第87讲二项式定理_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第87讲 二项式定理 知识梳理 知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 (1)二项式定理 一般地，对于任意正整数 ，都有：(a+b)n=C0an+C1an-1b+⋯+Cran-rbr+⋯ n n n +Cnbn(n∈N∗)， n 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展 开式． 式中的Cran-rbr做二项展开式的通项，用T 表示，即通项为展开式的第r+1项：T n r+1 r+1 =Cran-rbr， n 其中的系数Cr(r=0，1，2，⋯，n)叫做二项式系数， n (2)二项式(a+b)n的展开式的特点： ①项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第r+1项的二项式系数为Cr，最大二项式系数项居中； n ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b 升幂排列，次 数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； ④项的系数：二项式系数依次是C0，C1，C2，⋅⋅⋅，Cr，⋅⋅⋅，Cn，项的系数是a与b的系数 n n n n n (包括二项式系 数)． (3)两个常用的二项展开式： ①(a-b)n=C0an-C1an-1b+⋯+(-1)r⋅Cran-rbr+⋯+(-1)n⋅Cnbn( ) n n n n ②(1+x)n=1+C1x+C2x2+⋯+Crxr+⋯+xn n n n (4)二项展开式的通项公式 二项展开式的通项：T r+1 =Cr n an-rbr r=0,1,2,3,⋯,n  公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 ； ②字母b的次数和组合数的上标相同； ③a与b的次数之和为n． 注意：①二项式(a+b)n的二项展开式的第r+1项Cran-rbr和(b+a)n的二项展开式的 n 第r+1项Crbn-rar是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的． n ②通项是针对在(a+b)n这个标准形式下而言的，如(a-b)n的二项展开式的通项是 T =(-1)rCran-rbr(只需把-b看成b代入二项式定理)． r+1 n 2、二项式展开式中的最值问题 (1)二项式系数的性质 ①每一行两端都是1，即C0=Cn；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即Cm =Cm-1+ n n n+1 n Cm． n 第 页 共 页 3155 3427②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cm=Cn-m． n n ③二项式系数和令a=b=1，则二项式系数的和为C0+C1+C2+⋯+Cr+⋯+Cn=2n，变形 n n n n n 式C1+C2+⋯+Cr+⋯+Cn=2n-1． n n n n ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令a=1，b=-1， 则C0-C1+C2-C3+⋯+(-1)nCn=(1-1)n=0， n n n n n 1 从而得到：C0+C2+C4⋅⋅⋅+C2r+⋅⋅⋅=C1+C3+⋯+C2r+1+⋅⋅⋅= ⋅2n=2n-1． n n n n n n n 2 ⑤最大值： n 如果二项式的幂指数n是偶数，则中间一项T 的二项式系数C2最大； n+1 n 2 n-1 n+1 如果二项式的幂指数n是奇数，则中间两项T ，T 的二项式系数C 2 ，C 2 相等且最 n+1 n+1+1 n n 2 2 大． (2)系数的最大项 求(a+bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A ，A ， 1 2 A ≥A ⋅⋅⋅，A n+1 ，设第r+1项系数最大，应有  A r+1 ≥A r ，从而解出r来． r+1 r+2 知识点3、二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： (1)设a+b  n=C0an+C1an-1b+C2an-2b2+⋯+Cran-rbr+⋯+Cnbn， n n n n n 二项式定理是一个恒等式，即对a，b的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选 取a，b的值． ①令a=b=1，可得：2n=C0+C1+⋯+Cn n n n ②令a=1，b=1，可得：0=C0 n -C1 n +C2 n -C3 n ⋯+-1  nCn，即： n C0+C2+⋯+Cn=C1+C3+⋯+Cn-1(假设n为偶数)，再结合①可得： n n n n n n C0+C2+⋯+Cn=C1+C3+⋯+Cn-1=2n-1． n n n n n n (2)若f(x)=a xn+a xn-1+a xn-2+⋯+ax+a ，则 n n-1 n-2 1 0 ①常数项：令x=0，得a =f(0)． 0 ②各项系数和：令x=1，得f(1)=a +a +a +⋯+a +a ． 0 1 2 n-1 n ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 f(1)+f(-1) (i)当n为偶数时，奇数项的系数和为a +a +a +⋯= ； 0 2 4 2 f(1)-f(-1) 偶数项的系数和为a +a +a +⋯= ． 1 3 5 2 (可简记为：n为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配) f(1)-f(-1) (ii)当n为奇数时，奇数项的系数和为a +a +a +⋯= ； 0 2 4 2 f(1)+f(-1) 偶数项的系数和为a +a +a +⋯= ． 1 3 5 2 (可简记为：n为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配) 若f(x)=a +ax1+a x2+⋯+a xn-1+a xn，同理可得． 0 1 2 n-1 n 注意：常见的赋值为令x=0，x=1或x=-1，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 第 页 共 页 3156 3427必考题型全归纳 1 题型一：求二项展开式中的参数 2 4805 (2024·河南郑州·统考模拟预测) -x x  4 1 的展开式中的常数项与x- +a x2  3 展开式 中的常数项相等，则a的值为 ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 【答案】D 2 【解析】 -x x  4 的展开式中的常数项为C2 4 (-x)2=24， 4x2 1 x- +a x2  3 1 展开式中的常数项C0a3+C2x2- 3 3 x2  =a3-3, 所以a3-3=24,即a=3, 故选：D. 1 x 4806 (2024·四川成都·成都实外校考模拟预测)已知 - x 2  n 的展开式中存在常数项，则 n的可能取值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】C 1 x 【解析】二项式 - x 2  n 1 的展开式的通项为T =Cr⋅ r+1 n x  n-r x - 2  r =Cr⋅- 1 n 2  r ⋅ 3r-n x 2 ， 3r-n 令 =0，即n=3r，由于r∈N，故n必为3的倍数，即n的可能取值为6. 2 故选：C 2 4807 (2024·全国·高三专题练习)ax- x  6 展开式中的常数项为-160，则a= ( ) A.-1 B.1 C.±1 D.2 【答案】B 2 【解析】ax- x  6 的展开式通项为T =Cr(ax)6-r- 2 r+1 6 x  r =(-2)ra6-rCrx6-2r(0≤r≤6, 6 r∈N)， ∴令6-2r=0，解得r=3， 2 ∴ax- x  6 的展开式的常数项为T =(-2)3a6-3C3x6-6=-160a3=-160， 4 6 ∴a3=1 ∴a=1 故选：B. a 4808 (2024·全国·高三专题练习)已知x+ x  6 的展开式中的常数项为-160，则实数a= ( ) A.2 B.-2 C.8 D.-8 【答案】B a 【解析】x+ x  6 展开式的通项为：T =Cr⋅x6-r⋅ a r+1 6 x  r =Cr⋅x6-2r⋅ar， 6 第 页 共 页 3157 3427取r=3得到常数项为C3⋅a3=20a3=-160，解得a=-2. 6 故选：B 2 4809 (2024·全国·高三专题练习)已知 x- x  n 的展开式中第3项是常数项，则n= ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A 2 【解析】 x- x  n 的展开式的通项T =-2 k+1  n-3k kCkx 2 ， n 当k=2时，T 3 =T 2+1 =-2  n-6 2C2x 2 n n-6 则 =0，解得n=6． 2 故选：A 【解题方法总结】 Nm-t 在形如(axm+bxn)N的展开式中求xt的系数，关键是利用通项求r，则r= ． m-n 2 题型二：求二项展开式中的常数项 a 4810 (2024·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习)已知a>0，二项式x+ x2  6 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为 ( ) A.36 B.30 C.15 D.10 【答案】C 【解析】令x=1，则可得所有项的系数和为1+a  6=64且a>0，解得a=1， 1 ∵x+ x2  6 1 的展开式中的通项T =Ckx6-k k+1 6 x2  k =Ckx6-3k,k=0,1,...,6， 6 ∴当k=2时，展开式中的常数项为C2=15. 6 故选：C 1 4811 (2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习)二项式2 x- x  8 的展开式 中的常数项为 ( ) A.1792 B.-1792 C.1120 D.-1120 【答案】C 【解析】因为T r+1 =Cr 82 x  1 8-r⋅- x  r =-1  r×28-rCrx4-r， 8 令4-r=0，得r=4， 所以二项式展开式中的常数项为T 5 =-1  4×24C4=1120． 8 故选：C. 2 4812 (2024·北京房山·高三统考开学考试)x2- x  6 的展开式中的常数项是 ( ) A.240 B.-240 C.15 D.-15 【答案】A 【解析】由题目可知T k+1 =Ck 6x2  2 6-k- x  k =-2  kCkx12-3k，k=0,1,⋅⋅⋅,6， 6 令12-3k=0，解得k=4， 第 页 共 页 3158 3427所以当k=4时为常数项，此时T 5 =-2  4C4=240， 6 故选：A 1 4813 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试) +2 x3  1 x2- x  6 的展开式中的常数项 为 ( ) A.-20 B.20 C.-10 D.10 【答案】D 1 【解析】因为 +2 x3  1 x2- x  6 = 1 x2- 1 x3 x  6 +2x2- 1 x  6 ， 1 x2- x  6 的展开式的通项公式为T r+1 =Cr 6x2  1 6-r- x  r =-1  rCrx12-3r， 6 令12-3r=3,得r=3， 令12-3r=0,得r=4， 1 所以 +2 x3  1 x2- x  6 的展开式中的常数项为： 1 ×-1 x3  3C3 6 ×x3+-1  4C4×x0×2=-20+30=10. 