （是系数），令 得系数和： ． 题型十：求奇数项或偶数项系数和 例28．（2024·北京东城·高三北京二中校考阶段练习）设 ， 则 ．（用数字作答） 例29．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设多项式 ， 则 . 例30．（2024·新疆·高三八一中学校考开学考试）已知 ，若 ，则 ． 变式39．（2024·全国·模拟预测）在 的展开式中， 的所有奇次幂的系数和 为 ，则其展开式中的常数项为 ． 变式40．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，则 的值为 ． 变式41．（2024·安徽·高考真题）已知(1－x)5＝a＋ax＋ax2＋ax3＋ax4＋ax5，则(a＋a 0 1 2 3 4 5 0 2 ＋a)(a＋a＋a)的值等于 ． 4 1 3 5 变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知 的展开式中，奇次项系数的和比偶次项 系数的和小 ，则 ．变式43．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，则 的值为 . 【解题方法总结】 ，令 得系数和： ①； 令 得奇数项系数和减去偶数项系数和： ②，联立①②可求得奇数项系数和 与偶数项系数和． 题型十一：整数和余数问题 例31．（2024·河北·高三校联考期末） 除以1000的余数是 ． 例32．（2024·全国·高三专题练习）若 ，则 被5除所得的余数为 ． 例33．（2024·浙江金华·模拟预测） 除以100的余数是 ． 变式44．（2024·辽宁沈阳·统考一模）若 ，则 被5除的余数是 ． 变式45．（2024·全国·高三专题练习）写出一个可以使得 被100整除的正整数 .变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知 能够被15整除，其中 ，则 . 题型十二：近似计算问题 例34．（2024·全国·高三专题练习）用二项式定理估算 .（精确到0.001） 例35．（2024·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习） （精确到0.01） 例36．（2024·全国·高三专题练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据 的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是 . 变式47．（2024·全国·高三专题练习） 的计算结果精确到0.01的近似值是 ． 变式48．（2024·全国·高三专题练习） （小数点后保留三位小数）． 题型十三：证明组合恒等式 例37．（2024·全国·高三专题练习）求证：例38．（2024·全国·高三专题练习）证明： ． 例39．（2024·全国·高三专题练习）证明： ． 变式49．（2024·全国·高三专题练习）求证： . 变式50．（2024·全国·高三专题练习）（1）设 、 ， ，求证： ； （2）请利用二项式定理证明： . 变式51．（2024·江苏·校联考模拟预测）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而 构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得 到很多有趣的组合恒等式. （1）根据恒等式 两边 的系数相同直接写出一个恒等式，其中 ； （2）设 ，利用上述恒等式证明： . 题型十四：二项式定理与数列求和 例40．（2024·北京·高三强基计划）设n为正整数， 为组合数，则 （ ） A． B． C． D．前三个答案都不对 例41．（2024·全国·高三专题练习） （ ） A． B． C． D． 例42．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近 一世纪的“巴赛尔级数”难题．当 时， ，又根据泰勒展开式可以得到 ，根据以上两式可求得 （ ）A． B． C． D． 变式52．（2024·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 变式53．（2024·湖南邵阳·高三统考期末）已知 ，展开式中 的系数 为 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 变式54．（2024·北京·高三强基计划）设 ，对于有序数组 ，记 为 中所包含的不同整数的个数，例如 ．当 取遍所有的 个有序数组时， 的平均值为（ ） A． B． C． D．题型十五：杨辉三角 例43．（多选题）（2024·海南·海南中学校考三模）“杨辉三角”是二项式系数在三角形 中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 年所著的《详解九章算法》一书中就有出 现，比欧洲发现早 年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 外， 其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第 行的 为第 行中两个 的和.则下列命 题中正确的是（ ） A．在“杨辉三角”第 行中，从左到右第 个数是 B．由“第 行所有数之和为 ”猜想： C． D．存在 ，使得 为等差数列 例44．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）“杨辉三角”是二项 式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算 法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个 数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正 确的是（ ）A．在第10行中第5个数最大 B． C．第8行中第4个数与第5个数之比为 D．在杨辉三角中，第 行的所有数字之和为 例45．（多选题）（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）“杨辉三角”是二 项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算 法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个 数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正 确的是（ ） A． B．在第2022行中第1011个数最大C．记“杨辉三角”第 行的第i个数为 ，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 变式55．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图给出下列一个由正整数组成的三角 形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一个公差为 的等差数列和一个公差为 的等差数列， 每一行是一个公差为 的等差数列．我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构 成一个数列 ： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，其前 项和为 ，则下列 说法正确的有（ ）（参考公式： ） A． B． 第一次出现是 C． 在 中出现了 次 D．