6 故选：D 1 2 4814 (2024·全国·高三专题练习)若 +x3 x  n n∈N*  的展开式中存在常数项，则n= ( ) A.2kk∈N*  B.3kk∈N*  C.5kk∈N*  D.7kk∈N*  【答案】C 1 2 【解析】 +x3 x  n n∈N*  1 的二项展开通式为T =Cr r+1 n x  n-rx 2 3  r =Crx 5 3 r-n ,n∈N* n  ， 5 5 令 r-n=0⇒n= r，则n一定是5的倍数， 3 3 故选：C. 1 4815 (2024·全国·高三对口高考)若 3x+ x  n n∈N*  展开式中含有常数项，则n的最小值 是 ( ) A.2 B.3 C.12 D.10 【答案】A 1 【解析】T =Ck( 3x)n-k⋅ k+1 n x  k =Ck⋅( 3)n-kxn-2k， n 令n-2k=0，得n=2k，则k=1时，n取最小值2. 故选：A 【解题方法总结】 写出通项，令指数为零，确定r，代入． 3 题型三：求二项展开式中的有理项 4816 (2024·全国·高三专题练习)在 x- 3y  5的展开式中，有理项的系数为 ( ) A.-10 B.-5 C.5 D.10 【答案】A 第 页 共 页 3159 3427【解析】 x- 3y  5的通项为T r+1 =Cr 5 x  5-r -3y  r=-1  5-r r rCrx 2 y3 ， 5 r=0,1,2,3,4,5.当T 为有理项时，r既是奇数又能被3整除，所以r=3， r+1 故展开式中有理项的系数为-1  3C3=-10； 5 故选：A. 4817 (2024·全国·高考真题)二项式( 2+ 33x)50的展开式中系数为有理数的项共有 ( ) A.6项 B.7项 C.8项 D.9项 【答案】D 【解析】二项式的通项T =Cr ( 2)50-r(33x)r=2 25- 2 r 33 r Cr xr， r+1 50 50 r r 若要系数为有理数，则25- ∈Z， ∈Z，0≤r≤50，且r∈Z， 2 3 r r 即 ∈Z， ∈Z，易知满足条件的r∈{0,6,12,18,24,30,36,42,48}， 2 3 故系数为有理数的项共有9项. 故选：D 1 4818 (2024·江西南昌·高三统考阶段练习)x- 3x  8 的展开式中所有有理项的系数和为 ( ) A.85 B.29 C.-27 D.-84 【答案】C 【解析】展开式的通项为： 1 T =Crx8-r- r+1 8 3x  r =(-1)rCrx 8-4 3 r ，其中r=0，1，2，3，4，5，6，7，8， 8 当r=0,3,6时为有理项，故有理项系数和为 (-1)0C0+(-1)3C3+(-1)6C6=1+(-56)+28=-27， 8 8 8 故选：C. 1 4819 (2024·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习)二项式 4x+ x  24 展开式 中，有理项共有( )项． A.3 B.4 C.5 D.7 【答案】D 1 【解析】二项式 4x+ x  24 展开式中， 通项为T =Cr x 24 4 -r x - 2 r =Cr x 24- 4 3r =Cr x 6-3 4 r ，其中r=0,1,2⋯24， r+1 24 24 24 3 r的取值只需满足6- r∈Z，则r=0,4,8,12,16,20,24， 4 即有理项共有7项， 故选：D. 1 4820 (2024·安徽宣城·高三统考期末)在二项式2 x+ 3x  12 的展开式中，有理项共有 ( ) A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 【答案】A 第 页 共 页 3160 3427【解析】写出通项公式，然后代入r的值：0∼12，分别计算判断是否为有理项. 1 2 x+ 3x  12 的通项公式为T r+1 =Cr 122 x  1 12-r 3x  r =212-rCr x 6-5 6 r ， 12 5r 可知当r=0,6,12时，6- =6或1或-4，可得有理项共有3项. 6 故选：A. 4821 (2024·全国·高三专题练习)若(3⋅ 6x5-2 x)n的展开式中有且仅有三个有理项，则正 整数n的取值为 ( ) A.4 B.6或8 C.7或8 D.8 【答案】B 【解析】首先写出二项展开式的通项公式T r+1 =Cr n ⋅3n-r⋅-2  5n-2r r⋅x 6 ，由条件可知 5n-2r 为整数，然后观察选项，通过列举的方法，求得正整数n的值.(3⋅ 6x5-2 x)n的 6 通项公式是T =Cr⋅36x5 r+1 n  n-r⋅-2 x  r =Cr n ⋅3n-r⋅-2  5n-2r r⋅x 6 5n-2r 5n-2r 设其有理项为第r+1项，则x的乘方指数为 ，依题意 为整数， 6 6 注意到0≤r≤n，对照选择项知n=4、6、8， 逐一检验：n=4时，r=1,4，不满足条件； n=6时，r=0、3、6，成立； n=8时，r=2、5、8，成立 故选：B. 【解题方法总结】 先写出通项，再根据数的整除性确定有理项． 4 题型四：求二项展开式中的特定项系数 4822 (2024·四川成都·校联考模拟预测)已知x-2y  n的展开式中第4项与第5项的二项式 系数相等，则展开式中的x5y2项的系数为 ( ) A.-4 B.84 C.-280 D.560 【答案】B 【解析】因为x-2y  n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以C3=C4．则 n n n=7 又因为x-2y  7的展开式的通项公式为T r+1 =Cr 7 x7-r -2y  r， 令r=2，所以展开式中的x5y2项的系数为C2 7-2  2=84． 故选：B. 1 4823 (2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)1+ 2x2  (2-x)6展开式中x2的系数为 ( ) A.270 B.240 C.210 D.180 【答案】A 【解析】(2-x)6展开式的通项公式为T r+1 =-1  r26-rCrxr， 6 第 页 共 页 3161 3427则原展开式中x2的系数为-1  1 2×24C2 6 + 2 ×-1  4×22C4=270. 6 故选：A 4824 (2024·广东揭阳·高三校考阶段练习)x-1  2 1+x  6的展开式中x4的系数是 ( ) A.20 B.-20 C.10 D.-10 【答案】D 【解析】因为x-1  2 1+x  6=x2 1+x  6-2x1+x  6+1+x  6, 展开式中x4的项是x2C2x2×12-2xC3x3×13+C4x4×12, 6 6 6 则展开式中x4的系数是C2-2C3+C4=15-2×20+15=-10. 6 6 6 故选:D. 2 4825 (2024·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习)已知x2- x  n n∈N*  的展开式 中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中x3的系数为 ( ) A.-240 B.240 C.-160 D.160 【答案】C 【解析】由展开式中各项的二项式系数之和为64，得2n=64，得n=6． 2 ∵x2- x  6 的展开式的通项公式为T r+1 =Cr 6x2  6-r -1  2 r x  r =Cr 6 ·2r·-1  rx12-3r， 令12-3r=3，则r=3，所以其展开式中x3的系数为C3 6 ×23×-1  3=-160． 故选：C. 2 4826 (2024·全国·高三专题练习)在二项式 x- x  8 的展开式中，含x的项的二项式系数为 ( ) A.28 B.56 C.70 D.112 【答案】A 2 【解析】∵二项式 x- x  8 的展开式中，通项公式为T =Cr⋅(-2)r⋅x 4-3 2 r ， r+1 8 3r 令4- =1，求得r=2，可得含x的项的二项式系数为C2=28， 2 8 故选：A. 2 4827 (2024·北京·高三专题练习)在二项式x- x  5 的展开式中，含x3项的二项式系数为 ( ) A.5 B.-5 C.10 D.-10 【答案】A 2 【解析】由题设，T =Crx5-r- r+1 5 x  r =(-2)rCrx5-2r， 5 ∴当r=1时，T =(-2)1C1x3=-10x3. 2 5 ∴含x3项的二项式系数C1=5. 5 故选：A. 【解题方法总结】 写出通项，确定r，代入． 5 题型五：求三项展开式中的指定项 第 页 共 页 3162 34271 4828 (2024·全国·高三专题练习)在1+x- x2022  12 的展开式中，x2的系数为 . 【答案】66 1 【解析】由题意，1+x- x2022  12 1 表示12个因式1+x- x2022  的乘积， 故当2个因式取x，其余10个因式取1时，可得展开式中含x2的项， 故x2的系数为C2 ×C10=66. 12 10 故答案为：66. 4829 (2024·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试)(x-2y+1)5展开式中含xy3项的系 数为 ． 【答案】-160 【解析】(x-2y+1)5变形为 x-2y   +1  5， 故通项公式得T r+1 =Cr 5x-2y  5-r， 其中x-2y  5-r的通项公式为Ck 5-r x5-r-k -2y  k， 故通项公式为Cr 5 Ck 5-r x5-r-k -2y  0≤k≤5-r k，其中  ，k,r∈N， 0≤r≤5 令k=3,5-r-k=1，解得k=3,r=1， 故C1 5 C3 4 x-2y  3=-160xy3. 故答案为：-160 4830 (2024·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测)(x+2y-3z)6的展开式中xy2z3的系数为 (用数字作答)． 【答案】-6480 【解析】因为(x+2y-3z)6= x+2y   -3z  6， 设其展开式的通项公式为：T r+1 =Cr 6 (x+2y)6-r⋅-3z  r=Cr 6 (x+2y)6-r×-3  r⋅zr,0≤ r≤6,r∈N， 令r=3， 得(x+2y)3的通项公式为Cm 3 x3-m⋅2y  m=Cm×2mx3-m⋅ym,0≤m≤3,m∈N， 3 令m=2， 所以(x+2y+3z)6的展开式中，xy3z2的系数为C3 6 ×-3  3×C2×22=-6480， 3 故答案为：-6480 1 4831 (2024·福建三明·高三统考期末)x- +2 x  5 展开式中常数项是 .(答案用数字作 答) 【答案】-68 1 【解析】x- +2 x  5 1 = 2+x- x      5 的展开式的通项为25-kCkx- 1 5 x  k = 25-kCk 5 Cr k xk-r -1  rx-r=-1  r25-kCkCrxk-2r ，0≤r≤k≤5,k,r∈N , 5 k 令k-2r=0,则r=0,k=0 或r=1,k=2，或r=2,k=4 ， 所以常数项为-1  025C0 5 C0 0 +-1  123C2 5 C1 2 +-1  221C4C2=32-160+60=-68， 5 4 故答案为：-68 1 4832 (2024·江苏·金陵中学校联考三模)x4+y2+ 2xy  7 展开式中的常数项为 . 105 【答案】 /6.5625 16 第 页 共 页 3163 34271 【解析】x4+y2+ 2xy  7 1 可看作7个x4+y2+ 相乘，要求出常数项， 2xy 1 只需提供一项x4，提供4项 ，提供2项y2，相乘即可求出常数项， 2xy 1 即C1x4⋅C4 7 6 2xy  4 y2  105 2= . 16 105 故答案为： 16 4833 (2024·湖南岳阳·统考模拟预测)(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为 ． 【答案】30 【解析】(x2+x+y)5 表示5个因式x2+x+y的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y ， 其余的3个因式中有一个选x，剩下的两个因式选x2 ，即可得到含x5y2 的项，即可算出答 案． (x2+x+y)5 表示5个因式x2+x+y的乘积， 在这5个因式中，有2个因式选y ，其余的3个因式中有一个选x，剩下的两个因式选x2 ，即可得到含x5y2 的项，故含x5y2的项系数是C2⋅C1⋅C2=30. 5 3 2 故答案为：30 2 4834 (2024·广东汕头·统考三模)x2+ +1 x  7 展开式中x5的系数是 . 【答案】560 2 【解析】因为x2+ +1 x  7 是7个x2+ 2 +1 x  相乘， 2 x2+ +1 x  7 的展开式中x5项可以由4个x2项、3个 2 项和0个常数项，或3个x2项、1 x 2 个 项和3个常数项相乘， x 2 所以x2+ +1 x  7 展开式中x5的系数是C4⋅C3⋅23+C3⋅C1⋅2=560. 7 3 7 4 故答案为：560. 【解题方法总结】 三项式(a+b+c)n(n∈N)的展开式： (a+b+c)n=[(a+b)+c]n=⋯+Cr na+b  n-rcr+⋯=⋯+Cr n⋯+Cq n-r an-r-qbq+⋯  cr+ ⋯ =⋯+CrCq an-r-qbqcr+⋯ n n-r 若令n-r-q=p，便得到三项式(a+b+c)n(n∈N)展开式通项公式： CrCq apbqcr(p，q，r∈N，p+q+r=n)， n n-r n! (n-r)! n! 其中CrCq = = 叫三项式系数． n n-r r!(n-r)! q!(n-r-q)! p!q!r! 6 题型六：求几个二(多)项式的和(积)的展开式中条件项系数 4835 (2024·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习)(1-2x)(1+3x)5的展开式中 x3的系数为 ． 【答案】90 【解析】(1+3x)5的通项T =3rCr⋅xr， r+1 5 令r=3，则T =33C3⋅x3=270x3； 4 5 令r=2，则T =32C2⋅x2=90x2， 3 5 第 页 共 页 3164 3427故1-2x  (1+3x)5的展开式中x3的系数为270+-2  ×90=90. 故答案为：90． 4836 (2024·河北保定·高三校联考开学考试)在x3+1  2  x- x  5 的展开式中含x项的系数 是 . 【答案】-90 2 【解析】二项式 x- x  5 展开式的通项公式为Cr⋅x2 1 5  5-r ⋅-2x-1  r=-2  5-3r r⋅Cr⋅x 2 ， 5 5-3r 5-3r 令 =-2，解得r=3；令 =1，解得r=1. 2 2 所以x3+1  2  x- x  5 的展开式中含x的项为x3⋅-2  3⋅C3 5 ⋅x-2+1⋅-2  1⋅C1⋅x1= 5 -90x， 所以展开式中含x项的系数是-90. 故答案为：-90 4837 (2024·江西南昌·高三统考开学考试)1-x+x2  (1+x)6展开式中x7的系数是 . 【答案】5 【解析】由题意知-x,x2项和(1+x)6展开式中的x6,x5相乘出现x7项， (1+x)6的通项公式为T =Crxr,r=0,1,2,⋯,6， r+1 6 分别令r=5,6可得x5,x6项的系数为C5=6,C6=1， 6 6 故1-x+x2  (1+x)6展开式中x7的系数是-1+6=5， 故答案为：5 1 4838 (2024·江苏苏州·高三统考开学考试)x+ +1 x  x+1  6的展开式常数项是 .(用 数字作答) 【答案】7 【解析】x+1  6展开式第r+1项T =Crx6-r， r+1 6 1 所以x+ +1 x  x+1  1 6展开式中常数项是： ×C5x+1×C6x0=6+1=7， x 6 6 1 所以x+ +1 x  x+1  6的展开式常数项是7. 故答案为：7 4839 (2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)已知多项式(x+2)3(x-1)4 =a 1 (x+1)7+a 2 (x+1)6+⋯+a 7x+1  +a ，则a = . 8 7 【答案】16 【解析】令t=x+1，则(t+1)3(t-2)4=at7+a t6+⋯+a t+a ， 1 2 7 8 因为(t+1)3的展开式的通项为T =Crt3-r，r=0,1,2,3， r+1 3 所以令r=2可得(t+1)3的展开式中一次项为C2t=3t，令r=3可得(t+1)3的展开式 3 的常数项为1， 又因为(t-2)4的展开式的通项为T =Ckt4-k(-2)k，k=0,1,2,3,4， k+1 4 所以令k=3可得(t-2)4的展开式中一次项为C3(-2)3t=-32t，令k=4可得(t-2)4的 4 展开式的常数项为C4(-2)4=16， 4 所以a =16×3+(-32)×1=16. 7 故答案为：16. 第 页 共 页 3165 34274840 (2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测)x+y  x-2y  6的展开式中含x4y3项的系数 为 ．(用数字作答) 【答案】-100 【解析】∵x-2y  6展开式通项为：T r+1 =Cr 6 x6-r -2y  r=-2  rCrx6-ryr， 6 ∴令r=3可得xx-2y  6展开式中含x4y3项的系数为：-2  3C3=-160； 6 令r=2可得yx-2y  6展开式中含x4y3项的系数为：-2  2C2=60； 6 ∴x+y  x-2y  6展开式中含x4y3项的系数为-160+60=-100. 故答案为：-100. 4841 (2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习)设1-mx  2 x- x  5 展开式中的常 数项为80，则实数m的值为 . 【答案】-1 2 【解析】x- x  5 2 的展开式通项为T =Ck⋅x5-k⋅- k+1 5 x  k =Ck 5 ⋅-2  k⋅ 5-3k x 2 k=0,1,2,⋯,5  ， ∵1-mx  2 x- x  5 2 =x- x  5 2 -mxx- x  5 ， 2 在x- x  5 3 10 的展开式中，令5- k=0，可得k= ∉N，不合乎题意； 2 3 2 在mxx- x  5 的展开式中，mxT r+1 =mCr 5 ⋅-2  r⋅x 6-3 2 r r=0,1,2,⋯,5  ， 3 令6- r=0，可得r=4， 2 所以，1-mx  2 x- x  5 展开式中的常数项为-mC4 5 ⋅-2  4=-80m=80，解得m= -1. 故答案为：-1. 4842 (2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测)(x+1)6 x2+2x+1  展开式中 x3的系数为 . 【答案】56 【解析】(x+1)6 x2+2x+1  展开式中含x3的项为：C5 6 x⋅x2+C4 6 x2⋅2x  +C3x3⋅1= 6 56x3． 故答案为：56． 【解题方法总结】 分配系数法 7 题型七：求二项式系数最值 1 4843 (2024·山东青岛·统考三模)若 + x 3x  n 展开式的所有项的二项式系数和为256，则展 开式中系数最大的项的二项式系数为 ．(用数字作答) 【答案】28 【解析】因为展开式的所有项的二项式系数和为2n=256，解得n=8， 1 则 + x 3x  n 展开式为T =Cr 1 r+1 8 3x  8-r  x  r= Cr 8 x 3 2 r-8 ,r=0,1,2,⋅⋅⋅,8， 38-r 第 页 共 页 3166 3427Cr 可得第r+1项的系数为a = 8 ,r=0,1,2,⋅⋅⋅,8， r+1 38-r  Cr Cr+1  8 ≥ 8 令  a a r+1 ≥ ≥ a a r+2，即   3 C 8- r r C 37 r - - r 1 ，解得r=6， r+1 r   8 ≥ 8 38-r 39-r 所以展开式中第7项系数最大，其二项式系数为C6=28. 8 故答案为：28. 2 4844 (2024·全国·高三专题练习)二项式x+ x  n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最 大，则含x6的项是 ． 【答案】180x6 2 【解析】因为二项式x+ x  n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式中共有11项，∴n=10， 2 故x+ x  10 展开式的通项为T =Cr ⋅x10-r⋅2r⋅x-r=2r⋅Cr ⋅x10-2r， r+1 10 10 令10-2r=6，解得r=2，故展开式中含x6的项是22⋅C2x6=180x6. 10 故答案为：180x6． 4845 (2024·人大附中校考三模)已知二项式(2x-a)n的展开式中只有第4项的二项式系数 最大，且展开式中x3项的系数为20，则实数a的值为 . 1 【答案】- /-0.5 2 【解析】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n=6，二项式的通项 为T r+1 =Cr 62x  6-r -a  r，令6-r=3，解得r=3，所以展开式中x3项为C3 62x  3 -a  3= 1 -160a3x3，-160a3=20，解得a=- . 2 1 故答案为：- . 2 1 4846 (2024·浙江绍兴·统考模拟预测)二项式2x- 3x  n 的展开式中当且仅当第4项的二项 式系数最大，则n= ，展开式中含x2的项的系数为 ． 【答案】 6 -160 【解析】第4项的二项式系数为C3且最大，根据组合数的性质得n=6，T =Cr(2x) n r+1 6 1 6-r- 3x  r =-1  r26-rCr 6 x 6-4 3 r ，令6- 4 3 r=2⇒r=3，所以T 4 =-1  3C323x2=-160x2， 6 则展开式中含x2的项的系数为-160. 故答案为：6；-160. 4847 (2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二 项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为 . 【答案】252x5 【解析】由题意得C3=C7，得n=10， n n 所以展开式中二项式系数最大的项为第6项， 所以T =C5x5=252x5， 6 10 故答案为：252x5. 第 页 共 页 3167 34273 4848 (2024·湖北·校联考模拟预测)在 3x- x  n 的二项展开式中，只有第5项的二项式系数 最大，则该二项展开式中的常数项等于 ． 【答案】252 3 【解析】 3x- x  n 的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，∴n=8， 通项公式为T r+1 =Cr 8 ⋅-3  8-4r r⋅x 3 =-3  8-4r 8-4r r⋅Cr⋅x 3 ，令 =0，求得r=2， 8 3 可得二项展开式常数项等于9×C2=252， 8 故答案为：252． 【解题方法总结】 利用二项式系数性质中的最大值求解即可． 8 题型八：求项的系数最值 4849 (2024·海南海口·海南华侨中学校考一模)在x+1  4 y+z  6的展开式中，系数最大的项 为 . 【答案】120x2y3z3 【解析】因为x+1  4的通项为Cr 4 x4-r，y+z  6的通项为Cry6-rzr， 6 ∵x+1  4展开式系数最大的项为C2x2=6x2， 4 y+z  6展开式系数最大的项为C3y3z3=20y3z3， 6 ∴在x+1  4 y+z  6的展开式中，系数最大的项为120x2y3z3. 故答案为：120x2y3z3. 4850 (2024·江西吉安·江西省万安中学校考一模)已知1+3x  n的展开式中，末三项的二项式 系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为 .(不用计算，写出表达式即可) 【答案】C11311x11和C12312x12 15 15 1 【解析】由题意可得，Cn n +Cn n -1+Cn n -2=121，所以n+1+ 2 nn-1  =121，解得n=15， 1+3x  15的展开式的通项为T =3rCr xr r+1 15 令   3 3 r r C C r 1 r 5 ≥ ≥ 3 3 r r + - 1 1 C C r 1 r 5 + - 1 1 ，解得11≤r≤12， 15 15 由于r∈N*，所以r=11或12， r=11时，T =311C11x11；r=12时，T =312C12x12， 12 15 13 15 所以展开式中系数最大的项为C11311x11和C12312x12. 15 15 故答案为：C11311x11和C12312x12 15 15 4851 (2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测)(x+1)8的二项式展开中，系数最大的项为 ． 【答案】70x4 【解析】由题意知：(x+1)8的二项式展开中，各项的系数和二项式系数相等， 因为展开式的通项为T =Crx8-r，所以r=4时，系数最大，该项为C4x8-4=70x4， r+1 8 8 故答案为：70x4. 4852 (2024·全国·高三专题练习)已知(1-3x)n的展开式中各项系数之和为64，则该展开式 中系数最大的项为 ． 【答案】1215x4 第 页 共 页 3168 3427【解析】令x=1，则(1-3x)n的展开式各项系数之和为-2  n=64=26，则n=6； 由(1-3x)n的展开式通项公式T =Cr(-3)rxr知二项展开式的系数最大项在奇数项， r+1 6 设二项展开式中第r+1项的系数最大， 则 Cr 6 (-3)r≥Cr 6 +2(-3)r+2 ，化简可得： r+2  Cr(-3)r≥Cr-2(-3)r-2 6 6  r+1  ≥6-r  5-r  ×9 8-r  7-r  ×9≥rr-1    经验证可得r=4， 则该展开式中系数最大的项为T =C4(-3)4x4=1215x4. 5 6 故答案为: 1215x4. 2 4853 (2024·全国·高三专题练习)若 x+ 4x  n展开式中前三项的系数和为163，则展开式 中系数最大的项为 ． 【答案】5376 2n-3k 【解析】展开式的通项公式为T =2kCkx 4 ，由题意可得，20C0+2C1+22C2=163，解 k+1 n n n n 得n=9， 设展开式中T k+1 =2kCk 9 x 18- 4 3k 项的系数最大，则   2 2 k k C C k 9 k ≥ ≥ 2 2 k k + - 1 1 C C k 9 k + - 1 1 9 9 17 20 解得 ≤k≤ ， 3 3 又∵k∈N，∴k=6， 故展开式中系数最大的项为T =26C6=5376. 7 9 故答案为：5376. 1 4854 (2024·全国·高三专题练习) x+ 3x  2n n∈N*  展开式中只有第6项系数最大，则其 常数项为 . 【答案】210 1 【解析】由已知 x+ 3x  2n n∈N*  展开式中只有第6项系数为C5 最大，所以展开式 2n 有11项， 1 所以2n=10，即n=5，又展开式的通项为T =Cr ( x)10-r⋅ r+1 10 3x  r =Cr x 5-5 6 r ， 10 5 令5- r=0，解得r=6，所以展开式的常数项为C6 =C4 =210. 6 10 10 故答案为：210. 1 4855 (2024·安徽蚌埠·高三统考开学考试)若二项式x+ 2  n 展开式中第4项的系数最大，则 n的所有可能取值的个数为 . 【答案】4 1 【解析】因为二项式x+ 2  n 展开式的通项公式为Crxn-r 1 n 2  r =Cr 1 n 2  r xn-r 1 C3 n 2 由题意可得  3 ≥C2 1 n 2  2 1 C3 n 2  3 ≥C4 1 n 2   n-2≥6  ，即  ，故8≤n≤11，又因为n为正整数，所以n 4 8≥n-3 =8或9或10或11，故n的所有可能取值的个数为4个， 故答案为：4. 【解题方法总结】 第 页 共 页 3169 3427有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问 T≥T 题；如无关系，则转化为解不等式组： r r+1，注意：系数比较大小．  T≥T r r-1 9 题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 4856 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知1-2x  2023=a +ax+a x2+⋯+a x2023， 0 1 2 2023 则下列结论正确的是 ( ) A.展开式中所有项的二项式系数的和为22023 32023+1 B.展开式中所有奇次项的系数的和为 2 32023-1 C.展开式中所有偶次项的系数的和为 2 a a a a D. 1 + 2 + 3 +⋯+ 2023 =-1 2 22 23 22023 【答案】ACD 【解析】对于A，1-2x  2023的展开式中所有项的二项式系数的和为22023，故A正确； 对于B，令fx  =1-2x  2023，则a 0 +a 1 +a 2 +a 3 +⋯+a 2023 =f1  =-1， a 0 -a 1 +a 2 -a 3 +⋯-a 2023 =f-1  =32023， f1 所以展开式中所有奇次项的系数的和为  -f-1  32023+1 =- ， 2 2 f1 展开式中所有偶次项的系数的和为  +f-1  32023-1 = ，故B错误，C正确； 2 2 对于D，a 0 =f0  a a a a 1 =1， 1 + 2 + 3 +⋯+ 2023 =f 2 22 23 22023 2  -a =-1，故D正确. 0 故选：ACD. 4857 (多选题)(2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)已知x-1  x+2  6 =a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a x7，则 ( ) 0 1 2 7 A.a =-64 B.a =63 0 1 C.a +a +⋅⋅⋅+a =0 D.a +a +a +a =1 0 1 7 1 3 5 7 【答案】ACD 【解析】对于A，令x=0，得到a =-1×26=-64，故A正确； 0 对于B，x+2  6的通项公式为T =Cr⋅x6-r⋅2r， r+1 6 令r=5，得到T =C5⋅x⋅25=192x， 6 6 令r=6，得到T =C6×26=64， 7 6 所以a =64-192=-128，故B错误； 1 对于C，令x=1，得到a +a +⋅⋅⋅+a =0，故C正确； 0 1 7 对于D，令x=-1，则a -a +⋅⋅⋅-a =-2，又因为a +a +⋅⋅⋅+a =0， 0 1 7 0 1 7 两式相减得-2a 1 +a 3 +a 5 +a 7  =-2，则a +a +a +a =1，故D正确. 1 3 5 7 故选：ACD 4858 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知(1-x)9=a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a x9，则 0 1 2 9 ( ) A.a =1 B.a +a +a +⋅⋅⋅+a =0 0 1 2 3 9 C.a +a +a +a +a =-256 D.2a +22a +23a +⋅⋅⋅+29a =-2 1 3 5 7 9 1 2 3 9 【答案】ACD 第 页 共 页 3170 3427【解析】对于A，令x=0，则a =1，所以A正确， 0 对于B，令x=1，则a +a +a +a +⋅⋅⋅+a =0， 0 1 2 3 9 因为a =1，所以a +a +a +⋅⋅⋅+a =-1，所以B错误， 0 1 2 3 9 对于C，令x=-1，则a -a +a -a +⋅⋅⋅-a =29， 0 1 2 3 9 因为a +a +a +a +⋅⋅⋅+a =0， 0 1 2 3 9 所以2a 1 +a 3 +a 5 +a 7 +a 9  =-29， 所以a +a +a +a +a =-28=-256，所以C正确， 1 3 5 7 9 对于D，令x=2，则a +2a +22a +23a +⋅⋅⋅+29a =-1， 0 1 2 3 9 因为 a =1，所以2a +22a +23a +⋅⋅⋅+29a =-2，所以D正确， 0 1 2 3 9 故选：ACD. 4859 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知(2x-1)10=a +ax+a x2+⋯+a x10，则 0 1 2 10 ( ) A.a =1 B.a =-20 0 1 C.a +a +⋯+a =0 D.a +a +⋯+a =1-310 1 2 10 1 3 9 【答案】ABC 【解析】令x=0，可得a =1，A正确. 0 T 2 =C1 102x  (-1)9=-20x，所以a =-20，B正确. 1 令x=1，可得1=a +a +a +⋯+a ①，则a +a +⋯+a =0，C正确. 0 1 2 10 1 2 10 令x=-1，可得310=a -a +a -⋯+a ②，①-②可得1-310=2a +2a +⋯+2a ， 0 1 2 10 1 3 9 1-310 所以a +a +⋯+a = ，D错误. 1 3 9 2 故选：ABC. 4860 (多选题)(2024·山东日照·三模)已知x-1  (x+2)6=a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a x7，则 0 1 2 7 ( ) A.a =-64 B.a =-1 0 7 C.a +a +⋅⋅⋅+a =0 D.a +a +a +a =1 1 2 7 1 3 5 7 【答案】AD 【解析】由x-1  (x+2)6=a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a x7， 0 1 2 7 令x=0得a =-64，故A正确； 0 由(x+2)6的展开式的通项公式T =Cr2rx6-r， r+1 6 得a =1，故B错误； 7 令x=1，得a +a +a +⋅⋅⋅+a =0①， 0 1 2 7 再由a =-64，得a +a +⋅⋅⋅+a =64，故C错误； 0 1 2 7 令x=-1，得a -a +a -⋅⋅⋅-a =-2②， 0 1 2 7 ①-②再除以2得a +a +a +a =1，故D正确. 1 3 5 7 故选：AD 4861 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)设1+x+x2  n=a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a x2n，则下 0 1 2 2n 列选项正确的是 ( ) A.a =1 B.a +a +a +⋅⋅⋅a =2n 0 0 1 2 2n 3n+1 3n-1 C.a +a +a ⋅⋅⋅+a = D.a +a +a +⋅⋅⋅+a = 0 2 4 2n 2 1 3 5 2n-1 2 【答案】ACD 第 页 共 页 3171 3427【解析】对于A，令x=0，可得a =1，故A正确； 0 对于B，令x=1得a +a +a +⋅⋅⋅a =3n，故B错误； 0 1 2 2n 对于C，令x=1得a +a +a +⋅⋅⋅a =3n①， 0 1 2 2n 令x=-1 得，a -a +a +⋅⋅⋅+a =1②， 0 1 2 2n 3n+1 由①+②再除以2可得a +a +a ⋅⋅⋅+a = ，故C正确； 0 2 4 2n 2 对于D，令x=1得a +a +a +⋅⋅⋅a =3n①， 0 1 2 2n 令x=-1 得，a -a +a +⋅⋅⋅+a =1②， 0 1 2 2n 3n-1 ①-②再除以2可得a +a +a +⋅⋅⋅+a = ，故D正确． 1 3 5 2n-1 2 故选：ACD． 4862 (多选题)(2024·河北·统考模拟预测)已知x-1  (x+2)6=a +ax+a x2+⋯+a x7． 0 1 2 7 则 ( ) A.a =-64 B.a =48 0 2 C.a +a +⋯+a =0 D.a +a +a +a =1 1 2 7 1 3 5 7 【答案】AD 【解析】由x-1  (x+2)6=a +ax+a x2+⋯+a x7，令x=0得a =-64，故A正确； 0 1 2 7 0 由(x+2)6的展开式的通项公式T =Cr2rx6-r，得a =C525-C424=-48，故B错误； r+1 6 2 6 6 令x=1，得a +a +a +⋯+a =0①，再由a =-64，得a +a +⋯+a =64，故C错误； 0 1 2 7 0 1 2 7 令x=-1，得a -a +a -⋯-a =-2②，①-②再除以2得a +a +a +a =1，故D 0 1 2 7 1 3 5 7 正确； 故选：AD 4863 (多选题)(2024·全国·校联考三模)若在(1+2x)2+(1+2x)3+⋯+(1+2x)n=a +ax 0 1 +⋯+a xn-1+a xn中，a =5，则 ( ) n-1 n 0 37-9 A.n=7 B.a +a +⋯+a +a = 0 1 n-1 n 2 C.a =224 D.a =64 2 6 【答案】BD 【解析】令x=0，则a =n-1=5,n=6，故A错误； 0 37-9 令x=1，则a +a +⋯+a =32+33+⋯+36= ，故B正确； 0 1 6 2 由题可得a 2 =22⋅C2 2 +C2 3 +C2 4 +C2 5 +C2 6  =4×C3=4×35=140，故C错误； 7 由题a =C626=64，故D正确． 6 6 故选：BD. 4864 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知2x-m  7=a 0 +a 11-x  +a 21-x  2+⋯ +a 71-x  a a a 7，若a + 1 + 2 +⋯+ 7 =-128，则有 ( ) 0 2 22 27 A.m=2 B.a =-280 3 C.a =-1 D.-a +2a -3a +4a -5a +6a -7a =14 0 1 2 3 4 5 6 7 【答案】BCD 1 1 a a a 【解析】令x= ，则1-x= ，已知式变为(1-m)7=a + 1 + 2 +⋯+ 7 =-128， 2 2 0 2 22 27 解得m=3， 第 页 共 页 3172 3427(2x-m)7=(2x-3)7=[-1-2(1-x)]7，T =Cr(-1)7-r(-2)r(1-x)r， r+1 7 a =C3(-1)4(-2)3=-280， 3 7 a =(-1)7=-1， 0 令1-x=t，则有(-1-2t)7=a +at+a t2+⋯+a t7， 0 1 2 7 两边对t求导得-14(-1-2t)6=a +2a t+3a t2+⋯+7a t6， 1 2 3 7 再令t=-1得a -2a +3a -4a +5a -6a +7a =-14(-1+2)6=-14， 1 2 3 4 5 6 7 所以-a +2a -3a +4a -5a +6a -7a =14， 1 2 3 4 5 6 7 故选：BCD． 4865 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知1+2x  n+a3-x  7=a +ax+... 0 1 +a 6 x6 a≠0  ，则 ( ) A.n=6 B.a=128 a a a 7 C. 0 + 1 +⋅⋅⋅+ 6 = 37 36 3 3  7 D.a +2a +⋅⋅⋅+6a =-64 1 2 6 【答案】BC 【解析】由等式右边最高为x6项，且不含x7项，则n=7且C7⋅27+a⋅C7⋅30⋅(-1)7=0， 7 7 即a=128，故A错误，B正确； 所以1+2x  7+1283-x  7=a +ax+...+a x6. 0 1 6 C：等式两边同乘37，原等式等价于a +3a +...+36a =77，令x=3，则a +3a +... 0 1 6 0 1 +36a =(1+2×3)7+0=77，正确； 6 D：1+2x  7+1283-x  7   =[a +ax+...+a x6]，可得：14(1+2x)6-7×128(3-x)6 0 1 6 =a +2a x+...+6a x5，令x=1，则a +2a +...+6a =14×36-7×128×26=-47138， 1 2 6 1 2 6 错误； 故选：BC 4866 (多选题)(2024·安徽芜湖·统考模拟预测)已知x2+x+1  9=a +ax+a x2+⋅⋅⋅ 0 1 2 +a x18，下列说法正确的有 ( ) 18 A.a =1 B.a =42 0 2 39+1 C.a +a +⋅⋅⋅+a = D.a +2a +3a +⋅⋅⋅+18a =311 2 4 18 2 1 2 3 18 【答案】AD 【解析】对于A，令x=0，则a 0 =0+0+1  9=1，A正确； 对于B，x2+x+1  9展开式通项为：Cr 9x2  9-r x+1  r， x+1  r展开式通项为：Ckxr-k， r ∴x2+x+1  9展开式通项为：CrCkx18-r-k， 9 r 令18-r-k=2，则r+k=16，又r∈0,9  ，k∈0,r  ，r,k∈N， k=7 k=8 ∴   r=9 或  r=8 ，∴a 2 =C9 9 C7 9 +C8 9 C8 8 =36+9=45，B错误； 对于C，令x=1，则a +a +a +⋅⋅⋅+a =39； 0 1 2 18 令x=-1，则a -a +a -⋅⋅⋅+a =1； 0 1 2 18 两式作和得：2a 0 +a 2 +⋅⋅⋅+a 18  39+1 =39+1，∴a +a +a +⋅⋅⋅+a = ， 0 2 4 18 2 39+1 39-1 又a =1，∴a +a +⋅⋅⋅+a = -1= ，C错误； 0 2 4 18 2 2 对于D，∵ x2+x+1  9   =9x2+x+1  8 2x+1  ，a 0 +a 1 x+a 2 x2+⋅⋅⋅+a 18 x18  =a + 1 第 页 共 页 3173 34272a x+⋅⋅⋅+18a x17， 2 18 ∴9x2+x+1  8 2x+1  =a +2a x+⋅⋅⋅+18a x17， 1 2 18 令x=1，则a +2a +3a +⋅⋅⋅+18a =9×38×3=311，D正确. 1 2 3 18 故选：AD. 4867 (多选题)(2024·福建宁德·统考模拟预测)若(x-1)6=a 0 +a 1x+1  +a (x+1)2+a 2 3 (x+1)3+⋯+a (x+1)6，则 ( ) 6 A.a =64 B.a +a +a +a =365 0 0 2 4 6 C.a =12 D.a +2a +3a +4a +5a +6a =-6 5 1 2 3 4 5 6 【答案】ABD 【解析】令x=-1，则(-1-1)6=a ，即a =64，故A正确； 0 0 令x=0，则a +a +a +a +a +a +a =(0-1)6=1， 0 1 2 3 4 5 6 令x=-2，则a -a +a -a +a -a +a =(-2-1)6=729， 0 1 2 3 4 5 6 1+729 则a +a +a +a = =365，故B正确； 0 2 4 6 2 (x-1)6= x+1   -2  6，则T =Ck(x+1)6-k(-2)k，令k=1，则a =C1(-2)1=-12，故 k+1 6 5 6 C错误； 由(x-1)6=a 0 +a 1x+1  +a (x+1)2+a (x+1)3+⋯+a (x+1)6两边求导， 2 3 6 得6(x-1)5=a +2a (x+1)+3a (x+1)2+⋯+6a (x+1)5， 1 2 3 6 令x=0，则a +2a +3a +4a +5a +6a =6×(0-1)5=-6，故D正确. 1 2 3 4 5 6 故选：ABD. 4868 (多选题)(2024·广西柳州·统考模拟预测)已知1-2x  7=a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a x7，则 0 1 2 7 ( ) A.a =1 B.a =27 0 2 C.a 0 +a 1 +a 2 +⋅⋅⋅+a 7 =-1 D. a 0  +a 1  +a 2  +⋅⋅⋅+a 7  =37 【答案】ACD 【解析】因为1-2x  7=a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a x7， 0 1 2 7 令x=0，得1=a ，故A正确； 0 1-2x  7展开式的通项为 T =Cr17-r(-2x)r=(-2)rCrxr，则a =(-2)2C2=84，故B错 r+1 7 7 2 7 误； 令x=1，得-1=a +a +a +⋅⋅⋅+a ，故C正确； 0 1 2 7 1-2x  7展开式的通项为T r+1 =(-2)rCr 7 xr，则a k =-2  kCk，其中0≤k≤7且k∈N， 7 当k为偶数时，a >0；当k为奇数时，a <0， k k 令x=-1，可得a 0  +a 1  +a 2  +⋅⋅⋅+a 7  =a -a +a -a +a -a +a -a =37，故D 0 1 2 3 4 5 6 7 正确. 故选：ACD. 4869 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)若1+x  +1+x  2+⋯+1+x  2022=a +ax+⋯ 0 1 +a x2022，则 ( ) 2022 A.a =2022 B.a =C3 0 2 2023 2022 2022 C.(-1)ia =-1 D.(-1)i-1ia =1 i i i=1 i=1 【答案】ABD 第 页 共 页 3174 3427【解析】当x=0时，2022=a ，故A对； 0 a =C2+C2+C2+⋯+C2 =C3+C2+C2+⋯+C2 =C3 ，B对； 2 2 3 4 2022 3 3 4 2022 2023 令x=-1，则0=a -a +a -a +a ⋯-a +a ， 0 1 2 3 4 2021 2022 2022 ∴(-1)ia =-a =-2022，故C错； i 0 i=1 对等式1+x  +1+x  2+⋯+1+x  2022=a +ax+⋯+a x2022两边求导， 0 1 2022 即1+21+x  +31+x  2+⋯+20221+x  2021=a +2a x+⋯+2022a x2021 1 2 2022 令x=-1，则1=a -2a +3a -4a +⋯+2021a -2022a ， 1 2 3 4 2021 2022 2022 ∴(-1)i-1ia =1，故D对， i i=1 故选：ABD． 【解题方法总结】 二项展开式二项式系数和：2n；奇数项与偶数项二项式系数和相等：2n-1． 系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：(ax+b)n=a +a x+a x2+...+a xn(a ， 0 1 2 n 0 a，...，a 是系数)，令x=1得系数和：a +a +...+a =(a+b)n． 1 n 0 1 n 10 题型十：求奇数项或偶数项系数和 4870 (2024·北京东城·高三北京二中校考阶段练习)设(2x-1)6=a x6+a x5+⋯+ax+a ， 6 5 1 0 则a +a +a = ．(用数字作答) 1 3 5 【答案】-364 【解析】因为(2x-1)6=a x6+a x5+⋯+ax+a ， 6 5 1 0 令x=1，则1=a +a +⋯+a +a ①， 0 1 5 6 令x=-1，则729=a -a +⋯+a -a +a ②， 0 1 4 5 6 ∴①-②得2a 1 +a 3 +a 5  =-728， 所以a +a +a =-364， 1 3 5 故答案为：-364 4871 (2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)设多项式(x+1)6+(x-1)10=a x10+ 10 a x9+⋯+ax+a ，则a +a +a +a +a +a = . 9 1 0 0 2 4 6 8 10 【答案】544 【解析】依题意，令x=1，得到：a +a +⋯+a +a =26=64，令x=-1，得到： 10 9 1 0 a 10 -a 9 +a 8 -a 7 +⋯-a 1 +a 0 =210=1024，两式相加可得：2a 0 +a 2 +a 4 +a 6 +a 8 +a 10  = 1088，故a +a +a +a +a +a =544. 0 2 4 6 8 10 故答案为：544 4872 (2024·新疆·高三八一中学校考开学考试)已知(x+m)(x-2)4=a +ax+a x2+⋯ 0 1 2 +a x5，若a =16，则a +a +a = ． 5 0 1 3 5 【答案】1 【解析】令x=0，可得a =m×(-2)4=16，所以m=1． 0 令x=1，得a +a +a +⋯+a =2； 0 1 2 5 令x=-1，得a -a +a -a +a -a =0， 0 1 2 3 4 5 两式相减求得a +a +a =1． 1 3 5 故答案为：1. 第 页 共 页 3175 34274873 (2024·全国·模拟预测)在a+x  1-x  6的展开式中，x的所有奇次幂的系数和为-32， 则其展开式中的常数项为 ． 【答案】2 【解析】设a+x  1-x  6=a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a x7， 0 1 2 7 令x=1得：a 0 +a 1 +a 2 +⋅⋅⋅+a 7 =0；令x=-1得：a 0 -a 1 +a 2 -⋅⋅⋅-a 7 =64a-1  ； 两式作差得：2a 1 +a 3 +a 5 +a 7  =641-a  ，∴a 1 +a 3 +a 5 +a 7 =321-a  =-32， ∴a=2； 令x=0得：a =a=2，即展开式的常数项为2. 0 故答案为：2. 4874 (2024·全国·高三专题练习)已知(1-x)5+(1+x)7=a -ax+a x2-a x3+a x4-a x5 0 1 2 3 4 5 +a x6-a x7，则a +a +a 的值为 ． 6 7 2 4 6 【答案】78 【解析】令x=0，可得a =2， 0 令x=1，可得27=a -a +a -a +⋯-a ① 0 1 2 3 7 令x=-1，则25=a +a +a +⋯+a ② 0 1 2 7 所以②+①可得：2(a +a +a +a )=25+27=160， 0 2 4 6 所以2+a +a +a =80，即a +a +a =78 2 4 6 2 4 6 故答案为：78 4875 (2024·安徽·高考真题)已知(1-x)5=a +ax+a x2+a x3+a x4+a x5，则(a +a + 0 1 2 3 4 5 0 2 a )(a +a +a )的值等于 ． 4 1 3 5 【答案】-256 【解析】令x=1，得a +a +a +a +a +a =0， 0 1 2 3 4 5 令x=-1，得a -a +a -a +a -a =25=32， 0 1 2 3 4 5 两式相加可得2(a +a +a )=32， 0 2 4 两式相减可得2(a +a +a )=-32， 1 3 5 则a +a +a =16，a +a +a =-16， 0 2 4 1 3 5 所以(a +a +a )(a +a +a )=-256. 0 2 4 1 3 5 故答案为：-256 4876 (2024·全国·高三专题练习)已知2x-1  n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的 和小38，则C1+C2+C3+⋅⋅⋅+Cn= ． n n n n 【答案】255 【解析】设2x-1  n=a +ax+a x2+⋅⋅⋅+a xn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和 0 1 2 n 为B， 则A=a +a +a +⋅⋅⋅，B=a +a +a +a +⋅⋅⋅，由已知得B-A=38． 1 3 5 0 2 4 6 令x=-1，得a 0 -a 1 +a 2 -a 3 +⋅⋅⋅+a n-1  n=-3  n， 即a 0 +a 2 +a 4 +a 6 +⋅⋅⋅  -a 1 +a 3 +a 5 +a 7 +⋅⋅⋅  =-3  n，即B-A=-3  n， 所以-3  n=38=-3  8，所以n=8． 所以C1+C2+C3+⋅⋅⋅+Cn=2n-C0=28-1=255． n n n n n 故答案为：255 4877 (2024·全国·高三专题练习)已知2x+1  4=a 0 +a 1x-1  +a 2x-1  2+a 3x-1  3+ a 4x-1  4，则a +a +a 的值为 . 0 2 4 第 页 共 页 3176 3427【答案】313 【解析】令x-1=1求得a +a +a +a +a ，再令x-1=-1求得a -a +a -a +a ， 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 两者结合可得结论．令x=2得a +a +a +a +a =54，令x=0得a -a +a -a + 0 1 2 3 4 0 1 2 3 a =1， 4 54+1 ∴a +a +a = =313． 0 2 4 2 故答案为：313． 【解题方法总结】 (ax+b)n=a +ax+a x2+...+a xn，令x=1得系数和：a +a +...+a =(a+b)n①； 0 1 2 n 0 1 n 令x=-1得奇数项系数和减去偶数项系数和：a -a +a -a ...a =(a-b)n=(a +a 0 1 2 3 n 0 2 +...)-(a +a +...)②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和． 1 3 11 题型十一：整数和余数问题 4878 (2024·河北·高三校联考期末)9810除以1000的余数是 ． 【答案】24 【解析】因为9810=(100-2)10=10010+C1 ×(-2)×1009+C2 ×(-2)2×1008+⋯+C9 10 10 10 ×(-2)9×100+C10×(-2)10=[10010+C1 ×(-2)×1009+C2 ×(-2)2×1008+⋯+(-2)9 10 10 10 ×1000]+1024 =[10010+C1 ×(-2)×1009+C2 ×(-2)2×1008+⋯+(-2)9×1000+1000]+24， 10 10 所以9810除以1000的余数是：24. 故答案为：24 4879 (2024·全国·高三专题练习)若(x+5)2023=a +ax+a x2+⋯+a x2023,T=a +a + 0 1 2 2023 0 1 a +⋯+a ，则T被5除所得的余数为 ． 2 2023 【答案】1 【解析】由题知x=1时，a 0 +a 1 +a 2 +a 3 +⋯+a 2023 =62023=5+1  2023，， 故 T=C0 52023+C1 52022+⋯+C202251+1 2023 2023 2023 T 1 5 = 5 C0 2023 52023+C1 2023 52022+⋯+C2 2 0 0 2 2 2 3 51+1  1 = 5 C0 2023 52023+C1 2023 52022+⋯+C2 2 0 0 2 2 2 3 51  + 1 所以被5除得的余数是1. 5 故答案为：1. 4880 (2024·浙江金华·模拟预测)99100除以100的余数是 ． 【答案】1 【解析】99100=(100-1)100=C0 100100(-1)0+C1 10099(-1)1+C2 10098(-1)2 100 100 100 +⋯+C991001(-1)99+C1001000(-1)100， 100 100 =C0 100100-C1 10099+C2 10098+⋯-C99100+1, 100 100 100 100 由于C0 100100-C1 10099+C2 10098+⋯-C99100是100的倍数， 100 100 100 100 故99100除以100的余数等于1， 故答案为：1 4881 (2024·辽宁沈阳·统考一模)若1+x  2023=a +ax+⋅⋅⋅+a x2023，则a +a +a +⋅⋅⋅ 0 1 2023 0 2 4 +a 被5除的余数是 ． 2022 【答案】4 第 页 共 页 3177 3427【解析】由题知，x=1时，a +a +a +a +⋯+a =22023①， 0 1 2 3 2023 x=-1时，a -a +a -a +⋯+a -a =0②， 0 1 2 3 2022 2023 22023 由①+②得，a +a +a +⋯+a = =41011， 0 2 4 2022 2 故a 0 +a 2 +a 4 +⋯+a 2022 =41011=5-1  1011=C0 51011-C1 51010+⋯+C101051-C1011= 1011 1011 1011 1011 C0 1011 51011-C1 1011 51010+⋯+C1 1 0 0 1 1 0 1 51-5  +4， 所以a +a +a +⋅⋅⋅+a 被5除的余数是4. 0 2 4 2022 故答案为：4. 4882 (2024·全国·高三专题练习)写出一个可以使得992023+a被100整除的正整数a= . 【答案】1(答案不唯一) 【解析】由题意可知992023+a=100-1  2023+a， 将100-1  2023利用二项式定理展开得100-1  2023=C0 2023 1002023 -1  0+C1 2023 1002022 -1  1 +⋅⋅⋅+C2 2 0 0 2 2 2 3 1001 -1  2022+C2 2 0 0 2 2 3 3 1000 -1  2023 显然，C0 2023 1002023 -1  0+C1 2023 1002022 -1  1+⋅⋅⋅+C2 2 0 0 2 2 2 3 1001 -1  2022能被100整除， 所以，只需C2 2 0 0 2 2 3 3 1000 -1  2023+a=-1+a是100的整数倍即可； 所以-1+a=100n(n∈Z)，得a=100n+1(n∈Z) 不妨取n=0，得a=1. 故答案为：1 4883 (2024·全国·高三专题练习)已知742022+a能够被15整除，其中a∈0,15  ，则a= . 【答案】14 【解析】742022=75-1  2022 =C0 2022 ⋅752022⋅-1  0+C0 2022 ⋅752021⋅-1  1+⋯+C0 2022 ⋅75⋅-1  2021+C0 2022 ⋅750⋅-1  2022 =C0 2022 ⋅752022+C0 2022 ⋅752021⋅-1  1+⋯+C0 2022 ⋅75⋅-1  2021+1， 所以742022+a=C0 2022 ⋅752022+C0 2022 ⋅752021⋅-1  1+⋯+C0 2022 ⋅75⋅-1  2021+1+a， 因为C0 2022 ⋅752022+C0 2022 ⋅752021⋅-1  1+⋯+C0 2022 ⋅75⋅-1  2021是75的整数倍， 所以C0 2022 ⋅752022+C0 2022 ⋅752021⋅-1  1+⋯+C0 2022 ⋅75⋅-1  2021能够被15整除， 要使742022+a能够被15整除， 只需要1+a能够被15整除即可， 因为a∈0,15  ， 所以a=14. 故答案为：14. 12 题型十二：近似计算问题 4884 (2024·全国·高三专题练习)用二项式定理估算1.0110= .(精确到0.001) 【答案】1.105 【解析】1.0110=(1+0.01)10=1+C1 ×0.01+C2 ×0.012+C3 ×0.013+⋯≈1+0.1+ 10 10 10 0.0045 =1.1045≈1.105. 故答案为：1.105 第 页 共 页 3178 34274885 (2024·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习)C10.998+C20.9982+ 5 5 C30.9983+C40.9984+C50.9985≈ (精确到0.01) 5 5 5 【答案】30.84 【解析】原式=(1+0.998)5-1=(2-0.002)5-1 =C025-C124×0.002+C223×0.0022-C322×0.0023+C42×0.0024-C5×0.0025-1 5 5 5 5 5 5 ≈32-0.16-1=30.84 故答案为：30.84． 4886 (2024·全国·高三专题练习)某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据0.9810的处 理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是 . 【答案】0.82 【解析】根据二项式定理可得： 0.9810=(1-0.02)10≈1-C1 ×0.02+C2 ×0.022≈0.8+0.018≈0.82, 10 10 故答案为：0.82 4887 (2024·全国·高三专题练习)(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 ． 【答案】1.34 【解析】1.05  6=1+0.05  6=1+C1⋅0.05+C2⋅0.052+⋯≈1+0.3+0.0375=1.3375≈ 6 6 1.34 故答案为：1.34 4888 (2024·全国·高三专题练习)1.028≈ (小数点后保留三位小数)． 【答案】1.172 【解析】1.028=(1+0.02)8=1+C1×0.02+C2×0.022+C3×0.023+...+C8×0.028， 8 8 8 8 由二项展开式的性质易知，C3×0.023<0.001,C4×0.024远小于0.001，依次类推， 8 8 故1.028=(1+0.02)8≈1+C1×0.02+C2×0.022+C3×0.023≈1.172. 8 8 8 故答案为：1.172. 13 题型十三：证明组合恒等式 2 4889 (2024·全国·高三专题练习)求证：2 2  2 +3 2  2 +4 2  2 +5 2  2 +⋯+n 2  = (n-1)n(n+1)(3n+2) 24 【解析】构造发生函数g(x)=(1+x)+2(1+x)2+3(1+x)3+⋯+n(1+x)n， 由此易发现，g(x)中x2所对应的系数应为恒等式的左端． 所以(1+x)g(x)=(1+x)2+2(1+x)3+...+(n-1)(1+x)n+n(1+x)n+1， 所以-xg(x)=(1+x)+(1+x)2+...+(1+x)n-n(1+x)n+1 (1+x)[1-(1+x)n] = -n(1+x)n+1 1-(1+x) (1+x)-(1+x)n+1+nx(1+x)n+1 = ， -x (1+x)-(1+x)n+1+nx(1+x)n+1 所以g(x)= ， x2 (n+1) 由此可得，x2所对应的项的系数为- 4  (n+1) +n 3  (n-1)n(n+1)(3n+2) = ， 24 第 页 共 页 3179 3427既左边等于右边，则恒等式成立． n 4890 (2024·全国·高三专题练习)证明： Ck n k=0   2=Cn ． 2n 【解析】取函数fx  =1+x  n，x∈-1,1  ，则： fx  =1+x  n n=C0+C1x+C2x2+...+Cnxn=Ckxk①， n n n n n k=0 fx  =1+x  n n=Cnxn+Cn-1xn-1+...+C0=Cn-kxn-k②， n n n n k=0 将②用2n替换n，有：1+x  2n 2n=C0 +C1 x+C2 x2+...+C2nx2n=Ck xk．其中xn的 2n 2n 2n 2n 2n k=0 系数为Cn ． 2n 将①，②对应相乘，根据上述形式幂级数乘法定义有：1+x  n n 2n=Ckxk⋅Cn-kxn-k= n n k=0 k=0 2n k CiCk-i k k k=0 i=0   xk， n n 其中xn的系数为CkCn-k，由展开式的唯一性有：CkCn-k=Cn ，Ck=Cn-k， n n n n 2n n n k=0 k=0 n 因此可得： Ck n k=0   2=Cn ． 2n n 4891 (2024·全国·高三专题练习)证明： C2k-1 2n k=1  1 2= 2 C2 4 n n +-1   n-1Cn 2n   ． n 【解析】由 Ck n k=0  2n  2=Cn 中n取2n，可得 Ck 2n 2n k=0   2=C2n； 4n 2n 由 -1 k=0  k Ck 2n   2=-1  2n nCn 2n 两边同乘或除-1得： -1 k=0  k+1 Ck 2n  2=-1   n-1Cn ． 2n 2n 将以上两等式两边对应相加可得： Ck 2n k=1  2n 2+ -1 k=0  k+1 Ck 2n  2=C2 4 n n +-1    n-1Cn ． 2n 2n 而等式左边 Ck 2n k=0  2+-1  k+1 Ck 2n  2   n =2 C2k-1 2n k=1    2， n 所以有 C2k-1 2n k=1  1 2= 2 C2 4 n n +-1   n-1Cn 2n   ． 4892 (2024·全国·高三专题练习)求证：2n-C1×2n-1+C2×2n-2+⋯+(-1)n-1Cn-1×2+( n n n -1)n=1. 【解析】左边=2n-C1×2n-1+C2×2n-2+⋯+(-1)n-1Cn-1×2+(-1)n n n n =C0 n ×2n×-1  0+C1 n ×2n-1×-1  1+C2 n ×2n-2 -1  2+⋯+Cn-1×21×(-1)n-1+Cn×20 n n ×(-1)n=2-1  n =1=右边. 即证. n+1 4893 (2024·全国·高三专题练习)(1)设m、n∈N*，m≤n，求证：Cm+1= Cm； n+1 m+1 n (2)请利用二项式定理证明：3n>2n2+1n≥3,n∈N*  . n+1 【解析】证：(1)Cm+1= n+1  ! m+1  !n-m  n+1 n! = ⋅ ! m+1 m!n-m  n+1 = Cm； ! m+1 n 第 页 共 页 3180 3427(2)当n≥3，n∈N*时，3n=1+2  n=1+C1⋅2+C2⋅22+...+2n n n n! >1+C1⋅2+C2⋅22=1+2n+ ⋅4=1+2n+2n(n-1)=2n2+1, n n 2!⋅(n-2)! 所以结论成立. 4894 (2024·江苏·校联考模拟预测)对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等 式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有 趣的组合恒等式. (1)根据恒等式1+x  m+n=1+x  m 1+x  n m,n∈N*  两边xp的系数相同直接写出一个 恒等式，其中p∈N,p≤m,p≤n； p (2)设m,n∈N*,p∈N,p≤m,p≤n，利用上述恒等式证明：C1 n C m p- + 1 n-1 -Ci n C m p-i i-1 i=2  =Cp -Cp. m+n m 【解析】(1)1+x  m+n=1+x  m 1+x  n m,n∈N*  ， 等式左边xp的系数为Cp ， m+n 右边xp的系数这样产生： 1+x  m中的1与1+x  n中的xp的系数的Cp的积，即C0Cp， n m n 1+x  m中x的系数C1 m 与1+x  n中xp-1的系数的Cp-1的积，即C1Cp-1， n m n 1+x  m中x2的系数C2 m 与1+x  n中xp-2的系数的Cp-2的积，即C2Cp-2， n m n 1+x  m中x3的系数C3 m 与1+x  n中xp-3的系数的Cp-3的积，即C3Cp-3， n m n ⋯⋯ 1+x  m中xp的系数C m p 与1+x  n中1的系数的C0的积，即CpC0， n m n p 所以Cp =C0Cp+C1Cp-1+C2Cp-2+⋯+CpC0=Ci Cp-i. m+n m n m n m n m n m n i=0 n! n(n-1)! (2)当i,n∈N*，且i≤n时，iCi =i⋅ = =nCi-1， n i!(n-i)! (i-1)!(n-i)! n-1 p 由(1)得Cp-1 =C0Cp-1+C1Cp-2+⋯+Cp-2C1 +Cp-1C0 =Cp-iCi-1 m+n-1 m n-1 m n-1 m n-1 m n-1 m n-1 i=1 p p p 左边=C1Cp-1 -CiCp-i(i-1)=nCp-1 -iCiCp-i+CiCp-i， n m+n-1 n m m+n-1 n m n m i=2 i=2 i=2 p p =nCp-1 -iCiCp-i+C1Cp-1+CiCp-i， m+n-1 n m n m n m i=1 i=2 p p =nCp-1 -nCi-1Cp-i+C0Cp +C1Cp-1-C0Cp +CiCp-i， m+n-1 n-1 m n m n m n m n m i=1 i=2 p p =nCp-1 -nCi-1Cp-i+CiCp-i-Cp， m+n-1 n-1 m n m m i=1 i=0 =nCp-1 -nCp-1 +Cp -Cp =Cp -Cp =右边， m+n-1 m+n-1 m+n m m+n m p 所以C1 n C m p- + 1 n-1 -Ci n C m p-i i-1 i=2  =Cp -Cp. m+n m 14 题型十四：二项式定理与数列求和 4895 (2024·北京·高三强基计划)设n为正整数，Ck为组合数，则C0 +3C1 +5C2 +⋯ n 2018 2018 2018 +4037C2018= ( ) 2018 A.2018⋅22018 B.2018! C.C2018 D.前三个答案都不对 4036 第 页 共 页 3181 3427【答案】D 【解析】解法一 设题中代数式为M，则 2018 2018 M=Ck +2kCk 2018 2018 k=0 k=0 =22018+2× 1+x  2018     x=1 =22018+2×2018×22017 =2019×22018． 解法二 设题中代数式为M，倒序相加可得2M=4038C0 2018 +C1 2018 +⋯+C2 2 0 0 1 1 8 8  ， 于是M=2019×22018． 故选：D. 4896 (2024·全国·高三专题练习)1C1+4C2+9C3+⋯+n2Cn= ( ) n n n n A.n(n+1)2n-2 B.n2n-1 C.2n-1 D.n(n+1)(n+2)2n-3 【答案】A 【解析】1+x  n=C0+xC1+x2C2+x3C3+...+xnCn，两边求导得， n n n n n n1+x  n-1=C1+2xC2+3x2C3+...+nxn-1Cn，两边乘以x后得， n n n n nx1+x  n-1=xC1+2x2C2+3x3C3+...+nxnCn，两边求导得， n n n n n1+x  n-2 1+nx  =C1+22xC2+32x2C3+...+n2xn-1Cn， n n n n 取x=1得C1 n +22C2 n +32C3 n +...+n2Cn n =nn+1  2n-2. 故选：A 4897 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世 sinx x2 纪的“巴赛尔级数”难题．当n∈N*时， =1- x π2  x2 1- 4π2  x2 1- 9π2  ⋯ x2 1- n2π2  x3 x5 -1 ⋯，又根据泰勒展开式可以得到sinx=x- + +⋯+ 3! 5!  n-1x2n-1 2n-1  +⋯， ! 1 1 1 1 根据以上两式可求得 + + +⋯+ +⋯= ( ) 12 22 32 n2 π2 π2 π2 π2 A. B. C. D. 6 3 8 4 【答案】A x3 x5 -1 【解析】由sinx=x- + +⋯+ 3! 5!  n-1x2n-1 2n-1  +⋯，两边同时除以x， ! sinx x2 x4 -1 得 =1- + +⋯+ x 3! 5!  n-1x2n-2 2n-1  +⋯， ! sinx x2 又 =1- x π2  x2 1- 4π2  x2 1- 9π2  x2 ⋯1- n2π2  ⋯ 1 1 1 1 1 展开式中x2的系数为-  + + +⋯+ +⋯ π2 12 22 32 n2  ， 1 1 1 1 1 所以-  + + +⋯+ +⋯ π2 12 22 32 n2  1 =- ， 3! 1 1 1 1 π2 所以 + + +⋯+ +⋯= ． 12 22 32 n2 6 故选：A． 4898 (2024·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测)已知(1+x)2021=a +ax+a x2 0 1 2 第 页 共 页 3182 3427+a x3+⋯+a x2021，则a +2a +3a +4a +⋯+2020a +2021a = ( ) 3 2021 2020 2019 2018 2017 1 0 A.2021×22021 B.2021×22020 C.2020×22021 D.2020×22020 【答案】B 【解析】依题意，a =Ck ,k∈N,k≤2021， k 2021 2021! 当k≥1时，(2021-k)a =(2021-k)Ck =2021Ck -k⋅ =2021Ck - k 2021 2021 (2021-k)!⋅k! 2021 2020! 2021⋅ =2021(Ck -Ck-1)， [2020-(k-1)]!⋅(k-1)! 2021 2020 2021 于是得a 2020 +2a 2019 +3a 2018 +4a 2017 +⋯+2020a 1 +2021a 0 = ∑ 2021-k k=1     a k  +2021a 0 2021 = ∑2021Ck -Ck-1 2021 2020 k=1      2021 2021 +2021C0 =2021∑Ck -∑Ck-1 2021 2021 2020 k=0 k=1  =2021(22021-22020)=2021×22020. 故选：B 4899 (2024·湖南邵阳·高三统考期末)已知2- x  n n≥2,n∈N  ，展开式中x的系数为 fn  2 22 23 22019 ，则 + + +⋯⋯+ 等于 ( ) f(2) f(3) f(4) f(2020) 2019 2019 1009 1009 A. B. C. D. 110 505 1010 505 【答案】B 【解析】∵2- x  n n≥2,n∈N  ，展开式中x的系数为fn  =C2⋅2n-2， n 2 ∴则 f2  22 + f3  23 + f4  22019 +⋯+ f2020  2 22 23 22019 = + + +⋯+ 1 C2⋅2 C2⋅22 C2 ⋅22018 3 4 2020 2 2 2 2 2 2 4 =2+ + +⋯+ =2+ + +⋯+ =2+ + C2 C2 C2 3×2 4×3 2000×2019 3×2 3 4 2020 2 2 2 4 4 1 1 1 1 1 1 +⋯+ =2+4× - + - +⋯+ - 4×3 2020×2019 2 3 3 4 2019 2020  1 1 =2+4× - 2 2020  2019 = ， 505 故选：B． 4900 (2024·北京·高三强基计划)设a k ∈{1,2,3,4}(k=1,2,3,4)，对于有序数组a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4  ， 记Na 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4  为a,a ,a ,a 中所包含的不同整数的个数，例如N(1,1,2,2)=2,N(1,2,3, 1 2 3 4 1)=3．当a 1 ,a 1 ,a 3 ,a 4  取遍所有的44个有序数组时，Na 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4  的平均值为 ( ) 173 87 175 11 A. B. C. D. 64 32 64 4 【答案】C 【解析】利用二项式定理可求平均值或者就Na 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4  的取值分类讨论后可求平均 值. 解法一 分别计算1，2，3，4的“价值”，可得所求平均值为 4 4Ck34-k 4 44-34 175 i=1 = = ． 256 64 64 解法二 按Na 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4  的取值分类． N a ,a ,a ,a 1 2 3 4  总数 第 页 共 页 3183 34271 A1 4 4 C2C2 C1C3+ 4 2 2 4 3 A2 2  84 ×A2 4 C2C1C1 3 4 2 1 ×A3 144 A2 4 2 4 A4 24 4 4×1+84×2+144×3+24×4 700 175 于是所求平均值为 = = ． 256 256 64 故选：C. 15 题型十五：杨辉三角 4901 (多选题)(2024·海南·海南中学校考三模)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种 几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧 洲发现早500年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数 都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确 的是 ( ) A.在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是15 B.由“第n行所有数之和为2n”猜想：C0+C1+C2+⋯+Cn=2n n n n n C.C2+C2+C2+⋅⋅⋅+C2 =164 3 4 5 10 D.存在k∈N∗，使得Ck -Ck  n+1 n  为等差数列 【答案】BCD 【解析】对于A，在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是C5=6，A错； 6 对于B，由二项式系数的性质知C0+C1+C2+⋯+Cn=2n，B对； n n n n 对于C，由于C2+C2+C2+⋅⋅⋅+C2 =C2+C3+C2+C2+⋅⋅⋅+C2 -C3=C3+C2+C2+⋅⋅⋅ 3 4 5 10 3 3 4 5 10 3 4 4 5 +C2 -C3=C3 -C3=164,故C正确； 10 3 11 3 对于D，取k=2，则Ck -Ck=C2 -C2=C1=n， n+1 n n+1 n n 因为n+1  -n=1，所以数列C2 -C2 n+1 n  为公差为1的等差数列，D对. 故选：BCD. 4902 (多选题)(2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测)“杨辉三角”是二项式系数在 三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中 就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩 第 页 共 页 3184 3427上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是 ( ) A.在第10行中第5个数最大 B.C2+C2+C2+⋯+C2=84 2 3 4 8 C.第8行中第4个数与第5个数之比为4:5 D.在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为2n-1 【答案】BC 【解析】对于A：第10行是二项式a+b  10的展开式的系数， 10 所以第10行中第 +1=6个数最大，故A错误； 2 对于B：C2+C2+C2+⋯+C2 2 3 4 8 =C3+C2+C2+⋯+C2 3 3 4 8 =C3+C2+⋯+C2=⋯=C3+C2=C3=84，故B正确； 4 4 8 8 8 9 对于C：第8行是二项式a+b  8的展开式的系数，又a+b  8展开式的通项为T = r+1 Cra8-rbr， 8 所以第4个数为C3=56，第5个数为C4=70，所以第4个数与第5个数之比为4:5，故C 8 8 正确； 对于D：第n行是二项式a+b  n的展开式的系数，故第n行的所有数字之和为2n，故D 错误； 故选：BC 4903 (多选题)(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)“杨辉三角”是二项式系数 在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书 中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其 “肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是 ( ) 第 页 共 页 3185 3427A.C2+C2+C2+⋅⋅⋅+C2 =164 3 4 5 10 B.在第2022行中第1011个数最大 n+1 C.记“杨辉三角”第n行的第i个数为a，则∑ 2i-1a i i i=1  =3n D.第34行中第15个数与第16个数之比为2:3 【答案】AC 【解析】A：C2+C2+C2+⋅⋅⋅+C2 =C2+C3+C2+C2+⋅⋅⋅+C2 -C3=C3+C2+C2+⋅⋅⋅ 3 4 5 10 3 3 4 5 10 3 4 4 5 +C2 -C3=C3 -C3=164,所以本选项正确； 10 3 11 3 B：第2022行是二项式a+b  2022 2022的展开式的系数，故第2022行中第 +1=1012个 2 数最大，所以本选项不正确； C“：杨辉三角”第n行是二项式a+b  n的展开式系数， 所以a =Ci-1， i n n+1 ∑ 2i-1a i i=1  n+1 =∑ 2i-1⋅Cr n - - 1 1 i=1  n+1 =∑ Cr n -1⋅1n-i+1⋅2i-1 i=1  =1+2  n=3n， 因此本选项正确； D：第34行是二项式a+b  34的展开式系数， 所以第15个数与第16个数之比为C14:C15=3:4，因此本选项不正确， 34 34 故选：AC 4904 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵， 该三角形数阵的两腰分别是一个公差为1的等差数列和一个公差为2的等差数列，每一 行是一个公差为1的等差数列．我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成 一个数列a n  ：1、2、3、3、4、5、4、5、6、7、⋯，其前n项和为S ，则下列说法正确的有 n 1 ( )(参考公式：12+22+⋅⋅⋅+n2= nn+1 6  2n+1  ) A.a =22 B.22第一次出现是a 100 100 第 页 共 页 3186 3427C.22在a n  中出现了11次 D.S =1345 100 【答案】ACD 【解析】对于A，1+2+3+⋅⋅⋅+13+14=105，且1+2+3+⋯+13=91， 故a 在第14行第9个，则a =14+8=22，A对； 100 100 对于B，因为第n行最后一个数为2n-1，该数为奇数，由2n-2=22，可得n=12， 所以，22第一次是出现在第12行倒数第2个， 因为1+2+3+⋯+12=78，即22第一次出现是a ，B错； 77 对于C，因为22第一次是出现在第12行倒数第2个，在第12行至第22行，22在每行中 各出现一次， 故22在a n  中出现了11次，C对； n+2n-1 对于D选项，设第n行的数字之和为b ，则b = n n  n 3n2-n = ， 2 2 故S =b +b +b +⋯+b +14+15+16+⋯+22 100 1 2 3 13 312+22+⋅⋅⋅+132 =  -1+2+3+⋅⋅⋅+13  14+22 + 2  ×9 =1345，D对. 2 故选：ACD 第 页 共 页 3187 3427